Atividade 3 - Cálculo aplicado à uma variável (Taxas de variação)

Prévia do material em texto

A importância das taxas de variação 
Ao nos depararmos com as diversas vertentes da matemática e aos cálculos 
relacionados à ela, percebe-se que em algumas situações é preciso lidar com 
duas ou mais quantidades que variam simultaneamente entre si (as quais 
chamamos de Taxas relacionadas). Nota-se também a existência de derivadas, 
que são uma taxa de variação de uma dada função e que também é possível 
que estas derivadas também se relacionam. 
Estas derivadas podem ser utilizadas em várias áreas de conhecimento, 
permitindo por fim resolver problemas de otimização (maximização de lucro, 
minimização de custo, minimização de área de superfície para maximizar o 
volume, solucionando o problema de embalagens, etc.), podem ser aplicadas 
também em problemas cotidianos, tais como determinação da taxa de 
crescimento da população, crescimento econômico, taxa de variação de 
temperaturas, entre outros. 
Segue abaixo, dois exemplos nos quais as taxas de variação estão presentes: 
 EXEMPLO 1: 
A água está saindo de um tanque em forma de um cone a uma taxa de 10.000 
cm³/min. No momento a água está sendo bombeada para dentro a uma taxa 
constante. O tanque tem 6m de altura e seu diâmetro no topo é de 8m. 
Se o nível de água está subindo a uma taxa de 20 cm³/min quando a altura era 
2m, qual a taxa com que a água está bombeada para dentro. 
 
RESOLUÇÃO: 
➢ Nota-se que o volume da água é dado pela seguinte fórmula: 
 
dV / dt = água que entra – água que sai 
dV / dt = txe (t) – 10000. 
 
➢ O volume do cone é expresso pela fórmula V = 1/3 π² * h. Logo: 
 
V = 1/3π (2h/3)² * h = 4 πh³/ 27 
 
➢ Ao realizar a derivação implícita, temos: 
 
dV/dt = 4 πh² * (dh/dt) / 9 = txe (t) – 10000 
 
➢ Como resultado, obtemos a seguinte taxa de entrada no momento em 
que a altura era 200cm: 
 
Txe = { [4 π (200)² * 20 / 9] + 10000 } cm³/min 
 
EXEMPLO 2: 
Um reservatório de água tem 20m de largura, 40m de comprimento, 9m de 
profundidade no lado mais fundo e 3m no lado mais raso. Se este reservatório 
está enchendo a uma taxa de 0,8m³/min qual a velocidade com que o nível de 
água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo for 5m? 
 
RESOLUÇÃO: 
➢ Nota-se que o volume de água no reservatório em função da altura (h) 
quando próximo de 5m é igual a: 
 
V (h) = h * t * ½ * (12 + 12 + h + 16h/6) 
 
➢ Dado que I = 20m, temos a seguinte equação: 
 
V (h) = 20 * h * ½ * (144 + 22h / 6) 
V (h) = 720h + 122h² / 3 
 
➢ Ao derivar implicitamente, chegamos ao seguinte resultado: 
 
dV/dt = [24 + (244h/3)] * dh/ dt (obs: dv/dt neste caso será igual a 
8m³/min) 
 
dh/dt = 3 * (dv/dt) / 720 +244h 
 
2,4 / 1940 = 0, 012m³/min = 12000cm³/min