Produto Escalar e Ângulos Diretores

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PRODUTO ESCALAR
AULA 4
DEFINIÇÃO ALGÉBRICA
EXEMPLOS
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR: O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 
EXEMPLOS
PRODUTO ESCALAR
AULA 5
ÂNGULOS DIRETORES DE UM VETOR
EXEMPLOS
111
222
Chama-se Produto Escalar de dois vetores
 u = (x, y, z) e
v = (x, y, z) o número real determinado 
por:
r
r
uvxxyyzz
121212
urur
×=++
Para o Produto Escalar, valem as seguint
es PROPRIEDADES:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ααα
uvvu
uvwuvuw
uvuvuv
uuuuouuuu
×=×
×+=×+×
×=×=×
×===×
2
2
urururur
ururuururururuur
urururururur
ururururururur
·
·
·
·
(
)
(
)
×
+×-
rr
urur
urururur
1) Dados os vetores u = (3, 2, 1) e v = 
(-1, -4, -1), calcular:
a) 
b) 
uv
uvuv
2
(
)
×+=
rr
ururuuur
2) Dados os vetores u = (4, a, -1) e v =
 (a, 2, 3) e os pontos
A(4, -1, 2) e B(3, 2, -1), calcule o val
or de a de modo que
uvBA.
5
uvuvcos
urururur
×=q
Se u e v são vetores não-nulos e 
θ o 
âng
ulo entre eles, então:
rr
uv
cos
uv
urur
urur
×
q=
ou
com 
θ
0180
oo
££
oo
uvcos
00090
urur
×>Ûq>Û£q£
Como o sinal de é o mesmo de cos
θ, ent
ã
o:
uv
×
oo
uvcos
0090180
urur
×<Ûq<Û£q£
o
uvcos
0090
urur
×=Ûq=Ûq=
Condição de Ortogonalidade de dois vetor
es:
×
rrrr
urur
o
3) Sendo u = 2 e v = 3 e 120 o ângulo en
tre u e v, 
calcular:
a) 
uv
rr
4) Mostrar que os vetores u = (1, -2, 3)
 e v = (4, 5, 2) são 
vetores ortogonais.
r
r
5) Determinar um vetor ortogonal aos vet
ores u = (1, -1, 0)
e v = (1, 0, 1).
g
urr
rrur
Ângulos Diretores de são os ângulos 
α, 
β e que u forma
com os vetores , e respectivamente.
v
ijk
x
cos
u
ur
a=
y
cos
u
ur
b=
ur
z
cos
u
g=
Como o versor é um vetor unitário, podem
os perceber que:
coscoscos
a+b+g=
222
1
1) Calcular os ângulos diretores de v = 
(1, -1, 0).
r
2) Um vetor u do espaço, forma com os ve
tores i e j
ângulos de 60 e 120, respectivamente. De
terminar
o vetor u sabendo que u = 2.
oo
rrr
rr
3) Obter um vetor v, sabendo que v = 4 e
 é ortogonal ao
eixo Oz, forma 60 com o vetor i e um âng
ulo obtuso com j.
o
rr
rr