Relatório_Pendulo Fisico-corrigido-7,5

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RELATÓRIO DE EXPERIMENTO: PÊNDULO FÍSICO 
 
I. RESUMO DO EXPERIMENTO 
O experimento foi feito através de uma régua com massa especifica, pendurada por um 
raio de bicicleta, no qual foi cronometrado o tempo que esse pêndulo leva para realizar 10 
Oscilações, para cada distância s dos eixos oscilatórios e o eixo do centro de massa. Sendo as 
últimas distâncias s, medidas com uma redução do número de oscilações, devido às 
circunstâncias que serão abordadas no relatório. Ao decorrer do experimento foi exigido 
cálculos do período, sua relação com s (distância dos furos ao eixo de centro de massa), a 
dependência do momento de inércia pela mesma e também a obtenção da gravidade local e o 
comprimento do objeto realizado no experimento, que no caso foi a régua. 
 
II. INTRODUÇÃO 
Sempre que estudamos pêndulo, nós começamos pela teoria, abordando como a massa 
total do pêndulo se localiza inteiramente em uma das extremidades. Porém, na prática, a 
massa do pêndulo é espalhada uniformemente ao longo da sua extensão. 
Devemos, então, calcular a força restauradora chamada torque, dada pela expressão: 
 , a partir da posição do centro de massa do pêndulo dado pelo coeficiente S. 
Em um pêndulo simples utilizamos a expressão T = 2π/w, em que w² = g/L. No entanto, 
a frequência angular do pêndulo fisico é dada por w² = mgS/I, sendo I o momento de inércia, 
dando a expressão do período √
 
 
 . 
No experimento que vamos realizar, iremos calcular o período realizado pela oscilação 
de uma régua utilizada como pêndulo, para isso devemos calcular o momento de inércia da 
régua 
 
 
 , substituindo na equação do período, temos: 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
III. DESCRIÇÃO DO MATERIAL UTILIZADO 
Para realização do experimento foi utilizado os seguintes materiais: 
 
 Régua de acrílico; 
 Trena e escalímetro; 
 Balança digital doméstica; 
 Relógio com cronometro; 
 Haste metálica (raio de bicicleta); 
 Fita crepe; 
 Mesa de suporte; 
 
Etapa 1. Medição do comprimento da régua. 
Realizada com trena e a marcação para achar as diagonais e a linha que divide a metade 
da régua, achando assim o centro de massa, foi utilizado o escalímetro para medição das 
distâncias s dos furos em relação ao centro de massa. 
 
 
Figura 1- Trena Utilizada para marcação do centro de massa. 
 
Etapa 2. Perfuração da régua. 
O primeiro furo foi iniciado pelo centro de massa e na sequência os onze furos, sendo 
utilizada a própria haste aquecida no fogo para sua perfuração. Foi observado que a cada furo 
houve perda de massa da régua e dificuldade para manter o diâmetro de cada furo, conforme a 
figura 2 e o vídeo (https://drive.google.com/file/d/1Fauv59dscTCUBWYpobs6AF-
JTOB2EgEf/view?usp=sharing). 
 
 
 Figura 2- Perfuração da Régua através de uma haste aquecida. 
 
Etapa 3. Medição da massa da régua e das distancias (s) dos furos no centro de 
massa. 
Realizada pela balança e posteriormente as medidas (s) ao centro de massa com 
escalímetro e anotação na tabela. 
 
 
 Figura 3- Medição das distâncias s dos furos em relação ao centro de massa. 
 
 
Figura 4- Medição da massa da régua, através de uma balança de cozinha. 
 
Etapa 4. Uso da fita crepe. 
Foi utilizada fita crepe para prender a haste metálica na mesa evitando a movimentação 
da mesma. 
 
 Figura 5- Fixação da haste metálica. 
 
Etapa 5. Montagem do pendulo físico. 
 As oscilações foram medidas com os tempos pelo cronometro, em cada dez oscilações 
para obtenção do período, estes procedimentos foram repetidos para cada furo. Como também 
filmado para checagem na tela do computador em relação às medidas dos cronômetros 
conforme mostrado nos videos. 
 
 Vídeo de oscilação para furo 1: 
https://drive.google.com/file/d/1zSWcJTcP44oZoNLXWIuQb51n9BNLUvO/view?usp=sharing 
 
 Vídeo de oscilação para furo 3: 
https://drive.google.com/file/d/1KnFEjXlkbERpsEawCIMyB7bV3qWxZFuB/view?usp=sharing 
 
 Vídeo oscilação para furo 10: 
https://drive.google.com/file/d/1zcw0E9TS0FwTBq3cJiHUjCiM1Qmi3bo-/view?usp=sharing 
 
IV. TRATAMENTO DE DADOS 
 
Antes de começarmos, fizemos alguns ajustes ao preencher a tabela de dados solicitada, 
pois ao decorrer do experimento percebemos uma clara diminuição do ângulo de oscilação e o 
período de oscilação, ao se aproximar do eixo de centro de massa. Então foi decidido diminuir 
a quantidade de oscilações pedidas, para mantermos assim o padrão e não acarretar defasagem 
na obtenção dos dados. 
 
Tabela 1-Dados obtidos para cada furo solicitado. 
 
Com os dados em mãos traçamos um gráfico em papel milimetrado de TxS, como pode 
ser visto na figura 6: 
 
 
 Figura 6- Gráfico de TxS. 
Analisando a figura 6, nota-se que quando s vai tendendo a 0, o período vai tender a 
infinito, pois é justamente no centro de massa, então ele não irá oscilar por causa disso. Cada 
vez que S vai se afastando de 0 e tendendo a L/2, pode ser observado que T vai diminuindo, 
chegando a um valor minimo que é quando S = 0,100m e T = 0,856s , após esse furo, T vai 
aumentando novamente até S chegar a L/2. 
7.1
Para o próximo tópico, devemos buscar a dependência funcional com o expoente 
negativo entre T (período) e S (distância). Para isso, utilizaremos as 4 menores medidas de S 
e, claro, seus respectivos períodos. De antemão, é necessário trazer o gráfico log-log para esta 
situação. Dessa forma, teremos: 
 
 Figura 7- Gráfico em log-log dos 4 menores valores de s. 
 
É possível observar que o gráfico tem uma natureza decrescente, analisando a dispersão 
dos pontos é possível tentar prever uma curva com concavidade voltada para baixo, essa 
característica somada à expressão do pêndulo, nos leva a esperar uma dependência de 
potência com expoente negativo. Para validar essa expectativa, será necessário encontrar o 
8.1
8.2
coeficiente linear. Para isso, utilizaremos a fórmula α = ∆y/∆x, onde ∆y e ∆x serão dois 
pontos distintos deste gráfico. 
 
Substituindo pelos valores do gráfico: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 Para encontrar uma dependência em uma lei de potência é preciso usar a fórmula: 
 
 → 
 
 
 
 
 → 
 
Para finalizar, encontramos a relação de: . Com isso, é 
possível notar a dependência funcional e o expoente negativo. Exatamente como a fórmula 
condiz, para os valores menores de S, o período se torna cada vez maior. 
Para confeccionar o gráfico em função de S², foi necessário preencher uma 
tabela com todas a variações como mostrado na tabela 2: 
 
 
 Tabela 2- Dados de e S². 
T²S/4π² (s²m) S² (m²) 
0,003201967 0,0225
0,002724966 0,017956
0,00240947 0,014884
0,002157204 0,012544
0,001856042 0,01
0,001715623 0,0081
0,001393988 0,0049
0,001213701 0,003136
0,000904824 0,0016
0,000785239 0,000961
0,000908493 0,000289
9.1
 
 Figura 8- Gráfico linear de em função S². 
 
 Podemos analisar na figura 8, que se trata de um gráfico linear, já que tem uma 
depência linear em relação às variaveis, no qual vamos notar melhor essa dependência linear 
apartir do Método dos Mínimos Quadrados (MMQ). 
 Para fazer um melhor ajuste do gráfico 
 
 
 para uma reta y = ax +b, é preciso aplicar o 
Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), para encontrar os valores de a e b. Tendo a fórmula 
do período em mãos: √
 
 
 e 
 
 
 , fazendo algumas substituições e 
manipulações matemáticas, obtemos: 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Aonde y = 
 
 
 , x= s² e n=11, com isso vamosao cálculo de a e b pelas fórmulas do 
MMQ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para facilitar e agilizar os cáculos foi utilizado as fórmulas pelo Excel, sendo 
encontrado os seguintes resultados: 
 
 
Tabela 3- MMQ de T² s/4π² em relação a s². 
 
 Os valores de depedência linear de a = 0,10716192 e b = 0,000808252 e sua equação 
da reta y = 0,10716192x + 0,000808252, substituindo as incógnitas, a equação geral é: 
 
 
 
 
 
 Para determinar a dependência do momento de inércia do pêndulo físico em função da 
distância s, analisa-se se ela satifaz o teorema dos eixos paralelos, para isso, vamos comparar 
os valores dos momentos de inercia experimental que foi obtida através do MMQ com os 
valores teóricos e veremos seus erros relativos. Utilizarmos as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 E para o momento experimental é necessário uns ajustes matemáticos na fórmula: 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 Substituindo 
 
 
 pelo que foi encontrado através do MMQ, 
 
 
 
 , iremos obter: 
 
 
 
 Tendo em mãos, as fórmulas do momento de inércia experimental e teórico, nota-se na 
fórmula experimental que há uma dependência do momento de inercia em função da distância 
s. Isso fica mais visível, quando montamos uma tabela no Excel, comparando o momento de 
inércia de cada distância s entre os eixos, e também calculando os seus respectivos erros 
relativos, com o intuito de observar se o valor experimental encontrado está muito distante do 
teórico. 
 A gravidade utilizada no cálculo foi g = 9,80 m/s². 
 
 
Tabela 4-Momento de Inercia experimental e teórico e seus respectivos erros relativos. 
 
 Lembrando que o Erro Relativo pode ser calculado através da fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 Através da Tabela 4, observa-se que o erro relativo dos valores do momento de inércia 
experimental em relação ao teórico é baixo, tendo o maior valor de 3,41% e foi diminuindo ao 
12.1
se aproximar do eixo de centro de massa, verificando assim, que a dependência encontrada 
satisfaz o teorema dos eixos paralelos. 
Ainda na tabela 4, também vemos que se mantém a relação do teorema dos eixos 
paralelos, pois um dos termos da fórmula é o produto da massa total do corpo pelo quadrado 
da distância entre os dois eixos, e, quanto mais diminuimos essa distância s, menor é o 
momento de inercia. Como pode ser analisada através respectiva fórmula: 
 
 
 
 Para encontramos a gravidade, manipulou-se a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) → 
 
 
 
 
 
 Relembrando que 
 
 
 , montamos então uma 
tabela no Excel para encontrar a gravidade em todos os 11 pontos, tirando a sua respectiva 
média e desvio, para termos assim uma melhor precisão da gravidade encontrada. 
 
 
Tabela 5- Gravidade encontrada em todos os pontos, sua média e desvio padrão. 
 13.1
Como pode ser visto na Tabela 5, foi encontrada g = 9,65 ± 0,15 m/s², analisando o seu 
intervalo, será: 
 
 
 
Encontramos então um valor de gravidade dentro do esperado já que o seu limite 
superior está dentro do valor ideal que é de 9,80 m/s². 
Por último vamos encontrar o comprimento total da régua, através da manipulação da 
fórmula: 
 
 
 
 → 
 
 
 
 
 √
 
 
 
 
Depois disso, inserimos a expressão no Excel e obtivemos um L para cada momento, e, 
da mesma forma como fizemos com a gravidade, também tiramos a sua média e desvio 
padrão. 
 
 
Tabela 6- Comprimento da Régua para todos os momentos, sua média e Desvio. 
 
 
Obtivemos L = 0,3127 ± 0,0068 m. Se formos analisar seu intervalo será: 
 
 
 
 
Com isso, o comprimento encontrado também está dentro do padrão desejado, já que a 
régua que utilizamos possui o comprimento de 0,310m. 
Cabe salientar que, a equipe enfrentou algumas dificuldades no decorrer da montagem e 
execução do experimento, como: 
 
 Um ambiente isolado de forças externas (vento): onde encontramos um local sem 
muita interferência do vento. 
 Furos devidademente lisos, sem superficies enrrugadas: pois com o furo feito através 
do aquecimento de um objeto pontiagudo, gerou algumas irregularidades, que através 
do lixamento foram eliminadas. 
 Usamos uma haste metálica: para uma melhor rotação dos eixos de giro sem perder 
energia através do atrito, proviniente dos furos. 
 Manuseio inadequado: nesse quesito aqui tivemos que repetir várias vezes e tirar uma 
média para obter um padrão desejado, além de também fazer um video para cada furo, 
para cronometrarmos melhor através do video. 
 
Mesmo decorrente das dificuldades listadas, podemos concluir que o pêndulo físico é 
influenciado pela distância do centro de massa e do eixo de oscilação, além de depender 
também da massa para ter o seu momento de inércia. 
 
OBS.: Para melhor visualização dos valores contidos nas tabelas deste experimento acesse: 
https://drive.google.com/file/d/14g4f5wK7hfBaRjjR3O8XVf57OThS-iHZ/view?usp=sharing. 
 
 
V. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
 Pêndulo Fisico e Pêndulo Simples. MoodleUFBA. Disponível em: 
<https://ava.ufba.br/mod/resource/view.php?id=638318>. Acesso em: Acesso 
em: 20 abr. 2021. 
 
 PÊNDULO Simples e Pêndulo Físico: Experimento A8. [S. l.]: UFES-
Departamento de Física - CCE, [20--]. Disponível em: 
<https://fisica.ufes.br/sites/fisica.ufes.br/files/field/anexo/experiencia_a8_-
_pendulo_simples_e_pendulo_fisico.pdf>. Acesso em: 18 abr. 2021. 
 
 ROQUE, Antônio. Movimento Harmônico Simples: Ondas, Fluidos e 
Termodinâmica. [S. l.]: USP, [20--]. Disponível em: 
<http://sisne.org/Disciplinas/Grad/Fisica2FisMed/aula4.pdf>. Acesso em: 18 abr. 
2021. 
 
 
 Roteiro de Laboratório – Pêndulo Físico. MoodleUFBA. Disponível em: 
<https://ava.ufba.br/mod/resource/view.php?id=638315>. Acesso em: Acesso 
em: 16 abr. 2021. 
 
 
 
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Índice de comentários
7.1 comentar a tabela
8.1 não ligar os pontos
8.2 expoente negativo devido à curva ser decrescente
9.1 encontrar os coeficientes a partir do mmq
12.1 I/mg=b+as²
I=mgb+mgas², sendo a=1/g
I=mb/a+ms² satisfazendo o teorema dos eixos paralelos
13.1 do mmq a=1/g e b=L²/12g 
não pela média
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