CIRCUNFERÊNCIAS E POLÍGONOS

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Matemática
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	 Ângulo ao centro
Ângulo ao centro é um ângulo que tem o vértice no centro da circunferência e cada lado contém um raio dessa circunferência.
é um ângulo ao centro
*
	 Amplitude do ângulo ao centro
Amplitude do arco correspondente
Amplitude do ângulo ao centro
A cada ângulo ao centro corresponde um arco, que é a sua intersecção com a circunferência.
Reciprocamente, a cada arco corresponde um ângulo ao centro
A amplitude do ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.
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Exercício:
Determine a amplitude do ângulo x e do seu arco correspondente.
1.
2.
A amplitude do arco correspondente é também 90º.
A amplitude do arco correspondente é também 60º.
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	 Ângulo inscrito
Ângulo inscrito é um ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados contém cordas dessa circunferência.
é um ângulo inscrito
*
	 Amplitude do ângulo inscrito
Na figura, [ABC] é um triângulo equilátero.
Logo,
O arco AB tem de amplitude 120º.
Então,
e
Portanto,
	A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.
OU
	A amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do arco que ele contém.
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Alguns Exemplos:
*
Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.
1.
2.
*
Propriedades
1. Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco
porque os três ângulos contêm o mesmo arco AB.
Então,
	Os ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.
50º
50º
50º
*
2. Ângulos inscritos numa semi-circunferência
Então,
	Um ângulo inscrito numa semi-circunferência é um ângulo reto.
90º
90º
90º
*
3. Ângulo ao centro, arcos e cordas
	Na figura estão representados dois ângulos ao centro iguais, as cordas e os arcos correspondentes.
Então,
	Numa circunferência, as cordas correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.
	Numa circunferência, os arcos correspondentes a dois ângulos ao centro iguais são geometricamente iguais, e reciprocamente.
*
4. Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência
Mas,
Portanto,
Logo,
Então,
	A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é 180º.
*
Exercícios: determine a amplitude dos ângulos pedidos.
1.
2.
Pela propriedade 1 vêm:
A amplitude do arco correspondente ao ângulo (inscrito) de 130º é de 260º.
Logo, 
*
3.
4.
Usando a propriedade 2 vêm:
Então,
Logo,
AOB
^x=90º
^x=60º
AVB
O
C
B
A
120° 
60° 
A
^
CB=60º
A
^
OB=120º
A
^
CB=
1
2
A
^
CB
^
x=
86º
2
=43º
^
x=
40º
2
=20º
^y=86º
^y=40º
A
^
CB=A {
^
DB=A {
^
E¿B¿
,
A
^
CB=A {
^
DB=A {
^
E¿B=90º¿
CD=AB= 40º
CD=AB
^
a=2A
^
BC
^
b=2A
^
DC
^
a+
^
b=2(A
^
BC+A {
^
DC)¿
^
a+
^
b=360º
2(A
^
BC+A {
^
DC)=360º¿
A
^
BC+A {
^
DC=180º¿
^x=62º
^y=2×62º
=124º
^x=360º−260º
=100º
^
x=180º−(90º+30º)=
=180º−120º=
=60º
O
^
AB=A {
^
BO¿
B
^
OA=180º−84º=96º
^
x=
96º
2
=48º