AULA 9 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
CONTÍNUAS E SEUS PRINCIPAIS 
MODELOS
1
Variável Aleatória Contínua:
• Associamos probabilidades a intervalos de valores da variável.
• Assume valores num intervalo de números reais.
• Não é possível listar, individualmente, todos os possíveis 
valores de uma v.a. contínua.
1 2 3 4 5 6 x
P(X=x)
Variável 
aleatória 
discreta (f.p.)
Infinitos valores de X
Variável aleatória 
contínua (funcão 
densidade de 
probabilidade,f.d.p.)
f(x)
2
(i) A área sob a curva de densidade é 1, isto é,
(ii) f(x)  0, para todo x;
(iii) P(a  X  b) = área sob a curva da densidade f(x) e
acima do eixo x, entre os pontos a e b;
(iv) P(X = x0) = 0, para x0 fixo.
Propriedades dos Modelos Contínuos
Assim,
P(a < X < b) = P(a  X < b)
= P(a < X  b) = P(a  X  b)= dxxf
b
a
 )(
1)( = dxxf
R
Uma v.a. X contínua é caracterizada por sua função
densidade de probabilidade f(x) (f.d.p) com as propriedades:
3
MÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. continuas)
Valor Esperado (média): Dada a v. a. X, o valor esperado
ou esperança matemática de X é dada por
 E ( X ) μ =Notação:
dxxxf

= )( E(X)
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou seja,
222 ))(()()() - (x Var(X) XEXEdxxf −== 


 (X )V 2 a r=Notação:
4
Propriedades dos Modelos Contínuos
EXERCÍCIO 2: UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA TEM A SEGUINTE F.D.P:



 
=
valoresoutrosqualquerpara
xparakx
xf
,0
10,
)(
2
(A) DETERMINE K;
5
(A) INDIQUE f(X) E ESBOCE SEU GRÁFICO.
K = 3
EXEMPLO 1: SEJA X UMA VARIÁVEL CONTÍNUA COM A SEGUINTE F.D.P.,
ENCONTRE: (A) ESBOCE SEU GRÁFICO;



 
=
valoresoutrosqualquerpara
xparax
xf
,0
10,2
)(
6
(B) QUAL SERÁ O RESULTADO DE P (1/4 < X < 3/4)?
(C) QUAL SERÁ O RESULTADO DE P (2/3 < X < 3/2)?
Propriedades dos Modelos Contínuos
EXEMPLO 3: SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTÍNUA COM A SEGUINTE FUNÇÃO
DENSIDADE:



 
=
valoresoutrosqualquerpara
xparax
xf
,0
10,3
)(
2
CALCULAR: E(X).
7
Propriedades dos Modelos Contínuos
EXEMPLO 3: SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTÍNUA COM A SEGUINTE FUNÇÃO
DENSIDADE:



 
=
valoresoutrosqualquerpara
xparax
xf
,0
10,3
)(
2
CALCULAR: VAR (X) E DP(X).
8
DP(X) = RAIZ(0,0375) = 0,1936 
Propriedades dos Modelos Contínuos
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Seja (x, y) uma variável aleatória bidimensional
contínua. Diz-se que f(x, y) é uma função
densidade de probabilidade conjunta se:
1) f (x, y) ≥ 0.
2)
 

−

−
=1),( dxdyyxf
9
Propriedades dos Modelos Contínuos


−
= dyyxfxg ),()(


−
= dxyxfyh ),()(
→ função densidade marginal de x.
→ função densidade marginal de y.
 

−

−
dxdyyxfyx ),(
10
Covariância – É o grau de dispersão conjunta entre
duas variáveis aleatórias → COV (X,Y) = E(X,Y) – E(X)*
E(Y), onde E(XY) =
Propriedades dos Modelos Contínuos
x y
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•DETERMINAR AS FUNÇÕES DENSIDADES MARGINAIS DE X E Y;
•CALCULAR E(X) E E(Y);
•CALCULAR
•CALCULAR P(0,5  X  0,75);
•CALCULAR A COVARIÂNCIA ENTRE X E Y.
11
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•DETERMINAR AS FUNÇÕES DENSIDADES MARGINAIS DE X E Y;
12
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•CALCULAR E(X) E E(Y)
13
x y
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•CALCULAR
14
DP(X) = RAIZ(0,3764) = 0,6135 
x y
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•CALCULAR
15
DP(X) = RAIZ(0,3764) = 0,6135 
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•CALCULAR P(0,5  X  0,75);
16
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE 
FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, 
Y):
•CALCULAR P(0,5  X  0,75);
OUTRA MANEIRA DE
RESOLVER?
17
EXEMPLO 4: DADA A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA (X, Y):
•CALCULAR A COVARIÂNCIA ENTRE X E Y.
18
COV(X,Y) = E(X,Y) – E(X)*E(Y) 
19
20
COV(X,Y) = E(X,Y) – E(X)*E(Y) = 0,5 – [0,4167*0,4167] = 0,32636 
O valor da COV(X,Y) = 0,32636 indica que existe relação diretamente proporcional
entre X e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y cresce; e assim sucessivamente.
CALCULAR COEFICIENTE E CORRELAÇÃO ENTRE X e Y.
Portanto, como o valor de rx,y = 0,8671 indica que existe uma correlação positiva forte
entre X e Y, ou seja, enquanto X cresce, Y cresce; e assim sucessivamente.
O coeficiente de correlação pode variar em termos de valor de -1 a +1. Quanto maior for
o valor absoluto do coeficiente, mais forte é a relação entre as variáveis.
DANCEY, Christine & REIDY, John. (2006). Estatística Sem Matemática para Psicologia:
Usando SPSS para Windows. Porto Alegre: Artmed.
Dancey e Reidy (2005) apontam a seguinte classificação para o coeficiente de correlação:
r = 0,10 até 0,39 (fraco); r = 0,40 até 0,6 (moderado); r = 0,61 até 1 (forte).
1. Modelo Uniforme
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme com
parâmetros  e  se sua função de densidade de probabilidade é dada
por:





−=
cc
x
xf
.,0
,
1
)(


( )
12
)(,
2
)(
2
 −
=
+
= XVarXE








−
−

=




x
x
x
x
xF
1
00
)(
A função de distribuição acumulada é dado por:
Notação: X~U( , ))
21
Exemplo: A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como
sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da
escala Rockwel. Qual é a probabilidade de que uma peça tenha
dureza entre 55 e 60?





=
cc
x
xf
.,0
7050,
20
1
)(
Solução: Seja X: dureza de uma peça de aço, X~U(50,70)
20
5
20
1
)6055(
60
55
==  dxXP
Portanto,
60
2
5070
)( =
+
== XE
Também,
3,33
12
)5070( 22 =
−
=
22
A DELTA AIRLINES APRESENTA UM TEMPO DE VÔO DE 2 HORAS E 5 MINUTOS PARA
SUES VÔOS DE CINCINNATI A TAMPA. SUPONHA QUE ACREDITAMOS QUE OS
TEMPOS DE VÔO REAIS SEJAM UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDOS ENTRE 2 HORAS E
2,5 HORAS.
23
Distribuição Exponencial
É muito útil para descrever o tempo que se leva para
completar uma tarefa. Exemplo:
– O tempo para carregar um caminhão
considerando que em média gasta-se 15
minutos para realizar esta tarefa.
Outras situações típicas:
– Tempo de chegadas de pacotes em um
roteador, tempo de vida de aparelhos, tempo de
espera em restaurantes, caixas de banco, etc.
Parâmetro: média (ex: tempo médio) ou valor esperado.
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição exponencial com
parâmetro , se sua função de densidade é dado por
2. MODELO EXPONENCIAL




=
−
cc
xexf
x
.,0
0,
1
)(


Notação: X~Ex().
A função de distribuição acumulada é dado por:




−=
−
cc
xexF
x
.0
0,1)(

Pode-se mostrar:
2)(,)(  == XVarXE
25
2. MODELO EXPONENCIAL

t
ettP
−
= )( 0

t
ettP
−
−= 1)( 0
Exemplo: Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma
distribuição exponencial com tempo médio de vida de 100 horas.
Solução: Se X: tempo de duração de uma peça, do enunciado tem-se
que: E(X)=100 horas e X~Ex(100). Ou seja,
223,0)1(1)150(1)150()( 5,1100
150
==−−=−= −
−
eeXPXPa




−=
−
cc
xexF
x
.0
0,1)(
100
27
Qual é a probabilidade de uma durar menos de 160 horas?
Qual é a probabilidade de uma durar mais de 150 horas?
Exemplo 2:
Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson
com média de um defeito a cada 400m. Qual a probabilidade
de que o intervalo entre os dois defeitos consecutivos seja
entre 800m e 1000m?
, logo e t= 4001 = 4001=
)1000t(P)800t(P)1000t800(P −=
OS DEFEITOS DE UM TECIDO SEGUEM A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COM
MÉDIA DE UM DEFEITO A CADA 400 M. QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O
INTERVALO ENTRE DOIS DEFEITOS CONSECUTIVOS SEJA:
29
A) NO MÍNIMO DE 1.000 M; 
B) CALCULE A MÉDIA E DESVIO PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO.
2) UMA LÂMPADA TEM A DURAÇÃO DE ACORDO COM A DENSIDADE DE PROBABILIDADE
A SEGUIR:







= −
0,
1000
1
0,0
)(
1000
1
te
t
tf
DETERMINAR:
A) A PROBABILIDADE DE QUE UMA LÂMPADA QUALQUER QUEIME ANTES DE 1000
HORAS;
B) A PROBABILIDADE DE QUE UMA LÂMPADA QUALQUERQUEIME DEPOIS DE SUA
DURAÇÃO MÉDIA;
C) QUAL É O DESVIO PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO.
4. Modelo Normal
Exemplo : Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas 
selecionadas ao acaso em uma população. 
O histograma por densidade é o seguinte:
30 40 50 60 70 80 90 100
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
Peso
D
e
n
s
id
a
d
e
30
- a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em 
torno de 70kg;
A análise do histograma indica que:
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg 
(1,2%) e acima de 92kg (1%).
31
Vamos definir a variável aleatória
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, 
qual a distribuição de probabilidades de X ?
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta 
escolhida ao acaso da população.
30 40 50 60 70 80 90 100
0.000
0.015
0.030
P eso
D
e
n
s
id
a
d
e
 
32
A distribuição Normal é uma das mais importantes
distribuições contínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma
próxima a essa distribuição. Exemplos:
1. altura
2. pressão sanguínea
3. etc.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,
probabilidades para outras distribuições, como por exemplo,
para a distribuição Binomial.
33
O Modelo Normal
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal com média
  e variância , se sua função de densidade é dada por:2
Rxexf
x
=





 −
−
,
2
1
)(
2



).,(~: 2NXNotação
34
Distribuições normais
com médias diferentes e
variâncias iguais.
Distribuições normais
com médias iguais e
variâncias diferentes
35
Propriedades da distribuição normal
2)(,)()(  == XVarXEa
(b) A distribuição é simétrica ao redor de sua média.
(c) A área total sob curva é igual a um portanto, cada metade da curva
tem 0,5 da área total.
(d)
9973,0)33(
9546,0)22(
6896,0)(
=+−
=+−
=+−



XP
XP
XP
36
dt
t
xF
x

−













 −
−=
2
2
1
exp
2
1
)(



A função de distribuição acumulada de uma v.a ).,(~ 2NX
37
Distribuição normal padrão ou reduzida
Se Z é uma variável aleatória normal com média zero e variância um,
então Z é chamado de uma v.a. normal padrão ou reduzida e sua f.d.p
é dada por:
Rzezf
z
=
−
,
2
1
)( 2
2

A função de distribuição acumulada de uma v.a Z~N(0,1) d
dttzZPz
z
)5,0exp(
2
1
)()( 2−== 
− 
38
Uso da Tabela Normal
dttzZPz
z
)5,0exp(
2
1
)()( 2−== 
− 
Observação:
RbaabbZaPiii
zzZPzZzPii
zzzZPzzZPi
−=
−=−=−
−=−=−=−
,),()()()(
1)(21)(2)()(
0),(1)(1)()()(
39
Teorema (Transformação linear de uma variável normal)
Se X é uma v.a. normal com média  e variância 
2, então a variável aleatória Y=a+bX tem 
distribuição normal com média y =a+b e 
variância 222  b
Y
= . 
 
Uma conseqüência do teorema anterior é a variável
)1,0(~ N
X
Z 




 −
=


40
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
Distribuição Normal Padrão
( 2,17) ?P Z  =
( 2,17) 0,0150P Z  =
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 z
( )P Z z
41
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0-1,33
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120100
X
0,0918
P (X < 100) =  N (120, 152)
N (0, 1)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,00150,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(a)Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame
antes de 100 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
P (X < 100) = 0,0918 ou 9,18%
Intervalo de Confiança para 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 0,67
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120 130
X
0,2514
P (X > 130) =  N (120, 152)
N (0, 1)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(b) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame
após de 130 minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular.
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
P (X > 130) = 0,2514 ou 25,14%
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 0,53
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120 128
X
0,2981
P (115 < X < 128) = 
N (120, 152)
N (0, 1)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(c) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame
entre 115 e 128 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular.
115
-0,33
P (115 < X < 128) = 0,3707 + 0,2981 = 
0,6688 ou 66, 88%
0,3707
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para Intervalo de Confiança para 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 0,6
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120 129
X
0,5 - 0,2743 = 0,2257
P (123 < X < 129) = 
N (120, 152)
N (0, 1)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,05591,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(d) Sorteando-se um aluno ao acaso, qual é probabilidade dele terminar o exame
entre 123 e 129 minutos? X: tempo gasto no exame vestibular.
123
0,2
P (115 < X < 128) = 0,2257 - 0,0793 = 
0,1464 ou 14,64%
0,5 - 0,4207 = 0,0793
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
46
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(e) Qual deve ser o tempo de prova de modo que permita que 95% dos
vestibulandos terminem no prazo estipulado?
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120 144,675
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 Z = (1,64 +1,65)/2 = 
1,645 
X
P (X < x) = 0,95
N (0, 1)
N (120, 152)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
0,050,95
47
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +120 139,2
Z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0 Z = 1,28
X
P (x1< X < x2) = 0,8
N (0, 1)
N (120, 152)
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
100,8
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20
- +0 z
0,100,8
O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição normal
com média 120 minutos e desvio padrão 15 minutos.
(f) Qual o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para
completar o exame?
0,10
0,40 0,40
Z = -1,28
Teorema( Combinação Linear de variáveis aleatórias normais)
Sejam nXX ,,1  , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(i, i
2), para 
i=1,...,n. Sejam naa ,,1  constantes reais. Seja a variável aleatória Y uma 
combinação linear das variáveis aleatórias normais. Isto é 
 
nn XaXaY ++= 11
Então a variável aleatória Y tem distribuição normal com média
i
n
i
innY aaa  
=
=++=
1
11 
e variância
2
1
2222
1
2
1
2
i
n
i
inn aaaY  
=
=++= 
48
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e 5 xícaras. Os
pesos dos pires distribuem-se normalmente com média de 190 g e
desvio padrão 100 g. Os pesosdas xícaras também são normais com
média 170 g e desvio padrão 12,25 g. O peso da embalagem é
praticamente constante e igual a 100 g.
(a) Qual é a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
completa. caixa da peso :C
embalagem; da peso:E
 xícara;ésima-i do peso :X
pires; ésimo-i do peso:
i
iP
Solução. Sejam,

==
++=++++++++=
5
1
5
1
521521
i
i
i
i
xícarasdaspesopiresdospeso
EXPEXXXPPPC
  

  

49
Tem-se interesse: P(C < 2000)=? Do problema temos:
5,,1)25,12,170(~),10,190(~ 22 =iNXNP ii
Do teorema anterior C distribui-se normalmente com média
g
EXEPE
i
i
i
iC
190010017051905
)()(
5
1
5
1
=++=
++= 
==

222
5
1
5
1
2
1250025,125105
)()()(
g
EVarXVarPVar
i
i
i
iC
=++=
=++= 
==

e variância
0,997673)83,2(
1250
19002000
)2000(
==
=




 −
=
ZP
ZPCP
50
(b) Qual é a probabilidade de uma xícara pesar mais que um pires
numa escolha ao acaso?
Seja X: peso de uma xícara; P: peso de um pires. P(X > P)=P(X – P >0)=?
.25025,1210
;20190170
);(~
22222
2
=+=+=
−=−=−=
−=
PXY
PXY
YY
onde
NPXYSeja



Logo,
0,103835.
0,8961651)26,1(1
250
)20(0
1
)0(1)0(
=
−=−=





 −−
−=
−=
ZP
ZP
YPYP
51
Corolário (Propriedade reprodutiva da distribuição normal)
Sejam nXX ,,1  , n variáveis aleatórias independentes onde Xi ~N(, 
2), para 
i=1,...,n. Então a variável aleatória 
 

=
=++=
n
i
in XXXY
1
1 
tem distribuição normal com média n e variância ),(~ é, isto , 22  nnNYn
).1,0(~
/
1 N
n
X
n
nX
Y
n
i
i




−
=
−
=

=
Exemplo: o peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal
com média de 65 kg e desvio padrão de 4 kg. Um carregamento de 120
caixas de peças é feito. Qual é a probabilidade que a carga pesar
entre 7.893 kg e 7.910 kg?
52
120,,1),16,65(~caixa ésima-i da peso : = iNXX ii
)1920,7800(~
)16120,65120(~carga da peso :
120
1
NY
NXYY
i
i = 
=
010966,0482997,0493963,0
)12,2()51,2()51,212,2(
1920
78007910
1920
78007893
)79107893(
=−=
−==





 −

−
=
ZP
ZPYP
53
Exemplo: Estudo do Sindicato de Bancários indica que cerca de 30%
dos funcionários de banco têm problemas de estresse, provenientes
das condições de trabalho. Numa amostra de 200 bancários, qual seria
a probabilidade de pelo menos 50 com essa doença?
)3,0 ,200(~problema o com bancários de N : o BXX 
948,0)7,0()3,0)(
200
()50(
200
50
200 == 
=
−
k
kk
k
XP
Resultado muito trabalhos: 151 termos para somar
A aproximação pela Normal é baseada no Teorema Limite Central. Em 
geral quanto mais simétrica for a f.p. da Binomial, melhor será a 
aproximacão.
Aproximação da Binomial pela Normal
54
Distribuição Binomial n = 10 p = 0,2
55
Distribuição Binomial n = 20 p = 0,2
56
Distribuição Binomial n = 50 p = 0,2
Para p fixado, a medida que n cresce, os 
histogramas vão se tornando mais simétricos e 
com a forma da curva Normal. Tal aproximação 
será mais rápida para 5.0p
57
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 1 2 3
3
0,2
n
p
=
=
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Aproximação da Binomial à Normal 
1
n
i
i
Y X
=
=  onde cada Xi tem distribuição Bernoulli (Xi: {0, 1}) com  = p e 2 = pq
Se Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p:
Então, se n for grande, pelo TLC, Y tende a uma Normal, ou seja,
~ (?,?)Y N
( ) ?
( ) ?
E Y
Var Y
=
=
( )
( )
E Y np
Var Y npq
=
=
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
15
0,4
n
p
=
=
100
0,4
n
p
=
=
~ ( , )Y N np npq
58
OBS: Se p = 0,5, a distribuição 
Binomial é simétrica e, portanto, 
rapidamente converge para 
Normal.
Aproximação da Binomial à Normal 
Exemplo
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). 
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas 
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
2
100 0,4
5
n p= = =
( ) x n x
n
f x p q
x
− =  
 
100
100
( ) 0,4 0,6x xf x
x
− =  
 
51
100
30
100
(30 51) 0,4 0,6x x
x
P X
x
−
=
 
  =  
 
 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
Aproximando-se à Normal...
59
(valor exato)
Aproximação da Binomial à Normal 
2
100 0,4
5
( ) 100*0,4 40
( ) 100*0,4*0,6 24
n p
E X np
Var X npq
= = =
= = =
= = =
~ (40,24)X N
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0 20 40 60 80 100
(30 51) ?P X  =
30
(29,5 51,5) ?P X  = (correção de continuidade)
29,5 40 51,5 40
24 24
P Z
− − 
  = 
 
0,9745
(valor exato para Binomial  0,9752)
60
Pelo TLC:
Exemplo
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). 
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas 
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
( )2,143 2,347P Z−   =
sendo Y ~ N(np ; np(1 – p) ).
Aproximar a distribuição de probabilidades de X pela distribuição 
de probabilidades de uma variável aleatória Y tal que 
Portanto, • P( a  X  b)  P(a  Y  b)
• P( X  a)  P(Y  a)
• P( X  b)  P(Y  b)
X ~ b(n ; p) E(X) = np
Var(X) = np(1 – p)

Y ~ N( y, y
2) com y = n p e y
2 = n p (1 – p).
Idéia Básica
61
Logo temos que , desta forma
938,0)54,1()
42
6050
42
60
()50()50( =−=
−

−
= ZP
Y
PYPXP
)42,60(~ NY
No Exemplo anterior temos que:
42)1()( e 60)( com ),3,0 ,200(~ =−=== pnpXVarnpXEBX
Probabilidade exata = 0,948 (usando a distribuição binomial).
Note que estamos aproximando uma distribuição discreta por uma 
contínua onde as probabilidades pontuais são zero, assim para melhorar 
tal aproximação alguns autores preferem usar a correção de 
continuidade
62
Correção de Continuidade
Para melhorar a aproximação, usamos a correção por continuidade no
cálculo com a Normal como segue:
9478,0)-1.62()
42
605,49
42
60
()5,49()50( ==
−

−
= ZP
Y
PYPXP
9292,0)46.1()
42
605,50
42
60
()5,50()50( =−=
−

−
= ZP
Y
PYPXP
0182,0)
42
605,50
42
60
42
605,49
()5,505,49()50( =
−

−

−
==
Y
PYPXP
Para probabilidade pontuais, criamos um intervalo artificial:
Probabilidade exata = 00190 (usando a distribuição binomial).
63
Exemplo: Um sistema é formado por 100 componentes, cada um dos
quais com confiabilidade (probabilidade de funcionar adequadamente
num certo período) igual a 0,9. Se esses componentes funcionarem de
forma independente um do outro e se o sistema funcionar
adequadamente enquanto pelo menos 87 componentes estiverem
funcionando, qual é a confiabilidade do sistema?
X : número de componentes que funcionam adequadamente dos 100
X ~ b(100; 0,9)
n = 100 p = 0,9
E(X) = np = 1000,9 = 90
Var(X) = np(1 – p) = 100  0,9  0,1 = 9

Confiabilidade do sistema: P(X  87)=??
P(X  87)  P(Y  87)  P(Y  86,5) Y ~ N(90 ; 9)
876976.0)16,1( )16.1()
3
905,86
9
90
( ==−=
−

−
= ZP
Y
P
Probabilidade exata = 0.8761232 (usando a distribuição binomial).
64