AULA 5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS - PARTE 1

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
DISCRETAS SEUS PRINCIPAIS 
MODELOS – PARTE 1
1
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Vamos incorporar o conceito de probabilidade
ao estudo de variáveis associadas a
características em uma população.
2
Variável Aleatória (v.a.): Uma função X que associa
a cada elemento do espaço amostral um valor num
conjunto enumerável de pontos da reta é
denominada variável aleatória discreta.
Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de
números reais, X é denominada variável aleatória
contínua.
3
Exemplos:
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três 
filhos.
2) Observar o tempo de reação a um certo
medicamento.
={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).
Então X é uma v.a. discreta que assume valores no
conjunto {0, 1, 2, 3}.
Defina X: tempo de reação ao medicamento.
X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real
positivo.
4
O termo aleatório indica que a cada possível valor da
v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
 1 )xP(X e 1 )xP(X 0
n
1i
ii 
=
===
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Função de probabilidade( f.p.): É a função que 
atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua 
probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada 
pela tabela:
5
●Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes
 = {(C,C,C), (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C), (K,K,C), 
(K,C,K), (C,K,K), (K,K,K)}
X : número de caras observadas
xi 0 1 2 3
P(Xi)
6
●Exemplos de variáveis aleatórias
Moeda honesta lançada 3 vezes
 = {(C,C,C), (C,C,K), (C,K,C), (K,C,C), 
(K,K,C), (K,C,K), (C,K,K), (K,K,K)}
X = número de caras
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
7
O Departamento de Estatística é formado por 35
professores, sendo 21 homens e 14 mulheres.
Uma comissão de 3 professores será constituída
sorteando, ao acaso, três membros do
departamento.
(a) Determine a distribuição de Probabilidade.
(b) Qual é a probabilidade da comissão ser
formada por pelo menos duas mulheres?
Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
Exemplo 1:
8
9
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Qual é a probabilidade de cada ponto wi de  ?
Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma
independente. Qual é a probabilidade da soma dos
pontos ser menor do que 6?
Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo
e sendo os lançamentos independentes, então
P(wi) = 1/36 ,  wi  .
10
Defina X: soma dos pontos.
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36
= 10/36 = 0,278
Função de probabilidade de X:
11
Podemos estar interessados em outras v.a.’s.
Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento
U: pontos do 2º lançamento
12
A função de distribuição ou função de distribuição
acumulada de uma variável aleatória discreta (ou
continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela
seguinte expressão:
Função de Distribuição Acumulada (f.d.a.)
)()( xXPxF =
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos
números reais, ao passo que o contradomínio é o
intervalo [0,1]
13
Considere o experimento que consiste no
lançamento independente de uma moeda duas vezes.
Seja a v.a. X: nº de caras obtidas. Encontre a f.d.a. da
v.a. X.
 
 
 
2 s ,1
21 se ,75,0
10 se ,25,0
0 e ,0
 )()( 




==
xe
x
x
xs
xXPxF
Gráficar !
Exemplo 3
14
No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de
mulheres na comissão.
 3 s ,1 
32 se ,975,0
 21 se ,684,0
10 se ,203,0
0 e ,0
 )(





=
xe
x
x
x
xs
xF
Gráficar !
a f.d.a. de X será dada por
Exemplo 4
15
Da relação anterior se estamos interessados na
probabilidade de se ter até duas mulheres na
comissão a resposta é imediata:
975,0)2()2( == XPF
0 1 32
0.203
0.684
0.975
1
x
F(x)
16
Função de Distribuição Acumulada
Exemplo: 
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
1 2 3
1/8
1/2
7/8
1
Se x < 0: P(X≤x) = 0
Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8
Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
17
Função de Distribuição Acumulada
Roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
18
●Função de Distribuição Acumulada
Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta 
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
19
●Função de Distribuição Acumulada
Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta 
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
20
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)
Qual é o valor médio da soma dos pontos no
lançamento de dois dados?
Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, assumindo os
valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médio ou
valor esperado ou esperança matemática de X o valor
No exemplo,
E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) + ... + 11. (2/36) + 12. (1/36)
= 252/36 = 7
ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento
dos dois dados é 7.
 E(X) μ =Notação:

=
===++==
n
1i
iinn11 )x.P(Xx)x.P(Xx...)x.P(Xx E(X)
21
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)
O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14
mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três
membros do departamento.
(a) Determine a distribuição de Probabilidade.
(b) Qual é a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?
Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
22
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou
seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,
Da relação acima, segue que
.Var(X)DP(X) =
Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada 
positiva da variância, isto é, 
Notação: Var(X).σ2 =
Notação: DP(X).σ =
)xP(X .E(X)] - [x Var(X) i
n
1i
2
i == 
=
.[E(X)] – )E(X Var(X)
22
=
23
83.,5
36
210
36
1
7)-(12
36
2
7)-(11...
36
2
7)-(3
36
1
7)-(2Var(X)
2222
==
.+.++.+.=
No exemplo,
83,54
36
1974
36
1
12
36
2
11...
36
2
3
36
1
2)E(X
22222
==
.+.++.+.=
Alternativamente, poderíamos calcular
e, portanto, Var(X) = 54,83 – 7
2
= 5,83.
24
1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
e
Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).
2) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então
E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).
Propriedades:
Se X1, X2, ..., Xn são independentes, então
Var(X1 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn).
25
Propriedades da Média
1) A média de uma constante é a própria constante: E(K) = K.
2) Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica
multiplicada por essa constante: E(KX) = KE(X).
3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou
diferença das médias: E(X  Y) = E(X)  E(Y).
4) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média
fica somada ou subtraída da mesma constante: E(X  K) = E(X)  K.
5) A média de uma variável aleatória centrada é zero: E(X - x) = E(X) - E(x)
= x - x = 0.
6) A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto
das médias: E(XY) = E(X).E(Y).
26
Propriedades da Variância
27
V(aX ± bY) = a2V(X) + b2V(Y) ± 2abCov(X,Y)
Exercícios
28
Exercícios
29
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Existem casos em que há interesse por dois resultados simultâneos. Por exemplo,
estatura H e peso P de pessoas. Para tanto, precisa-se da seguinte definição:
Sejam: E um experimento aleatório e S o espaço amostra, associado a E.
Sejam: X = X(s) e Y = Y(s), duas funções, cada uma associandoum número real a cada
resultado s  S, denomina-se (X, Y) uma variável aleatória bidimensional, que pode
ser discreta ou contínua.
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional
discreta. A Função de Probabilidade é uma
função que associa um número p(xi, yj)
representado por P (X = xi, Y = yj) satisfazendo
as condições:
•p(xi, yj) ≥ 0


=

=
=
1 1
1),(
j i
ji yxp
Como no caso da variável unidimensional, a 
distribuição poderá ser representado por uma 
tabela, gráfico ou fórmula.
30
Função de probabilidade conjunta da VA (X, Y)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Tem 
Cancro
Não tem 
Cancro
Fumador 0,5 0,2 0,7
Não 
Fumador
0,1 0,2 0,3
0,6 0,4 1
X
Y
Fu
n
çã
o
 d
e 
p
ro
b
ab
ili
d
ad
e 
m
ar
gi
n
al
 d
e 
X
Função de probabilidade marginal de Y
31
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y
x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
a) Achar as distribuições marginais de X e Y;
b) Calcular E(X), E(Y) e E(XY);
c) Calcular DP(x) e DP(y);
d) Calcular COV(XY);
e) Calcular coeficiente e correlação entre X e Y.
32
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
a) Determinar as distribuições marginais de X e Y;
33
Distribuição Marginal de X:
Distribuição Marginal de Y:
X -2 -1 4 5
P(X) 0,1+ 0,2 = 0,3 0,2 + 0,1 = 0,3 0,0 + 0,1 = 0,1 0,3 + 0,0 = 0,3
Y 1 2
P(Y) 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,3 = 0,5 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,0 = 0,5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
b) Calcular E(X), E(Y) e E(X,Y);
34
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00Seja E(X)
Seja E(Y)
Seja E(X,Y)
X -2 -1 4 5
P(X) 0,1+ 0,2 = 0,3 0,2 + 0,1 = 0,3 0,0 + 0,1 = 0,1 0,3 + 0,0 = 0,3
Y 1 2
P(Y) 0,1+ 0,2 + 0,0 + 0,3 = 0,5 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,0 = 0,5
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
c) Calcular DP(x) e DP(y);
35
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
Calcular DP(x):
Para Calcular DP(y), temos que primeiro determinar VAR(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 : 
1- Calcular VAR(x) = E(X2) – [E(X)]2 :
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
d) Calcular COV(X,Y);
36
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
O valor da COV(X,Y) = -0,6 indica que existe relação inversamente proporcional entre X 
e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y decresce; e assim sucessivamente. 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS BIDIMENSIONAIS
e) Calcular coeficiente e correlação entre X e Y.
37
Considere a seguinte distribuição conjunta de X e Y: x 
y -2 -1 4 5
1 0,10 0,20 0,00 0,30
2 0,20 0,10 0,10 0,00
Portanto, como o valor de rx,y = -0,38 indica que existe uma correlação negativa fraca
entre X e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y decresce; e assim sucessivamente.
1) O coeficiente de correlação pode variar em
termos de valor de -1 a +1. Quanto maior for o
valor absoluto do coeficiente, mais forte é a
relação entre as variáveis.
2) Dancey e Reidy (2005) apontam a
seguinte classificação para o coeficiente
de correlação: r = 0,10 até 0,39 (fraco);
r = 0,40 até 0,6 (moderado); r = 0,61 até
1 (forte).
DANCEY, Christine & REIDY, John. (2006). Estatística Sem Matemática para Psicologia:
Usando SPSS para Windows. Porto Alegre: Artmed.
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Uniforme Discreto
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por
x1, x2...,xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma
probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por
Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um
dado, e estamos interessados na v.a. X: No da face obtida. Neste caso
todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e,
assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente
entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. :
Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta
contrario caso 0,
k.1,2,...,i 1/k,
)xP(X i
=
==
X 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
38
Notação: X~Ud(x1,..,xk)
Se X~Ud(x1,..,xk), pode-se mostrar que:

=
=
k
i
ix
k
XE
1
1
)(


=
=−=
k
i
n
i
i
i
k
x
x
k
XVar
1
2
12 }
)(
{
1
)(
No exemplo 5, temos que:
5,3)654321(
6
1
)( =+++++=XE
9,2}6/21)362516941{(
6
1
)( 2 =−+++++=XVar
Obter a f.d.a. !
39
2. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
40
Distribuição de uma v.a. de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo
a função de probabilidade é dada por:
x
P(X=x)
0 1
1-p p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao
modelo Binomial.


 =−
===
−
cc
xpp
xXPxf
xx
.;0
1,0;)1(
)()(
1
41
3. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.
 Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3 
FFF (1-p)
3 
0 0 0 0 
FFS (1-p)
2
p 0 0 1 1 
FSF (1-p)
2
p 0 1 0 1 
SFF (1-p)
2
p 1 0 0 1 
FSS (1-p)p
2 
0 1 1 2 
SFS (1-p)p
2
 1 0 1 2 
SSF (1-p)p
2
 1 1 0 2 
SSS P
3 
1 1 1 3 
 
42
3
2
2
3
})({)3(
)1(3}),,({)2(
)1(3}),,({)1(
)1(})({)0(
pSSSPXP
ppSSFSFSFSSPXP
ppSFFFSFFFSPXP
pFFFPXP
===
−===
−===
−===
Daí temos que:
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
3223 )1(3)1(3)1()()(
3210
ppppppxXPxf
x
−−−==
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
)!3(!
!33
.,0
3,2,1,0,)1(
3
)(
3
xxx
onde
cc
xpp
xxf
xx
−
=










=−





=
−
43
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a
mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número
total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável
aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada
por:
Binomial. ecoeficient o representa,
)!(!
!
.,0
,,1,0,)1(
)(
xnx
n
x
n
onde
cc
nxpp
x
n
xf
xnx
−
=










=−





=
− 
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
44
0 2 4 6 8
0
.0
0
.2
0
.4
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 2 4 6 8
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
450 5 10 15 20
0
.0
0
0
.2
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 5 10 15 20
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
46
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,1
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,3
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
0
x
P
(X
=
x
)
p=0,5
0 10 20 30
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
47
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões, cada uma com 5 alternativas. Suponha
que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova vão as aulas e não
estudaram para a prova (o que é muito frequente). O professor estabeleceu
que para aprovar deve contestar corretamente pelo menos 6 questões. Qual a
probabilidade de um aluno aprovar?.
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde 
independentemente a questão
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).





=

















=
−
cc
x
xxf
xx
.,0
10,,1,0,
5
4
5
110
)(
10

A probabilidade de um aluno aprovar é: 0,00636
006369,0)6(1)6( =−= XPXP
Exemplo 2.
48
Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna
consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se
obter 5 bolas brancas.
Exemplo 3.
S: “obter uma bola branca em cada extração”
F:” obter uma bola preta em cada extração”
A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado 
são independentes em cada extração.
Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12 
extrações da urna. Então o evento de interesse é: 
P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7).





=

















=
−
cc
x
xxf
xx
.,0
12,,1,0,
7
3
7
412
)(
12

0.12)5()5( === XPf
A probabilidade de obter 5 bolas brancas é:
49
DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL
É uma generalização da Binomial. Assim, considere a possibilidade 
de k alternativas, isto é, repartirmos o espaço amostral em k 
eventos A1, A2, ... ,An, mutuamente exclusivos com probabilidade de 
que A1 ocorra X1 vezes, A2 ocorra X2 vezes, ... , An ocorra Xn vezes, é 
igual a:
nx
n
xx
n
n ppp
XXX
n
XXXP ....
!!...!
!
),...,,( 21 21
21
21 =
50
Distribuição Multinomial
UM DADO É LANÇADO 10 VEZES. QUAL É A PROBABILIDADE DE TEREM
APARECIDO DUAS VEZES O Nº 2, DUAS VEZES O Nº 5, TRÊS VEZES O Nº 1 E
UMA VEZ OS DEMAIS RESULTADOS?
AS LÂMPADAS COLORIDAS PRODUZIDAS POR UMA FÁBRICA SÃO 60%
VERDES, 30% AZUIS E 10% AMARELAS. EM 5 LÂMPADAS, ENCONTRE A
PROBABILIDADE DE QUE 2 SEJAM VERDES, 1 AZUL E 2 AMARELAS.
51
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA
a. UMA TENTATIVA É REPETIDA ATÉ QUE O SUCESSO OCORRA;
b. AS TENTATIVAS REPETIDAS SÃO INDEPENDENTES UMAS DAS
OUTRAS;
c. A PROBABILIDADE DE SUCESSO P É CONSTANTE PARA CADA
TENTATIVA.
A PROBABILIDADE DE QUE O PRIMEIRO SUCESSO OCORRERÁ NA
TENTATIVA NÚMERO “K” É: 1)( −== kpqkxP
52
E(X) = (1-p)/p
VAR(X) = (1-p)/p2
Distribuição GEOMÉTRICA
POR EXPERIÊNCIA, VOCÊ SABE QUE A PROBABILIDADE DE QUE IRÁ CONSEGUIR
UMA VENDA EM QUALQUER CHAMADA TELEFÔNICA DADA É DE 0,23. OBTENHA A
PROBABILIDADE DE QUE SUA PRIMEIRA VENDA EM UM DADO DIA OCORRA NA
QUARTA OU NA QUINTA CHAMADA TELEFÔNICA.
UM FABRICANTE DE CEREAIS COLOCOU UMA PEÇA PREMIADA NAS
EMBALAGENS DE SEU PRODUTO. A PROBABILIDADE DE GANHAR UM PRÊMIO É
DE UM PARA QUATRO. DETERMINE A PROBABILIDADE DE QUE VOCÊ:
53
4. Modelo Hipergeométrico
Suponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma
classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos
(fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser
consideradas as classes: M artigos defeituosos e (N-M) artigos não
defeituosos.
Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é
sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com
a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de
probabilidade da v.a. X, é dada por:








=












−
−






=
cc
Mnx
n
N
xn
MN
x
M
xf X
.,0
),min(,0,
)(

Notação, X~H(N,M, n), para indicar que v.a. X tem distribuição
Hipergeométrica parâmetros N, M e n.
N
M
p
N
nN
pnpXVarnpXE =
−
−
−== com ),
1
)(1()( ,)(
54
Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N).
Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram
fabricados pela indústria B e as outras pela indústria A. Foram sorteadas
aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4
sejam da indústria A?
Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8).
Utilizando a Binomial, temos que a probabilidade de sucesso é peça da
fábrica A é p = 60/100 = 0,6 e n = 8, então, X~B(8, 60/100). Solucionamos da
seguinte forma:
( ) ( ) .2322,04,06,0
4
8
)4(
44
=





==XP
55
Exemplo 3.
Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba são
recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte plano de
amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra aleatória de 10
unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, no máximo, um
defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é defeituoso. Qual é
probabilidade que seja aceito o lote?
X: Número de defeituosos na amostra
 X~H(100,95,10)
56
5. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto.
2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado de
SP
3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa
num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.).
5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
57
Onde: k: número de eventos discretos em t unidades de medida,
: média de eventos discretos em uma unidade de medida,
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro  se sua
função de probabilidade é dada por:
Distribuição de uma v.a. Poisson
58
0 40 80
0
.0
0
0
.1
5
x
P
(X
=
x
)
P(4)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
8
x
P
(X
=
x
)
P(10)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
6
x
P
(X
=
x
)
P(20)
0 40 80
0
.0
0
0
.0
4
x
P
(X
=
x
)
P(50)
59
Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte
recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos.
a) Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um
intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa
em 2 minutos, então, necessitamos utilizar uma regra de três simples para
determinar o novo valor do parâmetro x
.Assim, temos que x = 1,5 chamadas
em 2 minutos. Portanto,
60
a) Qual é a probabilidade que a central recepcione mais de 2 chamadas em um
intervalo de 2 minutos?
61
UM FÁBRICA DE PNEUS VERIFICOU QUE AO TESTAR SEUS PNEUS NAS
PISTAS, HAVIA EM MÉDIA UM ESTOURO A CADA 5.000 KM.
Seja  = um estouro de pneu a cada 5000 Km.
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli é
dada por:
.,,0,)1()( nxpp
x
n
xXP xnx =−





== −
Se =np,  p=/n, substituindo p na função probabilidade temos
x
n
xxnx
n
n
xn
x
nnnnx
n
xXP






−






−





 +
−





−





−=





−











==
−



1
1
!
1
1
2
1
1
11)( 
!
)(,
x
e
xXPtemosnFazendo
x −
==→
62
Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de
uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,
X~B(400,0,001)
( ) ( ) =





=
=
−
6
0
400
.8894,0999,0001,0
4000
)6(
x
xx
x
XP
Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)

=
−
==
6
0
4
.889,0
!
4
)6(
x
x
x
e
XP
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
63
Teorema: Se 
n
XX ,,
1
 são variáveis aleatórias independentes, com 
distribuição de Poisson com parâmetros, 
n
 ,,
1
 , respectivamente, 
então a variável aleatória, 
n
XXY +=
1
 
tem distribuição de Poisson com parâmetro, 
n
 +=
1
. 
Exemplo 6. Em uma fábrica foram registradas em três semanas a média de
acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de
Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?
Seja a variável aleatória, 
i
X : número de acidentes na i-ésima 
semana, i=1,2,3. )(~
ii
PX  , então, a v.a. , 321 XXXY ++= tem distribuição 
de Poisson com parâmetro, 65,125,2 =++= .(y~P(6)) 
1339,0
!4
6
)4(
46
===
−e
YP
A DISTRIBUIÇÃO POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
64