Revisão vigas e pórticos

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PROFESSOR: MÁRCIO BANDEIRA DE OLIVEIRA 
DISCIPLINA: ANÁLISE DAS ESTRUTURAS 
 
VIGAS E PÓRTICOS: EXERCÍCIOS DE REVISÃO. 
1. Para a viga (20x50) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. 
 
 
 
 
PP = 0,2 x 0,5 x 25 = 2,5 KN/m 
P = 12 – 2,5 = 9,5 KN/m 
 
𝑅 =
𝑞. 𝐿
2
 ; 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞. 𝐿2
8
 ; 𝑉(𝑥) = 𝑅 − 𝑞. 𝑥; 𝑀(𝑥) = 𝑅. 𝑥 −
𝑞. 𝑥2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para a viga (20x40) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. 
 
 
 
 
𝑅 = 𝑞. 𝐿 ; 𝑀𝑚á𝑥 =
−𝑞. 𝐿2
2
; 𝑉(𝑥) = 𝑅 − 𝑞. 𝑥; 𝑀(𝑥) = 
−𝑞. (𝐿 − 𝑥)2
2
 
 
 
 
 
 
 
3. Para a viga (15x30) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. 
 
 
 
𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 =
3. 𝑞. 𝐿
8
; 𝑅𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 =
5. 𝑞. 𝐿
8
; 𝑀𝑚á𝑥,𝑝𝑜𝑠 =
𝑞. 𝐿2
14,22
; 𝑀𝑚á𝑥,𝑛𝑒𝑔 =
−𝑞. 𝐿2
8
 
 𝑉(𝑥) = 𝑅 − 𝑞. 𝑥 → 13,5 − 12. 𝑥 = 0 → 𝑥 = 1,125 
 
𝑀𝑚á𝑥 = 13,5𝑥1,125 −
12𝑥1,1252
2
= 7,59 𝐾𝑁𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Para a viga (21x42) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. 
 
 
 
 
 𝑅𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 =
𝑞. 𝐿
2
; 𝑀𝑚á𝑥,𝑝𝑜𝑠 =
𝑞. 𝐿2
24
; 𝑀𝑚á𝑥,𝑛𝑒𝑔 =
−𝑞. 𝐿2
12
 
 𝑉(𝑥) = 𝑅 − 𝑞. 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
5. Para a viga (15x30) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. 
 
 
 
𝑚 =
𝑎
𝐿
; 𝐾 =
𝑚
2
 . (2 − 3. 𝑚 + 𝑚2); 𝑀𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 = −𝐾. 𝑃. 𝐿 
 
𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 . 𝐿 − 𝑃. 𝑎 = −𝐾. 𝑃. 𝐿 → 𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 =
−𝐾. 𝑃. 𝐿 + 𝑃. 𝑎
𝐿
 
 
𝑅𝑒𝑛𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒 = 𝑃 − 𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 
 
 
 
 
𝑉(𝑥) = 𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 , 𝑎𝑡é 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑃 ; 𝑉(𝑥) = 𝑅𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 − 𝑃, 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑃 
 
 
 
6. Para a viga (15x30) abaixo, calcular reações de apoio, DFC e DMF. Observe 
que será a superposição do exemplo 3 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Vamos estudar agora a viga destacada do pórtico: Pilares 30 x 30 cm e 
vigas 20 x 40 cm. 
 
Observe o tramo 1 de 5 metros. Vamos supor o modelo bi engaste da viga: 
 
Cálculo dos momentos: 
 
 
Modelando a viga separada temos: 
 
 
 
Usaremos esse resultado no final da análise: 
 
Para a viga estudada vamos calcular o engaste parcial no pilar do canto 
esquerdo. A modelagem fica dessa forma: 
 
Cálculo dos momentos de inércia: 
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝑏𝑥ℎ3
12
=
0,2𝑥0,43
12
= 0,001067 𝑚4 
𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 =
𝑏𝑥ℎ3
12
=
0,3𝑥0,33
12
= 0,000675 𝑚4 
 
Cálculo da rigidez da viga e do pilar: 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝐼𝑣𝑖𝑔𝑎
𝐿𝑣𝑖𝑔𝑎
=
0,001067
5
= 0,0002134 𝑚3 
𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝 = 𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓 =
𝐼𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
𝐿𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟
=
0,000675
3
= 0,000225 𝑚3 
 
Momento na viga devido ao engaste parcial no pilar externo: 
 
𝑀𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝑞. 𝐿2
12
𝑥
𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝 + 𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 + 𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑠𝑢𝑝 + 𝑟𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟,𝑖𝑛𝑓
= 41,67𝑥
2𝑥0,000225
0,0002134 + 2𝑥0,000225
= 28,26 𝐾𝑁. 𝑚 
 
Vamos estimar o momento do pilar de centro como: 
 
𝑀 = −62,5 +
28,26
2
= −48,37 𝐾𝑁. 𝑚 (aqui temos uma estimativa) 
Quando aumentamos o momento da viga no engaste parcial com o pilar externo, 
naturalmente reduzimos o momento negativo no pilar central do modelo da viga 
separada. 
Vejamos agora o resultado do pórtico plotado no FTOOL: 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 Botelho, Manoel Henrique Campo, and Osvaldemar 
Marchetti. Concreto armado-Eu te amo. Editora 
Blucher, 2018. 
 1. HIBBELER, R. Resistência dos Materiais. São Paulo: 
Pearson, 2010.