EQUAÇÕES DIFERENCIAIS WEB III MODA 2022 2 KARLA ADRIANA

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS-WEBIII
Msc.Profª Karla Adriana
Equações ordem 
superior
EDO de 2ª ordem.
São equações onde aparecem derivadas de ordem 
no máximo 2.
Ex: y’’ = g(x)
Y’= ∫ g(x) dx+c
Y= ∫ ∫( g(x)dx) dx+ c(x)+k
EDO DE 2º ORDEM HOMOGÊNEA
São aquelas que têm a forma : a(x)y’’ +b(x) y’ +c(x)y= 0
Ex1: Verificar se as funções são soluções da equação dada.
a) y’’ – y =0 ; y(x)= 𝒆𝒙, y(x) = senx
Solução:
p/ y(x)= 𝒆𝒙
Y’= 𝒆𝒙 , Y’’= 𝒆𝒙 𝒆𝒙- 𝒆𝒙= 0, é solução
Solução de uma EDO
Ex2: verificar que Ø1= senx e Ø 2= cosx , são soluções da EDO y’’+ 
y=0 e se y= asenx + bsenx, também é solução
Solução:
p/ y(x)= senx
Y’= cosx
Y’’= -senx , 
−𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 0 0 = 0 
Solução:
p/ y(x)= cosx
Y’= -senx , 
Y’’= -cosx
−𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝐜𝐨𝐬𝒙 = 0 0 = 0 
Verificar se a soma também é solução:
p/y(X)= senx+cosx
Y’= cosx- senx
Y’’= -senx- cosx
-senx- cosx + senx+ cosx= 0
0 = 0
Equação Diferencial com coeficientes constantes.
Equação geral linear de 2ª ordem ay’’+ by’+ cy= 0.
Determinar soluções do tipo : y= 𝒆α𝒙, y’= α 𝒆α𝒙, y’’= α² 𝒆α𝒙
Caso 1: 
Δ > 0 : 2 raízes distintas α1 e α2
Soluções: y1= 𝒆α𝟏𝒙 , y2= 𝒆α𝟐𝒙
Y= A 𝒆α𝟏𝒙 + B 𝒆α𝟐𝒙
Caso 2:
Δ= 0: uma raiz real α = α1
Y1= 𝒆α𝟏𝒙 , y2= 𝒙𝒆α𝟏𝒙
caso- 3
Δ< 0: duas raízes complexas α1= a+ bi, α2= a-bi
Y= 𝒆𝒂𝒙cosbx + 𝒆𝒂𝒙senbx 
Resolver a EDO com coeficientes constantes:
y’’+ 5 y’ - 6y = 0; 
Solução do tipo y= 𝒆α𝒙
Y’= α 𝒆α𝒙, y’’= α² 𝒆α𝒙
α² 𝒆α𝒙 + 5 α 𝒆α𝒙- 6 𝒆α𝒙 =0
α²+ 5 α-6=0
α𝟏 = 𝟏, α𝟐 = −𝟔
Sol. Y= c1 𝒆𝒙 + c2 𝒆−𝟔𝒙
Ex2: Resolver o problema de valor inicial para EDO y’’ +2y’- y =0, 
Y(0)= 0, y’(0)= -1
Solução:
α² 𝒆α𝒙 + 2 α 𝒆α𝒙- 𝒆α𝒙 =0
Y=c1 𝒆𝒙(−𝟏+ 𝟐 ) +c2 𝒆𝒙(−𝟏− 𝟐 )
p/y(0)= 0= c1𝒆𝒙(−𝟏+ 𝟐 )+c2 𝒆𝒙(−𝟏− 𝟐 )
C1= -c2
Y’(0)= -1= (1- 𝟐 )c2 + c2 (-1- 𝟐 )
Cont.
c2= 1/2 𝟐 , c1=- 1/2 𝟐
Y=c1 𝒆𝒙(−𝟏+ 𝟐 ) +c2 𝒆𝒙(−𝟏− 𝟐 )
Resolução- Parte 1
Resolução- Parte 2
d²+ 4=0
d²= -4
d=2i, -2i
𝑦2 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑘𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑦𝑡 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑘𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2𝑥
2 − 1
EDO DE ORDEM SUPERIOR
Resolução:
Para y= 𝒆α𝒙
Encontraremos a equação característica: 
α𝟒 - 5 α𝟐 + 4 = 0
u= α𝟐
u²- 5u + 4=0
, 
substituindo em u, teremos:
U= α𝟐
OBRIGADO(A)
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APRESENTADOR
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