Prova Cálculo Integral

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28/10/2022 14:46 Prova: Revisão da tentativa
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Iniciado em sexta, 28 out 2022, 13:36
Estado Finalizada
Concluída em sexta, 28 out 2022, 14:45
Tempo
empregado
1 hora 8 minutos
Notas 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O século XVII trouxe grandes avanços para a Matemática, principalmente pelas novas
áreas de pesquisa abertas. Porém a maior realização matemática do período foi a
invenção do cálculo diferencial e integral, ou cálculo in�nitesimal, na segunda metade do
século, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, de maneira independente. O cálculo
in�nitesimal é o estudo do movimento e da mudança, e antes da sua descoberta, os
matemáticos �cavam bastante restritos às questões estáticas de contar, medir e
descrever as formas. Com o novo cálculo foi possível que os matemáticos estudassem o
movimento dos planetas, a queda dos corpos na terra, o funcionamento das máquinas, o
�uxo dos líquidos, a expansão dos gases, forças físicas tais como o magnetismo e a
eletricidade, o voo, o crescimento das plantas e animais, a propagação das epidemias e a
�utuação dos lucros. A matemática tornou-se o estudo dos números, da forma, do
movimento, da mudança e do espaço. Os matemáticos costumavam utilizar limites para
calcular a área de �guras com contornos curvos. Newton e Leibniz mostraram que é
possível chegar muito mais facilmente ao resultado, usando a integração, pois se uma
quantidade pode ser calculada por exaustão, então também pode ser calculada com o uso
de antiderivadas. Esse importante resultado é denominado Teorema Fundamental do
Cálculo (TFC). O resultado do TFC é indispensável em modelagem matemática que
envolve processos de integração, pois minimiza a quantidade de cálculos e dinamiza a
resolução dos problemas de aplicação. A diferenciação e a integração são processos
inversos do Cálculo. O resultado do teorema fundamental do cálculo apresenta
detalhadamente esses aspectos. Dessa forma, utilizando TFC, qual das alternativas
apresentadas a seguir representa o resultado da integralização da função: 
a. 20/6
b. 20/3
c. 3/20
d. 6/20
e. 20/9
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Questão 2
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O princípio do cálculo integral é buscar determinar a área de regiões planas limitadas entre
curvas. Você já deve ter calculado áreas de polígonos conhecidos, como quadrados,
triângulos e círculos, mas algumas vezes a região cuja área deve ser determinada é complexa.
O uso do cálculo integral está intimamente relacionado a essas questões, com aplicabilidades
em diversas áreas da ciência. Na engenharia civil, por exemplo, utiliza-se a integral no cálculo
dos elementos estruturais, como vigas ou pilares. Durante o desenvolvimento do projeto, é
importante conhecer algumas características geométricas das seções desses elementos
estruturais. Como nem sempre a seção apresenta uma forma conhecida, esses elementos
devem ser determinados utilizando a integral. Muitas vezes as funções envolvidas no cálculo
de uma integral recaem em funções trigonométricas.
Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é possível utilizar
algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolvendo a
integral aplicando a estratégia adequada qual das alternativas abaixo representa o cálculo da
integral 
 
 
a.
b.
c.
d.
e.
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Questão 3
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Problemas aplicados às Ciências Naturais e Sociais são modelados matematicamente por
equações diferenciais que, em sua lei de formação, apresentam produtos de funções
compostas, sendo o conhecimento dessa técnica de integração fundamental para a
resolução desses problemas. As aplicações de integrais são inúmeras para o Cálculo
como campo de estudo e pesquisa da Matemática. A ideia de encontrar as antiderivadas é
um dos princípios básicos. Dessa forma, sabendo que w (1) = 2, w (4) = 7, w ' (1) = 5, w ' (4)
= 3 e w sendo uma função contínua, qual das alternativas a seguir representa o valor de 
 ?
a. 5
b. 1
c. 4
d. 2
e. 3
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Questão 4
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
A determinação das antiderivadas (primitivas) é essencial na análise de movimentos de
partículas ou objetos em uma dimensão (reta). Ao elencar a essa partícula/objeto uma função
de posição do tipo p = w(t), pode-se considerar que a função que expressa a velocidade é v(t)
= p'(t). Isto é, a antiderivada da função que expressa a posição. De forma análoga, a função da
velocidade nesse contexto é a antiderivada da aceleração, pois a(t) = v'(t). Em problemas
aplicados de Cinemática que envolvem movimentos em uma dimensão (reta), em que são
dados os valores iniciais p(0) e v(0), é possível determinar a função que expressa a posição
(modelo matemático) calculando as antiderivadas nos dois momentos.
Observe a seguinte situação:
Dois estudantes de Engenharia estão testando no laboratório de física experimental a
simulação do movimento de uma partícula de poeira que se move em uma dimensão (reta) e
apresenta uma aceleração dada pela função a(t) = 8t + 2.
Sabendo que sua velocidade e posição iniciais são, respectivamente: v(0) = -5 cm/s e p(0) = 8
cm, os dois estudantes desejam veri�car se o software do simulador está funcionando
corretamente realizando os testes padrão.
Depois de realizado os testes chegaram aos seguintes resultados:
Teste 1
A função da posição inicial para os dados apresentados é: p(t) = 4/3 t3 + t2 – 5t + 8
Teste 2
A partir dos dados apresentados, a posição da partícula no instante: t = 3s p(3) = 13 cm
Observando o resultado dos testes, é possível a�rmar que
 
a. Só o teste 2 está correto
b. Os dois testes estão incorretos
c. Só o teste 1 está correto
d. Os dois testes estão corretos
e. Os testes são inconclusivos para veri�car se software está funcionando corretamente
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Questão 5
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 6
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
O método das frações parciais é utilizado para simpli�car o cálculo integral de funções
racionais. Para utilizar o método, o polinômio no denominador da fração deve estar
fatorado. Analisando a integral   pode-se concluir que seu cálculo não é de
fácil resolução. Uma forma de simpli�car o cálculo integral de funções desse tipo é
realizando a decomposição em frações parciais. Resolva a integral utilizando a
decomposição mencionada e indique qual das alternativas representa essa solução.
a. 
b.
c.
d.
e.
A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A
aplicação principal dessa técnica é a de calcular integrais de�nidas e inde�nidas
provenientes de funções compostas em forma de produto que não podem ser calculadas
com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido, essa ferramenta é indispensável no
cálculo de integrais de problemas aplicados que, geralmente, apresentam modelos
matemáticos com funções compostas por produtos. 
Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa
forma, dadas as curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y,qual a área delimitada por essas curvas?
a. 16/6 ln2 – 29/9
b. 16/3 ln2 – 29/9
c. 16/3 ln2 + 29/9
d. 16/3 ln2 – 29/3
e. 16/9 ln2 – 29/9
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Questão 7
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Para determinar o volume de um sólido, geralmente encontramos a área da base e a
multiplicamos pela altura. Por exemplo, para calcular o volume de um prisma regular reto
de base quadrada, precisamos encontrar a área do quadrado e a multiplicarmos pela
altura; assim, encontraremos o volume desse sólido. Já que no prisma a região plana
chamada base é paralela à base superior à área delimitada compreende um quadrado, o
volume seria denominado o V = área da base × altura. A partir de secções transversais e o
cálculo integral, é possível determinar o volume de sólidos por rotação. Esse cálculo se
con�gura como uma aplicação da integral. Dessa forma, identi�que o volume do sólido, a
partir da rotação da região delimitada pelas curvas em torno das retas especi�cadas e
assinale a alternativa correta.  em torno do eixo y.
a. 94/11π
b. 94/3π
c. 94/7π
d. 94/5π
e. 94/13π
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Questão 8
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
A história do cálculo diferencial e integral foi motivada a partir da necessidade de resolver
dois problemas básicos: (i): O problema básico do cálculo diferencial, que é o problema
das tangentes; ou seja, calcular o coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de uma
função num ponto dado P. (ii): O problema básico do cálculo integral, que é o problema das
áreas; ou seja, calcular a área sob o grá�co, entre os pontos x=a e x=b. Há registros que os
egípcios, babilônicos e gregos já utilizavam os conceitos de cálculo para resolver
problemas envolvendo áreas e volumes. Arquimedes foi quem aperfeiçoou o método de
exaustão, o mesmo utilizou o método de exaustão para encontrar a área do círculo, e
obteve as primeiras aproximações do número π (pi). Ainda, concluiu que a área da região
limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do
triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Uma função indicada no
integrando de uma integral pode ser compreendida como a área sob uma curva. 
 
Dada a integral:  
 
 
Indique qual das alternativas, apresentadas abaixo, representa corretamente o valor
numérico da área
a. 1,5
b. 1,7
c. 1,6
d. 1,4
e. 1,3
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Questão 9
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Os Cálculos Integral e Diferencial são conectados pelo Teorema Fundamental do Cálculo
(TFC). A origem do Cálculo Integral ocorreu do problema de áreas; já a origem do cálculo
diferencial ocorreu do problema da tangente. Naturalmente, não há ligação entre os
problemas. Até que Isaac Barrow (1630-1677) observou que integração e diferenciação
são processos inversos. Dessa forma, o TFC fornece a relação precisa de inversão entre
os processos. O resultado principal dessa descoberta permite calcular integrais e as áreas
quando as representam sem a utilização da soma de limites. Essa funcionalidade facilita
todos os cálculos que envolvem integração. Nas aulas de geometria, aprende-se que área
é um número que representa o tamanho de uma região limitada, e para regiões simples,
como retângulos, triângulos, círculos, a área pode ser determinada por meio de fórmulas
geométricas. Mas, no caso da área de regiões que não formam um padrão, se utiliza a
integral de�nida para calcular a área de cada subintervalo, ou seja, a área da região sob a
curva f(x) no intervalo [a, b] é aproximadamente a soma das áreas dos retângulos.
Sabendo-se que a função x = 2y - y no intervalo [o, 2] representa a área, no intervalo dado,
indique qual das alternativas apresenta área descrita por essa função.
a. 4/7
b. 4/5
c. 4/3
d. 4/9
e. 4/11
2
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Questão 10
Completo Atingiu 1,00 de 1,00
Integrar uma função não é uma tarefa tão simples quanto derivá-la. Não há regras que
garantam a obtenção de sua antiderivada. No caso da derivada, para cada tipo de função (p.
ex., produto, quociente ou composição), existe uma regra para determinar a derivada, o que
não acontece na integral.
Um método alternativo para resolver algumas integrais, de funções racionais que apresentam,
em alguns casos, descontinuidades, consiste em reescrever a fração do integrando em uma
soma de outras frações mais simples, de modo que a integração seja, necessariamente, mais
simples.
O método das frações parciais é utilizado para simpli�car o cálculo integral de funções
racionais. Para utilizar o método, o polinômio no denominador da fração deve estar fatorado.
Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método da
decomposição em frações parciais para simpli�car o cálculo da integral. 
Sendo assim, utilizando tal método para resolver a integral: , e indique qual das
alternativas representa o resultado dessa integral.
 
a.
b.
c.
d.
e.
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