5aLista_de__Algebra_Linear

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Universidade Federal do Maranhão-UFMA
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia-CCET
Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia-BICT
Disciplina: Álgebra Linear
5ª Listinha de Álgebra Linear
Questão 1: Verifique se a aplicação T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (z, x+ y) é linear.
Questão 2: Verifique se a aplicação T : R → R2 definida por T (x) = (x, 2) é linear.
Questão 3: Verifique se a aplicação T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x2 + y2, x) é linear.
Questão 4: Seja Mn(R) o espaço das matrizes de orden n e B uma matriz fixa desse espaço vetorial.
Verifique se a aplicação T : Mn(R) → Mn(R) definida por T (X) = BX, ∀X ∈ Mn(R), é linear.
Questão 5: Sabendo que T : R2 → R2 é um operador linear e que
T (1, 2) = (3,−1) e T (0, 1) = (1, 2),
encontre T (x, y).
Questão 6: Verifique se a aplicação T : R3 → R definida por T (x, y, z) = −2x+ 3y + 7z é linear.
Questão 7: Seja P uma matriz inverśıvel de Mn(R). Mostre que T : Mn(R) → Mn(R) definida por
T (X) = P−1XP é um operador linear.
Questão 8: Mostre que T : R2 → C([0, 1]) definido por T (x, y) = xet + ye2t, ,∀(x, y) ∈ R2, é uma
transformação linear. (C([0, 1]) representa o espaço vetorial das funções reais cont́ınuas definidas em
[0, 1]).
Questão 9: Mostre que T : C([0, 1]) → C([0, 1]) definido por T (f(t)) = f(t) cos(t), ∀f(t) ∈ C([0, 1]) é
um operador linear.
Questão 10: Seja V um espaço vetorial sobre R. Dado α ∈ R chama-se homotetia determinada pelo
escalar α a aplicação Hα : V → V definida por Hα(u) = αu,∀u ∈ V . Mostre Hα é um operador linear.
Questão 11: Num espaço vetorial V sober R, dado w ∈ V chama-se translação definida por w a
aplicação Tw : V → V definida por Tw(u) = u+w,∀u ∈ V . Mostre que se w ̸= O⃗, então T não é linear.
Questão 12: Verifique qual das aplicações T : R3 → R3 definidas a seguir são operadores lineares:
(a) T (x, y, z) = (x− y, x+ y, 0).
(b) T (x, y, z) = (2x− y + z, 0, 0).
(c) T (x, y, z) = (x, x, x).
(d) T (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z).
Questão 13: Seja A uma matriz fixa de Mn(R). Mostre que T : Mn(R) → Mn(R) definida por
T (X) = XA−AX,∀X ∈ Mn(R) é um operador linear.