Princípios da Experimentação

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1 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL
1.1 Introdução
A experimentação tem por objetivo o planejamento e a execu-
ção de experimentos, a análise e a interpretação dos resultados
obtidos nos experimentos.
• Maior ênfase deve ser dada ao planejamento e à interpretação
do s resultados obtidos nas análises.
• Serão tratados apenas métodos apropriados para as análises
de ensaios balanceados, isto é, quando os tratamentos apre-
sentam o mesmo número de repetições.
1.2 Conceitos importantes em experimentação
1.2.1 Experimento ou ensaio
É o processo que permite a coleta das observações sob condições
previamente determinadas e impostas pelo pesquisador.
1.2.2 Fator
É uma variável cujo efeito se deseja conhecer e avaliar no expe-
rimento. Exemplos:
(i) Experimento para se avaliar o ganho de peso de suínos ali-
mentados com rações que apresentam diferentes % de pro-
teína bruta(PB). O fator em estudo é % PB na ração.
(ii) Experimento para se avaliar a produção de diferentes vari-
edades de feijão plantadas com diferentes tipos de adubos.
Neste caso, têm-se dois fatores em estudo: variedades de
feijão e tipos de adubo.
2
1.2.3 Tratamento
Utilizado para caracterizar os tipos ou níveis que um fator as-
sume, quando se tem um único fator em estudo ou as combina-
ções dos tipos ou níveis dos fatores, no caso de se ter mais de um
fator em estudo, simultaneamente. Exemplos:
(i) Num experimento para se avaliar o efeito de um catalisador
em uma reação química tem-se que o fator é catalisador e
assim,
• Trat. 1 - sem catalisador;
• Trat. 2 - com catalisador.
(ii) No caso de um experimento para se avaliar a produção de
três diferentes variedades de feijão, V1, V2 e V3, plantadas
com dois diferentes tipos de adubos, químico (Q) e orgânico
(O), tem-se dois fatores em estudo: um com três níveis e
outro com dois níveis. Assim, combinando-se esses níveis
dos fatores, tem-se 2x3 = 6 tratamentos, ou seja,
Variedade Tipo de adubo Tratamentos
V1 Q T1 = V1Q
V1 O T2 = V1O
V2 Q T3 = V2Q
V2 O T4 = V2O
V3 Q T5 = V3Q
V3 O T6 = V3O
1.2.4 Variável resposta
É a variável a ser medida ou avaliada no experimento. Exemplos:
ganho de peso, produção, etc.
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1.2.5 Dados
São as observações obtidas ou coletadas no experimento, ou seja,
sãos valores que a variável resposta assume.
1.2.6 Parcela ou unidade experimental
É o conjunto ou porção de material que recebe apenas um trata-
mento e de onde serão obtidos os dados para análise. Exemplos:
uma vaca, quatro suínos, três poedeiras, uma placa de petri, uma
linha de plantio de uma cultura, com 10m de comprimento, etc.
1.2.7 Bordadura
A bordadura consiste em deixar, em cada parcela, uma área cujo
material não será utilizado nas avaliações. Exemplo: de uma
parcela com quatro linhas de 5m cada, com espaçamento de 0,5m
e com 10 plantas por metro linear, a qual apresenta área total
de 10 m2 e 200 plantas, pode-se utilizar apenas uma área útil de
3m2, com 60 plantas.
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1.2.8 Variações devido ao acaso ou erro experimental
São variações que ocorrem nos experimentos atribuídas a efeito
de fatores não controlados, conhecidos ou não, que afetam os
resultados experimentais. Esta variação ocorre entre parcelas que
recebem o mesmo tratamento e causam prejuízo na discriminação
do efeito dos tratamentos. Deve-se ter muito cuidado e procurar
reduzir ao máximo o erro experimental, pois este está diretamente
ligado à precisão do experimento. Exemplos:
(i) diferenças genéticas entre os seres vivos;
(ii) pequenas diferenças de fertilidade do solo;
(iii) pequenas variações nas condições ambientais;
(iv) pequenas variações nas doses de adubos, inseticidas, fungi-
cidas, herbicidas, etc;
(v) ligeiras variações na distribuição de rações;
(vi) variações devido à falta de uniformidade na condução do
ensaio, como diferenças devido à variações de temperatura,
umidade, etc;
1.2.9 Delineamento experimental
É a maneira como as parcelas estão dispostas no experimento.
Como exemplo pode-se citar os delineamentos inteiramente ca-
sualizado (DIC), em blocos casualizados (DBC) e em quadrado
latino (DQL).
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1.3 Princípios básicos da experimentação
1.3.1 Repetição
É o fato de um tratamento aparecer mais de uma vez no ensaio,
ou seja, o tratamento é atribuído a mais de uma parcela.
• permite a estimação do erro experimental;
• aumenta a precisão da estimativa, reduzindo o erro padrão
da média do tratamento, uma vez que SX̄ =
S√
J
, em que J
é o número de repetições;
• diminui o erro experimental.
** Regras gerais (práticas):
• deve-se ter no mínimo 3 repetições/tratamento;
• ensaio deve ter no mínimo 20 parcelas;
• erro experimental deve ter no mínimo 10 graus de liberdade
(GLErro ≥ 10).
1.3.2 Casualização ou Aleatorização
A atribuição dos tratamentos às parcelas deve ser de maneira ale-
atória, evitando a disposição sistemática dos tratamentos, o que
pode favorecer um determinado tratamento. Com a casualização,
cada tratamento tem a mesma probabilidade de ser destinado
a qualquer parcela. A casualização tem por objetivo assegurar
uma estimativa não-viesada do erro experimental, das médias
dos tratamentos e das diferenças entre as médias, assim como
dar validade aos testes de hipóteses realizados.
- Exemplo:
6
1.3.3 Controle local
Refere-se a restrições impostas no processo de casualização, levando-
se em conta variações conhecidas, ou que se tem suspeita, no
material experimental. A �nalidade do controle local é dividir
um ambiente heterogêneo em sub-ambientes homogêneos. Este
procedimento torna o experimento mais e�ciente, pois reduz o
erro experimental. De acordo com o controle local, tem-se os
delineamentos:
- DIC: sem controle local;
- DBC: controle local em uma direção (blocos horizontais);
- DQL: controle local em duas direções (blocos horizontais e
verticais);
1.4 Análise de Variância (ANAVA)
É uma metodologia estatística desenvolvida por R.A. Fisher, con-
siderada uma das ferramentas mais importantes do pesquisador
na análise de dados e interpretação dos resultados experimentais.
Consiste na partição da variância de uma variável aleatória em
partes ortogonais (independentes) correspondentes a tratamento
e erro experimental. Os objetivos da ANAVA são:
• obter estimativas precisas das médias e diferença entre as
médias dos tratamentos;
• testar hipóteses sobre igualdade de médias dos tratamentos
e sobre a existência de interações entre fatores;
• obter estimativas dos componentes de variância.
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1.4.1 Variação total, variação entre tratamentos e varia-
ção dentro
Seja a observação yij do tratamento i na repetição j, com i =
1, 2, . . . , I e j = 1, 2, . . . , J . Assim, de um experimento tem-se
Repetição Totais
Tratamentos 1 2 . . . J tratamentos
1 y11 y12 . . . y1J T1
2 y21 y22 . . . y2J T2
... ... ... ... ... ...
I yI1 yI2 . . . yIJ TI
G
em que,
- Ti é o total do tratamento i, sendo Ti =
J∑
j=1
yij =
∑
j
yij
- G é o total geral, sendo G =
I∑
i=1
J∑
j=1
yij =
∑
ij
yij
- Médias dos tratamentos: m̂i =
Ti
J
;
- Média geral: m̂ =
G
IJ
.
Em um ensaio em DIC, a variação total será desdobrada na
variação entre tratamentos e na variação dentro de tratamentos,
isto é,
Variação total = Variação Entre + Variação Dentro
(SQTotal) (SQTrat) (SQErro)
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em que,
- Variação total (VTO): mede toda a variação ocorrida no
ensaio, dada pela dispersão das observações em relação à
média geral. Representa a variação devida a todas as fontes
que causam variabilidade nos dados.
V TO = SQTotal =
∑
ij
(yij − m̂)2 =
∑
ij
y2
ij −
∑
ij
yij
2
IJ
- Variação entre tratamentos (VE): mede a variação ocor-
rida no ensaio devido ao efeito de tratamentos, dada pela
dispersão das médias dos tratamentos em relação à média
geral.
V E = SQTrat = J
∑
i
(m̂i−m̂)2 =
1
J
∑
i
T 2
i −
∑
ij
yij
2
IJ
- Variação dentro (VD): mede a variação ocorrida no en-
saio devida a fatores de acaso (não controlados), dada pela
dispersão das observações de cada tratamento em relação às
suas respectivas médias.
V D = SQErro =
∑
ij
(yij − m̂i)
2 = SQTotal − SQTrat
91.4.2 Estimativas das variâncias de tratamento e de resí-
duo (erro) e coe�ciente de variação:
• Variância devido a Tratamentos: S2
T = QMTrat =
SQTrat
I − 1
;
• Variância devido ao Erro: S2 = QMErro =
SQErro
I(J − 1)
;
• Coe�ciente de variação:
CV (%) =
S
m̂
· 100 =
√
QMErro
m̂
· 100.
1.4.3 Quadro da Análise de Variância
FV GL SQ QM F
Entre tratamentos I − 1 SQTrat QMTrat Fcalc
Dentro tratamentos I(J − 1) SQErro QMErro
Total IJ − 1 SQTotal
em que Fcalc =
QMTrat
QMErro
- Teste F:
Através da ANAVA obtêm-se estimativas das variâncias entre
(QMTrat) e dentro (QMErro). Sabe-se que o quociente de
duas estimativas independentes de uma mesma variância σ2 tem
distribuição F com ν1 e ν2 graus de liberdade. Assim, pode-se
utilizar o teste F para veri�car se as variâncias entre e dentro po-
dem ser consideradas como estimativas de uma mesma variância
σ2, ou seja, se a variabilidade causada pelos diferentes tratamen-
tos é igual à variabilidade devido ao acaso. Se isto é verdade,
conclui-se que não existe diferença signi�cativa entre os trata-
mentos.
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De�nindo ti como o efeito do tratamento i, as hipóteses podem
ser de�nidas por:{
H0 : t1 = t2 = . . . = tI = 0
Ha : ti 6= 0, para pelo menos um i
A hipótese H0 será rejeitada, ao nível α de signi�cância, se
Fcalc ≥ Ftab, em que Ftab = Fα(ν1, ν2), sendo ν1 os graus de
liberdade de tratamentos e ν2 os graus de liberdade do erro. Isto
signi�ca que os efeitos dos tratamentos são estatisticamente dife-
rentes, isto é, existe diferença signi�cativa entre os tratamentos.
11
1.4.4 Exemplo: (adaptado de AQUINO, 1992)
Um experimento de digestibilidade in vitro foi conduzido para
se estudar o valor nutritivo de silagens feitas com resíduos indus-
triais de milho verde e abacaxi. Como o material experimental
e as condições do ensaio eram muito uniformes, optou-se por um
delineamento inteiramente ao acaso (DIC), com 5 tratamentos
e 5 repetições. Foram utilizados 25 ovinos da raça Ideal e os
tratamentos estudados foram os seguintes: A. resíduo industrial
obtido pela remoção dos grãos da espiga de milho verde (RMV);
B. palha de espiga de milho verde (PMV); C. 80% de PMV +
20% resíduo industrial, obtido pela remoção da polpa do abacaxi
(RA); D. 80% RMV + 20% RA; E. 80% RA + 20% palha de
soja (PS). A designação dos tratamentos às parcelas, juntamente
com os coe�cientes de digestibilidade da matéria seca (%), estão
apresentados a seguir:
C (rep. 2) C (rep. 3) E (rep. 4) C (rep. 5) A (rep. 3)
73,8 72,7 44,5 76,6 70,6
B (rep. 3) D (rep. 2) A (rep. 4) B (rep. 1) D (rep. 3)
71,7 68,6 68,8 74,2 71,0
E (rep. 5) D (rep. 4) D (rep. 1) A (rep. 5) B (rep. 5)
45,8 70,9 69,7 71,7 74,0
E (rep. 2) A (rep. 2) A (rep. 1) B (rep. 2) E (rep. 1)
46,3 69,4 68,1 72,6 44,8
D (rep. 5) C (rep. 4) E (rep. 3) B (rep. 4) C (rep. 1)
74,5 74,5 43,8 73,6 75,7
12
2 DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO
2.1 Introdução
O Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) é o tipo de de-
lineamento mais simples que existe, considerado como um de-
lineamento básico, sendo que os demais se originam dele, pela
imposição de restrições (controle local). Envolve dois princípios
básicos da experimentação: repetição e casualização.
É indicado quando as condições experimentais são homogê-
neas, isto é, quando a variabilidade entre as parcelas experimen-
tais for muito pequena ou praticamente inexistente. Devido a
essa exigência, é recomendado para ensaios conduzidos em con-
dições de laboratório, casa de vegetação, com pequenos animais
(aves), entre outros, onde as condições ambientais e do material
experimental podem ser melhor controladas. Para a instalação
desses experimentos no campo, deve-se ter certeza da homoge-
neidade das condições do experimento.
2.2 Vantagens e desvantagens do DIC
2.2.1 Vantagens
(i) Pode-se utilizar qualquer número de tratamentos e repeti-
ções, sendo que o número de repetições pode variar de um
tratamento para outro (ensaio desbalanceado) sem di�cul-
tar as análises. O número de repetições depende apenas do
número de parcelas disponíveis;
(ii) Apresenta maior número de graus de liberdade associado ao
erro em relação a outros delineamentos.
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2.2.2 Desvantagens
(i) Exige homogeneidade total das condições experimentais;
(ii) Pode-se obter uma estimativa da variância devido ao erro
experimental bastante alta, quando não utilizado correta-
mente, pois, uma vez que não se considera o princípio do
controle local, todas as variações exceto as devidas aos tra-
tamentos, são consideradas como variação do acaso.
2.3 Casualização
A distribuição dos tratamentos às unidades experimentais é feita
completamente ao acaso, ou seja, não é feita nenhuma restrição
na casualização. Assim, com este tipo de sorteio, todo tratamento
tem a mesma chance de ser designado à qualquer parcela do
experimento.
2.4 Modelo Estatístico
Todo experimento é expresso matematicamente por meio de um
modelo. Portanto, para todos os delineamentos que serão estu-
dados nesta disciplina, será lançado um modelo estatístico. Este
modelo estatístico visa identi�car que fatores estão in�uenciando
a variável em estudo.
Para o DIC, o modelo linear adequado é dado por:
yij = m + ti + eij,
em que,
yij é o valor observado na parcela que recebeu o tratamento i
na repetição j;
14
m representa uma constante inerente a toda parcela, normal-
mente de�nida pela média geral;
ti representa o efeito do tratamento i;
eij é o erro da parcela que recebeu o tratamento i na repetição
j.
O erro se deve ao fato de não ser possível controlar todas as
condições experimentais e se refere às variações observadas entre
as repetições do mesmo tratamento.
Para podermos efetuar a análise de variância de um experi-
mento em um dado delineamento, deve-se considerar seu modelo
estatístico e assumir algumas hipóteses básicas necessárias para a
validade da análise de variância. Essas hipóteses básicas, também
chamadas de pressuposições, são: (Banzatto & Kronka, 2006)
(a) Aditividade: os efeitos dos fatores que ocorrem no modelo
estatístico devem ser aditivos;
(b) Independência: os erros ou desvios eij devidos aos efeitos
não controlados devem ser independentes. Isso implica que
os efeitos de tratamentos sejam independentes, ou seja, que
não haja correlação entre eles;
(c) Homogeneidade de variâncias: os erros ou desvios eij
devidos aos efeitos não controlados devem possuir uma vari-
ância comum σ2. Isso signi�ca que a variabilidade das repe-
tições de um tratamento deve ser semelhante à dos demais
tratamentos, isto é, os tratamentos devem possuir variâncias
homogêneas;
(d) Normalidade: os erros ou desvios eij devidos aos efeitos
não controlados devem possuir uma distribuição normal. Isso
15
implica que os dados experimentais se ajustem a uma distri-
buição normal.
2.5 Análise de Variância (ANAVA)
Partindo do modelo estatístico, pode-se decompor a variação to-
tal entre as observações nas partes que a compõem, conforme
de�nido anteriormente.
No entanto, para que esta técnica seja empregada é necessário
que sejam satisfeitas as seguintes pressuposições:
(i) os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos;
(ii) os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos,
independentes, com média zero e com variância comum.
Assim, partindo-se do modelo
yij = m + ti + eij,
tem-se∑
ij
(yij − m̂)2 = J
∑
i
(m̂i − m̂)2 +
∑
ij
(yij − m̂i)
2,
que, conforme visto anteriormente, pode ser representado por:
SQTotal = SQTrat + SQErro.
16
Portanto, tem-se
SQTotal =
∑
ij
(yij − m̂)2 =
∑
ij
y2
ij −
∑
ij
yij
2
IJ
SQTrat = J
∑
i
(m̂i − m̂)2 =
1
J
∑
i
T 2
i −
∑
ij
yij
2
IJ
SQErro =
∑
ij
(yij − m̂i)
2 = SQTotal − SQTrat
O quadro da Análise de Variância (ANAVA) de um experi-
mento instalado segundo o DIC, com igual número de repetições
(J) para todos os tratamentos é dado por:
FV GL SQ QM F
Tratamentos I − 1 SQTrat QMTrat Fcalc
Erro I(J − 1) SQErro QMErro
Total IJ − 1 SQTotal
em que Fcalc =
QMTrat
QMErro
A partir das SQTrat e SQErro, obtém-se os respectivos qua-
drados médios(QM),por meio do quociente entre a soma de qua-
drados com o respectivo número de graus de liberdade.
Para se concluir se existe diferença signi�cativa entre os trata-
mentos, calcula-se o valor de F, que é obtido pelo quociente do
QMTrat com o QMErro. Este valor de F calculado deve ser
comparado com o valor de F tabelado, o qual é obtido na tabela
17
de distribuição da variável aleatória F, de acordo com o nível de
signi�cância do teste (α = 1% ou 5%), graus de liberdade para
tratamentos (ν1) e graus de liberdade do erro (ν2). As hipóteses
para o teste F da análise de variância para tratamentos, são as
seguintes: {
H0 : t1 = t2 = . . . = tI = 0
Ha : ti 6= 0, para pelo menos um i
A regra decisória para o teste F é a seguinte:
• Se o valor do F calculado (Fc) for maior ou igual ao valor do
F tabelado (Ftab), então rejeita-se H0 e conclui-se que os tra-
tamentos tem efeito diferenciado ao nível α de signi�cância
em que foi realizado o teste;
• Se o valor de F calculado for menor que o valor do F tabelado,
então não se rejeita H0 e conclui-se que os tratamentos têm
efeitos iguais ao nível α de signi�cância em que foi realizado
o teste.
2.6 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
O coe�ciente de variação é calculado da seguinte maneira:
CV (%) =
√
QMErro
m̂
· 100
em que,QMErro é o quadrado médio do erro (quadro da ANOVA)
e m̂ é a média geral do experimento.
O CV é utilizado para avaliação da precisão de experimentos.
Quanto menor o CV , mais preciso é o experimento. De acordo
com GOMES (1984), tendo em vista os coe�cientes de variação
obtidos comumente nos ensaios agrícolas de campo, podemos
considerá-los baixos, quando inferiores a 10%, médios, quando
18
de 10 a 20%, altos, quando de 20 a 30% e muito altos, quando
superiores a 30%. Experimentos de laboratório ou de casa de ve-
getação geralmente são mais precisos e podem ter CV menores
que 5%. Mas nem sempre isso acontece. Por exemplo, dados de
análise de solo geralmente apresentam CV alto e até muito alto,
especialmente no caso de solos pobres, como os de cerrados. Um
resumo, de acordo com GOMES (1984), é apresentado a seguir:
CV Avaliação Precisão
< 10% Baixo Alta
10 a 20% Médio Média
20 a 30% Alto Baixa
>30% Muito Alto Muito Baixa
19
2.7 EXEMPLO
Um experimento na área de cultura de tecidos foi realizado com
o objetivo de avaliar o efeito da adição de açúcares no meio de
cultura sobre o comprimento de seções de ervilha. Foi utilizado
o delineamento inteiramente casualizado com cinco repetições e
os tratamentos foram: T1. Controle, T2. 2% de glicose, T3. 3%
de glicose, T4. 2% de frutose e T5. 3% de frutose. Os dados
obtidos, em mm, foram:
Repetições
Tratamentos 1 2 3 4 5
T1 67,3 70,8 69,5 66,9 74,2
T2 58,2 64,7 58,1 68,5 58,3
T3 64,9 56,7 65,6 60,2 58,5
T4 52,9 59,9 62,4 60,8 55,1
T5 68,1 65,5 62,5 69,6 61,7
20
3 CONTRASTES
3.1 Introdução
O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Expe-
rimental. Com o uso de contrastes é possível que o pesquisador
estabeleça comparações de interesse, entre tratamentos ou grupos
de tratamentos. Os contrastes assim estabelecidos podem então
ser testados por meio de um teste de médias, o qual complementa
o resultado da análise de variância.
- Exemplo de motivação
Considere um experimento proposto para se estudar o efeito
da implantação de hormônio nos ganhos de peso médios de pe-
rus, na faixa de 15 a 20 semanas de idade. Os tratamentos em
estudo foram: (1) Controle (sem hormônio), (2) 24 mg de
dietilestilbestrol, (3) 10 mg de estradiol e (4) 20 mg de
estradiol. O delineamento experimental foi o inteiramente ao
acaso com 4 repetições e 8 aves/parcela. Os resultados experi-
mentais foram os seguintes:
Tratamentos
Repetição 1 2 3 4
1 2,54 3,39 2,62 2,88
2 2,25 3,20 2,66 2,76
3 2,85 2,98 2,70 3,16
4 2,56 2,79 2,74 3,04
Médias (m̂i) 2,55 3,09 2,68 2,96
21
Quadro da Análise de Variância (ANAVA)
FV GL SQ QM F
Tratamentos 3 0,7400 0,2467 6,11 ∗
Erro 12 0,4852 0,0404
Total 15 1,2252
∗ signi�cativo a 5%
Neste experimento, em que se tem os tratamentos de uma
forma estruturada, pode-se de�nir algumas comparações de inte-
resse prático, que respondessem às seguintes perguntas:
(i) Os tratamentos com hormônio alteram, em média, o ganho
de peso dos perus?
(ii) Os hormônios dietilestilbestrol e estradiol garantem, em mé-
dia, o mesmo ganho de peso dos perus?
(iii) Os perus têm o mesmo ganho de peso médio quando se as
doses de 10 e 20 mg de estradiol?
Para responder a estas perguntas, pode-se formular os seguin-
tes contrastes:
(i) Y1 = 3m1 −m2 −m3 −m4
(ii) Y2 = 2m2 −m3 −m4
(iii) Y1 = m3 −m4
cujas estimativas seriam Ŷ1 = −1, 08, Ŷ2 = 0, 54 e Ŷ3 = −0, 28.
22
3.2 De�nição
Considere a seguinte função linear de médias de tratamentos:
Y = a1m1 + a2m2 + . . . + aImI
Y será um contraste entre médias se satis�zer a seguinte condição:
I∑
i=1
ai = 0.
Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias
populacionais mi, mas apenas suas estimativas. Assim, em Esta-
tística Experimental não se trabalha com o contraste Y , mas com
o seu estimador Ŷ , que também é uma função linear de médias
obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se
que o estimador do contraste Y é dado por:
Ŷ = a1m̂1 + a2m̂2 + . . . + aIm̂I
3.3 Contrastes ortogonais
Em algumas situações desejamos testar um grupo de contras-
tes relacionados com o experimento em estudo. Alguns tipos de
testes indicados para este objetivo, como por exemplo o teste F,
necessitam que os contrastes, que compõem o grupo a ser testado,
sejam ortogonais entre si. A ortogonalidade entre os contrastes
indica independência linear na comparação estabelecida por um
contraste com a comparação estabelecida pelos outros contrastes.
Os contrastes Y1 e Y2, dados por
Y1 = a1m1 + a2m2 + . . . + aImI
Y2 = b1m1 + b2m2 + . . . + bImI ,
23
são contrastes ortogonais se, em um experimento com o mesmo
número de repetições, a seguinte condição for satisfeita:
I∑
i=1
aibi = 0.
Para um experimento com I tratamentos, podem ser formados
vários grupos de contrastes ortogonais. Se em um dado grupo,
todos os contrastes tomados dois a dois são ortogonais, tem-se um
grupo de contrastes mutuamente ortogonais, o qual poderá
conter no máximo (I − 1) contrastes ortogonais, o que corres-
ponde ao número de graus de liberdade para tratamentos. Uma
metodologia bastante utilizada para a obtenção de um grupo de
contrastes mutuamente ortogonais é denominada de regras prá-
ticas.
3.4 Métodos para obtenção de grupos de contrastes mu-
tuamente otogonais
3.4.1 Obtenção por meio de sistema de equações lineares
Nesse método, deve-se estabelecer, a princípio, um contraste que
seja de interesse e, a partir deste é que os demais são obtidos.
Por meio da imposição da condição de ortogonalidade e da con-
dição para ser um contraste, obtém-se equações lineares, cujas
incógnitas são os coe�cientes das médias que compõem o con-
traste. Como o número de incógnitas é superior ao número de
equações existentes, será sempre necessário atribuir valores a al-
gumas incógnitas. É desejável que os valores a serem atribuídos,
permitam que os coe�cientes sejam números inteiros.
24
3.4.2 Obtenção por meio de regras práticas
Por meio dessa metodologia, é possível estabelecer facilmente um
grupo de contrastes ortogonais. A metodologia pode ser resumida
nos seguintes passos (BANZATTO e KRONKA, 1989):
1. Divide-se o conjunto das médias de todos os tratamentos do
experimento em dois grupos. O primeiro contraste é obtido
pela comparação das médias de um grupo contra as médias
do outro grupo. Para isso atribui-se sinais positivos para
membros de um grupo e negativos para membros do outro
grupo.
2. Dentro de cada grupo formado no passo anterior, que possui
mais que uma média, aplica-se o passo 1, subdividindo-os em
sub-grupos. Repete-se este passo até que se forme sub-grupos
com apenas uma média. Ao �nal, deveremos ter formado (I-
1) comparações.
3. Para se obter os coe�cientes que multiplicam cada média
que compõem os contrastes estabelecidos, deve-se, paracada
contraste :
(a) Veri�car o número de parcelas experimentais envolvidas
no 1o grupo e o número de parcelas experimentais envol-
vidas no 2o grupo. Calcula-se o mínimo múltiplo comum
(m.m.c.) entre .
(b) Dividir o m.m.c. por . O resultado será o coe�ciente de
cada média do 1o grupo.
(c) Dividir o m.m.c. por . O resultado será o coe�ciente de
cada média do 2o grupo.
(d) Multiplicar os coe�cientes obtidos pelo número de repe-
tições da respectiva média. Se possível, simpli�car os
25
coe�cientes obtidos por uma constante. No caso em que
o número de repetições é igual para todos os tratamentos,
este passo pode ser eliminado.
26
4 COMPARAÇÕES ENTRE MÉDIAS
Sabe-se que um teste F signi�cativo na análise de variância nos
indica que pelo menos um contraste entre médias é diferente de
zero. Para se determinar quais são esses contrastes, encontram-se
vários testes na literatura, denominados de procedimentos para
comparações múltiplas ou, simplesmente, de testes de médias.
Como exemplos tem-se: teste F para contrastes ortogonais, Tu-
key, Duncan, Student-Newman-Keuls (SNK), Scott-Knott, Dun-
nett, dentre outros.
4.1 Teste F para contrastes de médias
O teste F da ANAVA pode ser utilizado para se testar grupos de
contraste, desde que o grupo seja de contrastes mutuamente orto-
gonais e previamente estabelecidos. Neste caso, um novo quadro
da ANAVA é construído, de tal forma que a cada contraste cor-
responde um grau de liberdade do fator em estudo e a soma de
quadrados é dada por
SQY =
Ŷ 2∑
i
c2
i
· J,
em que Ŷ é o estimador do contraste, ci é o coe�ciente da média
i no contraste e J é o número de repetições, que deu origem às
médias.
27
- Exemplo Considere o exemplo apresentado no capítulo an-
terior, no qual se tem:
Tratamentos Médias(m̂i)
1. Controle 2,55
2. 24 mg de dietilestilbestrol 3,09
3. 10 mg de estradiol 2,68
4. 20 mg de estradiol 2,96
O grupo de contrastes de interesse prático:
Y1 = 3m1 −m2 −m3 −m4 ⇒ Ŷ1 = −1, 08
Y2 = 2m2 −m3 −m4 ⇒ Ŷ2 = 0, 54
Y3 = m3 −m4 ⇒ Ŷ3 = −0, 28
Neste exemplo, o quadro da ANAVA com o teste F para o
grupo de contrastes mutuamente ortogonais é dado por:
FV GL SQ QM F
Tratamentos (3) (0,7400) - -
Controle vs demais 1 0,3888 0,3888 9,62∗∗
Dietil. vs Estrad. 1 0,1944 0,1944 4,81∗
10mg Est. vs 20mg Est. 1 0,1568 0,1568 3,88ns
Erro 12 - 0,0404
∗∗ signi�cativo a 5%, ∗ signi�cativo a 5% e ns não signi�cativo
28
4.2 Teste de Tukey
O teste de Tukey, é utilizado na comparação entre todas as mé-
dias, tomadas duas a duas. Assim, testa-se todos os I(I − 1)/2
contrastes do tipo Y = mi −mi′, para 1 ≤ i < i′ ≤ I , em que I
é o número de níveis do fator em estudo. Este teste baseia-se na
diferença mínima signi�cativa (DMS), representada por ∆, que
no caso de se ter o mesmo número de repetições, é dada por:
∆ = q(I,ν,α)
√
QMErro
J
em que q(I,ν,α) é o valor tabelado da amplitude total estudenti-
zada, que é obtido na tabela de Tukey, em função do nível α de
signi�cância, I níveis do fator em estudo e ν graus de liberdade do
erro (ANAVA), QMErro é o quadrado médio do erro (ANAVA)
e J é o número de repetições que deu origem às médias.
Para a realização do teste Tukey, a um nível de signi�cância
α, é necessário:
1. enunciar as hipóteses: H0 : mi = mi′ vs Ha : mi 6= mi′, para
i 6= i′;
2. obter as estimativas dos contrastes, Ŷ = m̂i− m̂i′, com base
nos valores amostrais;
3. calcular ∆;
4. concluir a respeito da signi�cância dos I(I − 1)/2 contrastes
em teste: se |Ŷ | > ∆, rejeita-se H0; caso contrário, não
se rejeita H0. Indicar as médias iguais, seguidas por uma
mesma letra .
29
4.3 Teste de Student Newman Keuls (SNK)
Assim como o teste de Tukey, o teste de SNK é um procedimento
utilizado para comparar médias duas a duas. É menos rigoroso
que o teste de Tukey e pode identi�car diferenças não discrimi-
nadas por este teste.
O teste de SNK necessita a prévia ordenação das médias e tam-
bém baseia-se na DMS. Porém, são determinadas tantas DMS
quantas são o número de médias ordenadas abrangidas pelo con-
traste em estudo. Neste teste, a quantidade de DMS calculadas
é no máximo igual ao número de graus de liberdade para trata-
mentos.
Se as médias forem estimadas com o mesmo número de repe-
tições, a DMS é dada por:
Kk = q(k,ν,α)
√
QMErro
J
,
em que q(k,ν,α) é o valor tabelado da amplitude total estudenti-
zada, que é obtido na tabela de Tukey, em função do nível α
de signi�cância, do número de médias ordenadas abrangidas pelo
contraste (k) e ν graus de liberdade do erro (ANAVA).
Observação: quando num conjunto de médias ordenadas a
comparar, a maior não difere signi�cativamente da menor, pelo
teste de SNK, não se admite diferença signi�cativa entre médias
intermediárias.
Para a realização do teste de SNK, a um nível de signi�cância
α, é necessário:
1. Enunciar as hipóteses: H0 : mi = mi′ vs Ha : mi 6= mi′, para
i 6= i′;
2. Ordenar as médias do fator em estudo em ordem crescente
ou decrescente;
30
3. Calcular todas as DMS (Kk), sendo que o número de DMS
é igual ao número de graus de liberdade do fator em estudo.
4. Colocar uma letra para a maior média. Esta será a primeira
média base;
5. Calcular a diferença entre a média base e a última média, ou
seja, estimar o contraste entre a média base e a última mé-
dia (menor média). Comparar o valor absoluto da estimativa
com a respectiva DMS, Kk, em que k é o número de médias
abrangidas pela comparação. Se a diferença, em termos ab-
solutos, for maior que Kk, repete-se este passo tomando-se
a média anterior, até obter uma diferença menor ou igual à
DMS ou até k = 2. Se a diferença entre as médias for menor
ou igual à DMS, todas as médias entre a média base e a média
de comparação inclusive, recebem a mesma letra da média
base. A primeira média diferente da média base recebe uma
letra diferente e prossegue-se para o passo seguinte;
6. Muda-se a média base para a próxima média e repete-se o
passo anterior, até que a média base seja a penúltima.
O teste de Tukey é mais rigoroso que o teste de SNK, o que
signi�ca que é mais fácil detectar diferenças signi�cativas com
o teste SNK, ou seja, este teste discrimina mais que o Tukey.
Existem outros testes para comparação de médias duas a duas,
que apresentam diferença quanto ao rigor. Para a escolha de um
teste de médias, considera-se o tipo de dado experimental, isto é,
a variabilidade inerente aos dados. Para condições que apresen-
tam uma variabilidade inerente alta é recomendável a utilização
de testes menos rigorosos.
31
4.4 Teste de Sche�é
Este é um teste utilizado em comparações envolvendo mais de
duas médias.
Dado o contraste
Y = c1m1 + c2m2 + . . . + cImI ,
o teste de Sche�é consiste na comparação do valor estimado para
o contraste com a estatística
S =
√√√√(I − 1) · Fα ·
QMErro
J
·
I∑
i=1
c2
i ,
em que Fα é o valor de F tabelado, o qual é obtido na tabela
de F, de acordo com o nível de signi�cância α (α = 1% ou 5%),
graus de liberdade para tratamentos (ν1) e graus de liberdade do
erro (ν2), isto é, Fα = Ftab = Fα(ν1, ν2), sendo ν1 = GLTrat e
ν2 = GLErro.
Sendo as hipóteses H0 : Y = 0 e Ha : Y 6= 0, se |Ŷ | ≥ S então
rejeita-se H0 ao nível α de probabilidade, ou seja, o contraste é
estatisticamente diferente de zero. Caso contrário, não se rejeita
H0.
32
5 DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS
5.1 Introdução
O delineamento em blocos casualizados (DBC) é utilizado quando
as condições experimentais não são completamente homogêneas.
Nesta situação devemos então subdividir a área ou o material
experimental em blocos (ou grupos) de tal forma que exista ho-
mogeneidade dentro de cada um deles. Os tratamentos são dis-
tribuídos de forma casualizada dentro de cada bloco e, assim,
cada um deles conterá uma repetição de cada tratamento.
O DBC envolve os três princípios básicos da experimentação:
1. Repetição: existe pelo menos uma repetição de cada trata-
mento no experimento;
2. Casualização: os tratamentos são distribuídos inteiramente
ao acaso dentro de cada bloco;
3. Controle Local: faz-se a divisão do localou do material ex-
perimental, em sub-grupos ou blocos de tal forma que se
garanta a uniformidade nestes blocos.
Em experimentos de campo, deve-se subdividir a área de campo
em blocos de tal forma que cada um possa ser homogêneo den-
tro de si com relação à declividade, fertilidade, incidência de luz
solar, etc. Nos experimentos zootécnicos, deve-se subdividir o
grupo maior de animais em subgrupos que sejam homogêneos
com relação a idade, peso, raça, etc.
Em experimentos instalados segundo o DBC, não importa que
as condições experimentais de um bloco sejam diferentes das con-
dições experimentais do outro bloco. O que importa é a homo-
geneidade dentro de cada bloco.
33
A instalação de um experimento no DBC quando o mesmo não
é necessário, implica na perda de e�ciência do experimento.
5.2 Casualização
Como as parcelas se acham agrupadas em blocos e cada um de-
les deve conter uma repetição de cada tratamento, os tratamentos
são aleatoriamente designados às parcelas, dentro de cada bloco.
5.3 Modelo Estatístico
Para o DBC, o modelo estatístico é dado por:
yij = m + ti + bj + eij,
em que,
yij é o valor observado referente ao tratamento i no bloco j;
m representa uma constante inerente a toda parcela, normal-
mente de�nida pela média geral;
ti representa o efeito do tratamento i;
bj representa o efeito do bloco j;
eij é o erro da parcela que recebeu o tratamento i no bloco j.
5.4 Análise de Variância (ANAVA)
Conforme visto anteriormente, na ANAVA deve-se decompor
a variação total, que existe entre todas as observações, nas partes
que a compõe. Partindo-se do modelo
yij = m + ti + bj + eij,
34
e de�nindo-se ti = mi −m e bj = mj −m, pode-se demonstrar
que∑
ij
(yij−m̂)2 = J
∑
i
(m̂i−m̂)2+I
∑
j
(m̂j−m̂)2+
∑
ij
(yij−m̂i−m̂j +m̂)2,
em que, m̂ é a média geral, m̂i é a média do tratamento i e m̂j
é a média do bloco j. Essa decomposição pode ser representado
da seguinte forma:
SQTotal = SQTratamentos + SQBlocos + SQErro.
Portanto, tem-se
SQTotal =
∑
ij
(yij − m̂)2 =
∑
ij
y2
ij −
∑
ij
yij
2
IJ
SQTrat = J
∑
i
(m̂i − m̂)2 =
1
J
∑
i
T 2
i −
∑
ij
yij
2
IJ
SQBlocos = I
∑
j
(m̂j − m̂)2 =
1
I
∑
j
B2
j −
∑
ij
yij
2
IJ
SQErro =
∑
ij
(yij − m̂i)
2 = SQTotal − SQTrat− SQBlocos,
em que I é o número de tratamentos, J é o número de blocos, Ti
é o total do tratamento i e Bj é o total do bloco j.
O quadro da Análise de Variância (ANAVA) de um experi-
mento instalado segundo o DBC, com o mesmo número de repe-
tições, J , para todos os tratamentos é dado por:
35
FV GL SQ QM F
Tratamentos I − 1 SQTrat QMTrat Ftrat
Blocos J − 1 SQBlocos QMBlocos Fblocos
Erro (I − 1)(J − 1) SQErro QMErro
Total IJ − 1 SQTotal
em que Ftrat =
QMTrat
QMErro
e Fblocos =
QMBlocos
QMErro
.
Geralmente, o que interessa na análise de um experimento, é
avaliar se existe diferença signi�cativa entre os tratamentos, o
que pode ser veri�cado por meio do teste F para tratamentos.
As hipóteses para o teste F da análise de variância, para tra-
tamentos, são as mesmas para o caso do DIC, ou seja,{
H0 : t1 = t2 = . . . = tI = 0
Ha : ti 6= 0, para pelo menos um i
A regra decisória também é a mesma. Se o valor do F calcu-
lado para o efeito de tratamentos (Ftrat) for maior ou igual ao
valor do F tabelado (Ftab), então rejeita-se H0 e conclui-se que
os tratamentos tem efeito diferenciado ao nível α de signi�cância
em que foi realizado o teste. Caso contrário, não se rejeita H0 e
conclui-se que os tratamentos têm efeitos iguais.
O teste F para blocos, ou seja comparação entre blocos, geral-
mente é desnecessária, pois ao instalar o experimento no DBC,
o pesquisador estabeleceu os blocos para controlar uma causa de
variação conhecida. Porém, este teste pode ser aplicado para ve-
ri�car se o controle local foi e�ciente. Assim, o pesquisador pode
realizar o teste F para blocos, para servir como orientação para
a instalação de futuros.
36
5.5 Exemplo
Num experimento de competição de variedades de milho, as
produções em kg/parcela foram:
Blocos
Variedades 1 2 3 4 5 Totais
V1 35,4 30,6 28,7 36,2 29,2 160,1
V2 42,8 35,4 29,2 35,1 34,8 177,3
V3 16,3 16,2 13,5 20,3 19,4 85,7
V4 15,8 14,5 10,4 21,6 18,3 80,6
V5 21,5 18,7 15,8 25,4 25,2 106,6
V6 19,3 23,2 14,2 21,7 28,8 107,2
Totais 151,1 138,6 111,8 160,3 155,7 717,5
Pede-se:
1. Faça a Análise de Variância e conclua corretamente;
2. Discuta sobre a precisão do experimento;
3. Compare as médias das variedades pelo teste de SNK, con-
cluindo corretamente. Indique a(s) variedade(s) mais produ-
tiva(s).
4. Suponha que V1 e V6 sejam variedades da empresa Sementex
e as variedades V2 e V3 pertençam à empresa Milharal S.A.
Obtenha um contraste para comparar a produção média das
variedades das duas empresas, teste-o utilizando o teste de
Sche�é e conclua corretamente.