Determinantes de Matrizes Quadradas

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Determinantes
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada.
Notação: det A ou |A|.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
= a11 · a22 – a12 · a21
 
a11 · a22
- (a12 · a21)
Seja a matriz de 2ª ordem:
A = 
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Ex: 1)
+
-
7
2
 3
5
= 7.5 
- 2.3
= 29 
Ex: 2)
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Ex: 1)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
1)
2)
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Outras propriedades:
• det(A)=det(At)
Ex: 
1)
2)
1)
2)
Ex: 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades:
1)
Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
2)
Outras propriedades:
Ex: 
1)
2)
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
1)
2)
Ex: 
Outras propriedades:
• det(A.B)=detA.detB
Ex: 
Outras propriedades:
• det(A-1)=1/detA
Ex: 
A=
[
72
35
]
2
18
20
6
.
3
10
.
2
10
6
3
2
=
-
=
-
=
4
1
3
1
2
5
3
1
2
-
2−1
52
31
|
1001
620
211
-
-
100
62
01
-
|
135
2−98
000
|=0
|
105
208
5016
|=0
|
1290
8−13
√
2
1290
π8−19
|=0
|
396
−10−2
488
|=0
L
1
=L
3
2.C
1
=C
3
|
169
350
4119
|=0
|
1350
3179
0778
−75−90
|=0
L
1
+L
2
=L
3
2.C
1
+C
2
=C
3
|
23
49
|=18−12=6
|
24
39
|=18−12=6
Se |
abc
xyz
rst
|=10,
então |
axr
bys
czt
|=10
|
200
530
797
|=
2.3.7=42
|
−2780
0586
0035
0002
|=
−2.5.3.2=−60
|
25
39
|=18−15=3
|
52
93
|=15−18=−3
Se |
abc
xyz
rst
|=5,
então |
rst
xyz
abc
|=−5
|
23
49
|=6
|
5.23
5.49
|=5.6=30
então |
a b c
7.x7.y7.z
r s t
|=7.10=70
|
5.25.4
5.35.9
|=5
2
.6=150
Se A é 3x3 com det (A)=5, então
 det(2.A)=
2.det(A)=
3
8.5=40
Sejam A =
(
32
57
)
 e B=
(
41
23
)
.
Quanto vale det (A.B)?
 det(A.B)=11.10=110
 detA=11
 detB=10
Consequência:
A.A
-1
=I
⇒det(A.A
-1
)=det(I)
⇒det(A).det(A
-1
)=1
⇒det(A
-1
)=1/detA
O determinante da inversa de A =
(
25
39
)
 é:
det(A
-1
)=1/detA=1/3