06-PILARES-BRAGANCA-Exemplo-Dimensionamento

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Pilares de Concreto Armado
Exemplo - Dimensionamento
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
Assuntos Abordados
• Normas Técnicas de Pilares de Concreto Armado – Normas técnicas de projetos e
de ações em estruturas de concreto armado
• Flambagem de Pilares de Concreto Armado – Índice de esbeltez, classificação dos
pilares pela esbeltez, comprimento equivalente de flambagem
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NORMAS TÉCNICAS E LEGISLAÇÃO
• ABNT NBR6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento.
• ABNT NBR6120:2019 – Ações para o cálculo de estruturas de edificações.
• ABNT NBR8681:2004 - Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. 
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Dimensionamento de Pilares
Prof. Dr. Antonio Carlos da F. Bragança Pinheiro
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DADOS – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
Pilar Interno
Concreto → C30
Aço → CA-50
Força Normal de Serviço → Nk = 2.720 kN
Pilar (P) submetido a força centrada na situação de projeto
Coeficiente de majoração → γ = 1,4
V1 (20 x 52)
V2 (20 x 62)
P (35 x 60)
X X
Y
Y
PLANTA
d’ = 4 cm
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DADOS – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
CORTE – EIXO X-X
V2 (20 X 62)
560
V2
62
35
V1 (20 X 52)
V1 (20 X 52)
62
V1 (20 x 52)
V2 (20 x 62)
P (35 x 60)
X X
Y
Y
PLANTA
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DADOS – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
V2 (20 X 62)
CORTE – EIXO Y-Y
V1 (20 X 52)
560
V5
52
60
V2 (20 X 62)
V1 (20 x 52)
V2 (20 x 62)
P (35 x 60)
X X
Y
Y
PLANTA 52
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DADOS – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
V2 (20 X 62)
CORTE – EIXO X-X
V2 (20 X 62)
560
V2
62
35
V1 (20 X 52)
V1 (20 X 52)
62
CORTE – EIXO Y-Y
V1 (20 X 52)
560
V5
52
60
V2 (20 X 62)
52
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DADOS – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
0
e
L h
L
L
+
 

L0 = L – (altura da viga)
... (1) 
... (2) 
Le - comprimento de flambagem 
( comprimento equivalente) 
L0 - distância entre as faces internas
dos elementos estruturais,
supostos horizontais, que
vinculam o pilar.
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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FORÇA NORMAL DE CÁLCULO (Nd)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Nd = γ Nk ... (3) 
Nd = 1,4 x 2.720 = 3.808 kN
EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM (e1)
e1 = 0
Os eixos do pilar e das vigas coincidem e não há
momento externo
V1 (20 x 52)
V2 (20 x 62)
P (35 x 60)
X X
Y
Y
PLANTA
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO COMPRIMENTO EQUIVALENTE (Le)
Direção X-X
L0x = 560 – 62 = 498 cm
L0x + hx = 498 + 35 = 533 cm
Lx = 560 cm
Lex = 533 cm ≤
CORTE – EIXO X-X
V2 (20 X 62)
560
V2
62
35
V1 (20 X 52)
V1 (20 X 52)
62
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO COMPRIMENTO EQUIVALENTE (Le)
Direção Y-Y
L0y = 560 – 52 = 508 cm
L0y + hy = 508 + 60 = 568 cm
Ly = 560 cm
Ley = 560 cm ≤
CORTE – EIXO Y-Y
V1 (20 X 52)
560
V5
52
60
V2 (20 X 62)
52
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
3,46eX eX
X
X X
L L
i h
 = = ... (4) 
λx = 3,46 x 533/ 35 = 52,8
Direção X-X
35 < 52,8 ≤ 90 → pilar médio 
Direção Y-Y
3,46eY eY
Y
Y Y
L L
i h
 = = ... (5) 
λy = 3,46 x 560/ 60 = 32,3
32,3 ≤ 35 → pilar curto 
Lex = 533 cm Ley = 560 cm 
• Pilar curto → λ ≤ 35
• Pilar médio → 35 < λ ≤ 90
• Pilar medianamente esbelto → 90 < λ ≤ 140
• Pilar esbelto → 140 < λ ≤ 200
Não há excentricidade de 
2ª. ordem (e2)
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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EXCENTRICIDADE ACIDENTAL (ea)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Direção X-X
Portanto:
... (6) 
eaX = 1,15 cm
1
1
100
X
XLe
 =
1
1
0,00433
100 5,33
X rad = =
θ1min = 1/300 = 0,00333 rad
θ1X > θ1min OK!!! 
1
2
eX
aX X
L
e =
533
0,00433 1,15
2
aXe cm
 
= = 
 
... (7) 
Lex = 533 cm = 5,33 m 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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EXCENTRICIDADE ACIDENTAL (ea)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Direção Y-Y
Portanto:
... (8) 
eay = 1,18 cm
1
1
100
Y
YLe
 =
1
1
0,00423
100 5,60
Y rad = =
θ1min = 1/300 = 0,00333 rad
θ1X > θ1min OK!!! 
1
2
eY
aY Y
L
e =
560
0,00423 1,18
2
aYe cm
 
= = 
 
... (9) 
Ley = 560 cm = 5,60 m 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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EXCENTRICIDADE ACIDENTAL (ea)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Portanto:
(e1min) Y = 3,30 cm > eaY = 1,18 cm (e1min) x = 2,55 cm > eax = 1,15 cm 
O efeito das imperfeições locais é atendido se for 
respeitado o valor do momento total mínimo
Direção X-X
Excentricidades Mínimas
... (10) e1dmin = 0,015 + 0,03 h 
(e1min) x = 0,015 + 0,03 hx
(e1min) x = 0,015 + 0,03 (0,35) = 2,55 cm 
Direção Y-Y
Portanto:
(e1min) y = 0,015 + 0,03 hy
(e1min) Y = 0,015 + 0,03 (0,60) = 3,30 cm 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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EXCENTRICIDADE de 2ª. ORDEM (e2)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Portanto:
... (11) 
C30 →fck 30 MPa = 3 kN/cm2
fcd = fck/γC = 3,0/1,4 = 2,14 kN/cm
2
Força Normal Adimensional (reduzida)
2
2
1
10
eX
X
L
e
r
=
... (12) d
N
Ac fcd
 =
( )
3808
0,85
35 60 2,14x
 = =
Nd = 3.808 kN
Direção X-X
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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EXCENTRICIDADE de 2ª. ORDEM (e2)
DIMENSIONAMENTO – PILAR DE CONCRETO ARMADO
Portanto:
Curvatura da Linha Elástica (LE) deformada em 
virtude das deformações de segunda ordem
1/r = 10,58 x 10-5 cm-1 < 0,005/hx = 0,005/35 = 14,3 x 10-5 cm-1
e2 x = 3,00 cm 
2 2
5
2
1 533
10,58 10
10 10
eX
X
L
e x x
r
−= =
... (13) 
( )
1 0,005
0,5xr h 
=
+
( )
5 11 0,005 10,58 10
35 0,85 0,5
x cm
r
− −= =
+
Direção X-X
Lex = 533 cm 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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SITUAÇÕES – PROJETO E CÁLCULO
(A) 
SEÇÃO INTERMEDIÁRIA
PROJETO CÁLCULO
SEÇÃO DAS EXTREMIDADES
(A) 
(B) 
(B) 
X
Y 
X
Y 
X
Y 
X
Y 
X
Y 
X
Y 
emín x
emín x
emín y
emín y
e2X
2,55 cm 
2,55 cm 
3,00 cm 
3,30 cm 
3,30 cm 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
... (14) 
• Excentricidade Total na direção X
• Força Normal Adimensional
eX = 2,55 + 3,00 = 5,55 cm 
νd = 0,85 
μdX = 0,13 
Situação (A) – Direção X
• Momento Fletor Adimensional na direção do eixo X
X
dX d
X
e
h
 =
5,55
0,85
35
dX
 
=  
 
d’x/hx = 4,0/35 = 0,11
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
• Ábaco A-2
w = 0,36 
νd = 0,85 μdX = 0,13 
Barras na Situação Intermediária
• Taxa Mecânica →
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
... (15) s
w Ac fcd
A
fyd
=
( )0,36 35 60 2,14
43,5
s
x
A =
As = 37,19 cm2
n = 37,19/ 3,15 ≈ 12 φ 20 mm
Asef = 12 x 3,15 = 37,80 cm
2
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
... (16) 
• Excentricidade Total na direção Y• Força Normal Adimensional
ey = 3,30 cm 
νd = 0,85 
μdy = 0,05 
Situação (B) – Direção Y
• Momento Fletor Adimensional na direção do eixo Y
𝝁𝒅𝒀 = 𝝂𝒅
𝒆𝒀
𝒉𝒀
3,30
0,85
60
dY
 
=  
 
d’y/hy = 4,0/60 = 0,07
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
• Ábaco A-17
w = 0,13 
νd = 0,85 μdy = 0,05 
Barras para Todas as Seções Trasversais
ao longo da altura do pilar
• Taxa Mecânica →
• Como w = 0,13 < w = 0,36 → deve-se adotar o 
maior valor para as duas situações
Arranjo Final
• Adotado → Asef = 12 x 3,15 = 37,80 cm
2
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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CÁLCULO – ÁREAS DAS ARMADURAS
Verificação de Taxa Geométrica Máxima
Verificação da Armadura Mínima
• Adotado → Asef = 37,80 cm
2→ 12 φ 20 mm
Asmín = 13,14 cm
2 < Asef = 37,80 cm
2 OK!!!
... (17) 
As
Ac
 =
ρ = 37,80/(35 x 60) = 0,018 = 1,8%
ρmáx = 8,0%/2 = 4,0% (em virtude do traspasse)
ρ = 1,79% < ρmáx = 4,0% OK!!!
... (18) 
0,15 cdmín
N
As
fyd
=
238080,15 13,14
43,48
mínAs cm
 
= = 
 
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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DETALHAMENTO – ARMADURAS
Estribos
Espaçamento
5,0
20
5,0
4 4
mm
t l
mm
 
= =
Adotado → φt = 5,0 mm
... (20) 
20
35
12 12 2,0 24,0
cm
s b cm
x cm
 =
= =
... (19) 
Adotado → s = 20 cm
Dimensionamento de Pilares - EXEMPLO
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DETALHAMENTO – ARMADURAS
Proteção contra a Flambagem
20 φt = 20 x 0,5 = 10,0 cm
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Fixando Conhecimento
• Normas Técnicas de Pilares de Concreto Armado – Normas técnicas de projetos e
de ações em estruturas de concreto armado
• Flambagem de Pilares de Concreto Armado – Índice de esbeltez, classificação dos
pilares pela esbeltez, comprimento equivalente de flambagem