Alga_Ficha_ 7_ Recta_Plano_ e_ espaco

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Cursos de Engenharia 
ALGA, Ficha 7 
Recta no plano e no espaço 
 
Exercícios: 
 
RECTA NO PLANO 
 
1. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao vector 

n , onde: 
a) P(3,-1); 

n =(1,2); b) P(1,-1); 

n =(1,-1); c) P(3,1); 

n =(0,2); d) P(-1,2); 

n = (1,0). 
 
2. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela ao vector 

v , onde: 
a) P(3,-1); 

v =(1,2); b) P(1,-1); 

v =(1,-1); c) P(3,1); 

v =(0,2); d) P(-1,2); 

v =(1,0) 
 
3. Escreva a equação da recta que passa por dois pontos P e Q onde: 
a) P(-1,5); Q(2,0); b) P(1,0); Q(0,3); c) P(0,1); Q(0,-5); d) P(2,3); Q(-5,3) 
 
4. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto P e é paralela à recta r: 
a) P(1,-5); r: 2x - y =3; b) P(2,3); 





ty
tx
r
3
21
: ; c) P(0,1); 
3
3
2
1
:


 yx
r ; d) P(2,-1); r: x= 3 
 
5. Determine a equação da recta que passa pelo ponto P e é perpendicular à recta r, onde P e r são 
dados no exercício anterior. 
 
6. Complete: 
a) A recta 
0
1
3
1 

 yx
 é paralela ao eixo .........; b) A recta 





ty
x
32
2
 é paralela ao eixo .........; 
c) A recta 
2
3
0
1 

 yx
 é paralela ao eixo ......... 
7. Determine o ponto da recta r : 





ty
tx
1
3
 que: a) tem de ordenada 5; b) tem de abcissa –8. 
8. O ponto A(0;y) pertence à recta determinada pelos pontos P(1;2) e Q(2;3). Determine o ponto A. 
 
9. Determine o vector direcção, o vector normal, a equação geral, a equação paramétrica, a 
equação canónica e a equação axial da recta que passa por dois pontos A e B sendo: 
a) A(-6,8); B(-1,2); b) A(4,0); B(0,3). 
 
10. Sejam dadas quatro rectas: 2x + 5y –1 = 0; 2x + 3 = 0; 3y – 2 = 0; x – y + 3 = 0. 
a) Construa estas rectas num mesmo sistema de coordenadas; 
b) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção destas rectas, duas a duas. 
 
11. Os lados dum triângulo são dados pelas equações: 4x + 3y – 5 = 0; x = 2 e x – 3y + 10 = 0. 
 a) Determine as coordenadas dos seus vértices; b) Calcule as medidas das suas alturas 
 
12. Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo ABC, sendo: A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5). 
 
13. Sejam A(-2,1) e B(3,-4), dois vértices do triângulo ABC. O ponto H(5,-1) é o ortocentro deste triângulo. 
Determine as coordenadas do vértice C. 
 
14. Determine as coordenadas do centro de gravidade do triângulo ABC se: 
 a) A(-2,0); B(0,2) e C(2,0); b) A(-8,3); B(8,5) e C(8,-5) 
 
 
 
2 
 
15. Calcule a área do paralelogramo ABCD sabendo que: D(6,4); a equação dum lado é: x – 2 y = 0 e a 
equação do lado BC é x – y – 1 = 0. 
 
16. Ache as coordenadas dos vértices do losango ABCD sabendo que: a equação do lado AB é x + 2y = 
4; a equação do lado CD é x + 2y = 10 e que a equação de uma diagonal é y = x + 2. 
 
17. Determine os valores de m e n para os quais as rectas r: mx + 8y + n = 0 e s: 2x + my – 1 = 0 
são: a) Paralelas; b) Perpendiculares; c) Secantes no ponto A(1,-2); d) 
Coincidentes. 
 
18. Determine a distância do ponto A(2,3) às rectas seguintes: a) 3x + 4y = -2; b) y = 2x – 4; 
c) x = 3; d) y = 4; e) 





ty
tx
33
2
; f) 
4
3
2
1 

 yx
. 
 
19. Determine a distância entre duas rectas paralelas r e s, onde: 
a) r : 2x – y = 0; s: 2x – y = 5; b) r: y = x + 3; s: 3x – 3y + 4 = 0; c) r: x = 1; s: x = -5; 
d) r : y = 0; s: 2y = 8; e) r: 





ty
tx
1
2
; s: 





ty
tx
2
21
; f) r: 





ty
tx
1
2
; s : x + 2y = 3 
 
20. Determine as coordenadas do ponto Q que é simétrico ao ponto P(-8,12), em relação: 
a) ao eixo Ox; b) ao eixo Oy; c) à recta x – y = 0; d) à recta 2x + y –1 = 0. 
 
21. Ache as coordenadas do ponto P(-8,12) sobre: a) o eixo OX; b) o eixo OY; c) a recta que passa 
pelos pontos A(2,-3) e B(-5,1); d) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é paralela à recta 4x – 3y 
+ 1 = 0; e) a recta que passa pelo ponto A(-3,4) e é perpendicular à recta 4x – 3y + 1= 0. 
 
22. Ache as equações das bissectrizes de duas rectas : 
a) x – 2y + 1 = 0 e -2x + y = 0; b) –x –2y + 3 = 0 e 2x +3y – 5 = 0. 
 
23. Ache as equações das bissectrizes e as coordenadas do centro da circunferência inscrita no triângulo 
ABC se: a ) A(1,-2); B(-2,-2) e C(-2,2); b) A(1,1); B(1,4) e C(4,1) 
 
24. Escreva a equação axial: a) da recta r : 06
3
2
 xy ; b) da recta s que é simétrica à recta r 
(dada na alínea anterior) em relação ao eixo OY. 
 
25. Sejam A(-6,-2), B(6,7), C(9,3) e D(1,-3), vértices consecutivos de um quadrilátero convexo. Determine 
o ponto de intersecção das suas diagonais. 
 
26. Determine a área do triângulo limitado pela recta 04085  yx e pelos eixos coordenados. 
27. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto F e é perpendicular ao vector )5;2(

n . O ponto F é 
simétrico ao ponto K(3,-4) em relação ao eixo OX. 
 
28. Determine o valor de b para o qual as rectas 
5
4
3
2 

 yx
 e 
30
61 

 y
b
x
 sejam paralelas. 
 
29. Determine o valor de a para o qual as rectas 
a
yx 3
2
3 


 e 
24
4
3



yx
 sejam 
perpendiculares. 
 
30. Pelo ponto de intersecção das rectas 01323  yx e 093  yx foi traçada uma recta r paralela 
à recta 1
54

yx
. Escreva a equação de r. Ache a distância de r à recta 1
54

yx
. 
 
 
3 
 
Respostas: 
 
1. a) x+2y-1=0; b) –x+y+2=0; c) y=1; d) x+1=0; 2.a) 2x-y-7=0; b) x+y=0; c) x=3, d) y=2; 
3. a) 5x+3y-10=0; b) 3x+y-3=0; c) x=0; d) y=3; 4.a) 2x-y-7=0; b) x+2y-8=0; c) 3x+2y-2=0; d) x=2; 
5. a) x+2y+9=0; b) 2x-y-1=0; c) 2x-3y+3=0; d) y=-1; 6. a) OX; b) OY; c) OY; 7. a) P(7;5); b) Q(-
8;-10); 8. A(0;1); 9. a) )6,5( 

v ; )5,6(

n ; 6x+5y-4=0; 





ty
tx
68
56
; 
6
8
5
6



 yx
; 1
5
4
3
2

yx
; 
b) )3,4( 

v ; )4,3(

n ; 3x+4y-12=0; 





ty
tx
3
44
 ; 
34
4


 yx
 ; 1
34

yx
; 
10. b) )
5
4
,
2
3
()032()0152(  xyx ; )
3
2
,
6
7
()023()0152(  yyx ; 
)1,2()03()0152(  yxyx ; )
3
2
,
2
3
()023()032(  yx ; )
2
3
,
2
3
()03()032(  yxx ; 
)
3
2
,
3
7
()03()023(  yxy ; 11. a) A(-1,3); B(2, -1); C(2; 4); b) ;3ah 10
2
3
bh ; 3ch ; 
12. H(7; 3); 13. C(17/5; -13/5); 14. a) G(0; 2/3); b) G(8/3; 1); 15. 2; 
16. A(0,2); B(2,4); C(4,0); D(-2,6) 17. a) 4m e 2n ; 4m e 2n ; b) nm  ,0 ; c) m = 
1/2; n = 31/2; d) m = 4 e n = -2; m = -4 e n =2; 18. a) 4; b) 
5
53
; c) 1; d) 1; e) 
5
103
; f) 
5
54
; 
19. a) 5 ; b) 
6
25
; c) 6; d) 4; e) 5 ; f) 
5
5
; 20. a) (-8,-12); b) (8,12); c) (12,-8); d) (-
4,14); 21. a) (-8,0); b) (0,12); c) (-12,5); d) )
25
168
,
25
24
( , e) )
5
8
,
5
1
( , 22. a) 3x-3y+1=0 e 
x+y-1=0; b) 013355)13253()1352(  yx e 013355)13253()1352(  yx ; 
23. a) x+2y+3=0; 3x+y+4=0; x-y=0; C(-1,-1) ; b) x – y = 0; 025)21(  yx 24 ; 
025)21(  yx ; 












22
25
,
22
25
C ; 24. a) 1
69

yx
; b) 1
69


yx
; 25. I =( 3;1); 26. 20; 
27. 2x+5y-26=0; 28.18; 29. 
4
1
; 30. 5x+4y-23=0; 
41
3
. 
 
RECTA NO ESPAÇO 
 
1. Escreva as equações paramétricas da recta que passa pelo ponto M(-3,2,4) e cujo vector director 
é )3,5,2( 

v . 
 
2. Escreva a equaçãoda recta de intersecção de dois planos )( e )( : 
a) )( : 2x+y+z=0 e )( : 4x-5y+1=0; 
b) )( : 3x+y-z+1=0 e )( é o plano que passa pelo ponto A(1,1,1) e é perpendicular ao vector 
 

n =(2,1,-3) 
c) )( é o plano que passa pelo eixo OX e pelo ponto B(4,-3,-1); )( é o plano que passa pelo 
ponto C(3,2,-7) e é paralelo ao plano XOZ. 
 
3. Escreva a equação da recta r que: 
a) passa por M(2,0,-3) e é paralela ao vector (2,-3,5); 
b) passa por N(2,1,4) e é paralela ao eixo OY; 
c) passa por P(2,1,1) e é paralela à recta z
yx




5
4
3
2
1
; 
d) passa por A(1,2,3) e B(2,1,5); 
e) passa por P(2,-3,5) e é perpendicular ao plano 2x-y+z-1=0. 
 
 
 
4 
 
4. Escreva a equação da recta que passa pelos pontos P(-4,1,-3) e Q(-5,0,3). 
 
5. Sejam dados A(3,6,-7) , B(-5,2,3) e C(4,-7,-2). Escreva : 
a) a equação da mediana partindo de A, do triângulo ABC; b) a equação da linha média que é 
 paralela ao lado BC. 
 
6. Escreva a equação da recta r que passa pelo ponto A e é paralela à recta  , onde: 
a) A (2,3,-5) e  : 





0323
0723
zyx
zyx
; 
b) A(1,1,1) e  : 





04523
0432
zyx
zyx
; c) A(0,1,4) e  : 





01253
0532
zyx
zyx
; 
 
7. Verifique se as duas rectas r e s são paralelas: 
a) r: z
yx





2
1
3
2
 e s: 





085
0
zyx
zyx
; b) r: 








tz
ty
tx
7
2
25
 e s: 





023
023
zyx
zyx
; 
 
8. Ache m para que a recta 





0153
0732
mzyx
zyx
 seja perpendicular à recta 





012
062
zyx
zyx
 
 
9. Demonstre que duas rectas r e s intersectam-se ache o ponto de intersecção: 
a) r: 








64
23
32
tz
ty
tx
; s: 








4
41
5
tz
ty
tx
; b) r: 





026754
0721135
zyx
zyx
; s: 





0663116
010
zyx
yx
 
 
10. Determine o ângulo entre as duas rectas seguintes: 
a) 
2
)2(3
z
yx  e 
2
5
32


z
yx ; b) 





0422
054
zyx
zyx
 e 





01922
0266
zyx
zyx
 
 
11. Na pirâmide triangular MABC, as arestas MA, MB e MC são perpendiculares entre si e medem, 
respectivamente, 4, 3 e 6. O ponto D é o ponto médio de MA. Determine o ângulo entre as rectas CA e 
DB. 
 
12. Escreva a equação da recta que passa pelo ponto A(-1,2,-3) , é perpendicular ao vector )3,2,6( 

a e 
intersecta a recta 
5
3
2
1
3
1





 zyx
. 
 
13. a) Demonstre que as rectas 
4
5
3
2
2
1 




 zyx
 e 








tz
ty
tx
21
22
73
 estão situadas num mesmo plano. 
 
 
Respostas: 
 
1. a) x-2y+6z-31=0; b) 4x+2y-z+3=0; c) 3x+y+9=0; d ) y=0; e) x+2y+3z=0; 
2. 2x+6y-3z-38=0; 3 .a) 

n = (3,2,6) ; b)

n =(1,1,-3); c) 

n =(3,2,0); d) 

n =(4,0,-3); e) 

n =(0,2,0); f) 

n =(0,0,3); 4. a) 6x-6y+7z-4=0; b)4x-y-2z+14=0; 5. 15x-5y-6z-16 =0; 6. a) x-2y-2z-6=0; 
b) x+y+2z-13=0; 7 . a) 4x+8y+z-17=0; b) z=0; 8 . a) 3x-y+2z-7=0; b) –x+y+4z-5=0; c) z=1; d) y=1; 
9. a) 5x-2y-3z=0; b) y-z=0; c) x-y=0; 10. a) 4x+4y-3z-9=0; b) 2x+3y-z+2=0; 
11. a) y+4z+2=0; b) 2x+7y+3z=0; 12. 2y-z=0