RESUMO MODULO 1

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Prof. Libânio Pinheiro 
 Prof. Winston Zumaeta 
 
Junho / 2022 
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Módulo 1 – Esforços das lajes maciças 
Cálculo de esforços e 
dimensionamento de lajes maciças 
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Módulo 1 
Aula 1 – Forma estrutural, desenho unifilar e critério para escolha 
dos vínculos 
A forma estrutural é obtida a partir do projeto de arquitetura, e as dimensões dos 
elementos são inicialmente determinadas por um pré-dimensionamento. Neste curso, será 
admitido que a forma estrutural já é conhecida, de acordo com a imagem a seguir. 
 
Como pode ser observado, a nomeação das lajes é feita da esquerda para a direita 
e de cima para baixo. O seu nome é posicionado próximo ao centro das lajes, junto de sua 
espessura. Para este curso, todas as lajes foram consideradas com altura igual a 10 cm. 
A nomeação das vigas é colocada sobre a extremidade esquerda delas. Para as 
vigas na direção vertical do desenho, o observador deve rotacionar a forma estrutural no 
sentido horário, de tal forma que a nomeação das vigas da vertical também obedeça ao 
19
7
0
9
899
4
6
9
,5
481
h = 10
h = 10
h = 10
h = 10
110,5
19 / 50
19 / 30 19 / 30 19 / 30
19 / 30 19 / 30
19 / 30
19 / 30 19 / 30 19 / 30
19 / 50
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1
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 /
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 /
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 /
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,5
L1
V1
V
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V
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L2
L3
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P1 P2 P3
P5
P6
P7 P8 P9
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critério de nomeação das vigas horizontais. A nomeação dos pilares é feita de maneira 
semelhante, colocando a indicação dos pilares embaixo das vigas, quando possível. 
Para este curso, será necessário a utilização de um desenho unifilar, considerando 
os eixos das vigas, ou seja, as distâncias de eixo a eixo. O desenho unifilar, baseado nas 
distâncias informadas na forma estrutural, está representado a seguir: 
 
Será iniciado agora o projeto das lajes da forma estrutural proposta. Num projeto de 
lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres (ℓ0), os vãos efetivos (ℓef ou, 
simplesmente, ℓ) e a relação entre os vãos efetivos. 
Vão livre é a distância livre entre as faces dos apoios, indicado na forma estrutural. 
No caso de balanços, é a distância da extremidade livre até a face do apoio. 
O vão efetivo (ℓef) é determinado, de acordo com o item 14.7.2.2 da ABNT NBR 
6118:2014, pela expressão: 
L1
V1
V
4
V
5
V
6
V2
V3
L2
L3
L4
380 500
2
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4
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ℓef = ℓ0 + a1 + a2 
Onde a1 e a2 são os menores valores entre t / 2 e 0,3 h, calculados para cada 
extremidade da laje; t é a dimensão do apoio e h é a espessura da laje. Estas dimensões 
estão indicadas na figura a seguir: 
 
Neste projeto, será adotado a1 = t1/2 e a2 = t2/2, uma vez que considerar 0,3h para 
cada lado leva a vãos menores, enquanto que a adoção de vãos de eixo a eixo é mais 
simples e a favor da segurança. 
A etapa seguinte do projeto das lajes consiste em identificar os tipos de vínculo de 
suas bordas. Existem, basicamente, três tipos de borda: livre, simplesmente apoiada e 
engastada, representadas a seguir: 
Borda livre 
Borda simplesmente 
apoiada 
Borda engastada 
 
 
A borda livre caracteriza-se pela ausência de apoio, como em bordas sem vigas e 
lajes em balanço. Assim, o desenho unifilar proposto para este curso deve representar a 
laje L4, em balanço, com a seguinte identificação tracejada: 
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Módulo 1 
 
A borda é considerada simplesmente apoiada quando não há continuidade, como 
ocorre geralmente em lajes na extremidade de um edifício. Já a borda engastada ocorre 
quando há continuidade entre lajes de mesmo porte. O vínculo de lajes contínuas de 
mesmo porte, portanto, pode ser considerado como engaste. 
Duas lajes adjacentes podem ser consideradas engastadas quando os valores de 
momentos negativos m′ forem próximos. Porém, os valores de m′ ainda não são 
conhecidos. Em uma próxima aula, será visto que os momentos fletores das lajes podem 
ser calculados por meio das tabelas para cálculo de momentos fletores nas duas direções, 
que fornecem os valores de momento fletor através da equação: 
m = μ ∙
p ℓx
2
100
 
Os momentos positivos são representados por m e os negativos por m′. O coeficiente 
μ é tabelado, adimensional e depende dos tipos de vinculação e da razão λ = ℓy/ℓx, já o 
L1
V1
V
4
V
5
V
6
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V3
L2
L3
L4
380 500
2
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4
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0
4
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0
2
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0
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coeficiente que resulta em momentos negativos é representado por μ′. Será visto que os 
valores de μ′ possuem a mesma ordem de grandeza, ou seja, o maior valor de μ′ não supera 
o dobro do menor. O símbolo p representa o valor característico da carga total, que em 
geral varia pouco de uma laje para a outra, ℓx é o menor vão da laje e ℓy é o maior vão. 
Então, pode-se perceber pela equação mostrada que os momentos nas bordas das 
lajes são muito influenciados por ℓx
2. Assim, um critério satisfatório pra considerar duas lajes 
engastadas é avaliar se o ℓx
2 da laje com maior ℓx é menor ou igual a 2ℓx
2 da laje com menor 
ℓx. 
Se a regra proposta não for atendida, a laje com menor ℓx pode ser considerada 
engastada e a outra, apoiada. Caso as lajes tiverem o mesmo ℓx, a regra confirmará que 
as duas devem ser admitidas engastadas. Além do mostrado, outros critérios podem ser 
adotados, de acordo com o autor do projeto. 
 
 
 
 
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Aula 2 – Análise e definição dos vínculos das lajes 
Esta aula complementará o que foi visto na aula anterior, mostrando em detalhes o 
critério proposto para definição dos vínculos das lajes. Inicialmente, será analisado o 
vínculo das lajes L1 e L2, onde a primeira é a laje com menor ℓx: 
Laje L2: Laje L1: 
ℓx = 460 cm = 4,60 m ℓx = 380 cm = 3,80 m 
ℓx² da laje com maior ℓx: 2 ℓx² da laje com menor ℓx: 
ℓx² = 4,60² ≅ 21,16 2 ℓx² = 2 ∙ 3,80² ≅ 28,88 
21,16 < 28,88 ∴ Engastadas. 
Agora, de forma semelhante, faz-se a análise do vínculo das lajes L1 e L3: 
Laje L1: Laje L3: 
ℓx = 380 cm = 3,80 m ℓx = 230 cm = 2,30 m 
ℓx² da laje com maior ℓx: 2 ℓx² da laje com menor ℓx: 
ℓx = 3,80² ≅ 14,44 2 ℓx² = 2 ∙ 2,30² ≅ 10,58 
14,44 < 10,58 ∴ Falso. Maior apoiada e menor engastada. 
Agora, faz-se a análise do vínculo das lajes L2 e L3: 
Laje L2: Laje L3: 
ℓx = 460 cm = 4,60 m ℓx = 230 cm = 2,30 m 
ℓx² da laje com maior ℓx: 2 ℓx² da laje com menor ℓx: 
ℓx² = 4,60² ≅ 21,16 2 ℓx² = 2 ∙ 2,30² ≅ 10,58 
21,16 < 10,58 ∴ Falso. Maior apoiada e menor engastada. 
No vínculo entre as lajes L2 e L4, deve-se considerar a laje L2 apoiada e a laje L4 
engastada, uma vez que a laje L4 é uma laje em balanço. Se a laje L4 não for engastada, 
ela será hipostática e não estará em equilíbrio. Além disso, se a laje L2 for considerada 
engastada, o balanço não terá condição de receber os momentos fletores provenientes da 
laje L2. 
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Assim, balanços são sempre considerados engastados, enquanto que a outra laje é 
admitida como apoiada no vínculo junto ao balanço. Por esse motivo, a laje L2 será 
considerada apoiada e a laje L4, engastada. Igualmente, o vínculo entre as lajes L3 e L4 
considera a laje L3 apoiada e a laje L4 engastada. 
Para o cálculo usando tabelas, toda a extensão da borda deve ser apoiada ou 
engastada. Isso não ocorre com a borda direita da laje L1, logo esta laje será considerada 
engastada em toda esta borda. Isso pode ser admitido com base no critério dos 2/3: para 
que uma laje possa ser considerada engastada em um vínculo, esta deve ter pelo menos 
2/3 da sua borda engastada. 
O comprimento engastado da laje L1 é 4,60 m e este valor é igual a 2/3 de 6,90 m, 
que é o comprimento total desta borda. Portanto, pelo critério dos 2/3, a laje L1 será 
considerada engastada ao longo de toda a sua borda da direita. 
Deve-se ter em mente que o uso de ℓx² na análise dos vínculos é uma aproximação 
aceitável. Uma análise com rigor deve comparar os momentos fletores nas bordas, que 
dependem dos valores de μ, p e ℓx². Como não se conhece o valor de μ, devem ser 
considerados os critérios apresentados para análise dos vínculos. 
Caso haja diferença entre as alturas das lajes, por exemplo, superior a 2 cm, pode 
ser o caso de considerar engastada a laje de altura menor e apoiada a de altura maior. 
Finalmente, representa-se a seguir os vínculos determinados nesta aula, que serão 
utilizados no cálculo dos momentos fletores das lajes: 
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Aula 3 – Cargas das lajes L1, L2 e L3 
Na tabela a seguir, são apresentados os tipos de lajes ou casos de vinculação mais 
comuns, com bordas simplesmente apoiadas e engastadas. Nota-se que o comprimento 
total das bordas engastadas cresce do caso 1 até o 6, exceto do caso 3 para o 4A (o caso 
4A é menos engastado do que o 3). Outros tipos de vínculos, incluindo bordas livres, são 
indicados nas Tabelas de Lajes. 
 
A seguir, apresenta-se em forma de tabela as características das lajes do curso, e 
as respectivas ações em kN/m². O tipo de laje é determinado de acordo com a tabela 
anterior, e o desenho unifilar fornece os valores de ℓx (menor vão da laje) e ℓy (maior vão 
da laje): 
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O valor de peso próprio será o resultado do produto entre a espessura da laje e o 
peso específico do concreto armado: 
pp = h (m) ∙ 25 (γconcr em kN/m³) = 0,10 ∙ 25 → pp = 2,50 kN/m² 
A ação de piso + revestimento é uma carga geralmente adotada entre 1,00 kN/m² e 
1,50 kN/m², e para este curso foi adotada uma carga de 1 kN/m². As cargas de parede 
foram consideradas como provenientes da ação de paredes divisórias, cujo valor mínimo 
recomendado é de 1,00 kN/m², sendo adotado nas lajes L1, L2 e L3. Quando se conhece 
a arquitetura, o valor das cargas de parede deve ser calculado. 
O g é o valor total da carga permanente, que resultada soma das cargas referentes 
ao peso próprio da laje, piso + revestimento e paredes. Já q é valor da carga variável, dado 
pela ABNT NBR 6120:2019, que trata de Cargas para o Cálculo de Estruturas de 
Edificações e determina 3,00 kN/m² para laboratórios e salas de aula. Assim, p é a carga 
total, resultante da soma de g e q. 
Todos as cargas mencionadas nesta aula são valores característicos. 
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Aula 4 – Cargas e esforços da laje L4 (Balanço) 
Na forma estrutural representada a seguir, vê-se que a laje L4 tem vínculos com as 
lajes L2 e L3: 
 
A laje L4 é uma laje em balanço, engastada na sua extremidade esquerda e com 
uma mureta na extremidade, conforme pode ser observado na figura a seguir. O seu 
esquema de cálculo pode ser observado à direita, onde g é a carga permanente e q é a 
carga variável (de acordo com a ABNT NBR 6120:2019), ambas nos seus valores 
característicos. A soma de g e q é a carga total p. 
19
7
0
9
899
4
6
9
,5
481
h = 10
h = 10
h = 10
h = 10
110,5
19 / 50
19 / 30 19 / 30 19 / 30
19 / 30 19 / 30
19 / 30
19 / 30 19 / 30 19 / 30
19 / 50
19 / 50
1
9
 /
 5
0
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 /
 5
0
1
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 /
 5
0
2
3
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,5
L1
V1
V
4
V
5
V
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L2
L3
L4
P1 P2 P3
P5
P6
P7 P8 P9
P4
19 361 19
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4
4
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2
1
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As cargas uniformemente distribuídas na laje L4 são oriundas da soma g + q, em 
que g é calculado por: 
g = gpp + gp+r = 2,50 + 1,00 = 3,50 kN/m² 
Sendo gpp a carga permanente do peso próprio e gp+r a carga permanente relativa 
ao piso e revestimento. A carga variável q foi admitida com o valor de 4,00 kN/m², de acordo 
com o valor da Tabela 10 da ABNT NBR 6120:2019, referente a cargas de Balcões, 
sacadas, varandas e terraços com acesso público (hotéis, hospitais, escolas, teatros etc.). 
A carga total será: 
p = g + q = 3,50 + 4,00 = 7,50 kN/m² 
A mureta sobre a laje L4 foi considerada como feita de blocos cerâmicos vazados. 
Baseando-se na Tabela 2 da NBR 6120:2019, para blocos cerâmicos de 14 cm mais 2 cm 
de revestimento por face, deve-se considerar uma carga de 1,9 kN/m² (alvenaria de 
vedação). Pela mesma norma, no item 6.3, a altura da mureta deve ser de, no mínimo, 
1,10 m. 
A norma ainda sugere que seja considerada uma força horizontal Fh = 1,0 kN/m 
atuante sobre a extremidade superior da mureta, conforme pode ser visto na Tabela 12 da 
NBR 6120, para área com acesso ao público. O peso próprio da mureta, g1, vale: 
 g1 = 1,9 ∙ 1,10 = 2,09 kN/m 
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Para bordas de sacadas com guarda-corpo, a Tabela 10, item j da norma também 
especifica uma carga variável q1 = 2,00 kN/m. Essa carga é considerada supondo que há 
pessoas sentadas sobre a mureta. A carga total da mureta será: 
 
p1 = g1 + q1 = 2,09 + 2,00 = 4,09 kN/m 
A reação de apoio da laje L4 na viga V6 será dada por: 
r = p ∙ ℓx + p1 
r = 7,50 ∙ 1,20 + 4,09 
r = 9,00 + 4,09 
r = 13,09 kN/m 
Agora, será calculado o momento fletor da laje L4, nos vínculos com as lajes L2 e 
L3. De acordo com a figura a seguir, temos: 
x = 1,2 m
p
1
p
M = 1,1 x Fh h
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Módulo 1 
 
m =
p ∙ ℓx
2
2
+ p1 ∙ ℓx + Mh 
m =
7,50 ∙ 1,2²
2
+ 4,09 ∙ 1,20 + 1,0 ∙ 1,10 
m = 5,40 + 4,908 + 1,10 
m ≅ 11,41 kN. m/m 
Este é o valor do momento fletor que será utilizado para o cálculo da armadura sobre 
a viga V6. 
 
 
 
 
 
 
x = 1,2 m
p
1
p
M = 1,1 x Fh h
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Módulo 1 
Aula 5 – Reações de apoio das lajes L1, L2 e L3 
As reações de apoio serão calculadas com base nas tabelas 2.2a, 2.2b e 2.2c, sobre 
reações de apoio em lajes com carga uniforme (Baixe as tabelas neste link). Tais tabelas, 
baseadas no processo das Áreas (ABNT NBR 6118:2014, item 14.7.6.1), fornecem 
coeficientes adimensionais (νx, νx
′ νy e νy
′ ), a partir das condições de apoio e da relação λ =
ℓy/ℓx, com os quais se calculam as reações, dadas por: 
vx =
νx(pℓx)
10
 vy =
νy(pℓx)
10
 
vx
′ =
νx
′ (pℓx)
10
 vy
′ =
νy
′ (pℓx)
10
 
Nas equações anteriores, p é o valor característico da carga total uniformemente 
distribuída na laje. É possível notar que o ℓx, que é o menor vão da laje, está presente em 
todos os fatores de multiplicação pℓx/10 e é o mesmo para todas as equações de cálculo 
de reação de apoio. O símbolo das reações de apoio, v, é indicado com letra minúscula 
pois indica força por unidade de largura (kN/m), conforme indicação normativa. 
No caso de vinculação 1 (Tabela 2.2a), a reação de apoio correspondente ao 
coeficiente νx atua na borda perpendicular à direção do vão ℓx, enquanto que a reação de 
apoio correspondente a νy atua na borda perpendicular à direção do vão ℓy. No caso de 
vinculação 2A, há a inclusão do coeficiente νy
′ , usado no cálculo da reação de apoio da 
borda engastada perpendicular ao vão ℓy. No caso de vinculação 2B, não há νy
′ , mas há νx
′ , 
usado no cálculo da reação de apoio da borda engastada perpendicular ao vão ℓx. 
Nas colunas laterais das tabelas, encontra-se os diferentes valores de λ = ℓy/ℓx, que 
é a razão entre o vão maior e o vão menor, variando os seus valores de 1 até 2. Para as 
lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas a partir dos coeficientes 
adimensionais correspondentes à condição λ = ℓy/ℓx > 2, presentes na última linha das 
tabelas. 
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Módulo 1 
No rodapé da tabela, é possível observar a seguinte nota: “(*) Alívios considerados 
pela metade, prevendo a possibilidade de engastes parciais.” Essa informação pode ser 
explicada analisando a laje do tipo 2B. Na direção horizontal desse tipo de laje, à direita, há 
um momento fletor aplicado. Esse momento fletor provoca um alívio na borda da esquerda 
e um acréscimo de carga na borda da direita. Porém, por algum motivo, esse momento 
fletor pode não atuar no seu valor integral, o que provocará um alívio menor na borda da 
esquerda. Dessa forma, se for considerado o alívio integral no cálculo, o projeto estará 
contra a segurança. Para não correr esse risco, na elaboração da tabela, foi considerado 
apenas metade do alívio na borda apoiada, enquanto que o acréscimo na borda engastada 
foi considerado com valor integral. 
 A tabela a seguir traz o processo de cálculo das reações de apoio das lajes de 
acordo com as tabelas 2.2a, 2.2b e 2.2c: 
 
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Módulo 1 
As dimensões dos vãos foram retiradas do desenho unifilar. A carga p = 7,50 kN/m² 
foi definida na Aula 3. Já os valores intermediários de νx, νx
′ e νy, foram retirados das tabelas 
2.2a, 2.2b e 2.2c. Os valores não encontrados nas tabelas foram interpolados. A 
interpolação de νx pode ser feita da seguinte forma: 
νx − 3,45
1,82 − 1,80
=
3,47 − 3,45
1,85 − 1,80
→
νx − 3,45
0,02
=
0,02
0,05
→ νx = 3,45 + 0,02 ∙
0,02
0,05
→ 𝛎𝐱 = 𝟑, 𝟒𝟓𝟖 
Uma outra solução seria adotar o valor maior, νx = 3,47 (0,35% maior), a favor da 
segurança. Também poderia ser calculada a média entre 3,45 e 3,47, porque o valor de λ =
1,82 está próximo à metade do intervalo de 1,80 a 1,85. Se fosse calculada a média, o valor 
encontrado para νx seria 3,46, que é muito próximo do valor interpolado 3,458. Portanto, há 
maneiras mais fáceis de se obter o νx sem recorrer à interpolação. Notar que, na tabela de 
cálculo da página anterior, optou-se pelo valor de νx obtido por interpolação. 
Para se obter o valor de νx
′ , pode-se realizar o mesmo procedimento de interpolação: 
νx
′ − 5,05
1,82 − 1,80
=
5,09 − 5,05
1,85 − 1,80
→
νx
′ − 5,05
0,02
=
0,04
0,05
→ νx
′ = 5,05 + 0,02 ∙
0,04
0,05
→ 𝛎𝐱
′ = 𝟓, 𝟎𝟔𝟔 
Também poderia ser adotado o valor maior: νx
′ = 5,09 (0,47% maior) ou a média, 
νx
′ = 5,07. Agora, para se obter o valor de νy, não é necessário realizar interpolação, uma 
vez que os valores de νy são iguais a 1,83 tanto para λ = 1,80 quanto para λ = 1,85. Por 
esse motivo, simplesmente adota-se νy = 1,83. 
Para a laje tipo 2B, não existe νy
′ . Portanto, não há nada a calcular neste caso. Assim, 
as reações de apoio da laje L1 podem ser obtidas multiplicando cada valor de ν obtido por 
pℓx/10: 
vx =
νx(pℓx)
10
=
3,458 (7,50 ∙ 3,80)
10
→ vx = 9,86 kN/m 
vx
′ =
νx
′ (pℓx)
10
=
5,066 (7,50 ∙ 3,80)
10
→ vx
′ = 14,44 kN/m 
vy =
νy(pℓx)
10
=
1,830 (7,50 ∙ 3,80)
10
→ vy = 5,22 kN/m 
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Módulo 1 
É importante notar que uma laje do tipo 2B não tem reação de apoio vy
′ . Seguindo o 
procedimento mostrado de determinação de coeficientes νx, νx
′ νy e νy
′ , pode-se determinar 
as reações das demais lajes, cujos valores já estão representados na tabela mostrada 
anteriormente nesta aula. As reações calculadas (inclusive a reação da L4, determinada na 
aula anterior) encontram-se identificadas no desenho unifilar a seguir, dentro de 
semicírculos, nas duas direções. 
 
Deve-se lembrar que a direção x é a do menor vão da laje, e direção y, a do maior. 
Além disso, bordas opostas que tenham o mesmo vínculo terão reações iguais: 
- Na L1, vy = 5,22 kN/m na V1 e na V3 
Bordas opostas com vínculos diferentes terão reações diferentes: 
- Na L1, vx = 9,86 kN/m na V4 e v′x = 14,44 kN/m na V5 
Notar que a reação na borda engastada é maior que na borda oposta apoiada. Essa 
informação é útil quando se quer verificar se o cálculo das reações de apoio está sendo 
feito de maneira correta. 
Um procedimento semelhante é adotado para as demais lajes, devendo haver 
cuidado para não trocar direções. 
5,22 7,56
6,87
6,875,22
10,78
9
,8
0
1
4
,3
4
1
4
,4
4
9
,8
6
5
,4
7
3
,7
4
1
3
,0
9
L1
V1
V
4
V
5
V
6
V2
V3
L2
L3
L4
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Módulo 1 
Aula 6 – Momentos fletores das lajes L1, L2 e L3 calculadas como 
isoladas 
O cálculo dos momentos fletores de lajes é feito com base nas tabelas 2.3a, 2.3b e 
2.3c (baixe as tabelas neste link), de momentos fletores em lajes com carga uniforme, que 
são baseadas nas tabelas de Bares, obtidas por diferenças finitas, que é um processo de 
cálculo elástico. O valor do coeficiente de Poisson usado na elaboração das tabelas foi 
ν = 0,15, que é um valor aproximado em relação ao coeficiente de Poisson do concreto, 
que é ν = 0,20. Adaptações foram feitas nas tabelas, de forma a tornar o seu uso mais 
prático. 
De forma semelhante ao apresentado para na aula anterior, as tabelas apresentam 
coeficientes adimensionais, μx, μ′x, μy e μ′y, que dependem das condições de apoio e da 
relação λ = ℓy/ℓx. Os momentos fletores por unidade de largura são dados pelas 
expressões: 
mx = μx ∙
p ∙ ℓx
2
100
 mx
′ = μx
′ ∙
p ∙ ℓx
2
100
 
my = μy ∙
p ∙ ℓx
2
100
 my
′ = μy
′ ∙
p ∙ ℓx
2
100
 
Nas equações anteriores, p é o valor característico da carga total uniformemente 
distribuída na laje. Os momentos fletores mx e mx
′ são os momentos na direção do menor 
vão (ℓx), ou seja, cujos planos de flexão estão na direção do vão ℓx. Assim, são esses 
momentos que resultarão na armadura na direção do vão ℓx. 
Já os momentos fletores my e my
′ são os momentos na direção do maior vão (ℓy), ou 
seja, cujos planos de flexão estão na direção do vão ℓy. Dessa forma, esses momentos 
resultarão nas armaduras na direção do vão ℓy. 
O mx e o my são os momentos fletores positivos na região central da laje e aparecem 
em todos os casos de vinculação. Por conseguinte, mx
′ e my
′ são os momentos fletores 
negativos nas bordas da laje, que só aparecem nos casos de vinculação em que há engaste 
nas respectivas direções. 
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Módulo 1 
Vale notar que o fator de multiplicação p ∙ ℓx
2/100 depende de ℓx para todos os casos. 
Além disso, para as lajes armadas em uma direção, a condição admitida será λ = ℓy/ℓx >
2. Ainda, o m é escrito com letra minúscula, pois indica momento por unidade de largura 
(kN. m/m). 
A tabela a seguir traz o processo de cálculo dos momentos fletores das lajes 
isoladas, de acordo com as tabelas 2.3a, 2.3b e 2.3c: 
 
As dimensões dos vãos, ℓx e ℓy, foram retiradas do desenho unifilar. A carga p =
7,50 kN/m² foi definida na aula 3. Já os valores de μx, μx
′ , μy e μy
′ , foram obtidos nas tabelas 
2.3a, 2.3b e 2.3c, para cada caso de vinculação. Os valores não encontrados foram 
interpolados. Alternativamente à interpolação, poderiam ser adotados os valores de μx, μx
′ , 
μy e μy
′ imediatamente superiores, referentes aos intervalos de λ definidos para cada laje. 
Os momentos fletores da laje L1 podem ser calculados da seguinte forma: 
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Módulo 1 
mx = μx ∙
p ∙ ℓx
2
100
=
5,77 (7,50 ∙ 3,802)
100
→ mx = 6,25 kN ∙ m/m 
mx
′ = μx
′ ∙
p ∙ ℓx
2
100
=
11,88 (7,50 ∙ 3,802)
100
→ mx
′ = 12,87 kN ∙ m/m 
my = μy ∙
p ∙ ℓx
2
100
=
1,68 (7,50 ∙ 3,802)
100
→ my = 1,82 kN ∙ m/m 
É importante notar que uma laje do tipo 2B não possui momentos fletores my
′ . 
Seguindo o procedimento mostrado, pode-se determinar os momentos fletores das demais 
lajes, cujos valores já estão representados na tabela mostrada anteriormente nesta aula. 
Com base na tabela de cálculo dos momentos fletores, mostrada anteriormente 
nesta aula, e nos momentos fletores calculados para a laje L4, mostrados na Aula 4, é 
possível identificar os momentos fletores no desenho unifilar, na direção de seus planos de 
flexão: 
 
Deve-se atentar que a direção x é a do menor vão da laje (não é a do vetor momento). 
É a direção em que será colocada a armadura que resistirá o momento mx. A direção y, por 
L2L1
6,25
1
,8
2
6,25
1
,8
2
5,90
5
,6
2
14,4412,87
3,2512,87 11,410
11,410
0
4
,9
6
0,63
2
,7
9
L3
L4
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Módulo 1 
sua vez, é a direção do maior vão da laje, na qual será colocada a armadura que resistirá 
o momento my. 
Por convenção, os momentos fletores nos vãos são considerados positivos e nos 
apoios, são considerados negativos. Porém, nos cálculos, serão considerados apenas os 
seus valores absolutos. 
Os momentos positivos ocorrem na região central das lajes. Já os negativos ocorrem 
junto às vigas de apoio, em casos de bordas engastadas. Usando como exemplo a laje L2, 
pode-se perceber que: 
• Direção x é vertical: mx = 5,62 kN ∙ m/m (centro da L2); não há mx
′ (não há 
engastamento) 
• Direção y é horizontal: my = 5,90 kN ∙ m/m (centro da L2) e my
′ = 14,44 kN ∙ m/m 
(laje engastada junto à V5) 
Faz-se um procedimento semelhante para as demais lajes, com cuidado para não 
trocar direções. 
 
 
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Módulo 1 
Aula 7 – Compatibilização dos momentos fletores na direção dos 
cortes L1-L2 e L1-L2-L4 
Os momentos fletores foram calculados considerando que o engastamento é 
perfeito, o que na realidade não ocorre. Existem momentos negativos diferentes de cada 
lado dos apoios, sendo necessário, portanto, que haja compatibilização dos momentos 
fletores, que deve ser feita de forma independente para cada direção. 
O critério para compatibilização de momentos negativos, considerando que se tenha 
momentos diferentes de cada lado do vínculo, é adotar o maior valor entre a média e 0,8 
do maior momento fletor. Se o momento for igual a zero em um lado do vínculo, utiliza-se 
o momento calculado para o outro lado desse vínculo. A seguir, esses critérios são usados 
para analisar os momentos fletores em cada vínculo do projeto proposto: 
• Vínculo L1 – L2 (kN. m/m): 12,87 e 14,44 
média 13,66 
0,8 ∙ 14,44 = 11,56 
Adota-se o maior: 𝟏𝟑, 𝟔𝟔. 
• Vínculo L1 – L3 (kN. m/m): 12,87 e 3,25 
média 8,06 
0,8 ∙ 12,87 = 10,29 
Adota-se o maior: 𝟏𝟎, 𝟐𝟗. 
• Vínculo L3 – L2 (kN. m/m): 4,96 e 0 
Adota-se: 𝟒, 𝟗𝟔. 
• Vínculos L2 – L4 e L3 – L4 (kN. m/m): 0 e 11,41 
Adota-se: 𝟏𝟏, 𝟒𝟏. 
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Módulo 1 
 
Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os momentos 
positivos na mesma direção podem ter uma variação no seu valor para mais ou para menos, 
devendo ser analisada. Se essa correção tende a diminuir o valor do momento positivo, 
ignora-se a redução (a favor da segurança). 
Caso contrário, se houver acréscimo no valor do momento positivo, deverá ser feita 
uma correção, somando-se ao valor deste momento fletor a metade das variações ocorridas 
nos momentos fletores negativos sobre os respectivos apoios. 
Pode acontecer de a compatibilização acarretar diminuição do momento positivo, de 
um lado, e acréscimo, do outro. Neste caso, ignora-se a diminuição e considera-se somente 
o acréscimo. 
Considerando os critérios apresentados, a imagem a seguir mostra o processo de 
compatibilização dos momentos fletores na direção de um corte L1 – L2. O primeiro 
diagrama mostra os momentos fletores antes de qualquer compatibilização. O segundo 
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Módulo 1 
diagrama mostra a compatibilização do momento positivo da laje L1, realizada após a 
compatibilização dos momentos negativos. Notar que o momento fletor positivo da laje L1 
não foi alterado porque o seu valor tende a diminuir com a compatibilização dos momentos 
negativos.Se essa diminuição fosse considerada, estaria contra a segurança. Por fim, o 
terceiro diagrama mostra a compatibilização do momento positivo da laje L2. 
 
Δm = 14, ,44 − 13,66 = 0,78 
mcor = 5,90 +
Δm
2
= 5,90 + 0,39 = 6,29 
Agora, mostra-se o processo de compatibilização dos momentos fletores na direção 
de um corte L1 – L2 – L4. O primeiro diagrama mostra os momentos fletores negativos do 
vínculo L2 – L4 antes da compatibilização e o segundo diagrama mostra a compatibilização 
do momento positivo da laje L2. Notar que o momento fletor positivo da laje L2 não foi 
corrigido porque o seu valor tende a diminuir. Se essa diminuição fosse considerada, estaria 
contra a segurança. 
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Módulo 1 
 
As compatibilizações mostradas resultam no seguinte diagrama unifilar: 
 
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Módulo 1 
Aula 8 – Compatibilização dos momentos fletores na direção dos 
cortes L1-L3-L4 e L3-L2 
Para esta aula, serão usados os mesmos critérios de compatibilização vistos na aula 
anterior. As compatibilizações serão feitas com base no seguinte diagrama unifilar: 
 
A imagem a seguir representa o processo de compatibilização dos momentos 
fletores da laje L1 na direção de um corte L1 – L3 – L4. O primeiro diagrama mostra os 
momentos fletores antes da compatibilização, o segundo diagrama mostra o processo de 
compatibilização dos momentos negativos e positivos e o terceiro mostra o diagrama 
compatibilizado: 
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Módulo 1 
 
Agora, partindo da compatibilização feita anteriormente, faz-se a compatibilização 
dos momentos fletores da laje L3. No diagrama a seguir, notar que o momento fletor positivo 
da laje L3 não foi corrigido, já que o valor corrigido desse momento seria menor e estaria, 
portanto, contra a segurança: 
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Módulo 1 
 
O último diagrama a ser compatibilizado é aquele referente à direção do corte L2 – 
L3. Na figura a seguir, o primeiro diagrama mostra os momentos fletores antes da 
compatibilização e o segundo diagrama mostra a compatibilização dos momentos 
negativos e positivos da laje L2: 
 
Finalmente, o diagrama unifilar a seguir resume os momentos fletores 
compatibilizados, que serão utilizados no dimensionamento das armaduras. 
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Autores 
Prof. Libânio Pinheiro 
1. Engenheiro Civil pela Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, EESC-
USP, em 1972. 
2. Engenheiro Projetista de Estruturas de Concreto Armado, de 1974 a 1984. 
3. Professor de Estruturas de Concreto na Pontifícia Universidade Católica de Campinas, PUCCamp, 
SP, de 1976 a 1984. 
4. Mestre em Engenharia de Estruturas pela EESC-USP, em 1981. 
5. Professor de Estruturas de Concreto na Faculdade de Engenharia Civil de São José do Rio Preto, 
SP, em 1981. 
6. Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, de 1981 a 2018, em 
Dedicação Exclusiva desde 1985, onde ministrou aulas na pós-graduação desde 1987, para alunos 
de Mestrado e de Doutorado. 
7. Doutor de Engenharia de Estruturas pela EESC-USP, em 1988. 
8. Pesquisador Associado da Universidade Estadual da Pennsylvania, PENN STATE, em State College, EUA, onde desenvolveu 
programa de Pós-Doutorado, de setembro de 1989 a agosto de 1990. 
9. Coordenador de Pesquisa do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, de 1990 a 1993, onde também foi 
Coordenador de Graduação, de 1998 a 2003, e Coordenador da Disciplina Estágio em Estruturas, de 1999 a 2005. 
10. Pesquisador do CNPq, de 1994 a 2005, e Coordenador de Grupo de Pesquisa do CNPq, sobre Estruturas de Concreto, até 
2010. 
11. Membro do Comitê Técnico 301 do IBRACON, de 2004 a 2010. 
12. Membro do Conselho de Coeditores da Revista IBRACON de Estruturas (IBRACON Structural Journal), de 2004 a 2006, e 
do Comitê Científico do Congresso Brasileiro do Concreto, em 2004, 2005, 2013 e 2014. 
13. No Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, foi pioneiro em pesquisas sobre: teoria das charneiras 
plásticas aplicada a projetos de lajes de edifícios, alvenaria estrutural, concreto de alta resistência, pavimentos de concreto 
(pavimentação), elementos estruturais de polímeros reciclados, lajes alveolares e concreto com poliestireno expandido, EPS. 
14. Nesse Departamento, desenvolveu também pesquisas sobre: concreto armado, estruturas de edifícios e lajes e paredes de 
concreto pré-moldado. 
15. Sobre os temas relacionados nos dois itens anteriores, orientou dezenas de alunos de Iniciação Científica, Mestrado e 
Doutorado, de 1986 a 2017. 
16. Ao longo da carreira como pesquisador, publicou mais de uma centena de trabalhos, no Brasil e no Exterior, a maioria 
junto com seus alunos de Iniciação Científica, Mestrado e Doutorado. 
17. Atualmente trabalha com cursos on-line sobre Estruturas de Concreto. 
Prof. Winston Zumaeta 
1. Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Amazonas, UFAM, em 2008. 
2. Licenciado em Matemática pela mesma Instituição, no mesmo ano. 
3. Especialista em Projeto de Estruturas de Concreto para edifícios pela Faculdade de Engenharia 
São Paulo, FESP, em 2011. 
4. Especialista em Didática de Ensino Superior pela Universidade Nilton Lins, UNINILTON LINS,em 
2013. 
5. Mestre em Engenharia de Estruturas pela USP, em 2011. 
6. Doutor em Engenharia de Estruturas pela USP, em 2017. 
7. Desde fevereiro de 2008, vem trabalhando com projetos de estruturas de concreto para edifícios 
utilizando o software TQS. 
8. Representante da empresa TQS Informática desde o dia 23 de março de 2011. 
9. Foi coordenador de projetos na SECOPE Engenharia até fevereiro de 2015, onde teve a oportunidade de participar de 
diversos projetos estruturais de edificações, entre eles: Edifício da Fametro, Edifício Terezina 275, Condomínio Privilege, 
Edifício Green View, Edifício The Office, Edifício Smart, Bumbódromo, Condomínio Family, Hospital (HUGV), residências, etc. 
10. Atualmente é instrutor de cursos do software TQS e cursos sobre estabilidade global de edifícios na cidade de Manaus, e é 
professor no curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Amazonas, UFAM, atuando na área de Estruturas, 
Mecânica das Estruturas e Estruturas de Concreto. 
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https://wlcursos.com.br/projetoedificios
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