-matematica1-Exercícios envolvendo logaritmos-10-06-2021-

Prévia do material em texto

1 
 
 
Matemática 
 
 
Exercícios envolvendo logaritmos 
 
Exercícios 
 
 
1. O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado 
em altitude. Suponha que a altitude ℎ acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro 
de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica 𝑝, em 𝑎𝑡𝑚, por 
 
ℎ(𝑝) = 20 ∙ 𝑙𝑜𝑔10 (
1
𝑝
) 
 
Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 𝑎𝑡𝑚. Considerando a 
aproximação 𝑙𝑜𝑔102 = 0,30, a altitude do avião nesse instante, em quilômetros, era de: 
a) 5 
b) 8 
c) 9 
d) 11 
e) 12 
 
 
2. Se 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais positivos e diferentes de 1, e 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐 = 𝑘, então 
log .log
log
b a
c
a c
b 
É igual a: 
a) 1 
b) 
1
𝑘
 
c) 𝑘 
d) 2𝑘 
e) 𝑘² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
Matemática 
 
 
3. O 𝑝𝐻 de uma solução é dado por: 
 
𝑝𝐻 = − log[𝐻+] 
 
em que [𝐻+] é a concentração de íons de hidrogênio. 
Seja o 𝑝𝐻 de uma solução igual a 6. Se reduzirmos o valor do 𝑝𝐻 da mesma solução para 2, a 
concentração de íons hidrogênio será: 
a) 10.000 vezes maior do que a inicial; 
b) 10.000 vezes menor do que a inicial; 
c) 1.000 vezes maior do que a inicial; 
d) 1.000 vezes menor do que a inicial; 
e) 4 vezes menor do que a inicial. 
 
 
4. Adotando 𝑙𝑜𝑔2 = 0,30 e 𝑙𝑜𝑔3 = 0,48, a raiz da equação 5𝑥 = 60 vale aproximadamente: 
a) 7,2 
b) 2,28 
c) 6,8 
d) 2,54 
e) 2,67 
 
 
5. Resolvendo a equação 𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔1
3
(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) , obtém-se 
a) 𝑆 = {−1} 
b) 𝑆 = {4,5} 
c) 𝑆 = {6} 
d) 𝑆 = ∅ 
e) 𝑆 = {4} 
 
 
6. Se 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9𝑥 = 1, então o valor de 𝑥 é 
a) √2
3
 
b) √2 
c) √3
3
 
d) √3 
e) √9
3
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Matemática 
 
7. O sistema {
𝑙𝑜𝑔𝑏(9𝑎 − 35) = 6 
𝑙𝑜𝑔3𝑏(27𝑎 − 81) = 3
 , com 𝑏 > 1, tem como solução (𝑎, 𝑏) igual a 
a) (2,11) 
b) (11,2) 
c) (1,11) 
d) (11,1) 
e) (1,2) 
 
 
8. “O uso da tecnologia biométrica vem se consolidando mundialmente nos últimos anos. De acordo com 
estudo realizado pela consultoria norte-americana Tractica, esse mercado de reconhecimento de 
impressões digitais, íris e voz está sendo incorporado em vários países e em diferentes segmentos – 
que vão desde sistemas de acesso da população pouco escolarizada a benefícios governamentais até 
o acesso restrito a áreas estratégicas dentro de uma empresa ou governo. A expectativa é que esse 
mercado cresça aproximadamente 25% ao ano.” 
Adaptado de http://www.metaanalise.com.br/inteligenciademercado. Acesso em 25/09/2015. 
 
Considerando fixa a taxa de crescimento anual da tecnologia apontada no texto, em quantos meses o 
seu uso irá dobrar no mercado internacional em comparação a um ano 𝑥? Considere 𝑙𝑜𝑔2 = 0,3. 
a) 3 
b) 9 
c) 12 
d) 24 
e) 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.metaanalise.com.br/inteligenciademercado.%20Acesso%20em%2025/09/2015
 
 
 
 
 
4 
 
 
Matemática 
 
 
9. Meia-vida ou período de semidesintegração de um isótopo radioativo é o tempo necessário para que 
sua massa se reduza à metade. Abaixo, o gráfico da função 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥. 
A meia-vida de um isótopo radioativo pode ser calculada utilizando-se equações do tipo 𝐴 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘 𝑡, em 
que: 𝐶 é a massa inicial; 𝐴 é a massa existente em 𝑡 anos; 𝑘 é uma constante associada ao isótopo 
radioativo. 
Em um laboratório, existem 60 𝑚𝑔 de 𝑅𝑎26
2 , cujo período de semidesintegração é de 1600 anos. Daqui 
a 100 anos restará, da quantidade original desse isótopo, o correspondente, em 𝑚𝑔, a: 
 
 
 
 
 
 
a) 40,2 
b) 42,6 
c) 50,2 
d) 57,6 
 
 
10. O valor de 𝐸 = 𝑙𝑜𝑔 (1
2
) + 𝑙𝑜𝑔 (
2
3
) +. . . +𝑙𝑜𝑔 (
999
1000
) é 
a) −3. 
b) −2. 
c) −1. 
d) 0. 
e) 1
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
 
Gabarito 
 
1. B 
Sendo 𝑝 = 0,4, podemos dizer que: 
ℎ(0,4) = 20 ∙ log (
1
0,4
) → ℎ(0,4) = 20 ∙ log (
1
4
10
) → ℎ(0,4) = 20 ∙ log (
10
4
) → 
ℎ(0,4) = 20 ∙ (𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔4) → ℎ(0,4) = 20 ∙ (1 − 𝑙𝑜𝑔22) = 20 ∙ (1 − 2 ∙ 𝑙𝑜𝑔2) 
ℎ(0,4) = 20(1 − 2 ∙ 0,3) = 20 ∙ 0,4 = 8 𝑘𝑚 
 
2. E 
Usando mudança de base: 
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏
=
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ∙
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
=
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 ∙
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
1
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
=
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
1
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐
= 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 𝑘² 
 
3. A 
• 𝑝ℎ = 6: 
6 = − log[𝐻+] → −6 = log[𝐻+] → [𝐻+] = 10−6 
• 𝑝ℎ = 2: 
2 = − log[𝐻+] → −2 = log[𝐻+] → [𝐻+] = 10−2 
De 10−6 para 10−2, há um aumento de 104 = 10.000 vezes na quantidade de íons de hidrogênio, visto que 
10−6 ∙ 104 = 10−2. Já era esperado que fosse haver um aumento, uma vez que, em soluções mais ácidas, 
há uma maior concentração de íons 𝐻+. 
 
4. D 
Se 5𝑥 = 60, vale dizer que 𝑙𝑜𝑔560 = 𝑥. Usando mudança de base: 
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔560 =
𝑙𝑜𝑔1060
𝑙𝑜𝑔105
=
𝑙𝑜𝑔10(6 ∙ 10)
𝑙𝑜𝑔10 (
10
2
)
=
𝑙𝑜𝑔2 + 𝑙𝑜𝑔3 + 𝑙𝑜𝑔10
𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2
=
0,3 + 0,48 + 1
1 − 0,3
=
1,78
0,7
= 2,54 
 
5. D 
Condições de existência: 𝑥2 − 2𝑥 − 3 > 0, 𝑥 − 1 > 0 e 𝑥 + 1 > 0. 
Resolvendo a equação: 
𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔1
3
(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) → 𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔3−1(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) 
𝑙𝑜𝑔3(𝑥
2 − 2𝑥 − 3) − 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 1) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) → 𝑙𝑜𝑔3 (
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 1
) = 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 1) 
𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑥 − 1
= 𝑥 + 1 → 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) → 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 𝑥2 − 1 → 2𝑥 = −2 → 𝑥 = −1 
Porém, isso fere a condição de que 𝑥 − 1 > 0, já que −1 − 1 = −2 < 0. Logo, 𝑆 = ∅. 
 
6. E 
Condição de existência: 𝑥 > 0. 
𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 𝑙𝑜𝑔9𝑥 = 1 → 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3²𝑥 = 1 → 𝑙𝑜𝑔3𝑥 +
1
2
𝑙𝑜𝑔3𝑥 = 1 → 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3𝑥
1
2 = 1 
𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 ∙ 𝑥
1
2) = 1 → 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥
3
2) = 1 → 31 = 𝑥
3
2 → 𝑥 = √3²
3
= √9
3
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
Como esse resultado não fere a condição de existência, essa é nossa solução. 
 
7. B 
{
𝑙𝑜𝑔𝑏(9𝑎 − 35) = 6
𝑙𝑜𝑔3𝑏(27𝑎 − 81) = 3
 
 
𝑏6 = 9𝑎 − 35 → 𝑏3 ∙ 𝑏3 = 9𝑎 − 35 
27𝑏3 = 27𝑎 − 81 → 𝑏3 = 𝑎 − 3 
 
Substituindo a segunda equação na primeira, 
(𝑎 − 3)2 = 9𝑎 − 35 → 𝑎2 − 6𝑎 + 9 = 9𝑎 − 35 → 𝑎2 − 15𝑎 + 44 = 0 
 
Resolvendo essa equação, encontramos 𝑎 = 11 ou 𝑎 = 4. 
 
Se 𝑎 = 11, 𝑏3 = 11 − 3 → 𝑏3 = 8 → 𝑏 = 2. 
 
Se 𝑎 = 4, 𝑏3 = 4 − 3 → 𝑏3 = 1 → 𝑏 = 1. 
 
Como 𝑏 > 1 pelo enunciado, a solução é 𝑆 = {(11,2)}. 
 
8. E 
Considerando o aumento de 25% ao ano, vale dizer o uso dessa tecnologia pode ser descrito por 
2𝑥 = 𝑥 ∙ 1,25𝑡 , com 𝑡 em anos. Resolvendo essa equação: 
 
2𝑥 = 𝑥 ∙ 1,25𝑡 → 2 = 1,25𝑡 → 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑙𝑜𝑔1,25𝑡 → 0,3 = 𝑡 ∙ 𝑙𝑜𝑔1,25 → 0,3 = 𝑡 ∙ log (
125
100
) 
0,3 = 𝑡 ∙ log (
53
102
) → 0,3 = 𝑡 ∙ (𝑙𝑜𝑔53 − 𝑙𝑜𝑔102) → 0,3 = 𝑡 ∙ (3𝑙𝑜𝑔5 − 2𝑙𝑜𝑔10) 
0,3 = 𝑡 ∙ (3 log (
10
2
) − 2𝑙𝑜𝑔10) → 0,3 = 𝑡 ∙ (3 ∙ (𝑙𝑜𝑔10 − 𝑙𝑜𝑔2) − 2) → 0,3 = 𝑡 ∙ (3 ∙ 0,7 − 2) 
0,3 = 0,1𝑡 → 𝑡 = 3 anos = 36 meses. 
 
9. D 
Usando a informação de que em 1600 anos o rádio passaria de ter 60 𝑚𝑔 para ter 30 𝑚𝑔, concluímos 
que: 
30 = 60 ∙ 𝑒𝑘 ∙ 1600 →
30
60
= 𝑒1600𝑘 →
1
2
= 𝑒1600𝑘 → 𝑙𝑜𝑔𝑒 (
1
2
) = 1600𝑘 
→ 𝑙𝑜𝑔𝑒(2
−1) = 1600𝑘 → −1 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 1600𝑘 → 𝑘 = −
𝑙𝑜𝑔𝑒2
1600
 
 
Como o gráfico nos diz que 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 0,693, temos que −1 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 1600𝑘 → −0,693 = 1600𝑘. Portanto, 
𝑘 = −
0,693
1600
≅ −0,00043. 
 
Em 100 anos, teremos 
𝐴 = 60 ∙ 𝑒100 ∙( − 
𝑙𝑜𝑔𝑒2
1600
) → 𝐴 = 60 ∙ 𝑒− 
𝑙𝑜𝑔𝑒2
16 
 
O gráfico nos informa que 𝑙𝑜𝑔𝑒2 = 0,693. Logo, 𝐴 = 60 ∙ 𝑒
− 
0,693
16 . Como − 
0,693
16
≅ −0,043, segue que 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
 
𝐴 = 60 ∙ 𝑒− 
0,693
16 = 60 ∙ 𝑒− 0,043 → 𝐴 = 60 ∙ 0,96 = 57,6 𝑚𝑔 
 
10. A 
𝑙𝑜𝑔 (
1
2
) + 𝑙𝑜𝑔 (
2
3
) + ⋯ + 𝑙𝑜𝑔 (
999
1.000
) = 
= 𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔 + 𝑙𝑜𝑔2 − 𝑙𝑜𝑔3 + 𝑙𝑜𝑔3 − ⋯ − 𝑙𝑜𝑔999+ 𝑙𝑜𝑔999 − 𝑙𝑜𝑔1000 = 
𝑙𝑜𝑔1 − 𝑙𝑜𝑔1000 = 0 − 3 = −3