AULA 7 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS - PARTE 3

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS E SEUS PRINCIPAIS 
MODELOS – PARTE 3
1
2. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
2
Distribuição de uma v.a. de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo
a função de probabilidade é dada por:
x
P(X=x)
0 1
1-p p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao
modelo Binomial.


 =−
===
−
cc
xpp
xXPxf
xx
.;0
1,0;)1(
)()(
1
3
3. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.
 Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3 
FFF (1-p)
3 
0 0 0 0 
FFS (1-p)
2
p 0 0 1 1 
FSF (1-p)
2
p 0 1 0 1 
SFF (1-p)
2
p 1 0 0 1 
FSS (1-p)p
2 
0 1 1 2 
SFS (1-p)p
2
 1 0 1 2 
SSF (1-p)p
2
 1 1 0 2 
SSS P
3 
1 1 1 3 
 
4
3
2
2
3
})({)3(
)1(3}),,({)2(
)1(3}),,({)1(
)1(})({)0(
pSSSPXP
ppSSFSFSFSSPXP
ppSFFFSFFFSPXP
pFFFPXP
===
−===
−===
−===
Daí temos que:
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
3223 )1(3)1(3)1()()(
3210
ppppppxXPxf
x
−−−==
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
)!3(!
!33
.,0
3,2,1,0,)1(
3
)(
3
xxx
onde
cc
xpp
xxf
xx
−
=










=−





=
−
5
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a
mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número
total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável
aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada
por:
Binomial. ecoeficient o representa,
)!(!
!
.,0
,,1,0,)1(
)(
xnx
n
x
n
onde
cc
nxpp
x
n
xf
xnx
−
=










=−





=
− 
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
6
0 2 4 6 8
0
.0
0
.2
0
.4
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
7
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
8
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
9
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Suponha
que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova vão as aulas e não
estudaram para a prova (o que é muito frequente). O professor estabeleceu
que para aprovar deve contestar corretamente pelo menos 6 questões. Qual a
probabilidade de um aluno aprovar?.
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde 
independentemente a questão
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).





=

















=
−
cc
x
xxf
xx
.,0
10,,1,0,
5
4
5
110
)(
10

A probabilidade de um aluno aprovar é: 0,00636
006369,0)6(1)6( =−= XPXP
Exemplo 2.
10
Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna
consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se
obter 5 bolas brancas.
Exemplo 3.
S: “obter uma bola branca em cada extração”
F:” obter uma bola preta em cada extração”
A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado 
são independentes em cada extração.
Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12 
extrações da urna. Então o evento de interesse é: 
P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7).





=

















=
−
cc
x
xxf
xx
.,0
12,,1,0,
7
3
7
412
)(
12

0.12)5()5( === XPf
A probabilidade de obter 5 bolas brancas é:
11
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL
É uma generalização da Binomial. Assim, considere a possibilidade 
de k alternativas, isto é, repartirmos o espaço amostral em k 
eventos A1, A2, ... ,An, mutuamente exclusivos com probabilidade de 
que A1 ocorra X1 vezes, A2 ocorra X2 vezes, ... , An ocorra Xn vezes, é 
igual a:
nx
n
xx
n
n ppp
XXX
n
XXXP ....
!!...!
!
),...,,( 21 21
21
21 =
12
Distribuição Multinomial
UM DADO É LANÇADO 10 VEZES. QUAL É A PROBABILIDADE DE TEREM
APARECIDO DUAS VEZES O Nº 2, DUAS VEZES O Nº 5, TRÊS VEZES O Nº 1 E
UMA VEZ OS DEMAIS RESULTADOS?
AS LÂMPADAS COLORIDAS PRODUZIDAS POR UMA FÁBRICA SÃO 60%
VERDES, 30% AZUIS E 10% AMARELAS. EM 5 LÂMPADAS, ENCONTRE A
PROBABILIDADE DE QUE 2 SEJAM VERDES, 1 AZUL E 2 AMARELAS.
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DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
a. UMA TENTATIVA É REPETIDA ATÉ QUE O SUCESSO OCORRA;
b. AS TENTATIVAS REPETIDAS SÃO INDEPENDENTES UMAS DAS
OUTRAS;
c. A PROBABILIDADE DE SUCESSO P É CONSTANTE PARA CADA
TENTATIVA.
A PROBABILIDADE DE QUE O PRIMEIRO SUCESSO OCORRERÁ NA
TENTATIVA NÚMERO “K” É: 1)( −== kpqkxP
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E(X) = (1-p)/p
VAR(X) = (1-p)/p2
Distribuição GEOMÉTRICA
POR EXPERIÊNCIA, VOCÊ SABE QUE A PROBABILIDADE DE QUE IRÁ CONSEGUIR
UMA VENDA EM QUALQUER CHAMADA TELEFÔNICA DADA É DE 0,23. OBTENHA A
PROBABILIDADE DE QUE SUA PRIMEIRA VENDA EM UM DADO DIA OCORRA NA
QUARTA OU NA QUINTA CHAMADA TELEFÔNICA.
UM FABRICANTE DE CEREAIS COLOCOU UMA PEÇA PREMIADA NAS
EMBALAGENS DE SEU PRODUTO. A PROBABILIDADE DE GANHAR UM PRÊMIO É
DE UM PARA QUATRO. DETERMINE A PROBABILIDADE DE QUE VOCÊ:
15