Relatório - Movimento de Rotação - FIS213

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Universidade Federal de Itajubá
FIS213 — T09
2º semestre de 2021
Movimento de Rotação
Professor:
Renato da Costa Santos
Instituto de F́ısica e Qúımica
Alunos:
Victor H Magalhães
RA: 2021012366
Pedro Mangeon
RA: 2021008407
20 de novembro de 2022
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Conteúdo
1 Objetivos 2
2 Introdução 2
3 Materiais 3
4 Procedimentos 4
4.1 1º - Velocidade angular constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 2º - Aceleração angular uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Resultados 4
5.1 Procedimento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.2 Procedimento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6 Discussão 13
7 Referências 13
1
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
1 Objetivos
Este relatório intenta investigar e compreender o movimento de rotação com
velocidade e aceleração angular constante e, juntamente, verificar e analisar o com-
portamento da posição, velocidade e aceleração angular em função do tempo.
2 Introdução
Existem numerosos exemplos de movimentos angulares no cotidiano como o
tacômetro[1] (Figura 1), que indica a velocidade angular de um eixo rotativo; há
também o pneu de uma bicicleta, o movimento de uma roda gigante etc. O movi-
mento de rotação é exatamente isso, é uma referência a qualquer corpo girando ou
em movimento circular[2].
Figura 1: Tacômetro
Fonte: Encyclopædia Britannica
Para o estudo da rotação de um corpo ŕıgido com eixo fixo com velocidade
angular constante temos:
θ = θ0 + ω0t (1)
Onde θ é a posição angular, θ0 é a posição angular inicial, ω0 é a velocidade
angular inicial e t é o tempo. Quando há aceleração angular as seguintes equações
podem ser levadas em conta:
θ = θ0 + ω0t+
1
2
αt2 (2)
2
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Onde α é a aceleração angular. Vale atentar que essas equações são análogas
às equações do MRU e MRUV.
ω = ω0 + αt (3)
ω2 = ω20 + 2α(θ − θ0) (4)
Fazendo θ0 = 0 na Equação 2 e sabendo que o corpo ŕıgido parte do repouso
(ω0 = 0), a Equação 2 se reduz a:
θ =
1
2
αt2 (5)
Explicitando a aceleração angular, temos:
α =
2θ
t2
(6)
Substituindo ω0 = 0 e a Equação 6 na Equação 3, vem:
ω = 0 +
(
2θ
t2
)
t (7)
Dessa forma:
ω =
2θ
t
(8)
Agora, as Equações 6 e 8 explicitam a relação aceleração e velocidade ins-
tantânea para cada deslocamento angular θ.
3 Materiais
• Crônometro; Erro sistemático: 0,01s
• Disco rotatório segmentado em 4 arcos iguais.
3
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
4 Procedimentos
Foram realizados dois procedimentos, o primeiro de velocidade angular cons-
tante e o segundo com aceleração angular uniforme.
4.1 1º - Velocidade angular constante
É escolhido o Movimento de Rotação 4, após isso é pressionado o botão verde
para iniciar o experimento e, com ajuda do cronômetro, é anotado o tempo associado
ao deslocamento angular de 2π e são realizadas 3 medidas de tempo e, é calculado o
tempo médio, após o término o experimento é reiniciado apertando o botão verme-
lho. Essas etapas anteriores são, então, repetidas para os diferentes deslocamentos
angulares dispostos na Tabela 1.
4.2 2º - Aceleração angular uniforme
É escolhido o Movimento de Rotação 3, após isso é pressionado o botão verde
para iniciar o experimento e, com ajuda do cronômetro, é anotado o tempo associado
ao deslocamento angular de π
2
(1
4
de volta). São feitas 3 medidas de tempo e, é
calculado o tempo médio, após o fim de cada processo é apertado o botão vermelho
para reiniciar o experimento. Essas etapas anteriores são, então, repetidas para os
diferentes deslocamentos angulares dispostos na Tabela 2.
5 Resultados
5.1 Procedimento 1
Para a determinação do tempo médio foi utilizada a seguinte equação:
1
n
n∑
i=i
xi (9)
Onde n é a quantidade de elementos e xi são os valores de cada tempo.
Para a propagação de incertezas do tempo médio foi feito o cálculo do desvio
padrão de 2 médias diferentes (este mesmo método foi empregado no procedimento
2) e para as incertezas de medidas secundárias foi utilizada a Equação 10 para
determinar qual a fórmula de determinação da incerteza. O desvio padrão dos itens
4
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
xi também pode ser obtido pela Equação 10, como demonstra a Equação 11 e 12.
δ2x̄ =
(
∂x̄
∂x
· δx
)2
+
(
∂x̄
∂y
· δy
)2
+
(
∂x̄
∂z
· δz
)2
(10)
Onde x, y e z são os tempos utilizados na equação 9. Derivando e usando os valores
dos erros sistemáticos temos:
δx̄ =
√(
1 · 0, 01
3
)
+
(
1 · 0, 01
3
)
+
(
1 · 0, 01
3
)
(11)
δ = 0, 00577 ≈ 0, 006 (12)
Para a propagação de incertezas da velocidade angular (ω), a fórmula foi obtida
através da derivação parcial da Equação 13.
ω =
θ
t
(13)
aplicando as derivadas parciais temos:
δ2ω =
(
∂ω
∂t
· δt
)2
(14)
Resultando em:
δω =
√(
−θ
t2
· δt
)2
(15)
Substituindo os valores encontrados do tempo e de cada deslocamento angular
(θ) é posśıvel encontrar a incerteza associada à medida. A fim de evitar redundância
será exposto apenas um cálculo utilizando a Equação 15, no caso será o da primeira
rotação da Tabela 1.
δω =
√(
−3, 141 · 2
3, 182
· 0, 02
)2
=⇒ (16)
δω = 0.01242 ≈ 0, 01 (17)
5
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Portanto, 0, 01 (rad/s) é a incerteza associada à velocidade angular para um
deslocamento angular de 2π. Os dados podem ser observados na Tabela 1.
Tabela 1: Resultados procedimento 1
Nº rotações θ(rad) Medidas de t (s) Média de t (s) ω (rad/s)
3,19
1 2π 3,18 3, 18± 0, 02 1, 98± 0, 01
3,18
6,40
2 4π 6,34 6, 36± 0, 03 1, 975± 0, 009
6,34
9,54
3 6π 9,55 9, 54± 0, 02 1, 975± 0, 004
9,53
12,66
4 8π 12,67 12, 65± 0, 02 1, 986± 0, 003
12,63
15,76
5 10π 15,78 15, 75± 0, 03 1, 994± 0, 004
15,72
18,91
6 12π 18,89 18, 90± 0, 02 1, 994± 0, 002
18,91
22,08
7 14π 22,07 22, 08± 0, 02 1, 992± 0, 002
22,10
Erro sistemático do cronômetro: 0,01s
É posśıvel perceber que os valores da velocidade angular (ω) sofreram pequenas
variações. Por conta disso foi feito o cálculo da média da velocidade angular usando
a Equação 9 e a devida propagação de erros utilizando a Equação 10.
x̄ =
1, 98 + 1, 975 + 1, 975 + 1, 986 + 1, 994 + 1, 994 + 1.992
7
(18)
x̄ = 1, 985 (19)
Para o cálculo da propagação de erros tem-se:
6
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
δx̄ =
√(
(
1
7
0, 01
)2
+
(
1
7
0, 009
)2
+
(
1
7
0, 004
)2
+
(
1
7
0, 003
)2
+
(
1
7
0, 004
)2
+
+
√(
1
7
0, 002
)2
+
(
1
7
0, 002
)2
(20)
Resolvendo:
δx̄ = 0, 002 (21)
Portanto, de acordo com as Equações 19 e 21, a velocidade angular média foi
de 1, 985± 0, 002 (rad/s).
Figura 2: Gráfico Posição x Tempo
Para melhor compreensão dos dados da tabela foi plotado o gráfico da posição
angular (θ) em função do tempo. Para o gráfico foi utilizado π = 3, 141, portanto
7
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
2π = 6, 282 e assim foi feito para cada posição θ. O gráfico pode ser conferido na
Figura 2.
Esse gráfico tem equação y = 1, 98x − 0, 13. O coeficiente angular, portanto,
vale 1,98; ele representa a variação da posição em relação ao tempo. Isso significa
que a cada 1 segundo 1,98 radianos são percorridos, isso nada mais é que a velocidade
média, uma vez que a derivada da função posição é a velocidade naquele ponto. Por
não existir aceleração, essa equação é linear, logo, a velocidade instantânea em todos
os pontos da função vão ser iguais a 1, 98 rad/s.
Vale evidenciar que o coeficiente angular é igual a velocidade angular média.
5.2 Procedimento 2
Para o procedimento 2, no tratamento de incertezas de t2, foi utilizada a
Equação 22.
δt = G
√(
n · δt
t
)2
(22)
Onde G é o valor de t2[3], n é o valordo expoente, δt é o valor da incerteza do
tempo e t é o tempo.
Já, por sua vez, o tratamento de incertezas da velocidade angular foi com a
Equação 25.
δ2ω =
(
∂ω
∂t
· δt
)2
=⇒ (23)
δ2ω =
(
−2θ
t2
· δt
)2
=⇒ (24)
δω =
√(
−2θ
t2
· δt
)2
(25)
Para as incertezas da aceleração angular, foi utilizada a Equação 27.
δ2α =
(
∂α
∂t
δt2
)2
=⇒ (26)
8
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Não foi somada mais nenhuma incerteza uma vez que apenas uma variável
apresenta uma incerteza associada à variável t.
δα =
√(
−4θ
t3
· δt2
)2
(27)
Tabela 2: Resultados procedimento 2
Nº de θ Medidas de t Média de t t2 ω = 2θ/t α = 2θ/t2
Rotações (rad) (s) (s) (s2) (rad/s) (rad/s2)
2,72
1/4 π/2 2,69 2, 72± 0, 03 7, 4± 0, 2 1, 15± 0, 01 0, 42± 0, 01
2,75
3,79
1/2 π 3,82 3, 80± 0, 02 14, 4± 0, 2 1, 65± 0, 01 0, 436± 0, 006
3,80
5,33
1 2π 5,33 5, 31± 0, 02 28, 2± 0, 2 2, 37± 0, 01 0, 446± 0, 003
5,29
7,47
2 4π 7,5 7, 48± 0, 04 56, 0± 0, 6 3, 36± 0, 02 0, 449± 0, 005
7,49
9,19
3 6π 9,21 9, 19± 0, 03 84, 5± 0, 6 4, 10± 0, 01 0, 446± 0, 003
9,18
10,63
4 8π 10,63 10, 62± 0, 02 (11, 28± 0, 04)10 4, 73± 0, 01 0, 446± 0, 002
10,60
11,82
5 10π 11,87 11, 85± 0, 04 (14, 04± 0, 09)10 5, 30± 0, 02 0, 447± 0, 003
11,87
14,00
7 14π 13,97 14, 00± 0, 02 (19, 6± 0, 6)10 6, 26± 0, 01 0, 449± 0, 001
14,02
Para melhor assimilação dos dados, os gráficos da posição angular em função do
tempo, da posição angular em função do tempo ao quadrado, da velocidade angular
em função do tempo e também da aceleração angular em função do tempo como
pode ser visto, respectivamente, nas Figuras, 3, 4, 5 e 6.
9
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Figura 3: Gráfico Posição Angular x Tempo
O gráfico da Figura 3 tem a seguinte equação: y = 0, 2252x2 − 0, 01315x −
0, 03717. O coeficiente angular em cada ponto do gráfico representa a velocidade
angular instantânea em dado ponto (variação da posição angular a cada segundo
percorrido) diferente pois a função tem comportamento não linear. Como neste
segundo experimento há uma aceleração constante, a velocidade angular instantânea
tende a aumentar exponencialmente a cada segundo percorrido, comportamento
notório.
a fim de verificar a mudança gradual, foram analisados 3 coeficientes angulares
distintos a partir da função tangente: y = 0, 4504x − 0, 01315, derivada da função
Posição x Tempo que permite obter o coeficiente angular em determinado ponto.
Tabela 3: Relação θ e coeficiente angular
Posição θ Coeficiente angular
π/2 1,21
6π 4, 12
14π 6, 29
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Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
É posśıvel perceber que o coeficiente angular se aproxima da velocidade angular
registrada, uma vez que representam a mesma coisa.
Figura 4: Gráfico θ x t2
A equação da função da Figura 4 é: y = 0, 2244x − 0, 08314. A prinćıpio,
um coeficiente angular de 0, 2246 parece estranho porquanto o coeficiente angular
dessa função reflete a aceleração angular, isto é, a variação da posição angular a
cada segundo ao quadrado percorrido. Porém, como demonstrado na Equação 6, a
aceleração é multiplicada por um fator 2, caso o coef. angular seja multiplicado por
2 ele retorna como um valor familiar: 0, 2246 · 2 = 0, 449, valor profundamente mais
próximo à da aceleração angular observada.
A função ser linear é consequência da aceleração ser constante e do coeficiente
angular expressar a aceleração angular, não a velocidade angular como na Figura 3.
11
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Figura 5: Gráfico Velocidade angular ω (rad/s) x Tempo t (s)
A equação da função representada acima é: y = 0, 4518x− 0, 05413. O coefici-
ente angular representa a variação da velocidade a cada 1 segundo, ou seja, a velo-
cidade varia 0,4518 unidades a cada segundo percorrido. A variação da velocidade
pelo tempo é a aceleração, geometricamente isto pode ser constatado utilizando as
unidades de medida, posto que o coeficiente angular é y/x, neste caso é rad
s.s
= rad/s2,
unidade de medida da aceleração angular, fato que pode ser constatado na Tabela
2.
A Figura 6 é um pouco mais inusitada, ela representa uma grandeza f́ısica cha-
mada arranque ou sobre-aceleração, ela é a variação da aceleração. É representada,
neste caso, pela unidade de medida (rad/s3).
É posśıvel observar que há um crescimento do arranque durante os primeiros
5,31 segundos, após isso ele passa a ter um coeficiente angular próximo a zero, indi-
cando o arranque ser quase nulo.
a variação do arranque é ı́nfima, fato corroborado pela Figura 4, onde o coe-
ficiente angular de 0, 2244 mantém-se estável durante todo seu percurso, indicando
pouca interferência do arranque pela linearidade da função.
12
Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
Figura 6: Aceleração angular x Tempo
6 Discussão
Por meio desses dois experimentos a capacidade de compreender o movimento
de rotação seja com velocidade angular constante ou com aceleração constante. Além
do entendimento da relação das grandezas de posição, velocidade, aceleração e ar-
ranque num corpo ŕıgido rotatório de eixo único.
Vale atentar o fato de que o arranque foi a única grandeza com uma regressão
não-linear logaŕıtmica, de fato uma situação curiosa.
7 Referências
[1] Britannica, The Editors of Encyclopaedia. ”tachometer”. Encyclopedia Bri-
tannica, 30 Sep. 2013, https://www.britannica.com/technology/tachometer. Acces-
sed 4 December 2021.
[2] Beck, Kevin. ”Rotational Motion (Physics): What is it & Why it Mat-
ters”sciencing.com, https://sciencing.com/rotational-motion-physics-what-is-it-why-
it-matters-13721033.html. Acessed 4 December 2021.
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Movimento de Rotação Victor H Magalhães & Pedro Mangeon
[3] https://idol.union.edu/vineyarm/teaching/phy17/uncertainties intro.pdf
14
	Objetivos
	Introdução
	Materiais
	Procedimentos
	1º - Velocidade angular constante
	2º - Aceleração angular uniforme
	Resultados
	Procedimento 1
	Procedimento 2
	Discussão
	Referências