Aula_17

•
UFJF

Jurandir Oliveira
02/11/2022
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Planejamento e Operação de Sistemas Elétricos

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ENE059
Prof.
Alexandre H.
Anzai
Aula 17
Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
ENE059 - Operação de sistemas elétricos de potência
Aula 17 - Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
Prof. Alexandre Haruiti Anzai
alexandre.anzai@engenharia.ufjf.br
25 de outubro de 2019
Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 25 de outubro de 2019 1 / 18
ENE059
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Anzai
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correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Modelo clássico de pequenas pertubações da
máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 25 de outubro de 2019 2 / 18
ENE059
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Eq. em dq
correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
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correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
É posśıvel escrever as equações obtidas para o modelo da máquina śıncrona nas variáveis dq
em termos das correntes dq da máquina;
Substituindo as equações de fluxo concatenado λ nas equações de tensão, é posśıvel obter:
Na convenção de gerador:











vd = −Raid − ω(−Lqiq) +
d
dt
(−Ldid + Laf ifd)
vq = −Raiq + ω (−Ldid + Laf ifd) +
d
dt
(−Lqiq)
vfd = Rfdifd +
d
dt
(−Laf id + Lff ifd)
Logo











vd = −Raid + ωLqiq − Ld
did
dt
+ Laf
difd
dt
vq = −Raiq − ω (Ldid − Laf ifd) − Lq
diq
dt
vfd = Rfdifd − Laf
did
dt
+ Lff
difd
dt
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ENE059
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Alexandre H.
Anzai
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
É posśıvel escrever as equações obtidas para o modelo da máquina śıncrona nas variáveis dq
em termos das correntes dq da máquina;
Substituindo as equações de fluxo concatenado λ nas equações de tensão, é posśıvel obter:
Na convenção de gerador:











vd = −Raid − ω(−Lqiq) +
d
dt
(−Ldid + Laf ifd)
vq = −Raiq + ω (−Ldid + Laf ifd) +
d
dt
(−Lqiq)
vfd = Rfdifd +
d
dt
(−Laf id + Lff ifd)
Logo











vd = −Raid + ωLqiq − Ld
did
dt
+ Laf
difd
dt
vq = −Raiq − ω (Ldid − Laf ifd) − Lq
diq
dt
vfd = Rfdifd − Laf
did
dt
+ Lff
difd
dt
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ENE059
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Alexandre H.
Anzai
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
É posśıvel escrever as equações obtidas para o modelo da máquina śıncrona nas variáveis dq
em termos das correntes dq da máquina;
Substituindo as equações de fluxo concatenado λ nas equações de tensão, é posśıvel obter:
Na convenção de gerador:











vd = −Raid − ω(−Lqiq) +
d
dt
(−Ldid + Laf ifd)
vq = −Raiq + ω (−Ldid + Laf ifd) +
d
dt
(−Lqiq)
vfd = Rfdifd +
d
dt
(−Laf id + Lff ifd)
Logo











vd = −Raid + ωLqiq − Ld
did
dt
+ Laf
difd
dt
vq = −Raiq − ω (Ldid − Laf ifd) − Lq
diq
dt
vfd = Rfdifd − Laf
did
dt
+ Lff
difd
dt
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ENE059
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
É posśıvel escrever as equações obtidas para o modelo da máquina śıncrona nas variáveis dq
em termos das correntes dq da máquina;
Substituindo as equações de fluxo concatenado λ nas equações de tensão, é posśıvel obter:
Na convenção de gerador:











vd = −Raid − ω(−Lqiq) +
d
dt
(−Ldid + Laf ifd)
vq = −Raiq + ω (−Ldid + Laf ifd) +
d
dt
(−Lqiq)
vfd = Rfdifd +
d
dt
(−Laf id + Lff ifd)
Logo











vd = −Raid + ωLqiq − Ld
did
dt
+ Laf
difd
dt
vq = −Raiq − ω (Ldid − Laf ifd) − Lq
diq
dt
vfd = Rfdifd − Laf
did
dt
+ Lff
difd
dt
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correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
É posśıvel escrever as equações obtidas para o modelo da máquina śıncrona nas variáveis dq
em termos das correntes dq da máquina;
Substituindo as equações de fluxo concatenado λ nas equações de tensão, é posśıvel obter:
Na convenção de gerador:











vd = −Raid − ω(−Lqiq) +
d
dt
(−Ldid + Laf ifd)
vq = −Raiq + ω (−Ldid + Laf ifd) +
d
dt
(−Lqiq)
vfd = Rfdifd +
d
dt
(−Laf id + Lff ifd)
Logo











vd = −Raid + ωLqiq − Ld
did
dt
+ Laf
difd
dt
vq = −Raiq − ω (Ldid − Laf ifd) − Lq
diq
dt
vfd = Rfdifd − Laf
did
dt
+ Lff
difd
dt
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
Na convenção de gerador:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
−Ra 0 0
0 −Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
−Ld 0 Laf
0 −Lq 0
−Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 Lq 0
−Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Na convenção de motor:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
Ra 0 0
0 Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
Ld 0 Laf
0 Lq 0
Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 −Lq 0
Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Para trabalhar com máquina śıncrona de polos lisos basta fazer Ld = Lq = La
Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 25 de outubro de 2019 5 / 18
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Alexandre H.
Anzai
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
Na convenção de gerador:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
−Ra 0 0
0 −Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
−Ld 0 Laf
0 −Lq 0
−Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 Lq 0
−Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Na convenção de motor:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
Ra 0 0
0 Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
Ld 0 Laf
0 Lq 0
Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+ω
[
0 −Lq 0
Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Para trabalhar com máquina śıncrona de polos lisos basta fazer Ld = Lq = La
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correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
Na convenção de gerador:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
−Ra 0 0
0 −Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
−Ld 0 Laf
0 −Lq 0
−Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 Lq 0
−Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Na convenção de motor:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
Ra 0 0
0 Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
Ld 0 Laf
0 Lq 0
Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 −Lq 0
Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Para trabalhar com máquina śıncrona de polos lisos basta fazer Ld = Lq = La
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correntes
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
Na convenção de gerador:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
−Ra 0 0
0 −Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
−Ld 0 Laf
0 −Lq 0
−Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 Lq 0
−Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Na convenção de motor:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
Ra 0 0
0 Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
Ld 0 Laf
0 Lq 0
Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 −Lq 0
Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Para trabalhar com máquina śıncrona de polos lisos basta fazer Ld = Lq = La
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Equações da máquina śıncrona nas variáveis
d q em termos das correntes
Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
Na convenção de gerador:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
−Ra 0 0
0 −Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
−Ld 0 Laf
0 −Lq 0
−Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 Lq 0
−Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Na convenção de motor:
[
vd
vq
vfd
]
=
[
Ra 0 0
0 Ra 0
0 0 Rfd
][
id
iq
ifd
]
+
[
Ld 0 Laf
0 Lq 0
Laf 0 Lff
]
d
dt
([
id
iq
ifd
])
+
ω
[
0 −Lq 0
Ld 0 Laf
0 0 0
][
id
iq
ifd
]
Para trabalhar com máquina śıncrona de polos lisos basta fazer Ld = Lq = La
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Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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Fasorial
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Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Na operação em regime permanente, pode-se considerar a seguinte condição de
operação:
ifd = cte, λd, λq e λfd constantes, logo
dλd
dt
=
dλq
dt
=
dλfd
dt
= 0 e desta forma:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:







vd = −Raid + ωLqiq
vq = −Raiq − ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd







vd = Raid − ωLqiq
vq = Raiq + ωLdid + ωLaf ifd
vfd = Rfdifd
Considerando o estator em aberto (id = iq = 0):
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
{
vd = 0
vq = ωLaf ifd
Define-se eq = ωLaf ifd como a f.e.m. em vazio ou tensão de circuito aberto ou
tensão de excitação.
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Potência
Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Denomina-se Xd = ωLd → reatância de eixo direto e Xq = ωLq → reatância
de eixo em quadratura;
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
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Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Denomina-se Xd = ωLd → reatância de eixo direto e Xq = ωLq → reatância
de eixo em quadratura;
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
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Circ. Equiva.
Operação em regime permanente
Operação em regime permanente
Denomina-se Xd = ωLd → reatância de eixo direto e Xq = ωLq → reatância
de eixo em quadratura;
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
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Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
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Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Representação fasorial
As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Representação fasorial
Representação fasorial
As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Representação fasorial
As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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As variáveis que descrevem o sistema de transmissão são expressas em um sistema de
referências denominado eixo rotativo śıncrono;
Para a representação das grandezas terminais da máquina śıncrona em termos do sistema de
referência será preciso uma transformação de variáveis;
A figura a seguir apresenta os dois sistemas de variáveis
{
id = Ire cos(θ) + Iim sin(θ) = |Î| cos(φ)
iq = −Ire sin(θ) + Iim cos(θ) = |Î| sin(φ)
[
id
iq
]
=
[
cos(θ) sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
][
Ire
Iim
]
{
Ire = |Î| cos(θ + φ) = |Î| (cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ))
Iim = |Î| sin(θ + φ) = |Î| (sin(θ) cos(φ) + sin(φ) cos(θ))
{
Ire = id cos(θ) − iq sin(θ)
Iim = id sin(θ) + iq cos(θ)
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Representação fasorial
Representação fasorial
[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
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[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ))id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
Iim
id
iq
Îa
φ
δ
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
[
Ire
Iim
]
=
[
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
][
id
iq
]
Como θ = δ −
π
2
[
Ire
Iim
]
=
[
sin(δ) cos(δ)
− cos(δ) sin(δ)
] [
id
iq
]
Na referência do sistema, o fasor Î é:
Î = Ire + jIim, logo
Îa = sin(δ)id + cos(δ)iq − j cos(δ)id + j sin(δ)iq
Îa = (sin(δ) − j cos(δ)) id + (cos(δ) + j sin(δ)) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ))) iq
Îa =
(
exp(j(δ −
π
2
))
)
id + (exp(j(δ)))
j
j
iq
Îa = (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) = (id + jiq) exp(j(θ))
d
q
ℜ
ℑ
θ
π
2
− θ
θ
Ire
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id
iq
Îa
φ
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Circ. Equiva.
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Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Representação fasorial
Considerando as equações das tensões dq em regime permanente:
Na convenção de gerador: Na convenção de motor:
{
vd = −Raid + Xqiq
vq = −Raiq − Xdid + eq
{
vd = Raid − Xqiq
vq = Raiq + Xdid + eq
Das equações de tensão é posśıvel escrever:
vd + jvq = −Ra (id + jiq) + Xqiq − jXdid + jeq
vd + jvq = −Ra (id + jiq) −jXqjiq − jXdid + jeq
Aplicando a mesma transformação nas tensões em dq para encontrar o fasor V̂ , é posśıvel
escrever:
(vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) = −Ra (id + jiq) exp(j(δ −
π
2
)) − jXqjiq exp(j(δ −
π
2
)) −
jXdid exp(j(δ −
π
2
)) + jeq exp(j(δ −
π
2
))
V̂ = −RaÎa − jXq Îq − jXdÎd + Êq ou Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
onde: Îq = jiq exp(j(δ −
π
2
)), Îd = id exp(j(δ −
π
2
)), Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) e Î = Îd + Îq
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Representação fasorial
Diagrama fasorial
d
q
Îd
Îq
V̂d
V̂q
Îa
φ
δ V̂t
θ
Êq
Ê
′
q
RaÎa
jXdÎd
jXqÎa
jXqÎq
jXqÎq
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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ENE059
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Eq. em dq
correntes
Op. reg. perm.
Repres.
Fasorial
Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Circ.Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
A potência complexa por fase fornecida pela máquina śıncrona em regime permanente é
dada por:
S = P + jQ = V̂ Î∗
Escrevendo em termos das variáveis em dq utilizando a transformação:
S = (vd + jvq) exp(j(δ −
π
2
)) (id−jiq) exp(−j(δ −
π
2
))
S = (vdid + vqiq) + j(vqid − vdiq)
{
P = vdid + vqiq
Q = vqid − vdiq
Para obter as expressões das potências, considera-se Ra ≈ 0, e dessa forma do diagrama:
Vq = V cos(δ − θ) e Vd = V sin(δ − θ)
Vq = Eq − XdId ⇒ Id =
Eq − Vq
Xd
=
Eq − V cos(δ − θ)
Xd
;
Vd = XqIq ⇒ Iq =
Vd
Xq
=
V sin(δ − θ)
Xq
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Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
Substituindo as expressões de Vd, Vq, Id e Iq encontradas em função dos demais
parâmetros, as potências ativas e reativas por fase ficam:







P =
EqV
Xd
sin(δ − θ) +
V 2
2
(
1
Xq
−
1
Xd
)
sin(2(δ − θ))
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) − V 2
(
sin2(δ − θ)
Xq
+
cos2(δ − θ)
Xd
)
Para máquinas de polos lisos Xd = Xq





P =
EqV
Xd
sin(δ − θ)
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) −
V 2
Xd
A magnitude do fasor Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) depende de eq = ωLaf ifd.
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Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
Substituindo as expressões de Vd, Vq, Id e Iq encontradas em função dos demais
parâmetros, as potências ativas e reativas por fase ficam:







P =
EqV
Xd
sin(δ − θ) +
V 2
2
(
1
Xq
−
1
Xd
)
sin(2(δ − θ))
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) − V 2
(
sin2(δ − θ)
Xq
+
cos2(δ − θ)
Xd
)
Para máquinas de polos lisos Xd = Xq





P =
EqV
Xd
sin(δ − θ)
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) −
V 2
Xd
A magnitude do fasor Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) depende de eq = ωLaf ifd.
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Potência
Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
Substituindo as expressões de Vd, Vq, Id e Iq encontradas em função dos demais
parâmetros, as potências ativas e reativas por fase ficam:







P =
EqV
Xd
sin(δ − θ) +
V 2
2
(
1
Xq
−
1
Xd
)
sin(2(δ − θ))
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) − V 2
(
sin2(δ − θ)
Xq
+
cos2(δ − θ)
Xd
)
Para máquinas de polos lisos Xd = Xq





P =
EqV
Xd
sin(δ − θ)
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) −
V 2
Xd
A magnitude do fasor Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) depende de eq = ωLaf ifd.
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Circ. Equiva.
Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
Substituindo as expressões de Vd, Vq, Id e Iq encontradas em função dos demais
parâmetros, as potências ativas e reativas por fase ficam:







P =
EqV
Xd
sin(δ − θ) +
V 2
2
(
1
Xq
−
1
Xd
)
sin(2(δ − θ))
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) − V 2
(
sin2(δ − θ)
Xq
+
cos2(δ − θ)
Xd
)
Para máquinas de polos lisos Xd = Xq





P =
EqV
Xd
sin(δ − θ)
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) −
V 2
Xd
A magnitude do fasor Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) depende de eq = ωLaf ifd.
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Potência complexa da máquina śıncrona em
regime permanente
Potência complexa da máquina śıncrona em regime permanente
Substituindo as expressões de Vd, Vq, Id e Iq encontradas em função dos demais
parâmetros, as potências ativas e reativas por fase ficam:







P =
EqV
Xd
sin(δ − θ) +
V 2
2
(
1
Xq
−
1
Xd
)
sin(2(δ − θ))
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) − V 2
(
sin2(δ − θ)
Xq
+
cos2(δ − θ)
Xd
)
Para máquinas de polos lisos Xd = Xq





P =
EqV
Xd
sin(δ − θ)
Q =
EqV
Xd
cos(δ − θ) −
V 2
Xd
A magnitude do fasor Êq = jeq exp(j(δ −
π
2
)) depende de eq = ωLaf ifd.
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Potência
Circ. Equiva.
Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
1 Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona.
2 Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q em termos das correntes
3 Operação em regime permanente
4 Representação fasorial
5 Potência complexa da máquinaśıncrona em regime permanente
6 Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
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Potência
Circ. Equiva.
Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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Circuito equivalente para máquinas de polos
lisos em regime permanente
Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente
O circuito equivalente da máquina śıncrona de polos lisos pode ser obtido analisando-se a
equação encontrada para os fasores do modelo da máquina em regime permanente
Êq = V̂ + RaÎa + jXq Îq + jXdÎd
Fazendo Xd = Xq:
Êq = V̂ + RaÎa + jXd
(
Îq + Îd
)
= V̂ + RaÎa + jXdÎa
Este modelo é válido somente em situações de regime, com a corrente de campo ifd
constante
A figura abaixo ilustra o circuito
−
+
Êq=ωLaf Ifd∢(δ − θ)
jXd Îa
−
+
V̂ =V ∢(θ)
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	Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina síncrona.
	Equações da máquina síncrona nas variáveis d q em termos das correntes
	Operação em regime permanente
	Representação fasorial
	Potência complexa da máquina síncrona em regime permanente
	Circuito equivalente para máquinas de polos lisos em regime permanente