Matemática Para Administração

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REGRAS DE DERIVAÇÃO 
3’=0 / 3x’=3 / x³’=3x² / 
9x+5’=9 / 3e×=3e× / 3lnx=
3
𝑥
 / 
√𝑥4
3
’= 𝑥
4
3 =
4
3
𝑥
1
3 
 
 
REGRA DO PRODUTO 
(3𝑥4.lnx)’ = (12x³.lnx)+( 
1
𝑥
. 3𝑥4) 
= (12x³.lnx)+(3𝑥3) 
[(3x+x²).(x+2)]’ = [(3+2x).(x+2)]+1.( 3x+x²) = 
(3x+6+2x²+4x)+(3x+x²) = 3x²+10x+6 
REGRA DO QUOCIENTE 
( 
𝑥2−3
𝑥2+4
 )’= 
 2x.(x²+4) – 2x.(x²−3)
(𝑥2+4)²
 = 
 (2x3+8x)−(2x3−6x)
(𝑥4+16)
 
REGRA DA CADEIA 
(2x²-1)³’ = 3(2x²-1)².4x / (𝑒5𝑥
2−1)’ = 𝑒5𝑥
2−1.10x / 
[cos(2x²-9)]’ = -sen(2x²-9).4x / [(lnx+1)³]’ = 
3(lnx+1)²+ 
1
𝑥
 / [(3x²+2)4.(3x+1)]’ = 
4(x²+2)³.6x(3x+1)+3(3x²+2)4 / ( √2𝑥3 − 4𝑥 + 5
2
)’ 
= (2x³-4x+5)
1
2 = 
1
2
. (2x³-4x+5)
−1
2 . (6x²-4) / 
[cos(2x³-1)]²’ = 2[cos(2x³-1)] . -sen(2x³-1) . 6x² 
APLICAÇÃO DA DERIVADA 
x = nº de produtos / Função receita: R(x) = 100x / Função 
custo total: C(x) = x²+20x+700 / Função custo marginal: 
C’ = 2x+20 / FReceitaM é R(x)’: R’ = 100 / FCustoTotal: 
L(x)=R(x)-C(x) → L(x)=100x-(x²+20x+700) = -x²+80x-700 / 
FLucroM é L(x)’ → L’=-2x+80 / CustoProdução DE x=11: 
C(11) 
C(x)=x²+20x+700 → C(11)=(11)²+20.11 
+700 = 1041 / CustoProdução DA x=11: 
C(11)-C(10) → C(10)=(10)²+20.10+700 
= 1000 → 1041-1000=41 / EstimarO 
CustoDeProdução DA x=11: C’=2x+20 
→ C’(10)=2.10+20=40 / ReceitaVenda 
DE x=11: R(11)=100x → 100.11=1100 / 
VariaçãoReceitaPorVenda DA x=11: 
R(11)-R(10)=1100-1000=100 / Estimar 
VariaçãoDaReceitaPelaVenda DA 11x: R’=+100 p/ cada unidade vendida. / LucroDaProduçãoEVenda DE x=11: L(11)=-x²+80x-700 → L(11)=-(11)²+80.11-700=59 / A 
VariaçãoDoLucroPelaProduçãoEVenda DA x=11: L(10)=-(10)²+80.10-700=0 ; L(11)-L(10) → 59-0=59 / EstimarAVariaçãoDoLucroPelaProduçãoEVenda DA x=11: 
L’=-2x+80 → L’(10)=-2(10)+80=60. 
PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO: f(x)=x³-3x²-9x+7 → f’(x)=3x²-6x-9 (:3) → x²-2x-3 → ∆=16, +/-4 → x’=3; x’’=-1 / PT {↗-2; -1; ↘0; 3; ↗4} / f’(-2)=3.(-2)²-6(-2)-
9=15>0 ↗ ; f’(0)=3.0-6.0-9=-9<0 ↘ ; f’(4)=3.4²-6.4-9=15>0 ↗ / f(-1)=(-1)³-3.(-1)²-9.(-1)+7=12 → (-1,12): PONTO DE MÁXIMO; f(3)=3³-3.(3)²-9.3+7=-20 → (3,-20): 
PONTO DE MÍNIMO. 
REGRAS DA INTEGRAÇÃO: ∫ dx = x+c / ∫x² dx = 
𝑥3
3
 +c / ∫7dx = 7x+c / ∫e× dx = e×+c / ∫
𝑑𝑥
𝑥
 = lnx+c / ∫3x² dx = 3
𝑥3
3
+c / ∫(4x²+7) dx = (4
𝑥3
3
 +7x)+c / 
 ∫
𝑑𝑥
√𝑥
 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
1
2
 = ∫ 𝑥
−1
2 .dx = 
𝑥− 
1
2
+1
−
1
2
+1
 = 
𝑥
1
2
1
2
 = 𝑥
1
2.
2
1
= 2𝑥
1
2 + 𝑐 / ∫3e×+
2
𝑥
 dx = (3e×+2lnx)+c 
 OTIMIZAÇÃO¹: “Qual a área máxima que se pode construir um cercado retangular com 1000m de cerca às margens do rio?” → - Função objetivo: A=x.y (I) / 
- Restrição: x+2y=1000; x=1000-2y (II) / - Substitui II em I: A = (1000-2y).y → 1000y-2y² = 1000-4y=0 → - 4y= - 1000 → 4y = 1000 → y = 
1000
4
 = 250 (máx) / (II): x=1000-
2y → x=1000-2.250 → x=1000-500 = 500 / A’=1000-4y → A’(100)=1000-4.100 = 600 > 0 ↑ ; A’(500)=1000-4.500 = -1000 < 0 ↓ / A=x.y → A = 500.250 = 125000 m². / 
100 ↑; 250 ; 500 ↓. 
OTIMIZAÇÃO²: “Cercado retangular com 600 m². 3 lados de madeira, R$14/m; 4º lado de cimento, por R$28/m. Ache as dimensões para minimizar o custo.” → - 
Função objetivo: c=14y+14x+14x+28y → c=42y+28x (I) / - Restrição: x.y=600 → y = 
600
𝑥
 (II) → - Substitui II em I: c=42y+28x → c=42. 
600
𝑥
 + 28x → c= 
25200
𝑥
 +28x → 
c=25200. 𝑥−1 + 28𝑥 → c’= -25200𝑥−2+28=0 → c’=-25200𝑥−2=-28 → c’=25200𝑥−2=28 → c’=
25200
𝑥²
.28 → c’=28x²=25200 → c’= x²= 
25200
28
 = 900 → +30. / - PT: 
c’= 
−25200
𝑥²
 + 28 → c’(10)= 
−25200
10²
+28 → c’(10)= -252+28= -224 < 0 ↓ ; c’(40)= 
−25200
40²
+28 → c’(40)= -15,75+28 = 12,25 > 0 ↑ → 30 é ponto de mínimo. / - Substituir 
x=30 em II: y= 
600
𝑥
 → y = 
600
30
 = 20 m. / 10 ↓; 30 ; 40 ↑. 
OTIMIZAÇÃO³: “Seja a função lucro de uma indústria que produz e comercializa 2 tipos de produto em quantidade x e y. L(x,y)= -2x²-y²+32x+20y (I). Calcule o 
lucro máximo sabendo que a produção da indústria é limitada a 24 unidades.” → - Função objetivo: c=14y+14x+14x+28y → c=42y+28x (I) / - Restrição: x+y=24 → 
y=24-x (II) → L= -2x²-(24-x)²+32x+[20.(24-x)] → L= -2x²-(576-48x+x²)+32x+480-20x → L= -2x²-576+48x-x²+32x+480-20x → L’= 6x+60; L’= 0 → -6x+60=0 → -6x = -60 → 
6x=60 → x= 
60
6
 = 10 (máx) / - PT: L’(5)= -6.(5)+60 = 30 > 0 ↑ ; L’(15)= -6.(15)+60 = -30 < 0 ↓ / - Substituir x=10 em II: y=24-x → y=24-10=14. / 5 ↑; 10 ; 15 ↓. 
OTIMIZAÇÃO4: “Um terreno retangular vai ser murado pelo seu proprietário e um de seus vizinhos vai pagar um dos lados. Se as despesas são de $8,00 por metro 
para o lado paralelo ao do vizinho e $5,00 por metro para os lados restantes, ache as dimensões do terreno de maior área possível que pode ser murado pelo 
proprietário com $800,00.” → - Função objetivo: A=x.y (I); y= 80 - 
8
10
 x (II) → - Restrição: 8x+5(2y)=80 → 8x+10y=800 / - Substituir II em I: A(x)= x.(80 - 
8
10
 x) = 80x - 
8𝑥²
10
 → A’(x) = 80 - 
8
5
 x = 0 → x= 
80.(5)
8
 = 50 (máx) / PT: A’(10)= 80 -- 
80
5
 > 0 ↑ ; A’(60) = 80 - 
80
5
 . (50) → A’(60) = 80-40 = 40 /A = 50.40 = 2000 m² / 10 ↑; 50 ; 60 ↓. 
OTIMIZAÇÃO5: “Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por C(x) = x 3 – 3x 
2 – 80x + 500. Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro? Qual o máximo lucro semanal possível?” → - Função Objetivo: C(x)= 
x³-3x²-80x+500 / Restrição: R(x)= 2800.x / L=R-C → L= 2800x-x³+3x²+80x-500 → L = -x³+3x²+2880x-500 → L’(x) = -3x²+6x+2880 (:3) → 
L’(x)= -x²+2x+960 → -4.(-1).(960)+4=3844 → x= 
−2+/−62
6
 = x’= -30; x’’= 32 (quantidade máxima) → L’(10) = - (10)²+20+960 > 0 ↑ ; L’(40)= -(40)²+80+960 < 0 ↓ / 
L(máx) = - (32)³+3.(32)²+2880.(32)-500 = 61964. / 10 ↑; 32 ; 40 ↓. 
APLICAÇÃO DA INTEGRAL: “Uma empresa, de janeiro à junho, tem um faturamento progressivo, de R$ 10 mil. Nesta situação, pode-se 
traçar o gráfico a seguir. Considerando o gráfico, qual será o faturamento no período de 1 a 6 meses?” ∫ 1000𝑥
6
1
 → 1000. 
𝑥2
2
 ]6;1 → 
 
1000
2
 x²]6;1 → 500x²]6;1 → 500.(36-1) → 5000.35 = 175000 / “Demanda D=20-p e oferta S = 
−20
3
+ 
5
3
 𝑝, encontre o excedente do 
consumidor e do produtor.” → 20-p = 
−20
3
+ 
5
3
 𝑝 → - p - 5
3
 𝑝 = 
−20
3
 – 20 →(mínimo 3) → -3p-5p=-20-60 → 8p=80 → p=10. ; D=20-10 = 10. ; 
S= 
−20
3
 + 
5.10
3
 = 
30
3
 = 10. / Excedente do consumidor: ∫ [𝑝(𝑥) − 𝑃]𝑑𝑥
X
0
: ∫ [(20 − 𝑃) − 10] 𝑑𝑝
10
0
 → ∫ (20 − 𝑝 − 10)𝑑𝑝
10
0
 → ∫ (10 − 𝑃)𝑑𝑝
10
0
 → 10p - 
𝑝2
2
 ]10;0 → 
10.10 - 
(10)²
2
 = 100-50 = 50. / Excedente do produtor: ∫ [𝑃 − 𝑆(𝑥)]𝑑𝑥
X
0
: ∫ 10 − (
−20
3
+ 5
3
 𝑝) 𝑑𝑝10
0
 → ∫ 10 + (
20
3
− 5
3
 𝑝) 𝑑𝑝10
0
 → ∫ 10𝑝 + (
20
3
𝑝 − 5
3
 𝑝²)10
0
 → 
(10.10)+ 
20
3
 . 10 − 
5
3
. 
10²
2
 → 100 + 
200
3
 - 
500
6
 → 
600+400−500 
6
 = 
500
6
 = 83,33.