Datação do Carbono 14 X Equações Diferenciais

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Datação do Carbono 14 X Equações Diferenciais. 
As equações diferenciais tem uma variedade de aplicações nas ciências 
naturais, inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química e 
biologia entre outras diversas áreas do conhecimento pois, muitos fenômenos 
quando formulados em conceitos matemáticos envolvem funções e taxas de 
variações destas funções. Resolver uma equação diferencial é encontrar uma 
função que satisfaça a equação. 
Em certos casos, a idade de um dado material pode ser determinada com base 
na taxa de decaimento de um isótopo radioativo, o qual emite radiação β.O 
melhor exemplo da aplicação desse tipo de fenômeno é a datação de materiais 
através da medida do decaimento do Carbono 14. É utilizado um modelo 
matemático envolvendo uma equação diferencial para determinar a idade dos 
objetos através do método datação do Carbono 14. A técnica do é hoje 
largamente utilizada em arqueologia e antropologia. 
A maior parte do carbono presente na Terra é composta de uma mistura de dois 
isótopos estáveis: 98,9% de Carbono-12 e 1,1% de Carbono-13.Contudo, 
amostras naturais de carbono sempre contêm traços de um terceiro isótopo, o 
Carbono-14, criados por raios cósmicos combinam-se com oxigênio para formar 
dióxido de carbono, que as plantas absorvem naturalmente e incorporam por 
meio da fotossíntese. Os animais e humanos comem plantas, acabam ingerindo. 
A teoria da datação por carbono baseia-se no fato de que a razão de Carbono-
14 por carbono normal (Carbono-12) no ar e em todos os seres vivos mantém-
se constante durante quase todo o tempo. Quando um organismo morre, ele 
para de absorver novos átomos de carbono, a relação de Carbono-14 por 
Carbono-12 no momento da morte é a mesma que nos outros organismos vivos, 
mas o Carbono-14 continua a decair e não é mais reposto, nesse instante, é 
acionado um relógio que consiste na percentagem decrescente de Carbono-14 
no organismo que morreu. Ao olhar a relação entre Carbono-14 e o Carbono-12 
na amostra e compará-la com a relação em um ser vivo, é possível determinar a 
idade de algo que viveu em tempos passados de forma bastante precisa. 
Para se obter a datação de objetos em geral. 
Para resolver a equação diferencial será empregado o método de separação de 
variáveis, para que seja possível estimar a época em que objeto foi 
confeccionado. 
A taxa que um elemento radioativo se desintegra (no caso o Carbono 14), em 
certo instante, é correspondente à quantidade do isótopo presente neste mesmo 
instante, resultando na equação: dQ = - kQ 
 dt 
 
Sendo Q é a quantidade de material em função de t (Q(t)), k é a constante de 
proporcionalidade em função da quantidade de massa Q, ou seja, constante da 
desintegração do isótopo. Dessa forma, o problema é descrito como uma EDO 
(equação diferencial ordinária) linear de 1° ordem. Esta equação diferencial é 
separável, que pode ser transformada em: dQ  - kdt 
 dt 
 
Integrando, temos:  dQ  - kdt 
 Q 
 
Da definição de logaritmos lnQ  - kt  C 
 -kt 
 Q = De 
 
Presumindo que já se conhece a concentração inicial Qi, ou seja, sabe-se a 
concentração quando o tempo é zero (t=0). 
Essa solução mostra que o carbono-14 decai exponencialmente. Agora se 
soubermos a concentração Q (t) em um determinado período de tempo t 
passado, podemos determinar a constante da desintegração k. 
Sabendo que a meia-vida do carbono-14, tem um valor aproximado de 5,730 
anos, ou seja, após esse período de tempo o carbono-14 tem sua concentração 
reduzida pela metade. Matematicamente, isso quer dizer: 
Agora se substitui essa expressão na equação, teremos:
 
Agora com o valor de k encontrado, reescreve-se a equação para a porção de 
carbono-14 pelo tempo assim 
 
Com a equação, fixando um valor para Qi=50, e atribuindo valores para a variável 
t, gerando a figura abaixo, que ilustra a forma com que o decaimento se comporta 
ao longo do tempo. 
 
Pode-se observar que para grandes espaços de tempo, a partir de 70000 anos, 
o método para datação via carbono-14 pode se tornar questionável, pois o 
decaimento não varia significativamente tornando-o de difícil exatidão. 
Através do método de separação de variáveis, pode-se determinar uma solução 
para a equação diferencial ordinária, e a partir deste, estimar a datação de 
objetos pelo decaimento do isótopo Carbono 14. 
 
REFERÊNCIAS 
ALVES, Wendel Botelho Alves. SOBRE A DATAÇÃO POR DECAIMENTO RADIOATIVO. Disponível 
em <https://www.periodicos.univag.com.br/index.php/CONNECTIONLINE/article/view/122 
SANTOS, Vinícius Lemos; GONÇALVE, Bruna Frantz; BLASS, Leandro. O USO DE APLICAÇÕES NO 
ENSINO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EM DATAÇÃO DE OBJETOS: CARBONO 14. Disponível em 
< https://guri.unipampa.edu.br/uploads/evt/arq_trabalhos/13411/seer_13411> 
VIEIRA, Luis Henrique; SANTOS, Rafael; SANTOS, Wesley Zany. APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS NA QUÍMICA: DATAÇÃO POR CARBONO-14. 
FARIAS, Robson Fernandes. A QUIMICA DO TEMPO CARBONO-14. Disponível em < 
https://pt.scribd.com/document/181601166/A-Quimica-do-Tempo-Carbono-14-pdf.