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ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes ENE059 - Operação de sistemas elétricos de potência Aula 16 - Modelo clássico de pequenas pertubações da máquina śıncrona. Prof. Alexandre Haruiti Anzai alexandre.anzai@engenharia.ufjf.br 23 de outubro de 2019 Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 1 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. O objetivo desta parte da disciplina é obter um modelo simplificado da máquina śıncrona nas variáveis dq0 que possa ser utilizado em estudos de estabilidade e operação; Para tanto, parte-se da análise de uma máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente de uma máquina śıncrona trifásica, devido à facilidade de no entendimento da transformação de variáveis; ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� S − N N S + Efd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 2 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. O objetivo desta parte da disciplina é obter um modelo simplificado da máquina śıncrona nas variáveis dq0 que possa ser utilizado em estudos de estabilidade e operação; Para tanto, parte-se da análise de uma máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente de uma máquina śıncrona trifásica, devido à facilidade de no entendimento da transformação de variáveis; ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� ������������������������� S − N N S + Efd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 2 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. Desta forma, considere que a distribuição da força magnetomotriz Fmms resultante da atuação dos três campos magnéticos gerados pelas três bobinas dos enrolamentos do estator da máquina śıncrona possam ser representados por um equivalente num eixo de coordenadas α, β que está fixo na estrutura do estator; Uma representação esquemática do sistemas de coordenadas pode ser visto na figura; + − + − −+ + − − + Fmms,αβ γ ω NsNs Ns Ns,eq Ns,eq ias(t) ibs(t) ics(t) isα(t) isβ(t) αα β β Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 3 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. Desta forma, considere que a distribuição da força magnetomotriz Fmms resultante da atuação dos três campos magnéticos gerados pelas três bobinas dos enrolamentos do estatorda máquina śıncrona possam ser representados por um equivalente num eixo de coordenadas α, β que está fixo na estrutura do estator; Uma representação esquemática do sistemas de coordenadas pode ser visto na figura; + − + − −+ + − − + Fmms,αβ γ ω NsNs Ns Ns,eq Ns,eq ias(t) ibs(t) ics(t) isα(t) isβ(t) αα β β Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 3 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 4 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. A máquina śıncrona bifásica fict́ıcia equivalente, possui dois enrolamentos no estator percorridos em regime por correntes senoidais defasadas de 90◦elétricos no tempo; O enrolamento de campo do rotor é percorrido por corrente cont́ınua; Com relação aos enrolamentos α, β e do campo fd, é posśıvel escrever as seguintes equações para as tensões terminais na convenção de motor: vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ lαα lαβ lαfd lβα lββ lβfd lfdα lfdβ lfdfd ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] Inicialmente considera-se que a auto indutância do enrolamento de campo é invariante com o tempo e logo independe da posição do rotor (simetria de polos lisos), lfdfd = Lff ; Como o estator também é simétrico, lαα = lββ = La, auto indutância do enrolamento de armadura, invariante no tempo; Devido à defasagem de 90◦entre as coordenadas α e β, as indutâncias mútuas entre os enrolamentos do estator são nulas lαβ = lβα = 0 (não há acoplamento entre α e β). 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Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ La 0 lαfd 0 La lβfd lfdα lfdβ Lff ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] As indutâncias mútuas entre os enrolamentos de campo e do estator são dadas por lαfd = lfdα = Laf cos γ e lβfd = lfdβ = Laf sin γ, Laf é a indutância mútua entre armadura e campo; Desta forma os fluxos concatenados nas coordenadas α, β ficam: [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] E as equações das tensões terminais podem ser escritas como: [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ La 0 lαfd 0 La lβfd lfdα lfdβ Lff ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] As indutâncias mútuas entre os enrolamentos de campo e do estator são dadas por lαfd = lfdα = Laf cos γ e lβfd = lfdβ = Laf sin γ, Laf é a indutância mútua entre armadura e campo; Desta forma os fluxos concatenados nas coordenadas α, β ficam: [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] E as equações das tensões terminais podem ser escritas como: [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ La 0 lαfd 0 La lβfd lfdα lfdβ Lff ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] As indutâncias mútuas entre os enrolamentos de campo e do estator são dadas por lαfd = lfdα = Laf cos γ e lβfd = lfdβ = Laf sin γ, Laf é a indutância mútua entre armadura e campo; Desta forma os fluxos concatenados nas coordenadas α, β ficam: [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] E as equações das tensões terminais podem ser escritas como: [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ La 0 lαfd 0 La lβfd lfdα lfdβ Lff ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] As indutâncias mútuas entre os enrolamentos de campo e do estator são dadas por lαfd = lfdα = Laf cos γ e lβfd = lfdβ = Laf sin γ, Laf é a indutância mútua entre armadura e campo; Desta forma os fluxos concatenados nas coordenadas α, β ficam: [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] E as equações das tensões terminais podem ser escritas como: [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. vα(t) = Raisα(t) + dλα dt vβ(t) = Raisβ(t) + dλβ dt vfd(t) = Rfdifd(t) + dλfd dt onde [ λα(t) λβ(t) λfd(t) ] = [ La 0 lαfd 0 La lβfd lfdα lfdβ Lff ][ isα(t) isβ(t) ifd(t) ] As indutâncias mútuas entre os enrolamentos de campo e do estator são dadas por lαfd = lfdα = Laf cos γ e lβfd = lfdβ = Laf sin γ, Laf é a indutância mútua entre armadura e campo; Desta forma os fluxosconcatenados nas coordenadas α, β ficam: [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] E as equações das tensões terminais podem ser escritas como: [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 5 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ −Laf sin γ Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] A solução dessas equações é extremamente dif́ıcil pelo fato de a mesma possuir alguns coeficientes dependentes do tempo (γ(t)) Utilizando uma transformação de variáveis, é posśıvel simplificar estas equações e obter um sistema de quações com coeficientes constantes (transformação de Park); Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 6 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ −Laf sin γ Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] A solução dessas equações é extremamente dif́ıcil pelo fato de a mesma possuir alguns coeficientes dependentes do tempo (γ(t)) Utilizando uma transformação de variáveis, é posśıvel simplificar estas equações e obter um sistema de quações com coeficientes constantes (transformação de Park); Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 6 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ −Laf sin γ Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] A solução dessas equações é extremamente dif́ıcil pelo fato de a mesma possuir alguns coeficientes dependentes do tempo (γ(t)) Utilizando uma transformação de variáveis, é posśıvel simplificar estas equações e obter um sistema de quações com coeficientes constantes (transformação de Park); Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 6 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ −Laf sin γ Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] A solução dessas equações é extremamente dif́ıcil pelo fato de a mesma possuir alguns coeficientes dependentes do tempo (γ(t)) Utilizando uma transformação de variáveis, é posśıvel simplificar estas equações e obter um sistema de quações com coeficientes constantes (transformação de Park); Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 6 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + d dt ([ λα λβ λfd ]) , onde : R = [ Ra 0 0 0 Ra 0 0 0 Rfd ] [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] [ vα vβ vfd ] = R [ isα isβ ifd ] + [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ −Laf sin γ Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] A solução dessas equações é extremamente dif́ıcil pelo fato de a mesma possuir alguns coeficientes dependentes do tempo (γ(t)) Utilizando uma transformação de variáveis, é posśıvel simplificar estas equações e obter um sistema de quações com coeficientes constantes (transformação de Park); Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 6 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente.As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente Modelo de máquina śıncrona bifásica equivalente. As equações obtidas escritas na convenção de gerador: [ vα vβ vfd ] = [ −Ra 0 0 0 −Ra 0 0 0 Rfd ][ isα isβ ifd ] + [ −La 0 Laf cos γ 0 −La −Laf sin γ −Laf cos γ −Laf sin γ Lff ] d dt ([ isα isβ ifd ]) + dγ dt [ 0 0 −Laf sin γ 0 0 Laf cos γ Laf sin γ −Laf cos γ 0 ][ isα isβ ifd ] Na operação em regime permanente senoidal γ = γ0 + ωt e considerando a máquina com o estator em aberto: isα = isβ = 0, ifd =cte ⇒ difd dt = 0, então vα|aberto = eα = −ωLaf sin γifd = − √ 2E sin γifd vβ |aberto = eβ = ωLaf cos γifd = √ 2E cos γifd vfd|aberto = Rfdifd(t) Definindo E = ωLaf ifd√ 2 como o valor eficaz das tensões induzidas nos enrolamentos do estator em aberto; O valor de E é proporcional à magnitude da corrente de campo à velocidade do rotor ω; Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 7 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempo devido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempo devido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); Fα(t,κ) = Fm cos κ e Fβ(t, κ) = Fm sin κ = Fm cos (κ − π 2 ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempo devido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); Fα(t,κ) = Fm cos κ e Fβ(t, κ) = Fm sin κ = Fm cos (κ − π 2 ) Reescrevendo as equações da seguinte maneira: q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempo devido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); Fα(t,κ) = Fm cos κ e Fβ(t, κ) = Fm sin κ = Fm cos (κ − π 2 ) Reescrevendo as equações da seguinte maneira: Fα(t,κ) = Fm cos (κ − θ + θ) e Fβ(t, κ) = Fm cos (κ − π 2 − θ + θ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempo devido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); Fα(t,κ) = Fm cos κ e Fβ(t, κ) = Fm sin κ = Fm cos (κ − π 2 ) Reescrevendo as equações da seguinte maneira: Fα(t,κ) = Fm cos (κ − θ + θ) e Fβ(t, κ) = Fm cos (κ − π 2 − θ + θ) Abrindo o cosseno de Fα = Fm(cos (κ − θ) cos (θ) − sin (κ − θ) sin θ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Analisando o diagrama da figura, a Fmms,αβ equivalente pode ser decomposta em suas projeções nas coordenadas α e β sendo que as mesmas são funções da posição angular κ, medida com referência ao eixo α e do tempodevido à variação da corrente Fm = f(Ns,eq,isα,isβ); Fα(t,κ) = Fm cos κ e Fβ(t, κ) = Fm sin κ = Fm cos (κ − π 2 ) Reescrevendo as equações da seguinte maneira: Fα(t,κ) = Fm cos (κ − θ + θ) e Fβ(t, κ) = Fm cos (κ − π 2 − θ + θ) Abrindo o cosseno de Fα = Fm(cos (κ − θ) cos (θ) − sin (κ − θ) sin θ) Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) Definindo-se Fd = Fm cos(κ − θ) e Fq = Fm cos(κ − θ − π 2 ) q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) Definindo-se Fd = Fm cos(κ − θ) e Fq = Fm cos(κ − θ − π 2 ) Pode-se escrever: q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) Definindo-se Fd = Fm cos(κ − θ) e Fq = Fm cos(κ − θ − π 2 ) Pode-se escrever: [ Fα Fβ ] = [ cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) ] [ Fd Fq ] = T t [ Fd Fq ] q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) Definindo-se Fd = Fm cos(κ − θ) e Fq = Fm cos(κ − θ − π 2 ) Pode-se escrever: [ Fα Fβ ] = [ cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) ] [ Fd Fq ] = T t [ Fd Fq ] Que é uma transformação de variáveis por rotação de eixos, onde T é a matriz de transformação com a seguinte caracteŕıstica: T t = T −1 q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. Fα = Fm(cos (κ − θ) cos θ − cos (κ − θ − π 2 ) sin θ) Abrindo o cosseno de Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ − sin (κ − π 2 − θ) sin θ) Fβ = Fm(cos (κ − π 2 − θ) cos θ + cos (κ − θ) sin θ) Definindo-se Fd = Fm cos(κ − θ) e Fq = Fm cos(κ − θ − π 2 ) Pode-se escrever: [ Fα Fβ ] = [ cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) ] [ Fd Fq ] = T t [ Fd Fq ] Que é uma transformação de variáveis por rotação de eixos, onde T é a matriz de transformação com a seguinte caracteŕıstica: T t = T −1 Logo: q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. [ Fd Fq ] = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ][ Fα Fβ ] q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. [ Fd Fq ] = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ][ Fα Fβ ] Esta transformação pode ser aplicada a outras variáveis como tensões, correntes, e fluxos concatenados q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Transformação de Park. Transformação de Park. [ Fd Fq ] = [ cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ) ][ Fα Fβ ] Esta transformação pode ser aplicada a outras variáveis como tensões, correntes, e fluxos concatenados Em regime permanente senoidal, as grandezas na referência α, β variam senoidalmente com o tempo, enquanto que as grandezas na referência d,q permanecem constantes. q dFmms,αβ θ Fα Fβ Fd Fq α β κ Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 8 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λα λβ λfd ] = [ La 0 Laf cos γ 0 La Laf sin γ Laf cos γ Laf sin γ Lff ][ isα isβ ifd ] Reescrevendo as equações dos fluxos concatenados da seguinte forma: [ λα λβ ] = La [ isα isβ ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] [ isα isβ ] + Lff ifd Aplicando a matriz de transformação T nas equações resulta: T −1 [ λd λq ] = LaT −1 [ id iq ] + [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd λfd = [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] T −1 [ id iq ] + Lff ifd [ λd λq ] = La [ id iq ] + T [ Laf cos(θ) Laf sin(θ) ] ifd ; λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 9 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λd λq ] = La [ id iq ] + [ Laf 0 ] ifd λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Com a transformação α, β → dq, todas as indutâncias mútuas tornaram-se constantes; Isso ocorreu pois o novo sistema de referência para as coordenadas (d,q) gira junto com o rotor na velocidade śıncrona; Além disso pode-se notar que há acoplamento mútuo entre o enrolamento fict́ıcio d e o enrolamento de campo. Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 10 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λd λq ] = La [ id iq ] + [ Laf 0 ] ifd λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Com a transformação α, β → dq, todas as indutâncias mútuas tornaram-se constantes; Isso ocorreu pois o novo sistema de referência para as coordenadas (d,q) gira junto com o rotor na velocidade śıncrona; Além disso pode-se notar que há acoplamento mútuo entre o enrolamento fict́ıcio d e o enrolamento de campo. Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 10 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λd λq ] = La [ id iq ] + [ Laf 0 ] ifd λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Com a transformação α, β → dq, todas as indutâncias mútuas tornaram-se constantes; Isso ocorreu pois o novo sistema de referência para as coordenadas (d,q) gira junto com o rotor na velocidade śıncrona; Além disso pode-se notar que há acoplamento mútuo entre o enrolamento fict́ıcio d e o enrolamento de campo. Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 10 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q [ λd λq ] = La [ id iq ] + [ Laf 0 ] ifd λfd = [ Laf 0 ] [ id iq ] + Lff ifd Com a transformação α, β → dq, todas as indutâncias mútuas tornaram-se constantes; Isso ocorreu pois o novo sistema de referência para as coordenadas (d,q) gira junto com o rotor na velocidade śıncrona; Além disso pode-se notar que há acoplamento mútuo entre o enrolamento fict́ıcio d e o enrolamento de campo. Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 10 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q As equações das tensões na convenção de motor: [ vα vβ ] = Ra [ isα isβ ] + d dt ([ λα λβ ]) , vfd = Rfdifd + dλfd dt Aplicando a transformação nas equações das tensões vα e vβ : T t [ vd vq ] = RaT t [ id iq ] + d dt ( T t [ λd λq ]) [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + T d dt ( T t ) [ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Resultando em: [ vd vq ] = Ra [ id iq ] + [ 0 −ω ω 0 ][ λd λq ] + d dt ([ λd λq ]) Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 11 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Laid + Laf ifd λq = Laiq λfd = Laf id + Lff ifd Na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Laid + Laf ifd λq = −Laiq λfd = −Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 12 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Laid + Laf ifd λq = Laiq λfd = Laf id + Lff ifd Na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Laid + Laf ifd λq = −Laiq λfd = −Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 12 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Laid + Laf ifd λq = Laiq λfd = Laf id + Lff ifd Na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Laid + Laf ifd λq = −Laiq λfd = −Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 12 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Laid + Laf ifd λq = Laiq λfd = Laf id + Lff ifd Na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Laid + Laf ifd λq = −Laiq λfd = −Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 12 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Ao se considerar a saliência dos polos do rotor, a diferença nas relutâncias na direção longitudinal e transversal de cada par de polos do rotor são contabilizadas nas indutâncias de eixo direto Ld e quadratura Lq nas equações obtidas, no lugar da indutância de armadura La; Assim, na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Ldid + Laf ifd λq = −Lqiq λfd = −Laf id + Lff ifd Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Ldid + Laf ifd λq = Lqiq λfd = Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 13 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações da máquina śıncronanas variáveis d q considerando polos salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Ao se considerar a saliência dos polos do rotor, a diferença nas relutâncias na direção longitudinal e transversal de cada par de polos do rotor são contabilizadas nas indutâncias de eixo direto Ld e quadratura Lq nas equações obtidas, no lugar da indutância de armadura La; Assim, na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Ldid + Laf ifd λq = −Lqiq λfd = −Laf id + Lff ifd Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Ldid + Laf ifd λq = Lqiq λfd = Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 13 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Ao se considerar a saliência dos polos do rotor, a diferença nas relutâncias na direção longitudinal e transversal de cada par de polos do rotor são contabilizadas nas indutâncias de eixo direto Ld e quadratura Lq nas equações obtidas, no lugar da indutância de armadura La; Assim, na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Ldid + Laf ifd λq = −Lqiq λfd = −Laf id + Lff ifd Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Ldid + Laf ifd λq = Lqiq λfd = Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 13 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Ao se considerar a saliência dos polos do rotor, a diferença nas relutâncias na direção longitudinal e transversal de cada par de polos do rotor são contabilizadas nas indutâncias de eixo direto Ld e quadratura Lq nas equações obtidas, no lugar da indutância de armadura La; Assim, na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Ldid + Laf ifd λq = −Lqiq λfd = −Laf id + Lff ifd Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Ldid + Laf ifd λq = Lqiq λfd = Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 13 / 13 ENE059 Prof. Alexandre H. Anzai Model. máq. sincr. 2Φ Transf. Park Eq. λ em dq Eq. v em dq Eq. em dq pol. salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Equações da máquina śıncrona nas variáveis d q considerando polos salientes Ao se considerar a saliência dos polos do rotor, a diferença nas relutâncias na direção longitudinal e transversal de cada par de polos do rotor são contabilizadas nas indutâncias de eixo direto Ld e quadratura Lq nas equações obtidas, no lugar da indutância de armadura La; Assim, na convenção de gerador: vd = −Raid − ωλq + dλd dt vq = −Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = −Ldid + Laf ifd λq = −Lqiq λfd = −Laf id + Lff ifd Na convenção de motor: vd = Raid − ωλq + dλd dt vq = Raiq + ωλd + dλq dt vfd = Rfdifd + dλfd dt λd = Ldid + Laf ifd λq = Lqiq λfd = Laf id + Lff ifd Prof. Alexandre H. Anzai (UFJF) ENE059 23 de outubro de 2019 13 / 13 Modelo de máquina síncrona bifásica equivalente Transformação de Park. Equações dos fluxos concatenados nas variáveis d q Equações das tensões terminais nas variáveis d q Equações da máquina síncrona nas variáveis d q considerando polos salientes
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