calculo i

Prévia do material em texto

Se uma função é derivável em x, então
	
	
	
	a função assume o valor zero.
	
	
	a função é derivável em todos os pontos do seu domínio
	
	
	os limites laterais em x podem ser diferentes
	
	
	a função é, necessariamente, par, ou seja, f(-x)=f(x).
	
	
	a função é contínua em x
	
	
	
	
		
	
		2.
		Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a
	
	
	
	x²
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	x
	
	
	x-1
	
	
	
	
		
	
		3.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 2x1 - 2
	
	
	m(x1) = x1
	
	
	m(x1) = 5x1 - 2
	
	
	m(x1) = 9x1 - 2
	
	
	m(x1) = 7x1 - 2
	
	
	
	
		
	
		4.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 2x1 - 3
	
	
	m(x1) = 9x1 - 5
	
	
	m(x1) = x1 - 9
	
	
	m(x1) = 5x1 - 3
	
	
	m(x1) = 6x1 - 5
	
	
	
	
		
	
		5.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = x1 - 3
	
	
	m(x1) = 10x1 + 12
	
	
	m(x1) = 10x1 - 2
	
	
	m(x1) = 7x1 +1
	
	
	m(x1) = 3x1 +1
	
	
	
	
		
	
		6.
		Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em toneladas) de uma Empresa X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas trabalhadas. Determine taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas.
	
	
	
	1 toneladas
	
	
	2 toneladas
	
	
	3 toneladas
	
	
	7 toneladas
	
	
	5 toneladas
	
	
	
	
		
	
		7.
		Um corpo desloca-se sobre  uma função horária s(t)= t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto afirmar:
	
	
	
	Sua aceleração média  entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 m/s2
	
	
	A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o tempo
	
	
	Sua velocidade no instante t =2 será  4 m/s
	
	
	Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s
	
	
	A velocidade do corpo no intente t =3 será de 14 m/s
	
Explicação:
A resposta certa é a letra B pois é a única  que fala de taxa instantânea levando  em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma  de forma correta na sua resolução.
V(t) = S'(t)
V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s
	
	
	
	
		
	
		8.
		Fazendo uso das regras de derivação encontre a derivação da função 5 (1 / x).
	
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5 x
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5 (1/x) ln 5
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5  ln 5
	
	
	A derivada é  ln 5
	
	
	A derivada é   5  ln 5
	
		
	
		1.
		Se uma função é derivável em x, então
	
	
	
	a função é derivável em todos os pontos do seu domínio
	
	
	os limites laterais em x podem ser diferentes
	
	
	a função assume o valor zero.
	
	
	a função é, necessariamente, par, ou seja, f(-x)=f(x).
	
	
	a função é contínua em x
	
	
	
	
		
	
		2.
		Fazendo uso das regras de derivação encontre a derivação da função 5 (1 / x).
	
	
	
	A derivada é  ln 5
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5 x
	
	
	A derivada é   5  ln 5
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5  ln 5
	
	
	A derivada é (-1/x 2)  5 (1/x) ln 5
	
	
	
	
		
	
		3.
		Um corpo desloca-se sobre  uma função horária s(t)= t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto afirmar:
	
	
	
	Sua aceleração média  entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 m/s2
	
	
	Sua velocidade no instante t =2 será  4 m/s
	
	
	A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o tempo
	
	
	A velocidade do corpo no intente t =3 será de 14 m/s
	
	
	Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s
	
Explicação:
A resposta certa é a letra B pois é a única  que fala de taxa instantânea levando  em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma  de forma correta na sua resolução.
V(t) = S'(t)
V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s
	
	
	
	
		
	
		4.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 7x1 +1
	
	
	m(x1) = 10x1 + 12
	
	
	m(x1) = x1 - 3
	
	
	m(x1) = 10x1 - 2
	
	
	m(x1) = 3x1 +1
	
	
	
	
		
	
		5.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = x1
	
	
	m(x1) = 2x1 - 2
	
	
	m(x1) = 7x1 - 2
	
	
	m(x1) = 9x1 - 2
	
	
	m(x1) = 5x1 - 2
	
	
	
	
		
	
		6.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 6x1 - 5
	
	
	m(x1) = 9x1 - 5
	
	
	m(x1) = 2x1 - 3
	
	
	m(x1) = x1 - 9
	
	
	m(x1) = 5x1 - 3
	
	
	
	
		
	
		7.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =4x2-5x+11 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 3x1
	
	
	m(x1) = x1 - 5
	
	
	m(x1) = 5x1
	
	
	m(x1) = 8x1 - 5
	
	
	m(x1) = 11x1
	
	
	
	
		
	
		8.
		Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a
	
	
	
	x-1
	
	
	x
	
	
	x²
	
	
	1
	
	
	0
		
		Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2
	
	
	
	f '(x) = 5 x + 4
	
	
	f '(x) = 24 x + 4
	
	
	f '(x) = 25 x
	
	
	f '(x) = 5 x
	
	
	f '(x) = 25 x 4 + 4 x
	
	
	
	
		
	
		2.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x) = (2x4  - 3)/ (x2 - 5x + 3).
	
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3)  - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)
	
	
	derivada primeira = [ (x2- x + 3) (x) - (2x - 3)(2x-5) ] / (x2 - x + 3)2
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x) ] / (x2 - 5x )
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)2
	
	
	derivada primeira = [ ( 3) (8x) - (2x3 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Derive a função f(x) = 1/x
	
	
	
	f ´(x) = x
	
	
	f ´(x) = 1
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	f´(x) = -1 / (x 2)
	
	
	f ´(x) = 1/x
	
	
	
	
		
	
		4.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/xn
	
	
	
	A derivada primeira da funçao é  - n xn
	
	
	A derivada primeira da funçao é   n x(-n-1)
	
	
	A derivada primeira da funçao é =  - n x( - n - 1)
	
	
	A derivada primeira da funçao é  2 n xn
	
	
	A derivada primeira da funçao é   x(-n-1)
	
	
	
	
		
	
		5.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/x
	
	
	
	a derivada primeira será -1/x2
	
	
	a derivada primeira será 1/x2
	
	
	a derivada primeira será -1/2x2
	
	
	a derivada primeira será 2/x2
	
	
	a derivada primeira será 1/x
	
	
	
	
		
	
		6.
		A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a:
	
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	0
	
	
	
	
		
	
		7.
		Em um laboratório os estudantes estão simulando o movimento de uma particula. Para esse experimento foi definido a função f(x) = t 1/2 (a + bt) para definir a posição da particula.Os alunos fizeram a derivada primeira da função para futuros calculos. Podemos afirmar que foi encontrado como a derivada da função f(x) a resposta:
	
	
	
	A derivada da função é  ( 3bt) / (a t )
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt)
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) (a t 2)
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) / (a2)
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) / (2 t (1 /2))
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule a derivada da função:
f(x) = ln (sen x)
	
	
	
	nenhuma das alternativas
	
	
	1 / cos x
	
	
	1 / sen x
	
	
	tan x
	
	
	cotan x
		
	
		1.
		Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2
	
	
	
	f '(x) = 25 x
	
	
	f '(x) = 5 x
	
	
	f '(x) = 24 x + 4
	
	
	f '(x) = 5 x + 4
	
	
	f '(x) = 25 x 4 + 4 x
	
	
	
	
		
	
		2.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x) = (2x4  - 3)/ (x2 - 5x + 3).
	
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3)  - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 -5x + 3)2
	
	
	derivada primeira = [ ( 3) (8x) - (2x3 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)
	
	
	derivada primeira = [ (x2- x + 3) (x) - (2x - 3)(2x-5) ] / (x2 - x + 3)2
	
	
	derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x) ] / (x2 - 5x )
	
	
	
	
		
	
		3.
		Derive a função f(x) = 1/x
	
	
	
	f ´(x) = x
	
	
	f ´(x) = 1/x
	
	
	f ´(x) = 1
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	f´(x) = -1 / (x 2)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/xn
	
	
	
	A derivada primeira da funçao é  - n xn
	
	
	A derivada primeira da funçao é   n x(-n-1)
	
	
	A derivada primeira da funçao é   x(-n-1)
	
	
	A derivada primeira da funçao é =  - n x( - n - 1)
	
	
	A derivada primeira da funçao é  2 n xn
	
	
	
	
		
	
		5.
		Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/x
	
	
	
	a derivada primeira será 1/x
	
	
	a derivada primeira será 1/x2
	
	
	a derivada primeira será -1/x2
	
	
	a derivada primeira será -1/2x2
	
	
	a derivada primeira será 2/x2
	
	
	
	
		
	
		6.
		A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a:
	
	
	
	-2
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
	
		
	
		7.
		Em um laboratório os estudantes estão simulando o movimento de uma particula. Para esse experimento foi definido a função f(x) = t 1/2 (a + bt) para definir a posição da particula.Os alunos fizeram a derivada primeira da função para futuros calculos. Podemos afirmar que foi encontrado como a derivada da função f(x) a resposta:
	
	
	
	A derivada da função é  ( 3bt) / (a t )
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) / (2 t (1 /2))
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt)
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) (a t 2)
	
	
	A derivada da função é  ( a + 3bt) / (a2)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule a derivada da função:
f(x) = ln (sen x)
	
	
	
	1 / sen x
	
	
	tan x
	
	
	cotan x
	
	
	1 / cos x
	
	
	nenhuma das alternativas
		Determine a primeira e a segunda derivadas da função f(x) = x 3 (x+2) 2
	
	
	
	Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2
Segunda derivada: f´´(x) = 5x +16x 3 12x
	
	
	Primeira derivada: f´(x) = 3x4 +6x 3 12x 2
Segunda derivada: f´´(x) = 9x3 +48x 2 24x
	
	
	Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 +48x 2 24x
	
	
	Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2+2
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 + 24x
	
	
	Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +6x 8 12x 2
Segunda derivada: f´´(x) = 15x3 + 48x 2
	
	
	
	
		
	
		2.
		Um pesquisador precisa definir a derivada da função f(x) = 1/x  para concluir sua pesquisa. Podemos afirmar que a derivada da função f(x) = 1/x encontrada foi:
	
	
	
	f´(x) = x
	
	
	f´(x) = 1
	
	
	f´(x) = 1/x
	
	
	f´(x) = 1 / (x³)
	
	
	f´(x) = -1 / (x²)
	
Explicação:
A deriva de f(x) = 1/x  será dada pela regra do quociente.
f ' (x) = [0 . x - 1. 1 ] / x2  = - 1/x2
	
	
	
	
		
	
		3.
		Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen x. Encontre a produção inicial f '(0) da função f(x) .
	
	
	
	2
	
	
	0,4
	
	
	1
	
	
	0,5
	
	
	0
	
Explicação:
f(x) = sen x
derivada de f(x)  será f '(x) = cos x
f ' (0) = cos 0 = 1
	
	
	
	
		
	
		4.
		A derivada def(x)=ln(cos(4x))é :
	
	
	
	4⋅tan(x)
	
	
	4⋅cos(x)⋅sen(x)
	
	
	-4⋅tan(4x)
	
	
	4⋅tan(4x)
	
	
	4⋅cos(x)sen(x)
	
	
	
	
		
	
		5.
		Derive a função f(x) = etg x
	
	
	
	f ´(x) = tg x etg x
	
	
	f ´(x) = sen x etg x
	
	
	f ´(x) =  etg x
	
	
	f ´(x) = sec2 x etg x
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	
		
	
		6.
		Determine a derivada da função f(x) = sqrt(ln x)
	
	
	
	1/2x
	
	
	1/2 (sqrt(ln x))
	
	
	1/2x (sqrt(ln x))
	
	
	(sqrt(ln x))
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
	
		
	
		7.
		Paulo apresentou a derivada da função f(x) = 5x . ln(cos x) para turma como parte da nota da prova. Podemos afirmar que a a derivada da função f(x) encontrada por Paulo sabendo que ele apresentou corretamente foi:
	
	
	
	f´(x) = (5x . sen x)/cos x
	
	
	f´(x) = 5ln(cos x)
	
	
	f´(x) = 5 - (5x . sen x)/cos x
	
	
	f´(x) = 5ln(cos x) - (5x . sen x)/cos x
	
	
	f´(x) = -(5x . sen x)/cos x
	
Explicação:
Derivada de 5x .ln (cos x) 
Aplicação da regra do produto e da regra da cadeia.
5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * ( cos x) ' 
= 5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * (- sen x)
= 5 ln (cos x) +  (-5 sen x) /cos x) 
= 5 ln (cos x) - (5 sen x) /cos x) 
Ou ainda poderimos dizer que 
= 5 ln (cos x) +  (-5 tg x) 
	
	
	
	
		
	
		8.
		O suor expelido (em mililitros) por uma pessoa após t horas é dada pela função ajustada f(t) = -115 t3 + t2 + 2t , quando t∈[0,12] . Qual a taxa de suor expelido em 5 horas?
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	17
	
	
	7
	
	
	3
		
		Uma função composta h(x) é definida como h(x) = g(f(x)). Baseada em tal informação podemos garantir que para derivação da função h(x) devemos utilizar a regra de derivação:
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	Regra do quociente
	
	
	Regra do produto
	
	
	Regra da cadeia
	
	
	Regra da Soma
	
	
	
	
		
	
		2.
		Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.
	
	
	
	retângulo de lados x = 10 e y = 12
	
	
	x= 25 e y = 25 
	
	
	retângulo de lados x = 15 e y = 12
	
	
	retângulo de lados x = 12 e y = 13
	
	
	retângulo de lados x = 10 e y = 20
	
	
	
	
		
	
		3.
		Calcule a derivada da funçao f(x) = (x2 + 2) 1/3
	
	
	
	 f '(x) = x /  (x2 + 2) 2 
	
	
	 f '(x) = (2x) / (3 ( (x2 + 2) 2 ) 1/3)
	
	
	 f '(x) = (2x) / (3  (x2 + 2) 2 )
	
	
	 f '(x) = (x) /   (x2 ) 1/3
	
	
	 f '(x) = (2x) / ( (x2 + 2) 2 )
	
	
	
	
		
	
		4.
		Derive a função f(x) = e(u) , onde u = x2 +3x - 5
	
	
	
	u e(u)  , onde u = x2 + 3x - 5
	
	
	u' e , onde u' = 2x + 3 . (u' = derivada da função u)
	
	
	u e(u)  , onde u = x2 + 2x - 5
	
	
	u' e(u)  , onde u' = 2x + 3 e u = x2 + 3x - 5. (u' = derivada da função u)
	
	
	e(u)  , onde u = x2 + 3x - 5
	
	
	
	
		
	
		5.
		Diferencie a função f(x) aplicando as regras básicas para diferenciação.
   
	
	
	
	0
	
	
	10x + 5x + 6
	
	
	 x10+ x5
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		
	
		6.
		Pedro deseja encontrar a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1 para incluir em seu relatório. Mostre qual o resultado encontrado por Pedro.
	
	
	
	145
	
	
	135
	
	
	125
	
	
	140
	
	
	130
	
Explicação:
Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1.
\(3 (5x - 2)^2 * 5\)
15(5x - 2)2
Em x = 1
15 * 9 = 135
	
	
	
	
		
	
		7.
		Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen x. Encontre a produção inicial f '(0) da função f(x) .
	
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	0,4
	
	
	0,5
	
	
	2
	
Explicação:
f(x) = sen x
derivada de f(x)  será f '(x) = cos x
f ' (0) = cos 0 = 1
	
	
	
	
		
	
		8.
		O suor expelido (em mililitros) por uma pessoa após t horas é dada pela função ajustada f(t) = -115 t3 + t2 + 2t , quando t∈[0,12] . Qual a taxa de suor expelido em 5 horas?
	
	
	
	3
	
	
	17
	
	
	7
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	
		1.
		Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x 2 - 7  no ponto (2,1)
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	y = 8x - 29
	
	
	y = 8x -16
	
	
	y = 8x -15
	
	
	y = 3x + 1
	
	
	
	
		
	
		2.
		Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado f(x) = x2 + x + 1 no ponto (1,3).
	
	
	
	reta tangente : y = x reta normal : y = (1/3)x + 3
	
	
	reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3)
	
	
	reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 10
	
	
	reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 11reta tangente : y = 3x + 3 reta normal : y = x + 3
	
	
	
	
		
	
		3.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco e a aceleração da função s(t) = y = x2+ 2x
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	aceleração = 2
arraco = 0
	
	
	aceleração = 2x
arraco = 0
	
	
	aceleração = 2x2
arraco = 0
	
	
	aceleração = 0
arraco = 0
	
	
	
	
		
	
		4.
		Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a:
	
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	-1
	
	
	0
	
	
	
	
		
	
		5.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3
	
	
	
	y´´´ = 3
	
	
	y ´´´ = 6
	
	
	y´´´ = 6x
	
	
	y´´´ = 0
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	
		
	
		6.
		Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado.    
               
	
	
	
	1/4
	
	
	9
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	7
	
	
	
	
		
	
		7.
		O valor de f ´´( 0 ) da função f( x ) = sen x é de:
	
	
	
	0,4.
	
	
	1.
	
	
	0,5.
	
	
	2.
	
	
	0.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = 1/x
	
	
	
	f´´´ = x 2
	
	
	zero
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	f ´´´= - 6/ x4
	
	
	f´´´ = x
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = x1 - 5
	
	
	m(x1) = 2x1 - 5
	
	
	m(x1) = x1 - 11
	
	
	m(x1) = 3x1
	
	
	m(x1) = x1 - 9
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Assim, se  C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando  q =q1, é dada por C´(q1), caso exista. A função C´ é chamada Função Custo Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x²+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por:
	
	
	
	C´(x)= 5x
	
	
	C´(x)= 10x+10
	
	
	C´(x)=10x+3
	
	
	C´(x)=5x+10
	
	
	C´(x)=10x
	
	
	
	
		
	
		3.
		Considere a função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Aplicando derivadas sucessivas, podemos afirmar que a segunda derivada dessa função será:
	
	
	
	6x - 12
	
	
	3x² - 12x + 9
	
	
	3x² - 2x + 4
	
	
	6x + 9
	
	
	3x + 4
	
Explicação:
\(x^3 - 6 x^2 + 9 x +2\)
A primeira derivada será \(3x^2 - 12 x + 9\)
A segunda derivada será \(6x - 12 \)
	
	
	
	
		
	
		4.
		O valor de f ´´( 0 ) da função f( x ) = sen x é de:
	
	
	
	0,4.
	
	
	1.
	
	
	2.
	
	
	0,5.
	
	
	0.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = 1/x
	
	
	
	f´´´ = x 2
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	f´´´ = x
	
	
	f ´´´= - 6/ x4
	
	
	zero
	
	
	
	
		
	
		6.
		Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a:
	
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	-1
	
	
	1
	
	
	-3
	
	
	
	
		
	
		7.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	y´´´ = 6x
	
	
	y´´´ = 0
	
	
	y ´´´ = 6
	
	
	y´´´ = 3
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado.    
               
	
	
	
	9
	
	
	2
	
	
	0
	
	
	1/4
	
	
	7
		Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x 2 - 7  no ponto (2,1)
	
	
	
	y = 8x -16
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	y = 8x - 29
	
	
	y = 8x -15
	
	
	y = 3x + 1
	
	
	
	
		
	
		2.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco e a aceleração da função s(t) = y = x2+ 2x
	
	
	
	aceleração = 0
arraco = 0
	
	
	aceleração = 2
arraco = 0
	
	
	aceleração = 2x
arraco = 0
	
	
	aceleração = 2x2
arraco = 0
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	
		
	
		3.
		Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado f(x) = x2 + x + 1 no ponto (1,3).
	
	
	
	reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 10
	
	
	reta tangente : y = x reta normal : y = (1/3)x + 3
	
	
	reta tangente : y = 3x + 3 reta normal : y = x + 3
	
	
	reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3)
	
	
	reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 11
	
	
	
	
		
	
		4.
		Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Assim, se  C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando  q =q1, é dada por C´(q1), caso exista. A função C´ é chamada Função Custo Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x²+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por:
	
	
	
	C´(x)=10x+3
	
	
	C´(x)= 5x
	
	
	C´(x)=10x
	
	
	C´(x)= 10x+10
	
	
	C´(x)=5x+10
	
	
	
	
		
	
		5.
		Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1)
	
	
	
	m(x1) = 2x1 - 5
	
	
	m(x1) = x1 - 5
	
	
	m(x1) = 3x1
	
	
	m(x1) = x1 - 11
	
	
	m(x1) = x1 - 9
	
	
	
	
		
	
		6.
		Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a:
	
	
	
	-3
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	-1
	
	
	
	
		
	
		7.
		Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3
	
	
	
	y´´´ = 3
	
	
	y´´´ = 6x
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	y´´´ = 0
	
	
	y ´´´ = 6
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado.    
               
	
	
	
	7
	
	
	9
	
	
	1/4
	
	
	0
	
	
	2
		
		Para demonstrar que a equação x3 + x  - 1 = 0 existe uma raiz entre 0 e 1 devemos:
	
	
	
	Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) =  1 e f (1) =  - 3, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
	
	Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é descontínua, não é uma função polinomial, f (0) =  1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
	
	Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) =  2 e f (1) = 1, logo não existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
	
	Devemos utilizaro Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua , é uma função polinomial, f (0) =  - 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
	
	Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é descontínua, é uma função polinomial, f (0) =  2 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
Explicação:
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que f é contínua pois é uma função polinomial, f (0) =  -1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0.
	
	
	
	
		
	
		2.
		O fólio de Descartes é representado pela expressão x3+y3=6xy. Encontre dydx
	
	
	
	dydx=2y-x2y2-2x
	
	
	dydx=x2y2-2x
	
	
	dydx=2y+x2y2+2x
	
	
	dydx=2y3-x2y2-2x
	
	
	dydx=2y3-x2y-2x
	
	
	
	
		
	
		3.
		Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	f´(x) =  -e sen x
	
	
	f´(x) = cos x e sen x
	
	
	f´(x) = - cos x e sen x
	
	
	f´(x) = e
	
	
	
	
		
	
		4.
		O Teorema de Rolle é definido como:
	
	
	
	Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
	
	
	Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) diferente de zero.
	
	
	Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor intermediário podemos afirmar que existe uma  raiz de f(x) entre
	
	
	
	Nenhuma das repostas anteriores
	
	
	zero é a única raiz
	
	
	1,5 e 1,6
	
	
	Não existe raiz real
	
	
	Só possui raiz complexa.
	
	
	
	
		
	
		6.
		Uma bola de metal é arremessada para o alto segundo a função s(t)=20t-2t2, onde s é medido em metros e t em segundo. Utilizando a derivação, determine o tempo necessário para que esta bola de metal atinja a altura máxima e o valor desta altura.
	
	
	
	2,5s e 50m
	
	
	2,5s e 25m
	
	
	4s e 48m
	
	
	5s e 25m
	
	
	5s e 50m
	
	
	
	
		
	
		7.
		Determine c pertencente ao intevalo (0,4) para o qual a reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 - 5x + 6 no ponto P (c, f (c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A(0,f (0)) e B(4,f (4)).
	
	
	
	Como f é uma função contínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Intermediário garante que não existe c pertencente ao intervalo (0,4).
	
	
	Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 2.
	
	
	Como f é uma função descontínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 3.
	
	
	Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 1.
	
	
	Como f é uma função polinomial, então é descontínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio  não garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4).
	
Explicação:
Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 2.
f ´ (c) = (f (b) -   f (a))/ (b -  a) portanto  a derivada de f aplicado no ponto c será 2c -  5 . Podemos escrever  (f (4) -  f (0)) / (4 -  0) = 2c - 5  pois A(0,f (0)) e B(4, f (4)) , f(0) = 6 e f(4) = 2 então c = 2.
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dada a equação y=3x+5 e dxdt=2, calcule dydt quando x=1.
	
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	- 2
	
	
	2
	
	
	- 6
		
	
		1.
		Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio. Supondo f(x) = 1 - (1/x), no intervalor (1,2), determine o valor de c aplicando o Teorema do Valor Médio.
	
	
	
	A função f(x) dada é  descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 1
	
	
	A função f(x) dada é  descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é \(c = { \sqrt{2} }\)
	
	
	A função f(x) dada é  descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é derivavel em (1,2) então não existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) 
	
	
	A função f(x) dada é  continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 7
	
	
	A função f(x) dada é  continua  em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 4
	
Explicação:
A função f(x) dada é  descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2), f´(x) = 1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada de f no ponto c é f ' (c) = 1/c2   e (f(2)-f(1))/ (2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto   mas somente o valor positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto  é o valor de que satisfaz o teorema do valor médio.
	
	
	
	
		
	
		2.
		Para mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2 devermos utilizar um determinado teorema que supõe que seja f  contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . Podemos afirmar que:
 
 
	
	
	
	O teorema descrito é o Teorema do Valor Medio e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2).
	
	
	O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2).
	
	
	O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2).
	
	
	O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz c no intervalo (1,2).
	
	
	O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2).
 
	
Explicação:
O teorema descrito é o Teorema do Valor intermediário que garante que supondo f  contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N .
Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f (c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário, temos:
f (1) = −1 < 0
f (2) = 12 > 0:
Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um polinômio, o TVI afirma que existe um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2).
	
	
	
	
		
	
		3.
		 O ponto de inflexão da função f(x)=(4x+1)3  é dado por:
	
	
	
	 (-1/2,0)
	
	
	 (0,1/4)
	
	
	 (-1/4,0)
	
	
	 (4,-1/2)
	
	
	 (4,1/4)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Calcule a Primeira Derivada da Função, F(x)= 10X - 9.
	
	
	
	1
	
	
	19
	
	
	10
	
	
	9
	
	
	-9
	
Explicação: Aplicação da primeira derivada.5.
		Seja f(x) = x³-8x. Os pontos de mínimo e máximo, respectivamente, de f são:
	
	
	
	x=1 e x=2
	
	
	x=0 e x=1
	
	
	x=0 e x=-2
	
	
	x=0 e x=2
	
	
	x=2 e x=-2
	
	
	
	
		
	
		6.
		Utilizando o Teorema do Valor Médio, analise a função f(x) =  em [1,2]  e  conclua quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
I - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois temos os limites a direira e a esquerda do ponto 2 iguais a 5 portanto f(x) é continua em [1,2] e f(2) = 1;
II - O Teorema do Valor Médio não é satisfeito pois a função não possui limite a esquerda de 2 e portanto a função não é contínua no intervalo [1,2];
II - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois os limites a direita e a esquerda do ponto 2 é igual a infinito e f(2) = 1.
	
	
	
	Apenas a opção II esta correta.
	
	
	Apenas a opção III é verdadeira
	
	
	Apenas a opção I é verdadeira
	
	
	As opções I e III são verdadeiras
	
	
	As opções I e II são falsas
	
	
	
	
		
	
		7.
		Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. Utilize o Teorema do valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) .
	
	
	
	 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
· f nao é contínua em [0,1].
· f(0)  > 0
· f(1) > 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
	
	
	Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0,  f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
· f é contínua em [0,1].
· f(0) = 4 > 0
· f(1) = -3 < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
	
	
	 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é  contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
· f nao é contínua em [0,1].
· f(0) < 0
· f(1) < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
	
	
	 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
· f nao é contínua em [0,1].
· f(0) = 4 > 0
· f(1) = -3 < 0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
	
	
	 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0,  f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que:
· f é contínua em [0,1].
· f(0)  > 0
· f(1)  >0
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1).
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dada a equação y=3x+5 e dxdt=2, calcule dydt quando x=1.
	
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	- 6
	
	
	6
	
	
	- 2