Micro 1 Pos Capitulo 08 Equilibrio Geral Intro (2)

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Capí tulo 8: Equilí brio Geral – 
Introduça o – A caixa de Edgeworth 
 
8.1 Introdução 
Nesse capítulo vamos estudar o equilíbrio geral modelo de pura troca, sem produção, com 2 
consumidores e dois bens. Nesse caso podemos fazer a análise do equilíbrio geral graficamente no aparato 
chamado caixa de Edgeworth. Embora seja simples, muitas lições importantes são obtidas nesse aparato, 
facilitando o entendimento dessas propriedades quando apresentadas no modelo geral. 
8.2 Economia de pura troca na caixa de Edgeworth 
Uma economia de pura troca é uma economia sem produção onde os agentes são possuidores de 
dotações iniciais e trocam os bens para obter uma cesta de consumo que maximize sua preferência. O modelo 
mais simples de pura troca é o caso com 2 bens e dois consumidores. Nesse caso podemos utilizar o aparato 
de análise econômica chamado de caixa de Edgeworth. Embora sejam apenas dois consumidores, suporemos 
que sejam tomadores de preços. Os consumidores serão identificados por ℎ = 1,2 e os dois bens por 𝑙 = 1,2. 
A cesta de consumo do consumidor ℎ é 𝒙ℎ = (𝑥1ℎ , 𝑥2ℎ). O conjunto de consumo do consumidor ℎ é o ℝ+
2 e 
ele tem preferência ≽ℎ racional sobre o conjunto de consumo. A dotação inicial do consumidor ℎ é 
𝝎ℎ = (𝜔1ℎ , 𝜔2ℎ). A dotação total da economia do bem 𝑙 é 𝜔𝑙 = 𝜔𝑙1 + 𝜔𝑙2. Supomos que a dotação da 
economia de cada bem é estritamente positiva. 
Uma alocação nessa economia é um vetor 𝒙 em ℝ+
4 que designa uma quantidade não negativa de 
consumo de cada bem por cada consumidor, isto é, 𝒙 = (𝒙1, 𝒙2) = ((𝑥11, 𝑥21), (𝑥12, 𝑥22)). Uma alocação é 
factível se 
 𝑥𝑙1 + 𝑥𝑙2 ≤ 𝜔𝑙 , 𝑙 = 1,2, (8.1) 
Isto é, o consumo total de cada bem não ultrapassa a dotação da economia dele. Uma alocação onde a 
condição (8.1) é satisfeita com igualdade é chamada de alocação sem desperdício. As alocações sem 
desperdício podem ser representadas na caixa de Edgeworth, descrita na figura a seguir: 
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Na caixa de Edgeworth o consumidor 1 é representado na maneira usual, com a origem no ponto 𝑂1 O 
consumidor 2 é representado de maneira espelhada ao consumidor 1, com sua origem no ponto 𝑂2. Para 
ambos, o eixo horizontal representa quantidades do bem 1 e o tamanho do eixo vertical quantidades do bem 
2. O tamanho do eixo horizontal, 𝜛1, é a dotação total do bem 1 e o tamanho do eixo vertical, 𝜛2, é a dotação 
total do bem 2. Um ponto na caixa de Edgeworth representa uma alocação factível sem desperdício. Um 
exemplo de alocação factível sem desperdício é a dotação inicial 𝝎 = ((𝜔11, 𝜔21), (𝜔12, 𝜔22)), que está 
representada na figura acima. Também está representada uma alocação factível sem desperdício 
𝑥 = ((𝑥11, 𝑥21), (𝑥12, 𝑥22)). Ela ser alocação sem desperdício significa que 
(𝑥12, 𝑥22) = (𝜔1 − 𝑥11, 𝜔2 − 𝑥21). 
Na análise de equilíbrio geral a riqueza do indivíduo é endógena: para cada vetor de preços (𝑝1, 𝑝2), 
a riqueza do consumidor ℎ é 𝒑 ∙ 𝝎ℎ = 𝑝1𝜔1ℎ + 𝑝2𝜔2ℎ. Então, dada a dotação inicial do consumidor ℎ, a 
restrição orçamentária é função apenas dos preços 
𝐵ℎ = {𝒙ℎ ∈ ℝ+
2 ∶ 𝒑 ∙ 𝒙ℎ ≤ 𝒑 ∙ 𝝎ℎ}. 
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As restrições orçamentárias dos dois consumidores podem ser representadas na caixa de Edgeworth. 
Ao traçarmos a reta orçamentária de um consumidor traçamos também a reta orçamentária do outro 
consumidor, só mudando a interpretação do conjunto orçamentário: do consumidor 1 é o conjunto formado 
pelos pontos entre os eixos e a reta orçamentária até ela encontrar os eixos (incluindo a reta orçamentária e 
os segmentos de reta dos eixos delimitados pela origem 𝑂1 e o ponto de interseção do eixo com a reta 
orçamentária. Do consumidor 2 a mesma interpretação, mas partindo da origem 𝑂2. Observe que apenas os 
pontos na reta orçamentária dentro da caixa de Edgeworth representam alocações factíveis para ambos os 
consumidores simultaneamente aos preços (𝑝1, 𝑝2) em que os consumidores gastam toda sua riqueza. Por 
não saciedade local sabemos que este será sempre o caso, portanto não precisamos nos preocupar com as 
outras alocações factíveis em que algum consumidor não gasta toda sua riqueza. 
Podemos também representar as preferências ≽ℎ do consumidor ℎ na caixa de Edgeworth, que 
suporemos sejam contínuas, estritamente monótonas e estritamente convexas, a menos que digamos que 
não num contexto determinado. A relação de preferência do consumidor 1 pode então ser representada por 
curvas de indiferença que representam mais satisfação quanto mais distante da origem 𝑂1 estiver. O mesmo 
com relação ao consumidor 2, só mudando a origem para 𝑂2. 
 
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Podemos representar também na caixa de Edgeworth a cesta de consumo dos consumidores. Dado o 
vetor de preços (𝑝1, 𝑝2) a cesta de consumo será a que maximiza sua preferência conforme a figura a seguir, 
gerando a função demanda 𝒙1(𝒑, 𝒑. 𝝎1). 
 
Na medida que os preços mudam, a reta orçamentária gira com pivô na dotação inicial. A demanda a 
cada preço traça a curva preço-consumo 𝑂𝐶1 do consumidor 1. Essa curva sempre passa na dotação inicial 
pois existe um vetor de preços que tem a mesma inclinação que a curva de indiferença do consumidor 1 que 
passa na dotação inicial. Porque o consumidor sempre pode consumidor sua dotação inicial, a curva preço 
consumo fica no conjunto de contorno superior da dotação inicial. 
 
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Para qualquer vetor de preços podemos traçar as demandas dos dois consumidores a esse vetor de 
preços, conforme a figura a seguir: 
 
A esses preços haverá excesso de demanda pelo bem 1 porque a demanda líquida do consumidor 1 
pelo bem 2 é maior que a oferta líquida do bem 2 pelo consumidor 2. A esses preços haverá excesso de oferta 
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do bem 1, pois a oferta líquida do bem 1 pelo consumidor 1 é maior que a demanda líquida do consumidor 2 
pelo bem 1. 
Definição 8.1: Um equilíbrio Walrasiano (ou competitivo) na caixa de Edgeworth é um vetor de preços 𝒑∗ e 
uma alocação 𝒙∗ = (𝒙1
∗ , 𝒙2
∗ ) tal que, para todo ℎ = 1,2 
𝒙ℎ
∗ ≽ℎ 𝒙ℎ
′ ∀ 𝒙ℎ
′ ∈ 𝐵ℎ(𝒑
∗) 
 𝑒 
 𝒙1
∗ + 𝒙2
∗ = 𝝎1 + 𝝎2. 
Na figura a seguir mostramos o equilíbrio Walrasiano. Na alocação de equilíbrio 𝒙∗ = (𝒙1
∗ , 𝒙2
∗ ) a 
demanda líquida do bem 1 pelo consumidor 2 é exatamente igual à oferta líquida do bem 1 pelo consumidor 
1. E com relação ao bem 2, o consumidor 2, que tinha demanda líquida do bem 1, tem demanda líquida do 
bem 2 e o consumidor 1, que tem oferta líquida do bem 1, tem demanda líquida do bem 2. 
 
Observe que no equilíbrio as curvas preço-consumo se interceptam. Todo equilíbrio interior é 
caracterizado pelos pontos em que as curvas de preço-consumo se interceptam. Na figura a seguir mostramos 
um equilíbrio de canto, onde não necessariamente as curvas de indiferença dos dois consumidores têm a 
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mesma inclinação (mesma taxa marginal de substituição), mas sempre as demandas e ofertas são compatíveis 
com a dotação inicial da economia. 
 
Observe também que se 𝒑∗ = (𝑝1
∗, 𝑝2
∗) é equilíbrio, também 𝛼𝒑∗ = (𝛼𝑝1
∗, 𝛼𝑝2
∗) é equilíbrio. Portanto, 
o equilíbrio Walrasiano determina apenas os preços relativos. 
A caixa de Edgeworth, embora seja um aparato simples, é capaz de gerar quase todos os insights de 
teoria do equilíbrio geral. Ilustra a não existência, a existência e número de equilíbrios. A seguir mostramos 
que o número de equilíbrios é impar em geral. 
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A nãoexistência é ilustrada em duas situações. A primeira é um caso em que o consumidor 2 possui 
toda a dotação inicial da economia do bem 1 e o consumidor 1 possui toda a dotação inicial da economia do 
bem 2. O consumidor 1 tem curva de indiferença com inclinação infinita ao tocar na quantidade zero do bem 
1, o seja, se o preço relativo do bem 1 for menor que finito ele desejará comprar alguma quantidade do bem 
1. Já o consumidor 2 só se interessa pelo bem 1, ou seja, não existe preço finito do bem 1 que faria ele querer 
vender o bem 1. 
 
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A outra situação é quando a preferência do consumidor 1 não é convexa. Nesse caso a curva de 
indiferença do consumidor 1 não é convexa, gerando curva preço-consumo descontínua que pode não cruzar 
a curva preço-consumo do consumidor 2. 
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8.2.1 Propriedades de bem-estar do equilíbrio Walrasiano 
Definição 8.2: Uma alocação 𝒙 na caixa de Edgeworth é Pareto ótima (ou Pareto eficiente) se não existe outra 
alocação 𝒙′ na caixa de Edgeworth com 𝒙ℎ
′ ≽ℎ 𝒙ℎ , ∀ℎ = 1,2 e 𝒙ℎ
′ ≻ℎ 𝒙ℎ para algum ℎ. 
A figura a seguir ilustra uma alocação 𝒙 que não é Pareto ótima. Qualquer alocação que fique no 
interior da área tracejada, que é a interseção entre os conjuntos {𝒙1
′ ∈ ℝ+
2 ∶ 𝒙1
′ ≽1 𝒙1} e 
{𝒙2
′ ∈ ℝ+
2 ∶ 𝒙2
′ ≽2 𝒙2} na caixa de Edgeworth, é uma alocação factível que faz ambos os consumidores 
melhores que na alocação 𝒙. 
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Na figura a seguir mostramos que a alocação 𝒙 é Pareto ótima porque a interseção entre os conjuntos 
{𝒙1
′ ∈ ℝ+
2 ∶ 𝒙1
′ ≽1 𝒙1} e {𝒙2
′ ∈ ℝ+
2 ∶ 𝒙2
′ ≽2 𝒙2} é formada por um único ponto, o ponto 𝒙. Se um ponto 
Pareto ótimo está no interior da caixa de Edgeworth as curvas de indiferença dos dois consumidores são 
tangentes nesse ponto. 
 
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Mas se o ponto está na fronteira da caixa de Edgeworth as curvas de indiferença podem não ser 
tangentes. 
 
O conjunto de pontos Pareto ótimos é chamado de conjunto de Pareto. A figura a seguir mostra o 
conjunto de Pareto e a curva de contrato que é o subconjunto dos pontos Pareto ótimos em que nenhum 
consumidor está pior do que em sua dotação inicial. Este termo vem da ideia de que se os consumidores forem 
negociar trocas entre si, eles poderiam terminar num desses pontos. Eles formam o conjunto de pontos em 
que os consumidores poderiam terminar numa negociação e uma vez atingido um deles nenhuma outra 
alocação poderia ser interessante para ambos. 
Um resultado simples é que qualquer equilíbrio Walrasiano é Pareto ótimo. Isto é porque qualquer 
vetor de preços que seja equilíbrio na caixa de Edgeworth separa os dois conjuntos de pontos “pelo menos 
tão bons quanto” dos consumidores associados com a alocação de equilíbrio. O único ponto na interseção dos 
dois conjuntos é a alocação do equilíbrio Walrasiano. Esta conclusão é o primeiro teorema fundamental da 
teoria do bem-estar econômico. Como no equilíbrio Walrasiano cada consumidor não fica pior que 
consumidor sua dotação inicial, o equilíbrio Walrasiano fica na curva de contrato. 
O primeiro teorema fundamental da teoria do bem-estar econômico explicita a “mão invisível” de 
Adam Smith. Como o equilíbrio é Pareto ótimo, a única justificativa para intervenção do Estado na economia 
é por motivos distributivos. 
O segundo teorema fundamental da teoria do bem-estar econômico diz o complemento do primeiro 
teorema: grosso modo, sob hipóteses de convexidade, um planejador central pode atingir qualquer alocação 
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Pareto ótima fazendo uma redistribuição da riqueza numa forma lump-sum e “deixando o mercado fazer o 
resto”. Portanto, o segundo teorema diz que para atingir objetivos de justiça social não se precisa abandonar 
a economia de mercado. 
Definição 8.3: Uma alocação 𝒙∗ na caixa de Edgeworth é suportada como um equilíbrio com transferências se 
existe um sistema de preços 𝒑∗ e transferências de riquezas 𝑇1 e 𝑇2 satisfazendo 𝑇1 + 𝑇2 = 0, tal que 
para cada consumidor ℎ nós tivermos 
𝒙ℎ
∗ ≽ℎ 𝒙ℎ
′ , ∀ 𝒙ℎ
′ ∈ ℝ+
2 tal que 𝒑∗ ∙ 𝒙ℎ
′ ≤ 𝒑∗ ∙ 𝝎ℎ
′ + 𝑇ℎ. 
Com essa definição podemos apresentar de maneira mais formal o segundo teorema fundamental da 
teoria do bem-estar: se a preferências dos consumidores são contínuas, estritamente convexas e estritamente 
monótonas, então qualquer alocação Pareto ótima pode ser atingida como equilíbrio com transferências. Se 
o Ponto 𝒙∗ é Pareto ótimo então sabemos que as curvas de indiferença dos dois consumidores são tangentes 
nesse ponto e o ponto 𝒙∗ é a única interseção entre os dois conjuntos de contorno superior. Então existe um 
vetor de preços associados à reta tangente aos dois conjuntos que passa no ponto 𝒙∗. Então o planejador 
central pode deslocar a riqueza dos indivíduos da dotação inicial a esses preços para uma distribuição de 
riqueza para cada consumidor que caia num ponto na reta tangente aos dois conjuntos que passa no ponto 
𝒙∗. 
 
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Observe que essa transferência de riqueza pode ser realizada via transferência das dotações iniciais 
diretamente. 
 
 
	8.1 Introdução
	8.2 Economia de pura troca na caixa de Edgeworth
	8.2.1 Propriedades de bem-estar do equilíbrio Walrasiano