AULA 2 - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE - PARTE 2

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◦ Axiomática 
 baseada em Axiomas e teoremas de Probabilidade.
3
◦ Axioma 1: 0  P (A)  1 
◦ Axioma 2: P (S) = 1 
◦ Axioma 3: Se A1, A2, A3,... An, formam uma sequência finita de eventos
mutuamente exclusivos (M.E.) então:
 P (A1 A2 A3 ... An ) = P (A1) +P(A2)+P( A3)+... +P(An )
◦ Teorema 1: P() = 0
◦ Teorema 2: P(A’) = 1 - P(A)
◦ Teorema 3: P (A B) = P(A) +P(B) -P(AB) 
◦ Teorema 4: Se A  B, então P (A)  P (B).
PROBABILIDADE
Dado um experimento
aleatório, sendo S o seu
espaço amostral, vamos
admitir que todos os
elementos de S tenham a
mesma chance de acontecer,
ou seja, que S é um conjunto
equiprovável.
4
Experimento: jogar um dado e observar seu valor.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
S
2
3 4
5 6 • Qual a probabilidade de obter um valor igual a 1?
P(valor igual a 1) =
6
1
• Qual a probabilidade de obter um valor múltiplo 3?
P(valor múltiplo 3) =
6
2
3
1
=
#
P
#
eventos favoráveis
eventos possíveis
=
5
Probabilidades
Probabilidade de um evento A
(A  S)
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
S = { Ca, Co }
A moeda tem duas faces: Ca – cara; Co - coroa
Qual é a probabilidade de sair Cara no lançamento de
uma moeda?
( )
possíveis casos de Número
favoráveis casos deNúmero
=FP
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2
( ) %505,0
2
1
===FP
6
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
( )
6
1
possíveis casos de nº
favoráveis casos denº
==AP
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
A: “ Sair o número 5 “1) Só há uma 
face “5”
Um dado 
tem 6 faces
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
( )
3
2
6
4
==BP
B = { 3, 4, 5, 6 }
7
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Qual é o espaço amostral de resultados?
Qual é a 
probabilidade de 
sair dois números 
maiores que 4?
9
1
36
4
==P
8
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
• Arroz de frango
• Bife grelhado
• Lagosta
Sobremesa:
• Fruta da época
• Pudim
Prato:
Entrada:
• Sopa
• Canja
Quantas refeições diferentes podemos 
escolher, tendo cada uma, uma entrada, um 
prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições 
diferentes!
9
Probabilidades
Cálculo de Probabilidades
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
Escolhida uma
refeição ao
acaso qual é a
probabilidade de
comer arroz ou
fruta?
3
2
12
8
==P
Qual é a probabilidade de não comer Lampreia nem Pudim?
3
1
12
4
==P
10
Eventos Independentes – Dizemos que dois eventos são
independentes quando a realização ou não realização de um
dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e
vice-versa.
Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do
primeiro evento e p2 a probabilidade do segundo evento, a
probabilidade de que tais eventos se realizem
simultaneamente é dada por:
p = p1 x p2
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Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a
probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma
das probabilidades de cada um deles se realize:
p = p1 + p2
Eventos Complementares
Sabendo que um evento pode
ocorrer ou não, sendo “p” a
probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e “q” a probabilidade de
que ele não ocorra (insucesso),
para um mesmo evento existe
sempre a relação:
p + q = 1  q = 1 – p
12
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
3- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça,
calcule:
a) A probabilidade de essa peça ser defeituosa;
b) A probabilidade de essa peça não ser defeituosa
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4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma
carta do primeiro e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de sair
um rei no primeiro e no segundo ser o 5 de ouros?
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5- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter a
soma igual a 5?
6- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B
contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verdes; Uma urna C contém: 2 bolas
brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira
urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
7- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem
reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de espada
e a segunda ser a damas de ouros?
8- Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando
retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?
9- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obterum
número não inferior a cinco?
10- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo,
uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a
probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente
nessa ordem?
Exercícios de Probabilidade
Exercícios de Probabilidade
11- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas
aleatoriamente 2 peças, calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas;
b) A probabilidade de ao menos uma não ser defeituosa.
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Exercícios de Probabilidade
12 – Considere que uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a
probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
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1º passo: determinar o número de possibilidades.
Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. 
Sendo duas as possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço 
amostral é:
2º passo: Determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.
O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.
O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de
combinações para que o evento ocorra são: A = {CCCOO; OOCCC; CCOOC; COOCC;
CCOCO; COCOC; OCCOC; OCOCC; OCCCO; COCCO}
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.
3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.
Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100,
temos que a probabilidade de "sair"
cara 3 vezes é de 31,25%.
Exercícios de Probabilidade
13 - Um morador de uma região metropolitana tem 50% de probabilidade de atrasar-se para o
trabalho quando chove na região; caso não chova, sua probabilidade de atraso é de 25%.
Para um determinado dia, o serviço de meteorologia estima em 30% a probabilidade da
ocorrência de chuva nessa região. Qual é a probabilidade de esse morador se atrasar para o
serviço no dia para o qual foi dada a estimativa de chuva?
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Como a probabilidade de chover na região é de 30% então indicamos que P(chover) =
0,3, consequentemente, a probabilidade de não chover é de 70% que indicamos por
P(Não chover) = 1 - P(chover) = 1 - 0,3 = 0,7.
Além disso, temos que: P(Chegar Atrasado/Chover) = 0,5 e P(Chegar Atrasado/Não
Chover) = 0,25
1º Caso (CHOVE NO DIA)
Neste caso, consideremos o evento desejado A, assim descrito — "A: atrasar-
se e chover“ é P (Caso 1) = P(Chover) x P(Chegar Atrasado/Chover) = 0,3×0,5=0,15
2º Caso (NÃO CHOVE NO DIA)
Neste caso, consideremos o evento desejado B, assim descrito — "B: atrasar-se e não
chover“ é P (Caso 2) = P(Não Chover) x P(Chegar Atrasado/Não Chover) = 0,7 x 0,25
= 0,175.
Como pode chover ou não no dia, temos P (Caso 1) + P 
(Caso 2) = 0,15 + 0,175 = 0,325.
22
VÍDEOS PARA AUXILIAR NOS 
SEUS ESTUDOS EM 
CONCEITOS BÁSICOS EM 
PROBABILIDADE...
APROVEITE!!!!!!
23
https://youtu.be/njtremvzu7E?list=RDCMUCkBKRTla-WORg2aKwLo-iZg
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
CONJUNTO, ESPAÇO AMOSTRAL E 
EVENTOS ...
4 min e 39s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
24
https://youtu.be/d8ag-yZf6AQ
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS 
E ALEATÓRIOS, ESPAÇO AMOSTRAL 
E EVENTO ...
2 min e 37s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
25
https://youtu.be/0ZvQRfqHD50
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
UNIÃO, INTERSECÇÃO, EVENTOS 
MUTUAMENTE EXCLUSIVOS E 
EVENTOS COMPLEMENTARES ...
4 min e 39s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
26
https://youtu.be/6p57czeK0KI
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO...
6 min e 38s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
27
https://youtu.be/xTlWG49fFBo
https://youtu.be/pYDrdyLvkmQ
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE 
DOIS EVENTOS...
8 min e 43s
8 min 19s
https://youtu.be/xTlWG49fFBo
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
28
https://youtu.be/iHhCqdbf1_g
VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EVENTOS DEPENDENTES ...
5 min e 58s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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https://youtu.be/us6lYK304kc
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VAMOS ASSISTIR UM VÍDEO SOBRE 
EVENTOS INDEPENDENTES ...
4 min e 40s
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1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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EVENTOS COMPLEMENTARES ...
3 min e 29s
2 min 49s
1-AULA INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE.ppt
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https://youtu.be/6nhS2izk5Kg
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