Apostila Resmat Básica

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Faculdade de Engenharia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lúcia Schmidt de Andrade Lima 
 
 
 
 
I - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
 
 
1- APRESENTAÇÃO 
 
A construção de uma edificação, ponte, torre, máquina ou até mesmo de qualquer 
artefato requer sempre que seja garantida a estabilidade daquilo que se está 
construindo quando sob a ação das solicitações correspondentes à sua finalidade. 
Assim, uma ponte não deve ruir sob a ação do seu próprio peso ou dos veículos 
que sobre ela trafeguem, uma edificação deve manter-se estável quando sobre ela 
transitam pessoas, se posicionem móveis etc, e assim sucessivamente. 
 
Todos os exemplos mencionados possuem, portanto, elementos que são 
projetados para garantir a estabilidade do conjunto quando em utilização. A este 
conjunto de elementos que têm a finalidade de sustentação de uma obra 
denominamos estrutura. 
 
As estruturas compõem-se de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio 
exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é, capaz de receber 
solicitações externas, absorvê-las internamente e transmití-las até seus apoios, 
onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema estático equilibrante. 
 
O projeto de uma estrutura envolve sempre as seguintes etapas: 
- Projeto geométrico da obra – Arquitetura 
- Definição geométrica da estrutura 
- Definição de materiais 
- Identificação de vínculos internos e externos (apoios) 
- Cálculo dos esforços seccionais na estrutura 
- Verificação da estabilidade dos elementos estruturais (função do material e dos 
esforços atuantes) 
 
A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as estruturas, consistindo 
no estudo dos esforços internos a que elas ficam submetidas quando solicitadas 
por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus apoios etc.) 
 
A Resistência dos Materiais propriamente dita permite a quantificação das 
tensões atuantes nos diferentes pontos e direções da estrutura em função desses 
esforços internos, bem como a verificação da estabilidade da estrutura, que se faz 
comparando-se as tensões nela atuantes à capacidade que o material de que foi 
construída apresenta de resistir a essas tensões, sem que ocorra ruptura ou 
deformação inaceitável nas peças estruturais. 
 
 
 
 
1 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
2- ELEMENTOS DE UMA ESTRUTURA 
 
As peças que compõem uma estrutura são tridimensionais, podendo apresentar 
uma das características a seguir: 
 
a) duas dimensões muito pequenas em relação à terceira. 
É o caso das barras ou hastes. Neste caso, que corresponde ao da maioria 
das estruturas da prática, a maior dimensão é o comprimento da peça, estando 
as duas outras no plano da chamada seção transversal da peça. O estudo 
estático das barras faz-se considerando-as unidimensionais, isto é, 
representadas pelos seus respectivos eixos longitudinais (lugar geométrico dos 
centros de gravidade de suas sucessivas seções transversais). 
Uma barra será reta ou curva conforme seu eixo seja reto ou curvo e uma 
estrutura composta por barras será dita plana ou espacial se os eixos das 
diversas barras que a compõem, respectivamente, estiverem ou não contidos 
em um único plano. 
 
b) Uma dimensão é pequena em relação às outras duas. 
Este é o caso das placas (superfícies planas) e das cascas (superfícies 
curvas). 
 
c) As três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
Neste caso, o elemento estrutural é denominado bloco 
 
O escopo deste curso, dado o seu caráter básico, está limitado ao estudo de 
estruturas compostas por barras. 
 
 
3- CONCEITO DE FORÇA 
 
Pode-se dizer que o conceito de força é intuitivo. Representa uma ação exercida 
sobre um corpo qualquer, ação essa intimamente associada ao movimento de 
translação que possa impor a esse corpo. As forças são grandezas vetoriais, 
caracterizadas, portanto, por direção, sentido e intensidade. Sua unidade no 
sistema internacional é o Newton (N). Em Engenharia estrutural, onde as forças 
são denominadas cargas, é importante também a definição do ponto de aplicação 
da força sobre a estrutura. 
 
Pode-se classificar as forças em duas categorias: 
 
- de contato – transmitem-se através do contato físico entre um corpo que 
exerce a força e outro sobre o qual ela é exercida. 
- De ação a distância – devem-se à existência de campos agindo sobre o corpo, 
tais como forças elétricas, forças magnéticas e peso dos corpos (ação da 
gravidade). 
 
 
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Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
4- CONCEITO DE MOMENTO 
 
Momento é uma grandeza associada ao movimento de rotação que uma força 
produz em torno de um ponto. O exemplo da figura abaixo pode ilustrar esse 
conceito: 
 
 
A B C 
 
 
 
 
 
 
Seja a barra da figura suportada em B por um cutelo. É intuitivo perceber que o 
peso (força) a ser colocado em A para anular a tendência à rotação da barra em 
torno do cutelo é inferior a 10 kN, por estar o ponto A mais afastado do cutelo que 
o ponto C. Assim, pode-se afirmar que a grandeza capaz de representar a 
tendência à rotação em torno de um ponto provocada por uma força é 
proporcional à intensidade da força e à sua distância ao ponto considerado. Tal 
grandeza é denominada momento, que pode ser definido como a seguir: 
Chama-se momento de uma força F em relação a um ponto O ao produto 
vetorial do vetor OM (sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de ação 
da força F ) pela força F , como mostrado na figura abaixo. 
10 
kN 
O F
P 
M 
m
α d 
2 m 4 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor momento é, em geral, representado por 
seja confundido com uma força. Sua direção é 
contém a reta suporte da força F e o ponto O; se
quando se faz os demais dedos da mão direita g
F em torno do ponto O (regra da mão dire
FdFOMm == αsen , ou seja, pelo produto do m
distância do ponto O à sua linha de ação. A un
internacional é N.m (Newton.metro) 
 
3 
FOMm Λ= 
uma seta dupla, para que não 
perpendicular ao plano P, que 
u sentido é o do dedo polegar, 
irarem no sentido da rotação de 
ita); seu módulo é dado por 
ódulo da força F pela menor 
idade de momento no sistema 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
5- CONCEITO DE BINÁRIO 
 
Um sistema de duas forças paralelas de mesmo módulo e de sentidos opostos, 
como o mostrado na figura abaixo, tem a propriedade de possuir resultante nula e 
momento constante em relação a qualquer ponto do espaço. 
 
 
FO
M 
M’ 
 
F 
 
 
 
O momento das duas forças F em relação ao ponto genérico O será dado por: 
 
FMMFOMFOMm Λ=Λ−Λ= '' 
 
O momento do sistema independe, portanto, da posição do ponto O. Diz-se, neste 
caso, que as duas forças formam um binário, cujo efeito em relação a qualquer 
ponto do espaço é invariante. 
 
 
6- REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO 
 
A figura abaixo é capaz de mostrar que para se reduzir um sistema de forças 
qualquer a um determinado ponto no espaço, basta transferir todas as forças para 
esse ponto, acrescentando, para cada uma delas, seu momento em relação ao 
ponto. 
 
 
A 
F F F F 
 
 
 
 
 
Pode-se d
estaticame
momento 
 
 
7- COND
 
Para que 
equilíbrio, 
translação
O 
F−
= 
izer, portanto, que
nte equivalente, 
resultante m em re
IÇÕES DE EQUILÍ
um corpo subme
é necessário que 
 ou rotação a este
A 
 todo siste
composto d
lação a qua
BRIO DE UM
tido à ação
essas forças
 corpo, o qu
4 
O = 
ma de forças é redutív
e uma força resultan
lquer ponto O do espaço
 CORPO 
 de um sistema de f
 não provoquem nenhu
e só ocorre se tanto a 
Resistênci
Pr
m
el a um sistema 
te R e de um 
. 
orças esteja em 
ma tendência de 
resultante R das 
a dos Materiais Básica 
ofa. Lúcia Schmidt 
 
forças como o momento resultante m dessas forças em relação a um ponto 
qualquer forem nulas, conforme definições apresentadas no item anterior. 
 
A condição necessária e suficiente para que um corpo submetido à ação de umsistema de forças esteja em equilíbrio é, portanto, que essas forças satisfaçam às 
equações vetoriais abaixo: 




=
=
0
0
m
R
 
Considerando-se que tanto as forças iF que compõem o sistema, como seus 
momentos iM em relação a um ponto qualquer são grandezas vetoriais, pode-se 
afirmar que ambas podem ser desmembradas em três componentes nas direções 
dos três eixos (x, y e z) de um sistema tri-ortogonal de referência. Assim, as duas 
equações vetoriais de equilíbrio podem ser substituídas pelas seis equações 
universais da estática mostradas abaixo, as quais regem o equilíbrio de um 
sistema de forças no espaço. 
 


















=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
Mz
My
Mx
Z
Y
X
Onde: 
 
• são as projeções das forças que 
compõem o sistema, respectivamente, nas 
direções dos eixos x, y e z. 
iii ZYX ,, iF
 
• são as projeções dos momentos 
das forças em relação a um ponto qualquer do 
espaço, respectivamente, nas direções dos eixos 
x, y e z. 
iii MzMyMx ,,
iF
 
• n é o número de forças que compõem o sistema 
considerado 
 
 
7.1- Casos particulares 
 
a) Sistema de forças p ralelas no espaço: 
 
 
x
 z 
2F 
 
 
 
 
 
 
 
 
1F
o 
4F 
a
F
y 
F
3F






=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
Z
My
Mx
 
5
3
5 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Como, neste caso, não há componentes de forças nas direções dos eixos aos 
quais elas são ortogonais (x e y, no caso da figura) nem componentes de 
momentos na direção do eixo ao qual as forças são paralelas (z, no caso da 
figura), as equações de equilíbrio do sistema reduzem-se às três equações 
mostradas acima. 
Este tipo de sistema de forças é o que se observa nas estruturas denominadas 
grelhas planas, que são definidas como estruturas planas compostas por barras, 
sobre as quais atuam, exclusivamente, cargas perpendiculares ao plano da 
estrutura. 
 
b) Sistema de forças coplanares: 
 
 
y 
o 
 
 
 
 
 
 
 
Como, nes
são ortogo
relação a 
ortogonal 
equações 
Este tipo 
quadros p
sobre as q
 




=
=
∑
∑
0
0
Y
X1F
3F
te c
nai
qua
a es
mos
de s
lan
uais
 2F
aso, não 
s (z, no 
lquer pon
se plano,
tradas ac
istema de
os, que s
 atuam, e
 =∑ 0Mz
há
ca
to 
 as
im
 f
ão
xc
x 
 4F
 componentes de forç
so da figura) e os m
situado no mesmo p
 equações de equilíb
a. 
orças é o que se obs
 definidos como estrut
lusivamente, cargas s
6 
as na direção do eixo ao qual elas 
omentos de todas as forças em 
lano que as contem será sempre 
rio do sistema reduzem-se às três 
erva nas estruturas denominadas 
uras planas compostas por barras, 
ituadas no plano da estrutura. 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
II- INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL 
 
1- GRAUS DE LIBERDADE DE UMA ESTRUTURA 
 
Já mostramos que a ação de qualquer sistema de forças no espaço em relação a 
um ponto pode-se reduzir à sua resultante e à de seu momento resultante em 
relação ao ponto considerado. Sabemos também que tais resultantes de força e 
momento provocam, respectivamente, tendências de translação e rotação dos 
pontos considerados. Como, no espaço, tanto uma translação como uma rotação 
podem ser expressas por suas componentes segundo 3 eixos triortogonais, diz-se 
que uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade (3 translações e 3 
rotações). 
 
Para que se estabeleça o equilíbrio da estrutura quando sob o efeito de cargas 
solicitantes, esses seis graus de liberdades devem ser restringidos, ou seja, 
devem-se adicionar ao sistema novas forças que façam com que sejam atendidas 
as equações universais da estática, já apresentadas no capítulo anterior. Essa 
restrição é dada por apoios, que impedem as diversas tendências possíveis de 
movimento, através do aparecimento de reações desses apoios sobre a estrutura, 
nas direções dos movimentos que eles restringem. 
 
 
2- APOIOS / REAÇÕES / ESTATICIDADE 
 
Os apoios são os vínculos que ligam uma estrutura a elementos externos ao 
sistema estrutural considerado. A função dos mecanismos de apoio é a de 
restringir graus de liberdade das estruturas, despertando com isso reações nas 
direções dos movimentos impedidos. Eles são classificados de acordo com o 
número de graus de liberdade permitidos ou, mais usualmente, com o número de 
movimentos impedidos, que é igual ao número de reações que fazem surgir sobre 
a estrutura, considerando-se os três eixos triortogonais de referência. Observe-se, 
para melhor compreensão, as figuras (a) e (b) abaixo: 
 
 
Rz Ry 
Rx 
Rz 
Mz 
Mx (a) (b) 
My 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
z 
x 
7 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
Na figura (a) tem-se uma estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente 
lubrificada. A translação na direção vertical oz é o único movimento que este apoio 
é capaz de impedir, fazendo atuar sobre a estrutura a reação Rz. Ele representa, 
portanto, um apoio com 5 graus de liberdade ou com um movimento impedido. 
 
O apoio mostrado na figura (b) é capaz de impedir todos os movimentos de 
translação ou rotação na estrutura, no ponto em que se localiza. Ele é, portanto, 
um apoio sem grau de liberdade (ou com todos os movimentos impedidos), capaz 
de fazer atuar sobre a estrutura as seis reações de apoio (3 forças e 3 momentos) 
mostradas na figura. 
 
No caso de estruturas planas carregadas exclusivamente no próprio plano, que é 
o mais freqüente em Análise Estrutural, há apenas três graus de liberdade a 
restringir: 2 movimentos de translação em duas direções ortogonais no plano da 
estrutura; 1 rotação em torno do eixo ortogonal ao plano da estrutura. Os apoios 
utilizáveis para impedir tais movimentos são: 
 
a) Apoio do 1o gênero ou charriot: 
 
 
x 
y 
 
 
 
 
b) Apoio do 2o gênero ou rótula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Apoio do 3o gênero ou engaste 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vimos que a função dos apoios é limitar os graus d
Três casos poderão acontecer: 
x 
y 
H x 
y 
8 
R
Rx ou 
e liberdade de uma estrutura. 
Ry ou V 
M 
V 
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- Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura: neste caso, o número de reações de apoio 
a determinar (incógnitas) é igual ao número de equações de equilíbrio 
disponíveis envolvendo essas incógnitas, que poderão ser determinadas 
através de um sistema de equações determinado. Diz-se, então que a 
estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
- Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura: neste caso, havendo mais equações de 
equilíbrio do que incógnitas a determinar, tem-se um sistema de equações 
impossível. Isso significa que a estrutura será instável, sendo denominada 
hipostática. Podem ocorrer, neste caso, algumas situações em que o próprio 
sistema de cargas atuantes consiga atender às equações de equilíbrio, 
estando impedidos os movimentos que os apoios não são capazes de 
restringir. Quando isso ocorre, tem-se uma situação de equilíbrio instável, 
pois qualquer nova carga introduzida pode levar a estrutura à ruína, já que os 
apoios não serão capazes de impedir os movimentos que essa nova carga 
produz. Estruturas hipostáticas não são admissíveis em construções. 
- Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os 
movimentos possíveis da estrutura: neste caso, há menos equações do que 
incógnitas a determinar, o que conduz a um sistema indeterminado. As 
equações universais da estática não serão suficientes para que se determinem 
as reações de apoio, havendo uma infinidade de soluções possíveis para o 
sistema de equações. Neste caso, são necessárias equações adicionais 
baseadas na compatibilidade das deformações, que permitam definir qual 
dessas soluções é a verdadeira, “levantando-se”, assim, a indeterminação do 
sistema.A estrutura será dita hiperestática e seu equilíbrio será estável. 
 
 
3- CARGAS EM ESTRUTURAS 
 
Todas as forças aplicadas sobre uma estrutura, denominadas cargas ou 
solicitações, são transmitidas através de uma superfície de contato. Uma carga é 
dita concentrada quando a área dessa superfície de contato é tão pequena que 
pode ser considerada nula, sem que o erro cometido com essa simplificação seja 
significativo para efeitos de cálculo estrutural. Caso contrário, a carga é 
considerada distribuída. 
 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática em estruturas 
compostas de barras (que podem ser representadas pelos eixos longitudinais de 
seus elementos) são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas 
triangulares (mais comum em casos de empuxos de terra e de água) mostradas 
na figura abaixo. 
 
Carga triangular q 
 
 
Carga uniformemente 
q 
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Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
 
Como uma carga distribuída pode ser encarada como uma soma infinita de cargas 
concentradas aplicadas sobre áreas infinitesimais (q.ds), a resultante de um 
carregamento distribuído genérico como o mostrado na figura abaixo será igual a: 
 
 
o 
q 
s R 
s
∫=
B
A
dsqR . 
 
 ou seja, é igual à área limitada 
entre a curva que define a 
variação do carregamento e o 
eixo da estrutura 
 
 
 
 
A 
 
O ponto de aplicação dessa resultante é definido p
gravidade dessa área. 
 
 
4- CONCEITO DE ESFORÇOS SECCIONAIS 
 
Considerando uma peça estrutural submetida a 
sabemos que a peça encontra o equilíbrio através
surgem nos vínculos externos existentes, os 
deslocamento. Os efeitos estáticos que esse conju
apoio provocam em cada uma das seções transvers
denominados esforços seccionais. Consideremos, 
na figura, submetido a um conjunto de forças (carreg
em equilíbrio. 
 
 
G
S
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
q.d
s B 
ela abscissa s do centro de 
um carregamento qualquer, 
 das reações de apoio que 
quais impedem seu livre 
nto de cargas e reações de 
ais da peça em questão são 
assim, o corpo representado 
amentos e reações de apoio) 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
Seccionemos o corpo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, 
dividindo-o em duas partes A e B. 
 
A
R 
R 
M 
B
 
 
M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para manutenção do estado de equilíbrio em cada uma das partes, é necessário 
aplicar na seção S um sistema estático equivalente ao das forças aplicadas na 
parte suprimida. Tal sistema estático pode sempre ser desmembrado em um vetor 
força (R) e um vetor momento (M) aplicados no centro de gravidade da seção. 
Assim se definem os esforços seccionais em uma seção S de uma peça, os 
quais podem ser quantificados quer utilizando-se todas as forças atuantes à 
esquerda da seção, quer utilizando-se as forças à sua direita. 
 
Decompondo-se o vetor R em uma componente perpendicular à seção S e outra 
situada no próprio plano P, obtemos, respectivamente, o esforço normal e o 
esforço cortante atuantes na seção, podendo ainda este último ser decomposto 
em duas componentes, nas direções dos dois eixos de referência ortogonais à 
normal ao plano P. Da mesma forma, se o vetor M for decomposto em uma 
componente normal e outra no plano P, teremos, respectivamente, os momentos 
torsor e fletor. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ser 
decomposto em duas componentes ortogonais entre si, nas direções dos dois 
eixos coordenados situados no plano P. 
 
Numa seção transversal s de uma barra de uma estrutura espacial qualquer, 
tomando-se um sistema de eixos coordenados onde o eixo x tem a direção 
longitudinal à barra, são, portanto, seis os esforços seccionais considerados: 
 
N(s) → esforço Normal = Rx 
Qy(s) → componente do esforço cortante na direção y = Ry 
Qz(s) → componente do esforço cortante na direção z = Rz 
T(s) → momento torsor = Mx 
My(s) → componente do momento fletor na direção y = My 
Mz(s) → componente do momento fletor na direção z = Mz 
 
11 
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Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
No caso particular dos quadros planos, as cargas atuantes, necessariamente 
contidas no plano da estrutura, fazem com que tenhamos apenas três tipos de 
esforços seccionais a considerar: momento fletor, esforço normal e esforço 
cortante. 
 
Da mesma forma, como, por definição, as cargas nas grelhas planas são sempre 
perpendiculares ao plano da estrutura, tais estruturas só admitem três tipos de 
esforços seccionais: momento fletor, momento torsor e esforço cortante. 
 
 
5- TENSÕES 
 
Conforme já visto, os esforços seccionais transmitem-se de um lado para o outro 
de uma peça seccionada por um plano através de uma superfície de contato 
chamada seção transversal da peça. Tomando-se a parcela força dos esforços em 
uma seção transversal, ela pode ser entendida como a soma de forças 
moleculares transmitidas através de elementos dessa superfície. Suponha-se uma 
força F∆ que atue sobre um elemento de uma superfície S qualquer, 
conforme mostrado na figura abaixo: 
S∆
 
 
∆S 
∆F 
-∆F 
S 
 
 
 
 
 
 
 
tm 
 
 
Chama-se tensão média no elemento a relação: S∆
S
Ftm ∆
∆
= 
 
A título de ilustração do conceito apresentado, pode-se dizer que quando ocorre 
ruptura em uma barra segundo uma seção transversal, houve separação das 
moléculas situadas em lados opostos desta seção, porque as tensões atuantes 
superaram a resistência oferecida pela coesão intermolecular. 
 
Se considerarmos um ponto P de uma seção transversal qualquer de uma peça 
estrutural, a tensão t nesse ponto é definida considerando-se um elemento de 
área no entorno do ponto e a parcela de força nesse elemento. S∆ F∆
 
 
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Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
 
 
 
S 
 
 
 
 
 
 
 
Na realidade, a
portando, numa
 
dS
Fdt = 
 
Como qualquer
ortogonais entre
e outro ortogona
 
Se considerarm
transversal, já s
momento fletor 
 
Considerando 
binário de força
qualquer ponto 
as figuras abaix
compressão na
tensões de cisa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τ
P 
 
 tensão
 grand
A 
U
 grande
 si: um
l ao pl
os a 
abemo
e o mo
que um
s com 
do esp
o, que
 seção
lhamen
F 
F
σ
, assim como a 
eza vetorial, que
unidade de tens
m Pa é igual a u
za vetorial, a te
 no plano da se
ano da seção S,
parcela moment
s que ela pode 
mento torsor. 
 momento po
efeito equivalen
aço igual ao mo
 o momento flet
 transversal ond
to (τ) nos ponto
d 
M 
 
 
A tensão t no ponto P da seção S é 
definida por: 
 
dFF  ∆
∆
dSS
t
S
=


 ∆
=
→∆ 0
lim 
força, possui direção e sentido, consistindo, 
 representa a força por unidade de área. 
ão no sistema internacional é o Pa (Pascal). 
m N/m2. 
nsão pode ser decomposta em dois vetores 
ção S, chamado tensão de cisalhamento (τ), 
 denominado tensão normal (σ). 
o dos esforços seccionais em uma seção 
ser desmembrada em duas componentes: o 
de ser fisicamente interpretado como um 
te (resultante nula e momento em relação a 
mento dado), pode-se perceber, observando 
or gera tensões normais (σ) de tração e de 
e atua, enquanto o momento torsor produz 
s dessa seção. 
T 
F 
d 
F 
σ
-σ
 
13 
Resistênci
Pr
τ
Momento 
Momento 
∆
a dos Materiais Básica 
ofa. Lúcia Schmidt 
 
 
6- LINHAS DE ESTADO 
 
Cada esforço secional em uma seção transversal de uma estrutura submetida a 
um sistema de forças ou cargas atuantes já foi definido como uma das 
componentes de forças e momentos resultantes que se transmitem de um lado 
para o outro da estrutura quando se supõe que ela seja cortada pelo plano da 
seção transversal considerada. Assim, um esforço seccional é função das cargas 
atuantes de um dos lados da seção de corte e, conseqüentemente, da própria 
seção considerada. 
 
Linhas de estado ou diagramas de esforços são, para cada esforço seccional 
considerado, curvas traçadas sobre o eixo longitudinal da estrutura (quando ela é 
composta de barras), que têm por objetivo representarcomo varia o esforço 
considerado ao longo das sucessivas seções transversais da estrutura. Para o 
traçado dos diagramas de esforços tomam-se como eixos coordenados em cada 
barra o seu eixo longitudinal (eixo das abscissas, onde se identificam as seções 
transversais) e o eixo a ele ortogonal (eixo das ordenadas, sobre o qual se 
assinalam, em escala, os valores do esforço considerado, função da seção 
transversal). 
 
 
7- CONVENÇÕES DE SINAIS 
 
a) Esforço Normal (N) 
 
- S
+ 
 
ds ds 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
b) Esforço cortante (Q) 
 
 
S
- 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
N(+
ds 
 
14 
Resistên
P
N(-)
ds 
 
Q(+)
 Q(-)
cia dos Materiais Básica 
rofa. Lúcia Schmidt 
 
 
 
c) Momento fletor (M) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: O diagrama de momentos fletores é sempre traçado no lado correspondente 
às fibras tracionadas da seção. 
 
 
d) Momento torsor (T) 
S
ds 
M(+) 
ds 
M(-) 
- 
+ 
S
ds ds 
- 
 
 
 
 
 
 
 + 
 
 T(-) T(+) 
 
 
8- RÓTULA 
 
No item 3 deste capítulo, falamos sobre os diversos tipos de apoios existentes. Os 
apoios representam vínculos entre a estrutura e o meio externo, capazes de 
produzir reações que impeçam os movimentos da estrutura. Após apresentarmos 
o conceito de esforços internos já é possível conceituar vínculo interno. Vimos 
que uma seção transversal é capaz de transmitir tensões de um lado para o outro 
da estrutura que ela secciona e que as resultantes dessas tensões são os 
chamados esforços seccionais. Assim, as seções transversais podem ser 
interpretadas como vínculos entre as duas partes da estrutura que elas separam. 
Através de tais vínculos internos à estrutura, desenvolvem-se reações de um lado 
sobre o outro da estrutura que, além de garantirem o equilíbrio de cada uma das 
partes, impedem os movimentos relativos da estrutura na seção considerada 
(rotação, na direção do momento fletor; translação longitudinal, na direção do 
15 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
esforço normal e translação transversal, na direção do esforço cortante, no caso 
de estruturas planas). 
 
Um tipo de vínculo interno que merece ser destacado nesse curso é a rótula. A 
rótula é um vínculo interno que impede os movimentos de translação relativa 
(longitudinal e transversal), mas permite a livre rotação relativa entre as duas 
barras que ela liga. 
 
Em estruturas de máquinas e mesmo em algumas estruturas metálicas, são 
exemplos de rótulas as dobradiças. Em edificações de concreto, o exemplo mais 
comum de rótula é o dente Gerber. Os exemplos citados, bem como sua 
representação em esquema estrutural, são apresentados na figura abaixo: 
 
 
 
 barra A 
 
 
barra B 
barra B barra A 
barra A barra B 
 representação 
esquemática da rótula 
 
Pode
trans
fletor
 
Com
igual
uma 
incor
de a
siste
a qu
situa
apre
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
VA
 
dobradi
-se dizer, assim, que atravé
mitem-se esforços normais e
es, ou seja, o momento fleto
o conhecemos, a priori, o val
 a zero, concluímos que cada
equação adicional, além 
porada ao sistema de equaç
poio em uma estrutura, red
ma e, em conseqüência, a hip
e nos referimos envolverá t
das de um mesmo lado da
senta-se abaixo, dois exemplo
B HB 
Incógnitas: 
VA, VB, HB 
 
Equações: 






=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
M
V
H
VB 
dente 
s da seção transversal que contém uma rótula 
 cortantes, mas não se transmitem momentos 
r na seção da rótula é sempre nulo. 
or do momento fletor na seção da rótula, que é 
 rótula existente em uma estrutura pode fornecer 
das equações de equilíbrio estático, a ser 
ões que utilizamos para determinar as reações 
uzindo, assim, o grau de indeterminação do 
erestaticidade da estrutura. A equação adicional 
odas as cargas atuantes e reações de apoio 
 seção da rótula. Para melhor compreensão, 
s de estruturas isostáricas. 
R
A B
VA VB 
HB HA 







=
=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
0
RM
M
V
H
 
Incógnitas: 
VA, VB, HA HB 
 
Equações: 
 
16 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
III – ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 
 
 
1- EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 
 
Seja a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado: 
 
a 
dx S
qdx 
q=q(x) 
x 
xo 
b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os esforços 
 
∫−=
s
xaS
sVM
 
∫−=
s
xoaS
qVQ
 
Derivando-se
seção transv
 
 
∫−= aS Vds
dM
 
)(sq
ds
dQS −= 
 
 
A partir das 
característica
seccionais em
qualquer: 
 
- O coeficie
seção S é
 
V
a
s 
seccionais em S são dados por: 
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=−
s
xo
s
xoao
dxxqxdxxqssVdxxqxs .. 
( )dxx 
 as duas expressões acima em relação à abs
ersal na qual são quantificados os esforços, obté
( ) =s
xo S
Qdxxq 
→ Equações fundamentais 
equações fundamentais da estática, podem-se
s importantes que devem ser observadas nos d
 um trecho de uma barra submetido a um carr
nte angular da tangente ao diagrama de mom
 igual ao esforço cortante nela atuante. 
17 
Resis
V
b
cissa s que define a 
m-se: 
da estática 
 relacionar algumas 
iagramas de esforços 
egamento distribuído 
entos fletores numa 
tência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
- O coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa 
seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção, com sinal 
trocado. 
 
- Em um trecho de barra onde não haja carregamento distribuído, o diagrama de 
cortantes será uma reta horizontal (Q=cte) e o diagrama de momentos será 
retilíneo (coeficiente angular da tangente à curva =cte). 
 
- Em um trecho de barra onde haja carregamento uniformemente distribuído, o 
diagrama de cortantes será uma reta inclinada (curva de 1o grau) e o diagrama 
de momentos será uma curva de 2o grau (parábola). 
 
- Em uma seção transversal onde houver uma carga concentrada aplicada, 
haverá necessariamente uma descontinuidade no diagrama de esforços 
cortantes, sem, no entanto, haver diferença em sua inclinação nos dois lados 
da seção. O diagrama de momentos fletores apresenta, nesse caso, um ponto 
anguloso na seção onde se encontra a carga concentrada. 
 
- Nas seções correspondentes a pontos de máximo ou mínimo no diagrama de 
momentos fletores (coeficiente angular nulo), o valor do esforço cortante será 
nulo. 
 
As equações fundamentais da estática permitem, desta forma, a verificação da 
coerência de diagramas de esforços cortantes e de momentos fletores traçados, 
entre si e em relação ao carregamento atuante na estrutura. 
 
 
2- VIGAS BIAPOIADAS 
 
a) Carga concentrada 
 
 
Ms 
_ 
+ 
VA 
S 
A B 
VB 
l 
b a 
x P 
 
 
 
 
 
 
 M 
 
 
 
Q 
 
 
18 
Condições de equilíbrio: 
 
lVaPM
PVVV
BA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
0
0
 
 
 
l
PbV
l
PaV
A
B
=
=
 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Cálculo dos esforços: 
 
( )
( )



≥⇒−−
≤⇒=
=
axaxPxV
axx
l
PbxV
xM
A
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ ( )
l
PabaMM S == 
 
 
( )



〉⇒−
〈⇒
=
axV
axV
xQ
B
A ⇒ na seção S (x=a) ⇒ descontinuidade 
 
A solução é análoga para mais de uma carga concentrada aplicada na viga. 
 
 
b) Carga uniformemente distribuída 
 
 ql qx 
 
 
+ 
_ 
M 
Mmax 
Ms 
Q 
q 
VA x 
A 
S 
B 
VB 
l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de a
 
( )
222
2qxxqlxqxxVxMM AS −=−== ⇒ Curva do se
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
 
19 
Condições de equilíbrio: 
 
lVqlM
lqVVV
BA
BA
×=⇒=
×=+⇒=
∑
∑
2
0
0
2 
 
2
2
qlV
qlV
A
B
=
=
 
bscissa x: 
gundo grau em x (parábola) 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
2
=− qxql → 
2
lx = 
 
82
2
max
qllMM =




= 
 
 
( ) qxqlqxVxQQ AS −=−== 2 ⇒ curva do primeiro grau em x (reta) 
 
 para x=0 → ( )
2
qlx =Q 
para x=l → ( )
2
qlxQ −= 
para x ( ) 0
2
=→= xQl 
 
 
c) Carga triangular 
 
M 
+ 
VA
A 
px
2
plR =
3/l 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 
 
 
 
 
 
Ms 
S 
l
lMmax 
_ 
Condições de equilíbrio: 
 
lVlplM
plVVV
AA
BA
×=×⇒=
=+⇒=
∑
∑
32
0
2
0
 
 
3
6
plV
plV
B
A
=
=
 
p 
B 
VB 
20 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
Cálculo dos esforços em uma seção S genérica, de abscissa x: 
 
( )
l
pxxplx
l
pxxVxMM AS 6632
32
−=×−== ⇒ Curva do terceiro grau em x 
 
para x=0 → M(x)=0 
para x=l → M(x)=0 
 
 
pesquisa da abscissa do ponto de momento máximo: 
 
M(x) é máximo → ( ) ( ) 0== xQ
dx
xdM → 0
26
2
=−
l
pxpl
→ lx 577,0=
 
( ) 2max 064,0577,0 pllMM == 
 
 
( )
l
pxpl
l
pxVxQQ AS 262
22
−=−== ⇒ curva do segundo grau em x (parábola) 
 
 para x=0 → ( )
6
plx =Q 
para x=l → ( )
3
plxQ −= 
para x ( ) 0577,0 =→= xQl
 
 
d) Carga-momento 
 
 
A B 
M 
VA VB a 
l 
_ 
M 
Q 
b 
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -M/l 
 
 
21 
Condições de equilíbrio: 
 
- As reações de apoio 
capazes de equilibrar 
uma carga momento é o 
binário composto por: 
 
l
MVBA ==V 
- Os diagramas de 
momentos fletores e 
esforços cortantes 
mostrados na figura são,
Ma/
Mb/
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
e) Caso geral de carregamento: 
 
É comum na prática o caso de viga submetida a carga continuamente distribuída 
que não abrange todo o seu vão, como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
M
Q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para
C, d
mant
pode
carre
conc
suas
traça
 
Pode
assin
calcu
valor
viga 
 
Em g
carre
supe
igual
A
 
 
 faze
esde
er o
rá 
gam
entr
 extr
dos
-se 
alan
lado
es e
biap
eral
gam
rpos
 à so
B
8
qa
+ 
r recair num 
 que se apl
 equilíbrio de
ser tratado 
ento externo 
ados que rep
emidades. O
, separadame
observar que
do-se nos po
s para essas
m cada trech
oiada submet
, uma viga co
entos apres
ição de efeit
ma dos diag
C
2
_ 
problem
ique n
 cada 
como 
que lh
resent
s diagr
nte, pa
 o dia
ntos A
 seçõe
o da v
ida ao 
stuma 
entado
os, ou 
ramas 
D
VA
es
tr
u
e
a
a
ra
gr
,
s
ig
c
e
s
s
o
VD
a conhecido, pode-
ses pontos os es
echo obtido. Feito 
ma viga biapoiad
 está diretamente a
m a ação dos res
mas de momentos
 cada um dos trec
ama de momentos
 B, C e D, respec
 e “pendurando-se
a, o diagrama de 
arregamento que lh
star submetida a m
. Neste caso, é 
eja, o diagrama d
btidos para cada u
22 
B
8
2qa
se romper a viga
forços ali atuant
isto, o trecho BC
a independente 
plicado e às carg
pectivos esforços
 e de cortantes p
hos considerados
 da viga comple
tivamente, os mo
” na linha traceja
momentos caract
e é diretamente a
ais de um dentre 
sempre válido 
e qualquer esforç
ma das cargas ap
Resistência 
Prof
C
MB
 MC
q
 q
MB
MC
a
MB
 MC
+VA
-VD
VA
VD
 nas seções B e 
es, de forma a 
, por exemplo, 
submetida ao 
as e momentos 
 seccionais em 
odem então ser 
. 
ta AD é obtido 
mentos fletores 
da que une tais 
erístico de uma 
plicado. 
os exemplos de 
o princípio da 
o na viga será 
licadas sobre a 
dos Materiais Básica 
a. Lúcia Schmidt 
 
viga, isoladamente. Para se obter o diagrama de momentos fletores, por exemplo, 
costuma-se assinalar, como pontos notáveis da estrutura, todas as seções onde 
estejam aplicadas cargas ou momentos concentrados, assim como aquelas onde 
se inicia ou se encerra cada um dos carregamentos distribuídos. Nesses pontos 
notáveis, calcula-se, então, o esforço considerado, utilizando-se sempre apenas 
as cargas e reações situadas em um dos lados da estrutura em relação ao ponto. 
A seguir, aplica-se em cada trecho da viga, pendurado sobre a linha de ligação, o 
diagrama correspondente ao carregamento diretamente aplicado naquele trecho, 
como se ele fosse biapoiado. 
 
 
3- VIGAS ENGASTADAS E LIVRES 
 
 P 
q 
A B 
P _ 
QB 
a b VC 
l 
M 
8
2qa 8
2qb
MB 
C 
MC 
 
 Condições de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
Esforços na seção B: 
 
 
 
qaQ
qaM
B
B
−=
=
2
2
PbqlMM
PlqVV
CC
C
+=⇒=
+×=⇒=
∑
∑
2
0
0
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MC 
 
 
 
 
 
 
 Q 
 
 
 VC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
4- VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS 
 
Numa viga biapoiada com balanços como a mostrada na figura abaixo, todos os 
conceitos e artifícios apresentados até o momento são aplicáveis no cálculo e 
traçado de diagramas dos esforços seccionais da peça. 
 
 q 
C B 
P2 P4 
P1 P3 
 
 
 A D 
 
q 
P2 
P3 
P4 
MB MC 
P1 P3+P4 
P1 
 
 
 VB 
 VC 
 
 
 
 MC 
 MB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5- V
 
Seja
 
 
 
 
 
 
M
_ _ 
+ + P4 
P1 
VB 
P2 
VC 
P3 
Q 
IGAS GERBER 
 a estrutura apresentada na figura abaixo: 
A 
C B 
D 
24 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Se o trecho CD for carregado, sua estabilidade estará condicionada à capacidade 
do trecho AC de, através do ponto C, absorver as forças transmitidas e oferecer as 
reações necessárias ao equilíbrio do trecho CD. Se, por outro lado, for AC o 
trecho carregado, como esse trecho tem estabilidade própria o carregamento 
encontrará nele mesmo suas reações equilibrantes e nenhum efeito será 
transmitido ao trecho CD. Tudo se passa, portanto, como se o trecho CD se 
apoiasse sobre o trecho AC da estrutura. 
 
No exemplo, o ponto C é um ponto de transmissão de forças e não de momento 
fletor, já que não impede a rotação relativa entre os trechos que liga. Ele pode ser 
representado por uma rótula no esquema estático da estrutura, que será o 
mostrado na figura abaixo: 
 
 
A 
P1 P2 
B 
P5 P6 
C 
D 
P3 P4 
 
 
 
 
 
 
D 
P5 P6 
 C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do esquema deduz-se que o trecho AC será resolvido com as cargas que lhe são 
diretamente aplicadas, acrescidas das forças Vc e Hc transmitidas pela rótula C, 
recaindo-se, assim, na resolução de uma viga biapoiada (CD) e de uma viga 
biapoiada com balanço (AC). 
 
Chama-se viga Gerber a esse tipo de associação de vigas com estabilidade 
própria sobre as quais se apoiam outras vigas, constituindo, assim, um conjunto 
estável. 
 
A 
P1 P2 
B HC 
P3 P4 
VC 
C 
HC 
VC 
VD 
25 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
IV – ESTUDO DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS PLANAS 
 
 
 
Este capítulo será dedicado ao estudo dos quadros planos e das grelhas planas, 
ambos exemplos de estruturas compostas por barras inteiramente contidas em um 
único plano, que diferem entre si pela posição das cargas atuantes em relação ao 
plano da estrutura: 
 
- Chama-se quadro plano a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por 
cargas contidas no próprio plano da estrutura. 
 
- Chama-se grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por 
cargas ortogonais plano da estrutura. 
 
Para validade dessas definições, uma carga-momento concentrado deve ser 
interpretada como o efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem 
estar contidas no plano da estrutura ou em plano a ela ortogonal. 
 
 
1- QUADROS PLANOS 
 
As equações de equilíbrio estático disponíveis para determinação de reações de 
apoio em quadros planos, considerando-se que não há cargas nem reações na 
direção transversal ao plano da estrutura (plano xy), são as três equações a 
seguir: 
 






==
==
==
∑∑
∑∑
∑∑
0
0
0
Pz
x
y
MM
HF
VF
 
 
Como já vimos anteriormente, cada rótula existente no quadro plano, 
interceptando uma de suas barras ou posicionada em um de seus vértices, 
representa uma seção onde o momento fletor é conhecido e igual a zero. A cada 
rótula corresponde, portanto, uma equação adicional ao sistema das três 
equações de equilíbrio, a qual envolve parte das cargas atuantes e das reações 
de apoio a determinar. Assim, a existência de uma rótula permite ampliar número 
de reações de apoio que podem ser determinadas pelo sistema de equações 
disponíveis, mantida a condição de isostaticidade do quadro. 
 
Determinadas as reações de apoio em um quadro plano, a determinação dos 
esforços seccionais nas sucessivas seções transversais, bem como o traçado de 
seus diagramas, se faz exatamente obedecendo-se aos mesmos princípios 
apresentados no estudo devigas isostáticas, sendo também válidos todos os 
artifícios aplicáveis a cada caso de carregamento que se apresente. 
26 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
São exemplos de quadros planos isostáticos, os mostrados na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim como as vigas podem se associar formando vigas gerber, quadros que 
possuem estabilidade própria também podem servir como apoios para outros 
quadros ou vigas, formando um quadro composto. Nesse caso, para sua 
solução, a estrutura será também desmembrada em quadros que servem como 
apoio e outros quadros que neles se apoiam (todos isostáticos), recebendo os 
primeiros, além das cargas que lhes são diretamente aplicadas, as reações de 
apoio dos segundos, devidamente invertidas. A figura abaixo exemplifica o 
problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
 
2- GRELHAS PLANAS 
 
Define-se grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento 
perpendicular a seu plano. Tendo em vista essa definição, supondo-se que o 
plano da grelha seja o plano xy, seu equilíbrio será regido pelas três equações da 
Estática abaixo: 
 






=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
y
x
z
M
M
F
 
 
Uma grelha será então isostática quando houver apenas três incógnitas a 
determinar. Os tipos mais comuns de grelhas isostáticas são os indicados na 
figura abaixo: 
 
 
 
x 
y 
d c c Ta 
a b 
d 
b 
a 
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecendo as rea
solicitantes numa s
respectivos diagrama
tendo em vista a natu
seccionais: esforço c
 
Da mesma forma q
seccionais numa g
considerando-se toda
um dos lados da se
também é válido o 
biapoiada, desde que
 
V
ç
e
s
r
o
u
re
s
ç
ar
 
M
ões de apoio, passe
ção genérica S de u
. Pode-se afirmar que, 
eza das cargas atuante
rtante Q; momento fleto
e nos outros tipos d
lha são determinad
 as cargas e reações a
ão considerada. Além
tifício de se tratar cad
se apliquem em suas e
28 
V
mos à d
ma grelh
numa seç
s, podem
r M e mo
e estrutu
os, para
plicadas 
 disso, p
a trecho
xtremidad
V
eterminação do
a e ao traçad
ão genérica de 
 atuar três tipos 
mento torsor T. 
ras já vistos, o
 cada seção 
na estrutura, loc
ara traçado de 
 da grelha com
es os esforços a
Resistência dos M
Profa. Lúc
V
s esforços 
o de seus 
uma grelha, 
de esforços 
s esforços 
transversal, 
alizadas em 
diagramas, 
o uma viga 
li atuantes. 
ateriais Básica 
ia Schmidt 
 
 
V- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
1- O PROBLEMA GERAL DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Já foi visto que os esforços seccionais (M, N ,Q, T) representam as componentes 
de forças e momentos que se transmitem de um lado para o outro de uma peça 
estrutural através de cada seção transversal, em cada uma das direções dos três 
eixos coordenados. Sabe-se também que os esforços são supostos aplicados no 
centro de gravidade de cada seção. 
 
Na realidade, essas forças não estão concentradas em um único ponto na seção. 
A transmissão dos efeitos de um lado para o outro de uma seção transversal se 
faz através de toda a superfície da seção, ou seja, sob a forma de tensões que se 
distribuem em toda a área, segundo uma lei específica para cada tipo de esforço 
considerado. Assim, cada esforço seccional em uma seção transversal representa 
a resultante das tensões distribuídas em sua direção, podendo ser quantificado 
integrando-se a tensão ao longo da área da seção. 
 
Cada material apresenta uma resposta diferente ao ser submetido à ação de 
tensões. Forças de coesão existentes entre as partículas que o compõe atuam no 
sentido de impedir a separação de duas partículas, quer por deslizamento, devido 
a tensão de cisalhamento entre elas, quer por esmagamento ou afastamento, 
devido a tensão normal. As tensões máximas até onde um material é capaz de 
resistir sem que ocorra ruptura em um ponto são denominadas, respectivamente, 
resistência ao cisalhamento e resistência à tensão normal, constituindo 
característica própria de cada material. 
 
Para que não ocorra ruptura em uma estrutura, é necessário que, em nenhum 
ponto, as tensões induzidas pelas cargas aplicadas (tensões atuantes) excedam 
as resistências correspondentes. Conhecidos os esforços seccionais, o problema 
que se põe é o do cálculo das tensões em função desses esforços e das 
características geométricas da peça estrutural. A comparação entre as tensões 
assim calculadas e as resistências correspondentes consiste na solução do 
problema de verificação de estabilidade de uma estrutura. 
 
Para permitir a solução desse problema, a Resistência dos Materiais introduz 
algumas hipóteses simplificadoras quanto à distribuição de tensões em seções 
transversais de barras. Uma das principais dessas hipóteses é a de que as seções 
transversais, após a deformação por flexão, tração ou compressão, se conservam 
planas e normais ao eixo deformado. Dessa hipótese geral advêm outras 
hipóteses, como a que supõe a tensão normal constante em seções submetidas 
exclusivamente a esforço normal, e a de que a tensão varia linearmente ao longo 
da altura da seção em caso de flexão. 
 
29 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Em geral, as cargas atuantes em uma estrutura produzem, nas sucessivas seções 
transversais, apenas alguns dentre os tipos de esforços seccionais que foram 
apresentados neste curso. Nos quadros planos, por exemplo, três componentes 
de esforços (Qz, T e My) são nulas em todas as seções devido à natureza das 
cargas atuantes, por definição. Neste caso, tem-se o chamado estado plano de 
tensões, onde só se observam tensões internas, normais e cisalhantes, no plano 
da estrutura. 
 
Por representarem situações mais comuns na prática, neste curso, o estudo da 
Resistência dos Materiais estará limitados aos seguintes casos de esforços 
seccionais: 
 
- peças simplesmente tracionadas ou peças simplesmente comprimidas 
seções submetidas exclusivamente a esforço normal (N): 
- cisalhamento puro 
seções submetidas exclusivamente a esforço cortante (Q): 
- flexão pura 
seções submetidas exclusivamente a momento fletor (M): 
- flexão simples 
seções submetidas a momento fletor e esforço cortante (M e Q): 
- flexão composta 
seções submetidas a momento fletor e esforço normal (M e N): 
 
Antes, porém, cabe discorrer sobre como os materiais se comportam, quando 
submetidos à ação de tensões, definindo alguns parâmetros de resistência, que 
serão fundamentais ao estudo dos casos relacionados acima. 
 
 
2- RELAÇÕES ENTRE TENSÕES E DEFORMAÇÕES – LEIS DE HOOKE 
 
Considere-se a barra mostrada na figura abaixo, de comprimento lo e seção 
transversal de área So , fixa em sua extremidade superior. Se for aplicada, em sua 
extremidade livre, uma carga P, a barra irá se alongar. 
 
 
 
∆l 
P 
P 
∆l 
lo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Variando-se o valor de P e marcando-se num gráfico os valores de P e os valores 
correspondentes de ∆l, obtém-se um diagrama carga-deformação como o da 
figura. Este diagrama contém informações úteis para o estudo da barra 
30 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
considerada, mas não pode ser usado diretamente para prever deformações de 
outras barras de mesmo material, que tenham outras dimensões. Com o objetivo 
de permitir uma análise do fenômeno de forma independente das dimensões da 
barra, fixando-se parâmetros que são função exclusiva do material, introduz-se o 
conceito de deformação específica (ε) , cuja relação com a tensão normal (σ) 
aplicada é única para cada material e dada pelo seu diagrama 
tensão/deformação. Assim, tem-se, para a mesma haste mostrada 
anteriormente: 
 
 
0S
P
=σ → tensão normal 
 
0l
l∆
=ε → deformação específica 
 
 
 
 
 
O diagrama tensão/deformação de um m
aspectos mostrados abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
 
 
 
(a) (b) 
 
O diagrama do tipo (a) é típico dos mater
bruscamente, com pequenas deformações
ferro fundido, o vidro e o concreto. 
 
Os materiais correspondentes aodiagrama
escoamento definido. Tais materiais, ante
dita, passam por uma fase em que a
constante. Nessa fase, aumentando-se 
estricção, tendo sua área reduzida. A seg
até que seja atingida a ruptura. Como exe
estrutural. 
 
31 
σ
Fase 
elástica 
R 
 Fase 
Elasto-
plástica 
Ruptura 
aterial pode apresentar um do
 
 
 R 
(c) 
iais ditos frágeis, onde a ruptura 
. São exemplos de materiais frág
 tipo (b) são chamados de dúcte
s de atingirem a ruptura propria
s deformações crescem sob t
a carga P, a seção transversal
uir, o material recupera sua resis
mplo deste caso, pode-se apontar
Resistência dos Materiai
Profa. Lúcia Sch
ε
σ
s três 
σ
 σ
 σ
 
R 
ε
 ε
 ε
 
 σ
σ
σe
σ
σe
ocorre 
eis, o 
is com 
mente 
ensão 
 sofre 
tência, 
 o aço 
s Básica 
midt 
 
A figura (c) mostra o diagrama típico de um material dúctil que, como o alumínio, 
por exemplo, não apresenta um processo de escoamento definido. O diagrama 
possui um trecho inicial quase reto, seguido de uma fase onde, claramente o 
material se deforma mais rapidamente com o acréscimo de tensão, até atingir a 
ruptura, quando se torna horizontal. Neste caso, a tensão de escoamento é 
estabelecida por convenção, correspondendo a uma deformação permanente de 
2%o. 
 
 
3- LEI DE HOOKE - MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) 
 
As estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas 
deformações, que não ultrapassem os valores do diagrama tensão/deformação do 
material correspondentes ao seu trecho retilíneo (fase elástica do material). Na 
parte inicial do diagrama, sabe-se que a tensão σ é diretamente proporcional à 
deformação específica ε. Nessa fase, é sempre atendida a seguinte equação: 
 
 
 σ Essa relação é conhecida como Lei de Hooke e se deve ao εE=
 matemático inglês Robert Hooke (1635-1703). 
 
O coeficiente E é chamado Módulo de Elasticidade do material, ou Módulo de 
Young. Como a deformação específica é uma grandeza adimensional, o módulo 
de elasticidade E é expresso na mesma unidade da tensão normal σ, ou seja, o 
Pascal e seus múltiplos no sistema Internacional. 
 
O módulo de elasticidade é um parâmetro constante, característico de cada 
material, que pode ser definido como o coeficiente angular da curva tensão 
deformação na sua fase elástica. 
 
32 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
VI- TRAÇÃO SIMPLES 
 
 
1- TRAÇÃO EM BARRAS DE EIXO RETO 
 
Suponha-se uma barra de eixo reto, de comprimento l, com seção transversal 
constante com área S, submetida à ação de um esforço de tração N. Supondo-se 
a barra solicitada nos limites da fase elástica, ou seja, que o diagrama 
tensão/deformação seja linear, não tendo sido ultrapassado o limite de 
escoamento do material, pode-se afirmar que: 
 
a) A tensão normal em uma seção transversal da barra pode ser considerada 
constante em toda a superfície da seção, não trazendo tal hipótese 
simplificadora erros significativos para a análise do problema. 
 
 
 
N 
∆l 
l 
 
S
N
=σ (constante) 
 
l
l∆
=ε 
 
 
 
 
 
 
 
 σ 
 
 
b) Sendo reto o diagrama tensão/deformação, admite-se válida a lei de Hooke. 
 
εσ E= 
 
Neste caso, dois problemas básicos da Resistência dos Materiais podem ser 
resolvidos: 
 
- Verificação da estabilidade de peças já existentes: 
 
admS
N
σσ ≤= 
 
onde σ é a dita tensão admissível, que representa a tensão normal máxima a 
que o material é capaz de resistir, guardadas as margens de segurança 
desejadas. A tensão admissível é inferior ao limite de escoamento do material, 
pois seu valor é estabelecido de forma a garantir segurança diante da 
possibilidade de imprecisões na teoria de cálculo, de majorações não previstas 
nas cargas atuantes ou de falhas no material. Chama-se Fator de Segurança (k) 
adm
33 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
à relação entre a tensão de escoamento do material e a tensão admissível 
adotada no cálculo. 
 
adm
ek
σ
σ
= 
 
- Dimensionamento de peças a construir: 
 
Nesse caso, selecionado o material, definem-se as dimensões da seção 
transversal através da seguinte expressão: 
 
adm
NS
σ
= 
 
 
A seguir, apresentamos alguns valores típicos de resistência para aços utilizados 
em construção: 
 
Resistências à tração – k=1,65 
Categoria do aço Tensão de escoamento-σ e
(MPa) 
Tensão admissível- σ adm
(MPa) 
CA-24 240 140 
CA-32 320 190 
CA-40 400 240 
CA-50 500 300 
CA-60 600 360 
 
 
- Influência do peso próprio da peça 
 
S 
P 
 
l 
 
 
 
x 
 
 
 
 
O valor da tensão normal em
 
( ) x
S
Px γσ = + , cujo valor m
 
Suponha-se uma peça vertical sujeita a tração
exercida por uma força P em sua extremidade
inferior. Suponha-se, ainda, que o peso próprio da
peça não seja desprezível diante da força P aplicada.
Nesse caso, o esforço normal numa seção qualquer,
definida pela ordenada x, será: 
 
( ) SxPxNN .γ+== 
 uma seção S, será: 
áximo ocorrerá na extremidade superior, onde x=l. 
34 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
l
S
P
γσ +=max 
 
Se a peça tem seção constante, seu dimensionamento é feito para essa tensão 
máxima, que representa a situação da seção mais desfavorável: 
 
l
PSl
S
P
adm
adm γσ
σγσ
−
≥⇒≤+=max 
 
Para o cálculo da deformação da peça, é necessário levar em conta que, neste 
caso, a tensão não é mais constante ao longo de seu comprimento. Parte-se, 
então da análise do alongamento sofrido por um elemento dx, que será igual a 
εdx. 
 
∫=∆
l
dxl
0
ε 
 
Pela Lei de Hooke tem-se: 
 
E
x
ES
P
E
γσ
ε +== 
 
logo: 
 
E
l
ES
Pll
2
2γ
+=∆ 
 
Chamando-se o peso total da peça ( ): 0P lSP γ=0
 
ES
lPPl 




 +=∆ 02
1 → 
 
 
 
 
2- TRAÇÃO EM BARRAS 
 
São muito comuns na prát
para transporte de fluidos 
peças com grande curvatur
de resistir a esforços norm
portanto, de transmitir esfo
do momento fletor e do e
considerados nulos em toda
 
O alongamento é o mesmo que teria uma peça sem 
peso, com uma carga aplicada em sua extremidade 
0P
inferior igual a 
2
P + 
DE EIXO CURVO 
ica, principalmente em estruturas de máquinas, dutos 
e em linhas de transmissão elétrica, a utilização de 
a que, por serem muito delgadas, são apenas capazes 
ais. Tratam-se de peças muito flexíveis, incapazes, 
rços que impeçam movimentos relativos nas direções 
sforço cortante, para as quais esses esforços são 
s as seções. 
35 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Como exemplos de estruturas desse tipo, têm-se os tubos circulares de parede 
fina sujeitos a pressões internas, as membranas espaciais e os cabos. 
 
 
 
 
 
 
 CABO 
 TUBO MEMBRANA 
 
 
Tendo em vista o interesse para este curso, daremos prioridade ao estudo dos 
cabos. Um cabo é uma peça que, sujeita à ação de forças aplicadas, resiste 
apenas a esforços de tração. Pode-se dizer que se trata de um sistema 
infinitamente articulado, ou seja, que possui rótulas em todos os seus pontos. 
 
Passemos à análise de um cabo sujeito à ação de seu próprio peso: 
 
 p 
V y pn 
p H H A B 
H 
ϕ
N 
PN 
P
N ϕV
H s 
ϕ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha-se o cabo da figura acima, preso em suas extremidades A e B, 
niveladas. Seja p o peso do cabo por metro linear, pn sua componente normal ao 
eixo do cabo e N o esforço normal num ponto P, estabelecendo-se o equilíbrio 
entre o vértice V da curva e o ponto P, como mostrado no detalhe, tem-se: 
 
a s 
P 
A B 
V
x 
y 
l/2 l/2 
HN =ϕcos psN =ϕsen
 
dx
dy
H
pstg ==ϕ 
 
dx
ds
H
p
dx
yd
×=2
2
 
 
36 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
A função que define a forma do cabo é y(x), que pode ser obtida resolvendo-se a 
equação diferencial acima e quantificando-se as constantes de integração a partir 
das condições de contorno nos pontos correspondentes a x=0 e x=l/2, mostrados 
na figura. Assim, adotando-se os eixos de referência mostrados na figura, onde 
p
Ha = , a equação da configuração geométrica do cabo para que ele fique emequilíbrio será: 
 
a
xay cosh.= → equação do cabo (catenária). 
 
 
O comprimento do cabo desde o ponto V até um ponto P qualquer será: 
 
a
xas senh.= → comprimento de um trecho do cabo 
 
 
Donde o comprimento total do cabo (L) será: 
 
a
laL
2
senh.2= → comprimento total do cabo 
 
 
Demonstra-se, também, que o esforço normal no ponto P é dado por: 
 
 
pyN = → esforço normal em um ponto de ordenada y 
 
 
 
- Projeto de cabos flexíveis 
 
Para se projetar um cabo, adotando-se para o eixo a forma de catenária, é preciso 
calcular inicialmente o parâmetro a. Conhecido o valor de a e o comprimento do 
vão l, as equações acima permitem determinar sua ordenada em cada ponto, 
inclusive a flecha máxima, o comprimento total do cabo e até a força de tração no 
cabo, cujo valor máximo dividido pela seção do cabo representa a tensão a ser 
comparada com a tensão admissível no material utilizado. 
 
Os projetos de cabos flexíveis, para vencer um vão l conhecido, podem ser de um 
dos três tipos abaixo: 
a) projetar o cabo fixando-se a flecha máxima; 
b) projetar o cabo conhecendo-se seu comprimento total; 
c) projetar o cabo fixando-se a tensão máxima admissível 
37 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
O quadro abaixo mostra como determinar o valor do parâmetro a nos três casos 
de projetos de cabos flexíveis: 
 
caso (a) (b) (c) 
Dado fornecido Flecha (f) Comprimento do 
cabo 
Tensão admissível 
 
equação 
 
 
a
laaf
2
cosh.=+ 
 
 
equação da 
catenária para 
2
lx = 
 
 
a
laL
2
senh2= 
 
 
equação do 
comprimento total 
do cabo 
 
 adma
la
S
p
σ≤
2
cosh. 
 
 
equação da tensão 
normal para y 
máximo, dado pela 
equação da 
catenária em 
2
lx = 
 
Obs.: Em todos os casos o parâmetro a deverá ser determinado por tentativas 
 
 
 
Quando os pontos de suspensão não estão no mesmo nível, pode-se dar ao 
problema o mesmo tratamento, desde que se imagine o prolongamento da 
catenária até as condições anteriores e que todas as equações sejam 
referenciadas pelos eixos mostrados na figura abaixo. 
 
 
 A 
 B 
 a 
 l 
 y 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
38 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
VII- CISALHAMENTO SIMPLES 
 
 
1- CONCEITO 
 
Quando duas forças P são aplicadas a uma barra AB como a da figura abaixo, 
ocorre um tipo de tensão na seção transversal da barra diferente da que foi vista 
no capítulo anterior. 
 
 
P 
P
 
 
A B 
 
 
 
P
PC 
 
 
 A B
 
P 
 
C Q=P 
 A
 
P 
 
 
Para garantir o equilíbrio do trecho AC da barra, sabe-se que, na seção C 
desenvolvem-se forças internas, cuja resultante, nesse caso, é o esforço cortante 
Q na seção, com intensidade necessariamente igual a P. Dividindo-se a força 
cortante pela área da seção transversal (S), obtém-se a tensão média de 
cisalhamento na seção. 
 
 
admmed S
Q
ττ ≤= 
 
Contrariamente ao que se afirmou para as tensões normais, a distribuição das 
tensões de cisalhamento nem sempre pode ser assumida como uniforme em toda 
a superfície da seção transversal sem que se cometam erros significativos, a não 
ser em alguns casos específicos onde só haja esforço cortante na seção ou a 
seção transversal submetida a cisalhamento tenha área muito pequena. Somente 
nesses casos, a tensão de cisalhamento média pode ser o parâmetro a ser 
comparado à tensão admissível para verificação da estabilidade da seção. 
 
39 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
O exemplo mostrado acima representa um caso de seção transversal submetida a 
cisalhamento simples, ou seja, o único esforço seccional nesta seção é o esforço 
cortante. Em geral, em peças estruturais reais, a existência de força cortante 
implica também no aparecimento de momento fletor. Há, porém, casos em que o 
momento fletor pode ser desprezado em presença da força cortante e o problema 
pode ser tratado como um caso de cisalhamento simples ou corte simples. Como 
exemplos, tem-se o caso de balanço de comprimento muito pequeno (consolo 
curto) e o caso dos rebites ou parafusos que unem chapas tracionadas (ligações). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ligação por rebite 
 
 
 
Nos dois exemplos 
como exemplos de 
 
 
2- Exemplos de ap
 
Um dos exemplos
simples é o caso d
uma barra de aço 
abaixo: 
 
 
 
 
N 
 
 
 
 
 
 
 
A seção total dos re
 
4
2dnSr
π
= 
Consolo 
da figura acima, as seções tracejadas podem ser consideradas 
seções submetidas a cisalhamento simples. 
licação 
 mais correntes de aplicação do conceito de cisalhamento 
os rebites usados para união de peças de aço. Seja, portanto, 
tracionada ligada por meio de rebites, como mostra a figura 
N 
d 
bites que será
n 
 cisalhada em virtude da força N será: 
40 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
A tensão de cisalhamento média em cada rebite será, portanto: 
 
adm
r
med dn
N
S
N
τ
π
τ ==
4
2 ≤ → expressão para verificação de estabilidade 
 
logo, o número de rebites necessários para promover a ligação desejada será: 
 
adm
d
Nn
τ
π
×
=
4
2 → expressão para dimensionar a ligação 
 
Há casos em que a força N atua em mais de uma seção transversal dos rebites, 
como no caso de rebitagem com seção duplamente cisalhada mostrada abaixo: 
 
 
 N/2 
N/2 
N 
 
 
 n 
 
 
Nesse caso, atua de fato na seção dos rebites a força N/2, donde: 
 
adm
r
med dn
N
S
N
τ
π
τ ==
4
2/2/
2 ≤ 
adm
d
Nn
τ
π
×
=
4
2/
2 
 
No cáculo de rebites, é necessário também verificar se não há perigo de 
esmagamento por compressão das paredes dos furos feitos nas barras ou chapas 
para colocação dos rebites. 
 
 
N 
 σd 
t 
d 
 
 
 d 
 
 
 
 
 
Observando-se a figura, pode-se afirmar que, para uma ligação com n rebites, 
entre peças submetidas a uma força de tração N, a tensão normal σd na parede do 
41 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
furo da peça, que não deve exceder a tensão normal admissível, é quantificada 
por: 
 
admd ndt
N
σσ ≤= → verificação do esmagamento do furo 
 
Obs: Em ligações com duplo plano de corte, a força a considerar será N para a 
peça central e N/2 para as peças laterais. 
 
Da expressão, pode-se obter o número de rebites necessários em função do risco 
de esmagamento: 
 
admdt
Nn
σ
= 
 
Por fim, é possível que na seção da ligação por rebites atue, além da força de 
tração N, um momento fletor M, como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 k N’k 
O 
k=4 k=3 
k=2 k=1 
1 
M 
N 
 
 
k N’k 
N’’k Nk 
 
 
 
O 
Rk 
N’’k 
 
 
 
 
Em cada rebite, designado pelo índice k, haverá duas parcelas de força de 
cisalhamento: 
 
- Parcela devida à força de tração: 
n
NN k =' 
- Parcela devida ao momento fletor: M
R
R
N n
k
k
k
k
∑
=
=
1
2
'' 
 
A força cortante Nk em cada rebite é a resultante dos vetores N’k e N’’k, dada pela 
soma vetorial dos mesmos, conforme mostrado na figura. 
 
 
 
42 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Apresentam-se no quadro abaixo, alguns valores típicos de tensões admissíveis a 
serem consideradas no dimensionamento de ligações com rebites: 
 
Rebites ou parafusos perfeitamente 
ajustados ao furo (sem folga) 
 
admτ =105 MPa 
 
Corte nos rebites 
admτ (MPa) Rebites ou parafusos não ajustados 
ao furo (com folga) 
 
admτ =80 MPa 
Rebites simplesmente cisalhados ou 
peça lateral em cisalhamento duplo 
 
admσ =225 MPa 
 
Esmagamento na 
parede do furo 
admσ (MPa) 
Rebites duplamente cisalhados 
(peça central) 
 
admσ =280 MPa 
 
 
43 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
VIII- FLEXÃO PURA NORMAL 
 
 
1- DEFINIÇÃO E CONCEITOS GERAIS 
 
Diz-se que uma seção transversal está submetida a flexão pura normal quando o 
único esforço nela existente é um momento fletor atuando em um plano que 
passe por um dos seus eixos principais de inércia. Quando o momento atuante é 
oblíquo em relação aos eixos principais de inércia da seção tem-se um casode 
flexão oblíqua, cujo estudo foge ao escopo deste curso. 
 
Este capítulo é dedicado ao estudo da flexão pura normal em peças de eixo reto 
ou com pequena curvatura, podendo-se aplicar também ao caso de flexão 
simples (onde há momento e cortante), quando se desprezam os efeitos do 
esforço cortante. 
 
 
2- HIPÓTESE SIMPLIFICADORA 
 
Considere-se uma peça como a da figura abaixo, sujeita apenas a momento fletor 
M no plano de simetria de suas seções, suposto vertical. 
 M 
 M 
 
 
 
 
 
 
Hipótese de Bernouille: “As seções transversais, ap
conservam planas e normais ao eixo deformado”. 
S1’ 
S1 
dx 
L 
S2 
S2’ 
 dx’-dx 
dx 
dϕ 
dϕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σ 
 x 
 V1 
 
 V2 
 
 
 
44 
R
Seção 
 Eixo de simetria 
ós a deformação, se 
dx
d ϕ
α =
 ε =αy 
 N 
 y 
1 
(a
esis
2 
 ds 
y 
tência dos Materiais B
Profa. Lúcia Schmid
(b
(c) 
ásica 
t 
 
Para duas seções infinitamente próximas submetidas a momento positivo, as 
fibras superiores da seção são comprimidas (encurtamento) e as inferiores 
tracionadas (alongamento). A rotação relativa entre as seções S1 e S2 da figura 
(a) será dϕ. A linha da seção correspondente aos pontos que não sofrem 
deformação é normal ao plano de simetria da seção e se chama linha neutra. O 
diagrama da figura (b) mostra como variam as deformações específicas ε ao longo 
da altura da seção. Segundo a hipótese de Bernouille, essa variação é linear, logo: 
 
y
dx
dxdx .' αε =−= → 
dx
dϕ
α = 
 
 
3- CÁLCULO DE TENSÕES E VERIFICAÇÃO DE ESTABILIDADE 
 
Considere-se, como na figura (c), um elemento do entorno de um ponto qualquer 
da seção transversal. Supondo-se válida a lei de Hooke: 
 
kyyEE =××=×= αεσ → A tensão é proporcional à distância à linha neutra 
 
Sabendo-se que o momento total das forças em todos os pontos (σ.ds) em relação 
à linha neutra equilibra o momento atuante, tem-se: 
 
Mdsy
S
=∫ σ. ⇒ ⇒ k ⇒ ⇒ ∫ =S Mdskyy .. MdsyS =∫
2 MkJ =
J
Mk = 
 
onde J é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra, que passa 
pelo centro de gravidade no caso de flexão pura reta. 
 
Assim, para calcular a tensão normal em um ponto qualquer da seção, conhecidos 
M, J e a distância y do ponto à linha neutra: 
 
y
J
M
=σ 
 
As tensões máximas de tração e compressão na seção ocorrem, respectivamente, 
nas fibras superior e inferior, que são as mais afastadas da linha neutra. Elas 
podem ser obtidas por: 
 
 
( )compressãoV
J
M
admσσσ ≤−== 1sup1 ( )traçãoVJ
M
admσσ == 2inf2σ ≤ 
 
 
 
 
45 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
ou, fazendo-se 1
1
W
V
J
= e 2
2
W
V
J
= , tem-se: 
 
 
( )compressão
W
M
admσσ ≤−=
1
1 ( )traçãoW
M
admσ==
2
2σ ≤ 
 
 
onde W e W são chamados de módulos de resistência da seção transversal, 
funções somente de sua geometria. 
1 2
 
Observações: 
- Há materiais para os quais a tensão admissível na compressão difere 
significativamente da tensão admissível na tração. Neste caso, faz-se a 
comparação dos valores obtidos com as tensões admissíveis correspondentes. 
Esse é o caso, por exemplo, do concreto, que apresenta resistência à 
compressão cerca de 10 vezes superior à sua resistência à tração. 
 
- Os módulos de resistência das seções retangulares de base B e altura H 
podem ser obtidos por: 
 
6
2
21
BHWW == 
 
- Sugere-se adotar como valores típicos da tensão admissível de compressão 
para vigas metálicas fletidas, os obtidos a partir das seguintes expressões: 
 
2
0000057,014 




−=
bt
lh
admσ → para 718≤bt
lh 
 
bt
lhadm
7950
=σ → para 718〉
bt
lh 
 
onde: - l é o vão da viga 
- h é a altura da seção 
- b é a largura da mesa comprimida 
- t é a espessura da mesa comprimida 
 
A tensão é obtida em kPa, para l, h,b e t em m. 
 
Essas fórmulas têm por objetivo prever os casos em que vigas muito esbeltas 
estão sujeitas a risco de flambagem lateral. 
 
46 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
4- DEFORMAÇÕES EM VIGAS FLETIDAS 
 
Conforme já visto, a verificação de estabilidade nas estruturas é um passo 
essencial em seu projeto, já que é essa verificação que garante a segurança da 
mesma em relação à ruína. 
 
Sabemos também que as estruturas, como qualquer corpo elástico, sofrem 
deformações quando submetidas a solicitações de quaisquer naturezas. A 
quantificação de tais deformações também constitui uma etapa importante no 
projeto de uma estrutura, pois embora a integridade da estrutura não dependa das 
deformações, estas podem ser determinantes na sua adequação à finalidade a 
que se destinam, no que se refere a aspecto estético, funcionalidade, dimensões 
etc. 
 
Existem diversas metodologias e artifícios para cálculo de deformações em em 
estruturas, mas sua complexidade torna inviável o estudo mais aprofundado da 
matéria neste curso. 
 
Assim, neste curso nos limitaremos a apresentar alguns conceitos e definições 
importantes para compreensão do problema, possibilitando a utilização da tabela 
apresentada no anexo I deste trabalho na estimativa de deformações nas vigas 
submetidas aos principais tipos de carregamento observados na prática. 
 
Seja, pois, uma viga reta de comprimento L, submetida a um carregamento 
qualquer. Considere-se como referência um sistema de eixos coordenados, no 
qual o eixo x tem a direção do eixo da viga reta e o eixo y lhe é perpendicular: 
 
a) Define-se linha elástica como a curva que representa o eixo longitudinal da 
viga após sofrer deformação pela ação do carregamento. A ordenada de cada 
seção da linha elástica pode ser equacionada em função da abscissa x, 
considerando-se as cargas atuantes, as características geométricas de viga e 
o material utilizado. Tal equação – y=f(x) – é chamada de equação da linha 
elástica. 
 
b) Define-se flecha em uma seção como a componente na direção do eixo y, do 
deslocamento (translação) daquela seção após deformação da viga. 
 
c) Define-se rotação em uma seção transversal, suposta plana antes e após a 
deformação da viga, como o ângulo entre os planos da seção, respectivamente 
antes e após a ocorrência da deformação. A rotação pode também ser definida 
como o ângulo entre a tangente à linha elástica e a viga reta em sua 
configuração original, numa mesma seção transversal (mesmo x) 
 
47 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
IX- FLEXÃO COMPOSTA 
 
1- CONCEITO 
 
Uma seção transversal de uma haste qualquer é dita submetida a flexão normal 
composta quando, como no exemplo da figura abaixo, o esforço nela atuante é 
uma força paralela ao eixo longitudinal da haste (não há esforço cortante) e 
excêntrica em relação ao centro de gravidade da seção. Isso equivale a dizer que 
através da seção considerada transmitem-se momento fletor e esforço normal*. 
 
N 
M S 
 
 
 
 
S 
 N 
 e 
 * Todo o desenvolvimento deste capítulo
supõe sentido positivo para forças e
momentos, bem como sinal positivo para
ordenadas e excentricidades. 
eNM ×= 
N
Me = 
 
 
Quando o momento fletor atua em um plano que passe por um eixo principal de 
inércia da seção, tem-se um caso de flexão composta normal, ao qual está 
limitado o escopo deste curso. 
 
Neste caso, a tensão em cada ponto situado a uma distância y do centro de 
gravidade da seção pode ser calculada, considerando-se cada um dos esforços- 
momento fletor e esforço normal- atuando separadamente, através da expressão: 
 
y
J
M
S
N
y +=σ 
 
 
Em termos de distribuição de 
que a flexão composta pode s
flexão pura aos da tração ou c
afirmativa: 
 
 N M 
 S 
 2 
 1 
 + 
S
N
=
 CG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde o sinal de cada uma das parcelas depende
do sentido do esforço e da posição do ponto,
obedecendo-se às convenções de sinal já
estabelecidas. 
tensões normais na seção, pode-se dizer, portanto, 
er interpretada como a superposição do efeitos da 
ompressão simples. A figura abaixo esclarece essa 
 _ 
 = 
1
1 W
−=
M
 yn 
 CG 
 LN_ 
 + 
 ⇒
σ
48 
σ
 
 + 
M
=
σ
2
2 W
Resistê
1 ( )totalσ 
 + 
ncia dos Materiai
Profa. Lúcia Sch
( )total2σ 
s Básica 
midt 
 
A linha neutra, definida como o lugar geométrico dos pontos para os quais σ , 
estará, neste caso, a uma distância do centro de gravidade dada por: 
0=
ny
 
0=+ nyJ
M
S
N ⇔ 
S
J
M
Nyn ×−= 
 
Sendo , tem-se: eNM ×=
 Interessante observar que a flexão pura e a tração simples
são situações limite da flexão composta, respectivamente
correspondentes a e a . 0=e ∞=eSe
Jyn −= 
 
 
2- VERIFICAÇÃO DE ESTABILIDADE 
 
Para testar as condições de estabilidade de uma seção submetida a flexão normal 
composta, basta verificar se as tensões normais em todos os pontos da seção se 
mantêm inferiores aos limites de resistência do material utilizado. Isso se faz 
comparando as tensões nas fibras extremas superior e inferior da seção às 
tensões admissíveis de compressão ou de tração do material, conforme o caso. 
 
 
admW
M
S
N
σσ ≤−=
sup
sup 
 
 
admW
M
S
N
σσ ≤+=
inf
inf 
 
 
3- NÚCLEO CENTRAL DA SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
Quando a linha neutra corta a seção, as tensões normais nas fibras extremas da 
peça têm sinais contrários. Para que essas tensões sejam de mesma natureza 
(tração ou compressão), ou seja, tenham o mesmo sinal, a linha neutra deverá 
estar posicionada fora dos limites da seção transversal da peça. 
 
Na situação limite em que a linha neutra coincide com o extremo inferior da seção, 
que dista Y2 do centro de gravidade, chamando-se de e1 a excentricidade do 
esforço seccional, tem-se: 
 
1
2
ee
Yyn
=
=
 
 
49 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
S
W
e
SY
Je
Se
JY 21
2
1
1
2 −=→−=→−= 
 
Analogamente, na situação limite em que a linha neutra coincide com o extremo 
inferior da seção: 
 
S
W
e
SY
Je
Se
JY 12
1
2
2
1 −=→−=→−= 
 
Pode-se afirmar que e são, respectivamente, as ordenadas dos limites 
superior e inferior do chamado núcleo central da seção transversal. Numa 
seção submetida a flexão composta, caso a força normal excêntrica esteja 
aplicada no interior do núcleo central, as tensões normais em todos os pontos da 
seção transversal terão o mesmo sinal, ou seja, só haverá tensões de tração ou 
compressão em toda a seção. 
1e 2e
 
Numa seção retangular com altura h e largura b, o núcleo central terá a forma e 
dimensões mostradas na figura abaixo: 
 
 
 CG 
 b 
 b/6 
 b/6 b/6 
 h/3 
 h/6 
 h/6 
 h 
 
Numa seção retangular, para
que só haja tensões de tração
ou de compressão em toda a
sua superfície, a resultante do
esforço deverá ter seu ponto
de aplicação localizado no
interior do losango inscrito no
terço central da altura e da
largura da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
X- CISALHAMENTO NA FLEXÃO SIMPLES 
 
 
Neste capítulo estudaremos a influência das tensões de cisalhamento em peças 
submetidas a flexão simples (seções com esforço cortante e momento fletor). 
Antes, porém, é importante discorrer sobre alguns conceitos que são essenciais à 
perfeita compreensão do fenômeno a ser estudado. 
 
 
1- ESTADO PLANO DE TENSÕES 
 
Já foi visto que o estado mais geral de tensões possível em um ponto P qualquer 
pode ser representado por seis componentes. Três dessas componentes, σ , σ 
e σ , definem as tensões normais exercidas nas faces de um pequeno elemento 
cúbico centrado em P, com a mesma orientação que os eixos coordenados. As 
outras três, τ , e τ , são as componentes de tensões de cisalhamento no 
mesmo elemento. 
x y
z
xy yzτ xz
 
P 
σy 
 τxy 
σz 
 τxz 
 τyz 
z x 
y 
 
 
 σx 
 
 
 
 
 
 
Uma situação particular em que duas faces paralelas do cubo elementar 
encontram-se isentas de tensões é denominada “Estado Plano de Tensões”. 
Esta situação é muito comum na prática, ocorrendo em barras estruturais onde as 
faces laterais não sofram confinamento, que constituem o universo dos casos 
estudados neste curso. No estado plano de tensões, as componentes de tensões 
, e τ em torno do ponto P da figura acima são necessariamente nulas, 
reduzindo-se o problema à análise de tensões em um pequeno elemento 
quadrado em torno do ponto P, como mostrado na figura abaixo. 
zσ xzτ yz
 
Apenas observando a figura, é possível
concluir que as tensões de cisalhamento
nos planos ortogonais devem ser iguais,
gerando binários com rotações de sentidos
opostos em relação a P, para garantia do
equilíbrio do elemento em análise. τxy 
σx 
σy 
 P 
 τxy 
 σy 
σx 
 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
51 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
2- TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO SIMPLES NORMAL 
 
Considerem-se duas seções S e S’ infinitamente próximas entre si, em uma peça 
sujeita a flexão simples, isto é, sujeita a momento fletor (M) e esforço cortante (Q), 
conforme mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 τy 
b τy 
a 
b 
 c 
d 
 σ+dσ 
 M M 
 LN 
a 
b 
 c 
 d 
dx 
 τy 
y 
σ 
 b 
 Q Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 S S’ 
 
dx 
 
Na figura observa-se, como já demonstrado, que na cota definida pela ordenada y 
em relação à linha neutra, a tensão de cisalhamento na seção transversal S é 
acompanhada de uma tensão de cisalhamento de igual valor (τy) na direção do 
plano abcd, aplicada ao longo da linha ab. A Resistência dos Materiais supõe que 
a tensão de cisalhamento transversal (na seção transversal) é constante ao longo 
da linha ab e que a tensão de cisalhamento longitudinal (no plano abcd) pode ser 
considerada constante entre duas seções infinitamente próximas. 
 
Para melhor compreensão do fenômeno físico, pode-se imaginar a peça fletida 
como sendo composta por tábuas de espessura infinitesimal superpostas, como 
na figura abaixo. É intuitivo perceber que geram-se tensões de cisalhamento entre 
as tábuas quando ocorre flexão na peça. Da mesma forma, pode-se afirmar que 
são nulas as tensões de cisalhamento nas superfícies livres inferior e superior da 
peça. 
 
τ=0 
 τ 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
Retornando à figura anterior, destaque-se o sólido situado entre as seções S e S’, 
acima do plano abcd. Observa-se que neste sólido atuam externamente apenas 
as tensões normais σ e σ nas seções S e S’ e a tensão de cisalhamento 
longitudinal τ no plano abcd. 
σd+
y
 
O equilíbrio do sólido considerado impõe que: 
 
∫ = dxbdSd y ... τσ → a integral estende-se aos pontos da parte da seção 
situada acima da linha ab. 
 
∫= dSdx
d
by
σ
τ
1 
 
Do estudo da flexão pura, tem-se: 
J
yQ
J
y
dx
dM
dx
dy
J
M
==⇒= .σσ (se J= constante) 
 
Portanto: 
 
∫= ydSbJ
Q
yτ 
 
Fazendo-se → momento estático em relação à linha neutra, da área 
da seção S situada acima da linha ab 
∫ = SMydS
 
 
Temos, assim: 
 
 
adm
S
y bJ
QM
ττ ≤= Esta condição deve ser satisfeita em todos os pontos da seção 
 
 
onde: 
- é a tensão de cisalhamento longitudinal e transversal atuante no ponto de 
ordenada y. 
yτ
- b é a largura da seção no nível da ordenada y 
- Q é o esforço cortante na seção 
- J é o momento de inércia da seção em relação à linha neutra 
- Ms é o momento estático em relação à linha neutra, da área da seção situada 
acima da cota y. 
 
 
 
53 
Resistência dos Materiais Básica 
Profa. Lúcia Schmidt 
 
3-VARIAÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 
Da expressão deduzida, pode-se afirmar que, para uma seção retangular sujeita 
a flexão simples (momento fletor M e esforço cortante Q), a variação de τ é 
parabólica, com valor máximo na linha neutra da seção, como mostra a figura 
abaixo: 
y
 
 
 
 N L H 
 
 
Q3 
 
 
 
 
 B 
 
O valor da tensão de cisalhamento m
do equilíbrio de tensões na seção suj
 
 
 N 
 bl 
 Rc 
 L H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BHLN
⋅==
2max
ττ
áxima pode ser também equacionada a partir 
eita a flexão, como a seguir: 
 Rt 
 Z 
BH
Q
HB
LN 22max
=
×
==ττ
 σy 
(flexão)
54 
Zb
Q
l
LN ==ττ max 
 
Seção