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CÁLCULO APLICADO - VARIASCÁLCULO APLICADO - VARIAS
VARIÁVEISVARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIASFUNÇÕES DE VÁRIAS
VARIÁVEISVARIÁVEIS
Autora: Me. Talita Druziani Marchiori
R e v i s o r : R a i m u n d o A l m e i d a
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Caro aluno, nesta unidade, entraremos em um “mundo novo”, o mundo das várias
variáveis. Se re�etirmos, veremos que muitos elementos em nossa volta se
descrevem através de funções de duas ou mais variáveis. Desde exemplos simples,
como a área de nossa residência, até exemplos mais complexos, como a temperatura
da atmosfera. Logo, o estudo sobre funções de várias variáveis é fundamental.
Iniciaremos esta unidade abordando o comportamento do domínio e imagem de uma
função de várias variáveis, além disso, aprenderemos como esboçar seus grá�cos. Em
seguida, apresentaremos os conceitos do cálculo diferencial de várias variáveis, como
a derivada direcional, vetor gradiente e a regra da cadeia. Esses conceitos serão
utilizados para funções de duas variáveis reais, mas eles podem ser aplicados para
várias variáveis.
Você perceberá que a maioria dos conceitos expostos nesta unidade recordam os
conceitos vistos no cálculo ordinário, podemos considerá-los como uma extensão
deles. Por �m, resolva os exemplos e exercícios propostos e pesquise exemplos em
outras literaturas, que enriquecerão sua aprendizagem!
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Até o momento estudamos apenas funções de uma única variável. Porém, em nosso
cotidiano, dependemos de cálculos com várias variáveis. Consequentemente, muitas
situações na área da engenharia são descritas por funções de várias variáveis, como a
resistência dos materiais, a mecânica dos �uidos, a mecânica quântica e etc.
Diante disso, destacamos o estudo das funções reais de duas variáveis reais. Porém,
todos os conceitos podem ser aplicados para funções de três ou mais variáveis. Uma
função f de duas variáveis reais é uma relação que associa cada par ordenado (x,y) de
um conjunto A a um único valor real f(x,y), ou seja, f: A ⊂ R² → R. O conjunto A é
denominado domínio de f, já o conjunto Img(f) = {f(x,y); (x,y) ∈ A} é denominado
imagem de f.
Por exemplo, considere a função de duas variáveis reais de�nida por f(x, y) =
x+ y
x− y .
Para o par ordenado (2,1), temos:
f(2,1) = 
2 + 1
2 − 1 = 3.
Note que f só não está de�nida nos pares ordenados (x,y) tais que x-y = 0, ou seja, nos
pares (x,y) com x = y. Portanto, o domínio de f é o conjunto A = {(x,y) ∈ R² ; x ≠ y}, e a
Funções de VáriasFunções de Várias
Variáveis: Esboço deVariáveis: Esboço de
Grá�cosGrá�cos
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imagem de f é Img(f) = {
x+ y
x− y ; (x,y) ∈ A}, que pode ser reescrita como Img(f) = {
x+ y
x− y ; x ≠
y com x, y ∈ R}.
Uma forma de visualizar como uma função de duas variáveis se comporta é
esboçando seu grá�co. O grá�co de uma função f: A ⊂ R² → R é dado pelo conjunto
a seguir:
G f= { (x, y, z) ∈ R³; z = f(x,y), (x,y) ∈ A}.
Como podemos observar pela de�nição de G f, o grá�co de f é um subconjunto de R³.
Exempli�cando, o grá�co de f(x,y) = 6 - 3x -2y tem a equação 3x+2y+z=6, que
representa um plano, conforme esboço na Figura 2.1:
Para desenharmos o plano 3x + 2y + z = 6, determinamos as interseções com os eixos.
Considere que y = z = 0, então x = 2, a partir disso obtemos o ponto (2, 0, 0), que é a
intersecção do plano com o eixo x. Em seguida, considere x = z = 0, encontramos a
intersecção do plano com o eixo y no ponto (0, 3, 0). Do mesmo modo, considerando x
= y = 0, determinamos o ponto (0, 0, 6) que intersecciona o eixo z e o plano. Na Figura
2.2, destacamos os pontos de intersecção com os eixos e sombreamos o grá�co de f
no primeiro octante.
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A representação geométrica em um grá�co de uma função de duas variáveis, na
maioria das vezes, é trabalhosa. Para isso, temos o conceito de curvas de nível que nos
auxilia visualizar geometricamente o comportamento de uma função. A
representação de uma curva de nível costuma ser mais fácil de ser obtida, se
comparada ao grá�co, pois uma curva de nível de uma função f(x,y) é um subconjunto
de R².
Dessa forma, considerando z = f(xy) e c elementos da imagem de f, chamamos de
curva de nível de f o conjunto de todos os pares (x,y) pertencentes ao domínio de f tais
que f(x,y) = c. Por exemplo, considere a função h(x,y) = x² + y², como x²+y² ≥ 0 para
qualquer par ordenado (x,y), temos que a imagem de h é o conjunto dos números reais
positivos.
Agora, considere c ∈ R + , a curva de nível correspondente a z = c é h(x,y) = c, ou seja,
x²+y² = c. Mas essa igualdade representa circunferências de centro na origem e raio 
√c. Se c = 0, a curva de nível se reduz ao ponto (0,0). Podemos conferir a
representação grá�ca dessa igualdade a seguir:
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Por outro lado, considerando y = z = 0, obtemos x = 0, x = z = 0, y = 0 e x = y = 0, z = 0.
Portanto, o ponto (0,0,0) é o ponto de interseção com os três eixos. Na Figura 2.4
veremos que as curvas de nível projetadas no eixo z se tornam os cortes horizontais
do grá�co de h, ou seja, podemos montar o grá�co de h a partir de suas curvas de
nível.
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Para nos ajudar a visualizar as funções de duas variáveis gra�camente, podemos
utilizar softwares. Por exemplo, todas as imagens desta seção foram elaboradas com o
auxílio do software GeoGebra. Este software possui uma versão online e gratuita.
praticarVamos Praticar
Sabemos que as funções descrevem, através de modelos matemáticos, quase tudo que está a
nossa volta. E, muitos desses modelos são descritos por funções de várias variáveis. Por
exemplo, a temperatura da atmosfera e o volume de um cilindro circular.
Com base no que estudamos, assinale a alternativa correta.
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a) O domínio da função f(x,y)=
√x+ y+ 1
x− 1 é dado pelo conjunto R² A = {(x,y) ∈ R² ; x ≠ 1}.
b) A imagem da função g(x,y)=√9 − x2 − y2 é dada pelo intervalo [0,9].
c) O grá�co de g(x,y)=√9 − x2 − y2 representa uma esfera de centro na origem e raio
3.
d) As curvas de nível da função g(x,y)=√9 − x2 − y2 são dadas por circunferências de
centro (0,0) e raio 3.
e) A equação 3x+2y =0 é uma curva de nível para função f(x,y)=6-3x-2y para o ponto
c=6.
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A de�nição de derivada direcional de uma função f de duas variáveis no ponto (x0, y0)
na direção de um vetor unitário u = < a, b > é dada por:
Du f x0, y0 = limh→ 0 
f x0 + ha, y0 + hb − f x0, y0
h
,
caso esse limite exista.
Considerando f(x,y) = x²+ y², vamos calcular a derivada direcional de f no ponto (1,1)
na direção do vetor u, em que u é o versor do vetor v = <-1,1> . Com efeito,
inicialmente, note que foi necessário trabalhar com a direção u sendo o versor do
vetor v, pois, pela de�nição, a direção precisa ser um vetor unitário. Sendo u = <a,b>
um vetor unitário qualquer, temos que:
Du f(1, 1) = limh→ 0 
f(1 + ha, 1 + hb) − f(1, 1)
h
= limh→ 0
(1 + ha)2 + (1 + hb)2 − 2
h
= 2a + 2b.
Como a direção desejada é dada por u = 
( − 1 , 1 )
√ ( − 1 ) 2 + 12
=
− 1
√2
,
1
√2
 , logo:
Derivadas Direcionais eDerivadas Direcionaise
Vetores GradientesVetores Gradientes
( ) ( ) ( )
( )
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Du f(1, 1) = 2 
−1
√2
+ 2 
1
√2
 = 0.
Quando trabalharmos com os vetores canônicos i = < 1, 0 > e j = <0, 1>, as derivadas
direcionais recebem uma nomenclatura especial: derivadas parciais de f. Se u = i =
<1,0>, denotamos Du f = fx e a denominamos derivada parcial de f, em relação a x e. Se
u = j = <0,1>, denotamos Du f = fy e a denominamos derivada parcial de f, em relação a
y.
A derivada parcial de uma função f em relação a x é a derivada de g(x) = f(x,y), ou seja,
mantemos a variável y como uma constante. Já a derivada de uma função f em relação
a y é a derivada de g(y) = f(x,y), em que mantemos x constante.
Por exemplo, considerando f(x,y) = 2xy - 4y. Logo:
1. fx(x,y) = 2y(x’) - 0 = 2y, pois olhamos y como constante e derivamos em
relação a x;
2. fy(x,y) =2x(y’)-(4y)’= 2x - 4, pois olhamos x como constante e derivamos em
relação a y;
3. fx(2,1) = 2.1 = 2, substituindo o ponto (2,1) no que determinamos no item 1;
4. fy (0, 1) = 2 . 0 + 4 = 4, substituindo o ponto (0,1) no que determinamos no
item 2.
Considere uma função de duas variáveis f(x,y) diferenciável em x e y, isto é, fx e fy
existem. Então, f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u = <a,b> e 
Du f(x, y) = fx(x,y) a + fy(x,y) b.
Se retornarmos no cálculo da derivada direcional de f(x,y)=x²+y² no ponto (1,1) e
direção u = <a,b>, realizado no início deste tópico, observamos que essa relação foi
satisfeita, pois obtemos que Du f(1, 1) = 2a + 2b, fx(x,y)= 2x e fy(x,y)=2y, logo, fx(1,1)=
2 e fy(1,1)=2.
Note que a relação Du f(x, y) = fx(x,y) a + fy(x,y) b diz que a derivada direcional pode
ser escrita como o produto escalar entre dois vetores, pois Du f(x, y) = <fx(x,y), fy(x,y)>.
<a,b>=<fx(x,y), fy(x,y)>. u.
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Dessa forma, o vetor <fx(x,y), fy(x,y)> possui uma nomenclatura e notação especial: se f
é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial ∇f  de�nida
por ∇f  (x,y) = < fx(x,y), fy (x,y)>.
Sendo f(x,y) = sen x + exy, obtemos:
fx(x, y) = cos x + y e
xy, pois consideramos y como constante;
fy(x, y) = x e
xy, pois consideramos x como constante.
Portanto,
∇f  (x,y) = < cos x + y exy, x exy> e
∇f  (0,1) = < cos 0 + 1. e0.1, 0. e1.0>=<2,0>.
Com a nomenclatura do vetor gradiente, podemos escrever a derivada direcional de
uma função de duas variáveis f na direção u, por exemplo:
Du f(x, y) = ∇f  (x,y) . u.
Para determinar a derivada direcional da função f(x,y) = x²y³-4y no ponto (2,-1) e
direção v = 2 i + 5 j. Primeiro, observamos que
v =2<1,0>+5<0,1>=<2,0>+<0,5>= <2,5>
não é um vetor unitário, logo um vetor unitário na direção v é dado por seu versor, ou
seja, u = 
v
| v | =
⟨ 2 , 5 ⟩
√22 + 52
=
2
√29
, 
5
√29
. Dessa forma, temos que
fx(x,y)= 2xy³ e fy(x,y)=3x²y² -4.
Logo, fx(2,-1) = -4 e fy(2,-1) = 8. E, pela apresentada,
Du f(2, − 1) = ∇f  (2,1) . u = <-4, 8> . 
2
√29
, 
5
√29
= - 
8
√29
+
40
√29
=
32
√29
.
⟨ ⟩
⟨ ⟩
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praticarVamos Praticar
Quando determinamos a derivada de uma função de uma variável em um ponto qualquer,
não precisamos nos preocupar com a direção desse ponto, pois ela é única. No cálculo
diferencial de funções de várias variáveis isso muda.
Com base no que aprendemos nessa seção, assinale a alternativa correta.
a) Du f(1, 2) = 5, sendo f(x,y)=x²+xy e u = <1,1>.
b) Du f(1, 2) = 4, sendo f(x,y)=x²+xy e u = <3,4>.
c) Se f(x) = √1 − x2 − y2, com x2 + y2 ≤ 1, temos que fx(x,y)=
− x− y
√1 − x2 − y2
.
d) Se f(x,y) = sen x + 2 cos y , temos que fy(x,y)= -2 sen x.
e) Temos que ∇f  (x,y) = <4 - 2x, 4 - 4y> se f(x,y) = 4 - x²- 2y².
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Sabemos que uma aplicação do cálculo diferencial de uma variável é interpretar a
derivada de uma função f(x) como uma taxa de variação, o mesmo ocorre para as
derivadas direcionais de funções de várias variáveis.
Portanto, como a derivada direcional de f(x,y) para qualquer direção u é uma taxa de
variação, uma pergunta natural é: em qual dessas direções f varia mais rapidamente e
qual a taxa máxima de variação? A resposta, por sua vez, tem ligação direta com o
gradiente de f, e está enunciada no próximo teorema.
Teorema 2.1: se, f é uma função de duas variáveis e fxe fy existam e sejam contínuas. O
valor máximo da derivada direcional Du f é o módulo do vetor gradiente ∇f, e ocorre
quando u tem a mesma direção que ∇f .
Podemos utilizar esse resultado para aplicações, por exemplo, suponha que a função
f(x,y)=x²+3y² represente a distribuição de temperatura, em graus Celsius, no plano xy
de um material, em que x e y estão em centímetros. No caso do ponto (1,1), qual a
direção de maior crescimento da temperatura?
Aplicações das DerivadasAplicações das Derivadas
DirecionaisDirecionais
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A taxa de variação da temperatura em determinada direção u é dada por Du f. Dessa
forma, temos que ∇f (x,y) = <2x, 6y>, então ∇f (1,1) = <2,6>. Pelo Teorema 2.1, a
temperatura aumenta mais rapidamente na direção do vetor gradiente ∇f   (1,1) =
<2,6> ou, equivalentemente, ∇f  (1,1) = 2 <1,0> + 6 <0,1> = 2 i + 6 j.
Se desejarmos calcular a maior taxa de aumento pelo Teorema 2.1, basta
determinarmos o módulo do vetor gradiente. Logo,
|⟨2, 6⟩| = √22 + 62 = √40 = 2√10
ou seja, a taxa máxima de aumento da temperatura no material é de
aproximadamente 6,3 ºC por cm.
praticarVamos Praticar
Como já mencionamos, todos os conceitos aplicados para funções de duas variáveis podem
ser estendidos para funções de três ou mais variáveis. Considere a função f(x,y,z)=1 + x² + 2y²
+ 3z², que descreve a temperatura de um material em um ponto (x,y,z) do espaço, em que f é
dada em Celsius e x, y e z em centímetros. Analise as alternativas seguir e assinale a correta.
a) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,5 ºC por centímetro.
b) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 4,8 ºC por centímetro.
c) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 6,2 ºC por centímetro.
d) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 7 ºC por centímetro.
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e) A taxa máxima de aumento da temperatura desse material no ponto (-1, 1, 0) é de,
aproximadamente, 7,7 ºC por centímetro.
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Nesta seção, consideramos que a função f é diferenciável, ou seja, suas derivadas
parciais existem e são contínuas. Devemos recordar, também, que no cálculo
diferencial para funções de uma variável existe uma regra que nos auxilia a calcular a
derivada de uma função composta, denominada Regra da Cadeia.
Para funções de mais variáveis compostas também utilizamos a regra da cadeia,
porém ela tem muitas versões. Isso ocorre, pois a função f pode depender de n
variáveis, que chamaremos de intermediárias, e as n variáveis intermediárias podem
ser vistas como funções que dependem de n variáveis, por sua vez, denominadas
variáveis independentes.
Para compreendermos o caso geral da regra da cadeia, precisamos analisar duas
situações. Primeiro, suponha que f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, em que
x = g(t) e y = h(t) são funçõesdiferenciáveis de t. Então f(x,y) = f(g(t), h(t)) é uma função
diferenciável de t e, a Regra da Cadeia, que veremos generalizada posteriormente,
nos garante que
df
dt
= fx
dx
dt
+ fy
dy
dt
,
Regra da Cadeia paraRegra da Cadeia para
Funções de VáriasFunções de Várias
VariáveisVariáveis
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em que 
df
dt representa a derivada de f em relação a t, como usávamos no cálculo
diferencial para funções de uma variável.
Nesta primeira versão, temos que f depende indiretamente de t, uma vez que x e y são
funções de t. Por exemplo, considere f(x,y)=x²y+4xy³, em que x = sen 2t e y = cos t.
Utilizando a regra acima, vamos determinar 
dz
dt quando t = 0. Note que
dx
dt = fx
dx
dt + fy
dy
dt = 2xy + 4y
3 (2 cos 2t) + x2 + 12xy2 (−sen t).
Mas, para t = 0, x = sen 0 = 0 e y = cos 0 = 1. Logo, 
dz
dt = 4 .2 + (0). (-0) =8.
Agora, vamos supor que f(x,y) seja uma função diferenciável de x e y, em que x = g(s,t)
e y = h(s,t) são funções diferenciáveis de s e de t. Portanto,
fs = fx xs + fy ys e
ft = fx xt + fy yt.
Nessa segunda versão, s e t são variáveis independentes; x e y são variáveis
intermediárias e f (x,y) = f(g(s,t), h(s,t)) é a variável dependente. Considere f(x,y) = ex
sen y, onde x = st² e y = s²t, pela Regra da Cadeia,
fs = (e
x sen y)(t²) + (ex cos y)(2st )=t²est
2
 sen (s²t) + 2 st²est
2
cos (s²t) e
ft = . (e
x sen y)(2st) + (ex cos y)s² = 2stest
2
 sen (s²t) + s²est
2
cos (s²t).
Por �m, temos uma versão geral, em que n variáveis intermediárias e m variáveis
independentes. Como veremos, a derivada parcial da função f terá n termos, um para
cada variável intermediária.
Regra da Cadeia: suponha que f seja uma função diferenciável de n variáveis 
x1 , x2 , . . . , xn e cada xj é uma função diferenciável de m variáveis t1, t2, . . . , tm.
Então, f é uma função diferenciável de t1, t2, . . . , tm e
fti = fx1 x
1ti + fx2 x2t i + . . . + fxn x
n
ti
,
( ) ( )
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para cada i = 1, 2, …, m.
Por exemplo, se f(x,y,z) = x³y + yz³, onde x = t.s, y = ts² e z =t²s, pela Regra da cadeia,
temos que:
ft = fx xt + fy yt + fz zt = 3x
2y . s + x3 + z3 s2 + 3yz2 2ts
= 3t3s5 + t3s5 + t6s5 + 6t6 s5 = 4t3s5 + 7t6 s5
.
Com as regras e conceitos aprendidos nesta unidade, estamos aptos para esboçar e
derivar os mais variados tipos de funções de duas variáveis. Esses conceitos nos
auxiliarão em matérias futuras.
( ) [( ) ] ( )
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praticarVamos Praticar
Ao compormos duas funções obtemos uma nova função denominada função composta. As
funções compostas, na maioria das vezes, são mais difíceis de serem diferenciadas, mas,
como vimos nessa seção, temos a Regra da Cadeia para nos auxiliar neste processo.
Observando os conceitos aprendidos nessa seção, assinale a alternativa correta.
a) Sendo f (x,y) = x²y com x = e − te y = 2t + 1, temos que 
df
dt = 4xy t e
t + 2x2.
b) Sendo f (x,y) = x²y com x = e − te y = 2t + 1, temos que 
df
dt = 4e
− 2, se t=1.
c) Se f(u,v)= u.v com u = x² e v = 3x+1, temos que 
dz
dx = 8x
2 + 2x.
d) Se u = x4y + y2z3 em que x = rset, y = rs²e − t e z =r²s sent, 
us = 4x3y + x
4 + 2yz3 + 3y2z2.
e) Se u = x4y + y2z3 em que x = rset, y = rs²e − t e z =r²s sent, us = 100, se r=2, s =1 e t=0.
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indicações
Material
Complementar
L I V R O
Um curso de cálculo: volume II
Hamilton Luiz Guidorizzi
Editora: LTC - GEN
ISBN: 978-85-216-1280-3
Comentário: esse livro traz a teoria do cálculo diferencial de
várias variáveis de forma completa, além de conter vários
exercícios resolvidos. Essa é uma ótima bibliogra�a para
pesquisar suas dúvidas e aprofundar o conhecimento.
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F I L M E
O jogo da imitação
Ano: 2014
Comentário: esse �lme narra a história de como os
conhecimentos em Matemática, lógica e ciência da
computação do cientista Alan Turing contribuíram para as
estratégias usadas pelos Estados Unidos durante a Segunda
Guerra Mundial.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, familiarizamos com as funções de várias variáveis. Essas funções, que
ainda não haviam sido estudadas por nós, são muito importantes, pois elas descrevem
diversas situações cotidianas.
Iniciamos a unidade aprendendo como essas funções se comportam gra�camente. Em
seguida, vimos os conceitos do cálculo diferencial de várias variáveis. Como
percebemos, esses conceitos são extensões do cálculo ordinário já estudado.
Esperamos que você tenha aproveitado essa disciplina ao máximo, resolvendo
exemplos e exercícios e pesquisando suas dúvidas. Lembre-se de que, a dedicação
in�uencia a aprendizagem. Muito sucesso, até a próxima!
referências
Referências
Bibliográ�cas
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo: volume 2. 5. ed. Rio de Janeiro: Grupo GEN,
2010.
STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
03/04/2020 Ead.br
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