AULA 6 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS - PARTE 2

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E SEUS PRINCIPAIS 
MODELOS – PARTE 2
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Propriedades da Média
1) A média de uma constante é a própria constante: E(K) = K.
2) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica
multiplicada por essa constante: E(KX) = KE(X).
3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou
diferença das médias: E(X  Y) = E(X)  E(Y).
4) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média
fica somada ou subtraída da mesma constante: E(X  K) = E(X)  K.
5) A média de uma variável aleatória centrada é zero: E(X - x) = E(X) - E(x)
= x - x = 0.
6) A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto
das médias: E(XY) = E(X).E(Y).
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Propriedades da Variância
3
V(aX ± bY) = a2V(X) + b2V(Y) ± 2abCov(X,Y)
Exercícios
4
Exercícios
5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Existem casos em que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo,
estatura H e peso P de pessoas. Para tanto, precisa-se da seguinte definição:
Sejam: E um experimento aleatório e S o espaço amostra, associado a E.
Sejam: X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma associando um número real a cada
resultado s  S, denomina-se (X, Y) uma variável aleatória bidimensional, que pode
ser discreta ou contínua.
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional
discreta. A Função de Probabilidade é uma
função que associa um número p(xi, yj)
representado por P (X = xi, Y = yj) satisfazendo
as condições:
•p(xi, yj) ≥ 0


=

=
=
1 1
1),(
j i
ji yxp
Como no caso da variável unidimensional, a 
distribuição poderá ser representado por uma 
tabela, gráfico ou fórmula.
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Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Tem 
Cancro
Não tem 
Cancro
Fumador 0,5 0,2 0,7
Não 
Fumador
0,1 0,2 0,3
0,6 0,4 1
X
Y
Fu
n
çã
o
 d
e 
p
ro
b
ab
ili
d
ad
e 
m
ar
gi
n
al
 d
e 
X
Função de probabilidade marginal de Y
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y
x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
a) Achar as distribuições marginais de X e Y;
b) Calcular E(X), E(Y) e E(XY);
c) Calcular DP(x) e DP(y);
d) Calcular COV(XY);
e) Calcular coeficiente e correlação entre X e Y.
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
a) Determinar as distribuições marginais de X e Y;
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Distribuição Marginal de X:
Distribuição Marginal de Y:
X -2 -1 4 5
P(X) 0,1+ 0,2 = 0,3 0,2 + 0,1 = 0,3 0,0 + 0,1 = 0,1 0,3 + 0,0 = 0,3
Y 1 2
P(Y) 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,3 = 0,5 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,0 = 0,5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
b) Calcular E(X), E(Y) e E(X,Y);
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Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00Seja E(X)
Seja E(Y)
Seja E(X,Y)
X -2 -1 4 5
P(X) 0,1+ 0,2 = 0,3 0,2 + 0,1 = 0,3 0,0 + 0,1 = 0,1 0,3 + 0,0 = 0,3
Y 1 2
P(Y) 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,3 = 0,5 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,0 = 0,5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
c) Calcular DP(x) e DP(y);
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Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
Calcular DP(x):
Para Calcular DP(y), temos que primeiro determinar VAR(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 : 
1- Calcular VAR(x) = E(X2) – [E(X)]2 :
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
d) Calcular COV(X,Y);
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Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
O valor da COV(X,Y) = -0,6 indica que existe relação inversamente proporcional entre X 
e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y decresce; e assim sucessivamente. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
e) Calcular coeficiente e correlação entre X e Y.
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Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
Portanto, como o valor de rx,y = -0,38 indica que existe uma correlação negativa fraca
entre X e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y decresce; e assim sucessivamente.
1) O coeficiente de correlação pode variar em
termos de valor de -1 a +1. Quanto maior for o
valor absoluto do coeficiente, mais forte é a
relação entre as variáveis.
2) Dancey e Reidy (2005) apontam a
seguinte classificação para o coeficiente
de correlação: r = 0,10 até 0,39 (fraco);
r = 0,40 até 0,6 (moderado); r = 0,61 até
1 (forte).
DANCEY, Christine & REIDY, John. (2006). Estatística Sem Matemática para Psicologia:
Usando SPSS para Windows. Porto Alegre: Artmed.
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Uniforme Discreto
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por
x1, x2...,xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma
probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por
Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um
dado, e estamos interessados na v.a. X: No da face obtida. Neste caso
todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e,
assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente
entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. :
Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta
contrario caso 0,
k.1,2,...,i 1/k,
)xP(X i
=
==
X 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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Notação: X~Ud(x1,..,xk)
Se X~Ud(x1,..,xk), pode-se mostrar que:

=
=
k
i
ix
k
XE
1
1
)(


=
=−=
k
i
n
i
i
i
k
x
x
k
XVar
1
2
12 }
)(
{
1
)(
No exemplo 5, temos que:
5,3)654321(
6
1
)( =+++++=XE
9,2}6/21)362516941{(
6
1
)( 2 =−+++++=XVar
Obter a f.d.a. !
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