Identidade Trigonométrica do Arco Metade

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I. IDENTIDADES PARA O ARCO METADE: 
1 cos
( )
2 2
1 cos
( ) cos
2 2
1 cos
( )
2 1 cos
x x
I sen
x x
II
x x
III tg
x
−
= 
+
= 
−
= 
+
 
Nos problemas adotaremos o sinal positivo ou negativo dependendo do quadrante em 
que está o arco 
2
x
. 
 
Sinais das funções trigonométricas 
 
 
 
 
 
2 
 
EXEMPLO: 
1) Determinar o seno, cosseno e tangente dos seguintes arcos: 
a) 015
12

= 
SOLUÇÃO: 
 
Vamos primeiramente calcular o seno: 
1 cos
2 2
3
1 cos 1
6 6 2
12 2 2 2
2 3
2 3 2 32
12 2 4 2
x x
sen
sen sen
sen
 


−
= 
− −
= = =
−
− −
= = =
 
Para determinar as demais funções trigonométricas podemos utilizar as outras 
fórmulas do arco metade, mas, vamos aplicar identidades trigonométricas mais 
conhecidas. 
2 2
2
2 2 2 2
2
( ) cos 1
2 3 2 3
cos 1 cos 1 cos 1
12 12 2 12 4 12
2 3 2 3
cos 1
12 4 4
2 3 2 3
cos
12 4 2
IV sen x x
sen
   


+ =
 − −
 + =  + =  + =
 
 
− +
= − =
+ +
= =
 
( )
cos
senx
V tgx
x
= 
3 
 
2 3
2 3 2 312 2
12 2 32 3 2 3cos
12 2
sen
tg



−
− −
= = = =
++ +
 
&&&&&&&&&&&&&&&& 
II. UMA IDENTIDADE INTERESSANTE: 
1º caso: 
2
2
2
cos cos
4 2 2
2cos 2
2
 

 
= = 
 
 
= 
 
 
2º caso: 
2 2
3
3
3
2
1 cos 1
2 2 2cos cos cos
8 2 2 2 2
2 2
2 2 2 22cos
2 2 4 2
2cos 2 2
2
 
 


 
+ +  
= = = =  
   
 
+
+ + 
= = = 
 
 
= + 
 
 
3º caso: 
3 3
4
4
4
2 2
1 cos 1
2 2 2cos cos cos
16 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 22cos
2 2 4 2
2cos 2 2 2
2
 
 


+ 
+ +  
= = = =  
   
 
+ +
+ + + + 
= = = 
 
 
= + + 
 
 
No primeiro caso, pi é dividido por uma potência de 2 com expoente 2 e gerou um 
único radical. 
No segundo caso, pi é dividido por uma potência de 2 com expoente 3, gerando 2 
radicais. 
O terceiro caso tem como resultado 3 radicais. 
Observando o padrão entre o expoente da potência de 2 e o número de radicais 
podemos conjecturar que: 
 
1
n radicais
2cos 2 2 2 2 ... 2
2n

+
 
= + + + + + 
  
 
 
 
4 
 
1
n radicais
2 2 2 2 2 ... 2
2n
sen

+
 
= − + + + + 
  
DEMONSTRAÇÃO POR INDUÇÃO: 
1n = 
2
2
2
cos cos
4 2 2
2cos 2
2
 

 
= = 
 
 
= 
 
 
É verdade para 1n = . 
Supondo ser verdade para n k= , isto é: 
1
k radicais
2cos 2 2 2 2 ... 2
2k

+
 
= + + + + + 
 
 
Devemos mostrar que também é verdade para 1n k= + 
1 11
2
2 1
2
k radicais
2
k+1 radica
1 cos 4 4cos
2 222cos 2cos 2
2 2 2 2
2cos 2 2cos
2 2
2cos 2 2 2 2 2 ... 2
2
2cos 2 2 2 2 ... 2
2
k kk
k
k k
k
k
 

 


+ ++
+
+ +
+
+
     + +         = = =  
   
 
   
= +   
   
 
= + + + + + + 
 
 
= + + + + + 
 
is
 
De forma análoga temos também que: 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
1. Determine o seno e o cosseno dos seguintes arcos: 
a) 
64

 
SOLUÇÃO: 
6
6
6 6
64 2
64 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
sen sen
sen sen
 
 
=  =
− + + +
= − + + +  =
 
6 6
2 2 2 2 2
2cos 2 2 2 2 2 cos
2 2 2
  + + + +
= + + + +  = 
&&&&&&&&&&&&&&&& 
 
 
5 
 
 
III. GENERALIZAÇÃO: 
Se  0,x  então: 
 
 
n radicais
2cos 2 2 2 2 ... 2 cos
2n
x
x
 
= + + + + + + 
  
n radicais
2 2 2 2 2 ... 2 cos
2n
x
sen x
 
= − + + + + + 
  
 
EXEMPLO: 
1. Determine o seno e o cosseno de 0
5
18 45'
48

= . 
SOLUÇÃO: 
3
n radicais
3
5 5
5 5 6 6
48 6 8 8 2
2 2 2 2 2 ... 2 cos
2
5
562 2 2 2 cos
2 6
n
x
sen x
sen
 
 


= = =

 
= − + + + + + 
 
 
 
= − + + 
 
 
 
Vamos calcular o 
5
cos
6

. 
05 5 180 55 30 150 2º cos 0
6 6 6
quadrante
 
= =  =    
 
5 3
cos cos
6 6 2
OE OF
 
= = = − = − 
 
 
6 
 
Substituindo este valor temos: 
3
3
5
362 2 2 2
2 2
35 2 2 2
5 26
48 2 2
sen
sen sen



 
   
= − + + −    
  
 
  − + −
  
= =  
   
 
 
Também: 
3
35 2 2 2
5 26cos cos
48 2 2


  + + −
  
= =  
   
 
 
&&&&&&&&&&&&&&&&