Operação de Sistemas Interligados

•
UFJF

Jurandir Oliveira
02/11/2022
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ENE059
Prof.
Alexandre H.
Anzai
Aula 10
Op. Sis. Interl.
Casos especiais
Mod. Dinâm.
ENE059 - Operação de sistemas elétricos de potência
Aula 10 - Operação de sistemas interligados.
Prof. Alexandre Haruiti Anzai
alexandre.anzai@engenharia.ufjf.br
26 de abril de 2018
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Casos especiais
Mod. Dinâm.
Operação de sistemas interligados.
1 Operação de sistemas interligados.
2 Operação de sistemas interligados.
3 Casos especiais em análise estática de sistemas multi área
4 Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
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Mais de duas áreas
Exemplo
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Operação de sistemas interligados.
Operação de sistemas interligados.
1 Operação de sistemas interligados.
2 Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Exemplo de três áreas - análise estática
3 Casos especiais em análise estática de sistemas multi área
4 Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
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Mais de duas áreas
Exemplo
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:
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Mais de duas áreas
Exemplo
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:



∆Pm1 − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
∆Pm2 − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
∆Pm3 − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
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Mais de duas áreas
Exemplo
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:



∆Pm1 − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
∆Pm2 − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
∆Pm3 − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
Sendo que: ∆Tliq k é a potência de intercâmbio ĺıquida da área k
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Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:



∆Pm1 − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
∆Pm2 − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
∆Pm3 − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
Sendo que: ∆Tliq k é a potência de intercâmbio ĺıquida da área k
Para o caso de três áreas: por exemplo, ∆Tliq 1 = ∆T12 + ∆T13
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Mais de duas áreas
Exemplo
Casos especiais
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Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:



∆Pm1 − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
∆Pm2 − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
∆Pm3 − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
Sendo que: ∆Tliq k é a potência de intercâmbio ĺıquida da área k
Para o caso de três áreas: por exemplo, ∆Tliq 1 = ∆T12 + ∆T13
Considerando que ∆T12 = −∆T21, ∆T13 = −∆T31,
∆T23 = −∆T32 e lembrando que ∆Pmk = −
∆f
Rk
Mk =
2Hk
f0
;
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Considerando a operação interligada de mais de duas áreas,
modelo de pequenas pertubações em regime permanente têm-se:



∆Pm1 − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
∆Pm2 − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
∆Pm3 − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
Sendo que: ∆Tliq k é a potência de intercâmbio ĺıquida da área k
Para o caso de três áreas: por exemplo, ∆Tliq 1 = ∆T12 + ∆T13
Considerando que ∆T12 = −∆T21, ∆T13 = −∆T31,
∆T23 = −∆T32 e lembrando que ∆Pmk = −
∆f
Rk
Mk =
2Hk
f0
;











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
(β1 + β2 + β3) ∆f =
− (∆PD1 + ∆PD2 + ∆PD3) + (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3)
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
(β1 + β2 + β3) ∆f =
− (∆PD1 + ∆PD2 + ∆PD3) + (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3)
Entretanto (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3) = 0 pois
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
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Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2= D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
(β1 + β2 + β3) ∆f =
− (∆PD1 + ∆PD2 + ∆PD3) + (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3)
Entretanto (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3) = 0 pois
∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3 =
∆T12 + ∆T13 + ∆T21 + ∆T23 + ∆T31 + ∆T32
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
(β1 + β2 + β3) ∆f =
− (∆PD1 + ∆PD2 + ∆PD3) + (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3)
Entretanto (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3) = 0 pois
∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3 =
∆T12 + ∆T13 + ∆T21 + ∆T23 + ∆T31 + ∆T32
∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3 =
∆T12 + ∆T13 − ∆T12 + ∆T23 − ∆T13 − ∆T23 = 0
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Exemplo
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23











−
1
R1
∆f − ∆PD1 = D1∆f + ∆Tliq 1
−
1
R2
∆f − ∆PD2 = D2∆f + ∆Tliq 2
−
1
R3
∆f − ∆PD3 = D3∆f + ∆Tliq 3
(β1 + β2 + β3) ∆f =
− (∆PD1 + ∆PD2 + ∆PD3) + (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3)
Entretanto (∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3) = 0 pois
∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3 =
∆T12 + ∆T13 + ∆T21 + ∆T23 + ∆T31 + ∆T32
∆Tliq 1 + ∆Tliq 2 + ∆Tliq 3 =
∆T12 + ∆T13 − ∆T12 + ∆T23 − ∆T13 − ∆T23 = 0
Logo,
3
∑
k=1
βk∆f = −
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Logo,
3
∑
k=1
βk∆f = −
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
Definindo a caracteŕıstica natural do sistema: βs =
3
∑
k=1
βk
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Logo,
3
∑
k=1
βk∆f = −
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
Definindo a caracteŕıstica natural do sistema: βs =
3
∑
k=1
βk
∆f =
−
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
βs
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
∆f =
−
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
βs
Substituindo ∆f nas equações de balanço de potência, pode-se
obter:
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Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
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Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
∆f =
−
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
βs
Substituindo ∆f nas equações de balanço de potência, pode-se
obter:
∆Tliq 1 =
β1
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
− βs∆PD1
βs
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Exemplo
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Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas
áreas.
Operação de sistemas interligados.
Análise estática da operação com mais de duas áreas.
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
∆f =
−
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
βs
Substituindo ∆f nas equações de balanço de potência, pode-se
obter:
∆Tliq 1 =
β1
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
− βs∆PD1
βs
Ou ainda: ∆Tliq k =
βk
(
3
∑
k=1
∆PDk
)
− βs∆PDk
βs
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Exemplo
Casos especiais
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Operação de sistemas interligados. Exemplo de três áreas - análise estática
Exemplo
Pm1 Pm2
Pm3
PD1
PD2
PD3
Área 1 Área 2
Área 3
T12
T13
T23
Três áreas de controle estão interligadas entre si conforme a figura,
as caracteŕısticas naturais destas áreas são respectivamente 200
MW/ 0,1 Hz; 330 MW/0,1 Hz; 90 MW/0,1 Hz. Em um
determinado instante, ocorrem simultaneamente acréscimos de carga
nas áreas 1 e 3 de 200MW e 100 MW respectivamente.
1 Calcular a nova frequência de equiĺıbrio do sistema;
2 Calculas as variações nos intercâmbios das áreas de controle;
3 Calcular o aumento de geração necessário em cada área,
supondo que a variação de carga com a frequência seja
despreźıvel;
4 Supondo que os 100 MW de aumento de carga ocorreram na
área 2 ao invés da área 3, quais seriam os novos resultados?
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Casos especiais
Casos particulares
Mod. Dinâm.
Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área
Operação de sistemas interligados.
1 Operação de sistemas interligados.
2 Operação de sistemas interligados.
3 Casos especiais em análise estática de sistemas multi área
Caso particulares de duas áreas com D = 0
4 Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
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Casos especiais
Casos particulares
Mod. Dinâm.
Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e 0 < R2 << ∞
P
f1
f0
Pm10 Pm1
f
′
f2
Pm20 Pm2
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Casos especiais
Casos particulares
Mod. Dinâm.
Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e 0 < R2 << ∞
Neste caso ambas as áreas assumem o degrau
de carga e a área 2 assume mais carga que a
área 1
P
f1
f0
Pm10 Pm1
f
′
f2
Pm20 Pm2
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Casos especiais
Casos particulares
Mod. Dinâm.
Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e 0 < R2 << ∞
Neste caso ambas as áreas assumem o degrau
de carga e a área 2 assume mais carga que a
área 1
R1 > R2
P
f1
f0
Pm10 Pm1
f′
f2
Pm20 Pm2
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e 0 < R2 << ∞
Neste caso ambas as áreas assumem o degrau
de carga e a área 2 assume mais carga que a
área 1
R1 > R2
β2 > β1
P
f1
f0
Pm10 Pm1
f
′
f2
Pm20 Pm2
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e R2 = 0
P
f1
f0
Pm10
f2
Pm2 → ∆PD
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e R2 = 0
Neste caso apenas a área 2 assume todo o
degrau de carga e a potência gerada na área 2
cresce até o limite das máquinas;
P
f1
f0
Pm10
f2
Pm2 → ∆PD
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e R2 = 0
Neste caso apenas a área 2 assume todo o
degrau de carga e a potência gerada na área 2
cresce até o limite das máquinas;
Como R2 = 0 e 0 < R1 << ∞, logo β2 → ∞
e β2 >> β1;
P
f1
f0
Pm10
f2
Pm2 → ∆PD
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso 0 < R1 << ∞ e R2 = 0
Neste caso apenas a área 2 assume todo o
degrau de carga e a potência gerada na área 2
cresce até o limite das máquinas;
Como R2 = 0 e 0 < R1 << ∞, logo β2 → ∞
e β2 >> β1;
Caso em que R1 = 0 e R2 = 0
P
f1
f0
f2
Pm1 →? Pm2 →?
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que R1 = 0 e R2 = 0
Neste caso não é posśıvel predeterminar a
repartição da carga entre as áreas;
P
f1
f0
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Pm1 →? Pm2 →?
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que R1 = 0 e R2 = 0
Neste caso não é posśıvel predeterminar a
repartição da carga entre as áreas;
A área com os reguladores mais rápidos
assumiria todo o degrau de carga;
P
f1
f0
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Pm1 →? Pm2 →?
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que R1 = 0 e R2 = 0
Neste caso não é posśıvel predeterminar a
repartição da carga entre as áreas;
A área com os reguladores mais rápidos
assumiria todo o degrau de carga;
Este modo de operação seria provavelmente
instável devido a competição entre as áreas
para assumir a carga; P
f1
f0
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Pm1 →? Pm2 →?
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sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que 0 < R1 << ∞ e R2 = ∞
P
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Pm10
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f
′
Pm20Pm1
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que 0 < R1 << ∞ e R2 = ∞
Neste caso a área 1 assumirá praticamente
toda o acréscimo de carga;
P
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Pm10
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f
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Pm20Pm1
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que 0 < R1 << ∞ e R2 = ∞
Neste caso a área 1 assumirá praticamente
toda o acréscimo de carga;
Como R2 = ∞ então β2 ≈ 0 enquanto
0 < β1 << ∞;
P
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Pm20Pm1
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que 0 < R1 << ∞ e R2 = ∞
Neste caso a área 1 assumirá praticamente
toda o acréscimo de carga;
Como R2 = ∞ então β2 ≈ 0 enquanto
0 < β1 << ∞;
Este é o caso que deveria ser adotado para
áreas em que há pouca potência dispońıvel, ou
para áreas que possuam máquinas que não são
adequadas a responder às variações de carga;
P
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Pm10
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Casos especiais em análise estática de
sistemas multi área Caso particulares de duas áreas com D = 0
Caso de duas áreas considerando D = 0
Caso em que 0 < R1 << ∞ e R2 = ∞
Neste caso a área 1 assumirá praticamente
toda o acréscimo de carga;
Como R2 = ∞ então β2 ≈ 0 enquanto
0 < β1 << ∞;
Este é o caso que deveria ser adotado para
áreas em que há pouca potência dispońıvel, ou
para áreas que possuam máquinas que não são
adequadas a responder às variações de carga;
Como exemplo pode-se citar o caso de usinas
nucleares em que se evita que haja variações
instantâneas e flutuações na potência gerada.
P
f1
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Pm20Pm1
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Operação de sistemas interligados.
1 Operação de sistemas interligados.
2 Operação de sistemas interligados.
3 Casos especiais em análise estática de sistemas multi área
4 Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência sincronizante.
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Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
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Casos especiais
Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Para iniciar o estudo do modelo dinâmico considerando pequenas pertubações para um
sistema de duas áreas, será necessário retornar a equação de balanço de potência linearizada
do modelo de pequenas pertubações para uma área de controle;
∆Pmpu − ∆PDpu =
2H
f0
d
dt
∆f +D∆f + ∆Tliqpu ;
Reescrevendo o termo ∆Tliqpu em função das variáveis de interesse do modelo de pequenas
pertubações (∆f), pode-se obter:
∆Tliq1pu =
N
∑
k=2
ℜ {∆S1k}
A expressão do fluxo de potência S1k entre a barra 1 e uma barra k conectada a ela pode ser
deduzida analisando-se o diagrama da figura:
Ê1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
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Op. Sis. Interl.
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 jXs1RL1k jXL1k
Êk = Ek∢δk
barra 1 barra k
jBshunt jBshunt
As seguintes simplificações serão utilizadas para o modelo de pequenas pertubações:
Despreza-se as susceptâncias shunt da linha;
As resistências de armadura dos estatores das máquinas śıncronas são desprezadas e
considera-se modelo de máquina śıncrona de polos lisos (tensão interna da máquina Ê∢δ
atrás da reatância śıncrona Xs);
Desta forma é posśıvel escrever: S1k = Ê1Î
∗
1k;
S1k = Ê1
(
Ê1 − Êk
RL1k + j(X1k)
)
∗
, X1k = Xs1 +XL1k +Xsk;
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Assim,
S1k =
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) −Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) −Ek sin (δ1k + φ1k))];
com δ1k = δ1 − δk e φ1k = arctan
(
X1k
RL1k
)
;
Considerando todas as conexões entre a barra 1 e outras barras de outras áreas:
S1k =
N
∑
k=2
E1
√
R2L1k +X
2
1k
[E1 cos(φ1k) − Ek cos (δ1k + φ1k) + j (E1 sin(φ1k) − Ek sin (δ1k + φ1k))];
Fazendo a seguinte mudança de variáveis: ψ1k =
π
2
− φ1k, obtêm-se:
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[
E1 sin(ψ1k) −Ek cos
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
)
+ j
(
E1 cos(ψ1k) − Ek sin
(
δ1k +
π
2
− ψ1k
))]
;
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para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
O termo
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é conhecido como coeficiente de potência sincronizante.
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ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
O termo
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cos(δ120 − ψ12) é conhecido como coeficiente de potência sincronizante.
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ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
O termo
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ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
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N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
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ou
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N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
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Casos especiais
Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
O termo
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é conhecido como coeficiente de potência sincronizante.
Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 26 de abril de 2018 12 / 19
ENE059
Prof.
Alexandre H.
Anzai
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
ou
S1k =
N
∑
k=2
E1
Z1k
[E1 sin(ψ1k) + Ek sin (δ1k − ψ1k) + j (E1 cos(ψ1k) −Ek cos (δ1k − ψ1k))];
Considerando o caso de duas áreas e que haja apenas uma conexão entre a área 1 e 2:
S12 =
E1
Z12
[E1 sin(ψ12) +E2 sin (δ12 − ψ12) + j (E1 cos(ψ12) − E2 cos (δ12 − ψ12))];
Finalmente, P12 =
E21
Z12
sin(ψ12) +
E1E2
Z12
sin(δ12 − ψ12) e
Q12 =
E21
Z12
cos(ψ12) −
E1E2
Z12
cos(δ12 − ψ12);
Para o modelo de pequenas pertubações, lineariza-se P12 em torno do ponto (δ10 ,δ20);
∆T12 = ∆P12 =
∂P12
∂δ1
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ1 +
∂P12
∂δ2
∣
∣
∣
δ1=δ10 ,δ2=δ20
∆δ2
∆T12 = ∆P12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) (∆δ1 − ∆δ2)
O termo
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é conhecido como coeficiente de potência sincronizante.
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações para sistema de duas áreas.
Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
seguir.
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para sistema de duas áreas.
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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para sistema de duas áreas.
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) éposśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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para sistema de duas áreas.
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
O diagrama de blocos de um sistema com duas áreas interligadas pode ser visto na figura a
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para sistema de duas áreas.
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
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para sistema de duas áreas.
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Fazendo K12 =
E1E2
Z12
cos(δ120 − ψ12) é posśıvel escrever:
∆T12 = ∆P12 = K12 (∆δ1 − ∆δ2)
A velocidade angular da barra 1 pode ser escrita como:
ω1(t) =
d
dt
(δ10 + ω10t+ ∆δ1(t)) =
d
dt
∆δ1(t) + ω10
Logo, ω1(t) − ω10 =
d
dt
∆δ1(t) = 2π∆f1(t);
Aplicando a transformada de Laplace: s∆δ1(s) = 2π∆f1(s);
Desta forma, pode-se escrever: ∆δ1(s) =
2π
s
∆f1(s).
E portanto, ∆T12(s) = ∆P12(s) =
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s));
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
∑ 1
M1s + D1
Inércia do rotor e carga
1
sTv1 + 1
Turbina
∑ 1
M2s + D2
Inércia do rotor e carga
1
sTv2 + 1
Turbina
∆Pm1(s)
+
∆PD1(s)
−
∆f1(s)
∆Pm2(s)
+
∆PD2(s)
−
∆f2(s)
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para sistema de duas áreas.
∑ 1
M1s + D1
Inércia do rotor e carga
1
sTv1 + 1
Turbina
1
sT11 + 1
Regulador de velocidade
∑
1
R1
∑ 1
M2s + D2
Inércia do rotor e carga
1
sTv2 + 1
Turbina
1
sT12 + 1
Regulador de velocidade
∑
1
R2
∆Pm1(s)
+
∆PD1(s)
−
∆f1(s)
∆A1(s)
−
∆Pm2(s)
+
∆PD2(s)
−
∆f2(s)
∆A2(s)
−
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para sistema de duas áreas.
∑ 1
M1s + D1
Inércia do rotor e carga
1
sTv1 + 1
Turbina
1
sT11 + 1
Regulador de velocidade
∑
1
R1
∑ 1
M2s + D2
Inércia do rotor e carga
1
sTv2 + 1
Turbina
1
sT12 + 1
Regulador de velocidade
∑
1
R2
2πK12
s
∑
∆Pm1(s)
+
∆PD1(s)
−
∆f1(s)
∆A1(s)
−
−
+
∆T12(s)
+
−
+
−
∆Pm2(s)
+
∆PD2(s)
−
∆f2(s)
∆A2(s)
−
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para sistema de duas áreas.
Sistema interligado com 2 áreas, ∆PD1 = 0,1pu, ∆PD2 = 0, ∆δ120 = 10
◦ e Z12 = 0,2 + 0,1jpu
0 5 10 15 20 25 30 35
t[s]
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
∆
 f
1[
H
z]
×10-3
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
∆
 f
2[
H
z]
×10-3
Área 1
Área 2
0 5 10 15 20 25 30 35
t[s]
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
∆
 P
m
1[
p
u
]
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
∆
 P
m
2[
p
u
]
Área 1
Área 2
0 5 10 15 20 25 30 35
t[s]
-0.06
-0.04
-0.02
0
∆
 T
12
[p
u
]
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para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Analisando mais minuciosamente o coeficiente de potência sincronizante Knm, é posśıvel
notar que seu valor depende da diferença angular entre as tensões internas dos equivalentes
das máquinas das áreas ∆δnm, da defasagem angular introduzida pela impedância da linha
que conecta a área n a m (ψnm), das magnitudes das tensões internas e da própria
magnitude da impedância da linha;
Para que seja posśıvel ter uma noção da faixa de valores que Knm pode assumir, pode-se
fazer uma análise do modelo da dinâmica do rotor M , da variação da carga com a frequência
D e do desbalanço de potências na barra do gerador já considerando o intercâmbio;
Um tipo de análise frequente em estudos de estabilidade envolve o comportamento do
gerador śıncrono conectado através de uma linha de transmissão (“linha curta”) a um grande
sistema de potência mediante a pertubações na carga ou a contingências/faltas no sistema
de transmissão;
O“grande sistema”em geral é representado por uma“barra infinita”, cujas caracteŕısticas
procuram sintetizar os aspectos mais importantes do comportamento de um sistema de
grande porte;
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ENE059
Prof.
Alexandre H.
Anzai
Aula 10
Op. Sis. Interl.
Casos especiais
Mod. Dinâm.
Coef. Pot. Sincr.
Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Analisando mais minuciosamente o coeficiente de potência sincronizante Knm, é posśıvel
notar que seu valor depende da diferença angular entre as tensões internas dos equivalentes
das máquinas das áreas ∆δnm, da defasagem angular introduzida pela impedância da linha
que conecta a área n a m (ψnm), das magnitudes das tensões internas e da própria
magnitude da impedância da linha;
Para que seja posśıvel ter uma noção da faixa de valores que Knm pode assumir, pode-se
fazer umaanálise do modelo da dinâmica do rotor M , da variação da carga com a frequência
D e do desbalanço de potências na barra do gerador já considerando o intercâmbio;
Um tipo de análise frequente em estudos de estabilidade envolve o comportamento do
gerador śıncrono conectado através de uma linha de transmissão (“linha curta”) a um grande
sistema de potência mediante a pertubações na carga ou a contingências/faltas no sistema
de transmissão;
O“grande sistema”em geral é representado por uma“barra infinita”, cujas caracteŕısticas
procuram sintetizar os aspectos mais importantes do comportamento de um sistema de
grande porte;
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para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Analisando mais minuciosamente o coeficiente de potência sincronizante Knm, é posśıvel
notar que seu valor depende da diferença angular entre as tensões internas dos equivalentes
das máquinas das áreas ∆δnm, da defasagem angular introduzida pela impedância da linha
que conecta a área n a m (ψnm), das magnitudes das tensões internas e da própria
magnitude da impedância da linha;
Para que seja posśıvel ter uma noção da faixa de valores que Knm pode assumir, pode-se
fazer uma análise do modelo da dinâmica do rotor M , da variação da carga com a frequência
D e do desbalanço de potências na barra do gerador já considerando o intercâmbio;
Um tipo de análise frequente em estudos de estabilidade envolve o comportamento do
gerador śıncrono conectado através de uma linha de transmissão (“linha curta”) a um grande
sistema de potência mediante a pertubações na carga ou a contingências/faltas no sistema
de transmissão;
O“grande sistema”em geral é representado por uma“barra infinita”, cujas caracteŕısticas
procuram sintetizar os aspectos mais importantes do comportamento de um sistema de
grande porte;
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para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Analisando mais minuciosamente o coeficiente de potência sincronizante Knm, é posśıvel
notar que seu valor depende da diferença angular entre as tensões internas dos equivalentes
das máquinas das áreas ∆δnm, da defasagem angular introduzida pela impedância da linha
que conecta a área n a m (ψnm), das magnitudes das tensões internas e da própria
magnitude da impedância da linha;
Para que seja posśıvel ter uma noção da faixa de valores que Knm pode assumir, pode-se
fazer uma análise do modelo da dinâmica do rotor M , da variação da carga com a frequência
D e do desbalanço de potências na barra do gerador já considerando o intercâmbio;
Um tipo de análise frequente em estudos de estabilidade envolve o comportamento do
gerador śıncrono conectado através de uma linha de transmissão (“linha curta”) a um grande
sistema de potência mediante a pertubações na carga ou a contingências/faltas no sistema
de transmissão;
O“grande sistema”em geral é representado por uma“barra infinita”, cujas caracteŕısticas
procuram sintetizar os aspectos mais importantes do comportamento de um sistema de
grande porte;
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para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Desta forma, a“barra infinita” representa uma parte do sistema que possui um porte muito
maior do que a da máquina sendo analisada de modo que a frequência (
dδ
dt
) e a magnitude
da tensão da barra permanecem constantes independente das variações da potência gerada e
das pertubações consideradas.
Supor que a frequência do sistema não varia (
dδ
dt
≈ cte), é semelhante a supor que a inércia
equivalente do sistema de grande porte é infinita em relação ao do sistema do gerador
M → ∞;
Além disso supor que a magnitude da tensão do sistema de grande porte não varia significa
dizer que a impedância interna do sistema de grande porte é praticamente nula |Z| → 0;
Desta forma, o modelo para representar um gerador śıncrono simples conectado a uma barra
infinita é o mostrado na figura
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Desta forma, a“barra infinita” representa uma parte do sistema que possui um porte muito
maior do que a da máquina sendo analisada de modo que a frequência (
dδ
dt
) e a magnitude
da tensão da barra permanecem constantes independente das variações da potência gerada e
das pertubações consideradas.
Supor que a frequência do sistema não varia (
dδ
dt
≈ cte), é semelhante a supor que a inércia
equivalente do sistema de grande porte é infinita em relação ao do sistema do gerador
M → ∞;
Além disso supor que a magnitude da tensão do sistema de grande porte não varia significa
dizer que a impedância interna do sistema de grande porte é praticamente nula |Z| → 0;
Desta forma, o modelo para representar um gerador śıncrono simples conectado a uma barra
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Desta forma, a“barra infinita” representa uma parte do sistema que possui um porte muito
maior do que a da máquina sendo analisada de modo que a frequência (
dδ
dt
) e a magnitude
da tensão da barra permanecem constantes independente das variações da potência gerada e
das pertubações consideradas.
Supor que a frequência do sistema não varia (
dδ
dt
≈ cte), é semelhante a supor que a inércia
equivalente do sistema de grande porte é infinita em relação ao do sistema do gerador
M → ∞;
Além disso supor que a magnitude da tensão do sistema de grande porte não varia significa
dizer que a impedância interna do sistema de grande porte é praticamente nula |Z| → 0;
Desta forma, o modelo para representar um gerador śıncrono simples conectado a uma barra
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Desta forma, a“barra infinita” representa uma parte do sistema que possui um porte muito
maior do que a da máquina sendo analisada de modo que a frequência (
dδ
dt
) e a magnitude
da tensão da barra permanecem constantes independente das variações da potência gerada e
das pertubações consideradas.
Supor que a frequência do sistema não varia (
dδ
dt
≈ cte), é semelhante a supor que a inércia
equivalente do sistema de grande porte é infinita em relação ao do sistema do gerador
M → ∞;Além disso supor que a magnitude da tensão do sistema de grande porte não varia significa
dizer que a impedância interna do sistema de grande porte é praticamente nula |Z| → 0;
Desta forma, o modelo para representar um gerador śıncrono simples conectado a uma barra
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Desta forma, a“barra infinita” representa uma parte do sistema que possui um porte muito
maior do que a da máquina sendo analisada de modo que a frequência (
dδ
dt
) e a magnitude
da tensão da barra permanecem constantes independente das variações da potência gerada e
das pertubações consideradas.
Supor que a frequência do sistema não varia (
dδ
dt
≈ cte), é semelhante a supor que a inércia
equivalente do sistema de grande porte é infinita em relação ao do sistema do gerador
M → ∞;
Além disso supor que a magnitude da tensão do sistema de grande porte não varia significa
dizer que a impedância interna do sistema de grande porte é praticamente nula |Z| → 0;
Desta forma, o modelo para representar um gerador śıncrono simples conectado a uma barra
infinita é o mostrado na figura
Ê1 = E1∢δ1
jXs1 RL1k jXL1k
Ê∞ = E∞∢0
barra 1 barra ∞
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Utilizando a equação de balanço de potência para pequenas perturbações para um sistema
de duas áreas interligadas já obtida no doḿınio da transformada de Laplace:
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
Considerando a área 2 como a barra infinita: ∆f2(s) = 0 e que não haja variação da carga
∆PD1 = 0:
∆Pm1(s) =
(
2H1
f0
s+D1 +
2πK12
s
)
∆f1(s)
Reescrevendo em termos de pequenas perturbações do ângulo de carga do gerador
d
dt
∆δ1(t) = ∆f1(t) ou ∆f1(s) = s∆δ1(s):
(
M1s
2 +D1s+ 2πK12
)
∆δ1(s) = ∆Pm1(s);
Da função de transferência obtida, é posśıvel observar que para que o sistema representado
seja estável, é necessário que todos os coeficientes da equação caracteŕıstica sejam positivos,
logo pode-se concluir que K12 > 0.
Considerando um caso simples em que se despreze a resistência da linha de interligação
entre as áreas(φ12 =
π
2
⇒ ψ12 =
π
2
− φ12 = 0)
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sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Utilizando a equação de balanço de potência para pequenas perturbações para um sistema
de duas áreas interligadas já obtida no doḿınio da transformada de Laplace:
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
Considerando a área 2 como a barra infinita: ∆f2(s) = 0 e que não haja variação da carga
∆PD1 = 0:
∆Pm1(s) =
(
2H1
f0
s+D1 +
2πK12
s
)
∆f1(s)
Reescrevendo em termos de pequenas perturbações do ângulo de carga do gerador
d
dt
∆δ1(t) = ∆f1(t) ou ∆f1(s) = s∆δ1(s):
(
M1s
2 +D1s+ 2πK12
)
∆δ1(s) = ∆Pm1(s);
Da função de transferência obtida, é posśıvel observar que para que o sistema representado
seja estável, é necessário que todos os coeficientes da equação caracteŕıstica sejam positivos,
logo pode-se concluir que K12 > 0.
Considerando um caso simples em que se despreze a resistência da linha de interligação
entre as áreas(φ12 =
π
2
⇒ ψ12 =
π
2
− φ12 = 0)
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Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Utilizando a equação de balanço de potência para pequenas perturbações para um sistema
de duas áreas interligadas já obtida no doḿınio da transformada de Laplace:
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
Considerando a área 2 como a barra infinita: ∆f2(s) = 0 e que não haja variação da carga
∆PD1 = 0:
∆Pm1(s) =
(
2H1
f0
s+D1 +
2πK12
s
)
∆f1(s)
Reescrevendo em termos de pequenas perturbações do ângulo de carga do gerador
d
dt
∆δ1(t) = ∆f1(t) ou ∆f1(s) = s∆δ1(s):
(
M1s
2 +D1s+ 2πK12
)
∆δ1(s) = ∆Pm1(s);
Da função de transferência obtida, é posśıvel observar que para que o sistema representado
seja estável, é necessário que todos os coeficientes da equação caracteŕıstica sejam positivos,
logo pode-se concluir que K12 > 0.
Considerando um caso simples em que se despreze a resistência da linha de interligação
entre as áreas(φ12 =
π
2
⇒ ψ12 =
π
2
− φ12 = 0)
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Utilizando a equação de balanço de potência para pequenas perturbações para um sistema
de duas áreas interligadas já obtida no doḿınio da transformada de Laplace:
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
Considerando a área 2 como a barra infinita: ∆f2(s) = 0 e que não haja variação da carga
∆PD1 = 0:
∆Pm1(s) =
(
2H1
f0
s+D1 +
2πK12
s
)
∆f1(s)
Reescrevendo em termos de pequenas perturbações do ângulo de carga do gerador
d
dt
∆δ1(t) = ∆f1(t) ou ∆f1(s) = s∆δ1(s):
(
M1s
2 +D1s+ 2πK12
)
∆δ1(s) = ∆Pm1(s);
Da função de transferência obtida, é posśıvel observar que para que o sistema representado
seja estável, é necessário que todos os coeficientes da equação caracteŕıstica sejam positivos,
logo pode-se concluir que K12 > 0.
Considerando um caso simples em que se despreze a resistência da linha de interligação
entre as áreas(φ12 =
π
2
⇒ ψ12 =
π
2
− φ12 = 0)
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Modelo dinâmico de pequenas pertubações
para sistema de duas áreas.
Interpretação f́ısica do coeficiente de potência
sincronizante.
Sistema máquina e barra infinita.
Utilizando a equação de balanço de potência para pequenas perturbações para um sistema
de duas áreas interligadas já obtida no doḿınio da transformada de Laplace:
∆Pm1(s) − ∆PD1(s) =
(
2H1
f0
s+D1
)
∆f1(s) +
2πK12
s
(∆f1(s) − ∆f2(s))
Considerando a área 2 como a barra infinita: ∆f2(s) = 0 e que não haja variação da carga
∆PD1 = 0:
∆Pm1(s) =
(
2H1
f0
s+D1 +
2πK12
s
)
∆f1(s)
Reescrevendo em termos de pequenas perturbações do ângulo de carga do gerador
d
dt
∆δ1(t) = ∆f1(t) ou ∆f1(s) = s∆δ1(s):
(
M1s
2 +D1s+ 2πK12
)
∆δ1(s) = ∆Pm1(s);
Da função de transferência obtida, é posśıvel observar que para que o sistema representado
seja estável, é necessário que todos os coeficientes da equação caracteŕıstica sejam positivos,
logo pode-se concluir que K12 > 0.
Considerando um caso simples em que se despreze a resistência da linha de interligação
entre as