História da Matemática e da Física

Prévia do material em texto

SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 2 
UNIDADE 1 - ASPECTOS INTRODUTÓRIOS E CONTEXTO HISTÓRICO .............. 3 
1.1 Fundamentos da Aritmética – o marco inicial ..................................................... 8 
1.2 Sistemas de numeração ................................................................................... 11 
1.2.1 O sistema de numeração dos egípcios ............................................................. 13 
1.2.2 O sistema de numeração babilônico ................................................................. 14 
1.2.3 O sistema de numeração grego ........................................................................ 16 
1.2.4 O sistema de numeração romano ..................................................................... 19 
UNIDADE 2 – O SURGIMENTO DA TEORIA DOS NÚMEROS .............................. 21 
2.1 A Escola pitagórica ........................................................................................... 22 
2.2 A Aritmética pitagórica ...................................................................................... 23 
2.3 Os números geométricos (ou números figurados) ............................................ 25 
2.4 Os ternos pitagóricos ........................................................................................ 28 
UNIDADE 3 – REFLETINDO SOBRE A CONDUÇÃO DA METODOLOGIA DA 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA .................................................................................. 31 
UNIDADE 4 - REFLETINDO SOBRE A CONDUÇÃO DA METODOLOGIA DA 
HISTÓRIA DA FÍSICA .............................................................................................. 37 
UNIDADE 5 - A TRAJETÓRIA DE CONSTRUÇÃO DA HISTÓRIA DA 
MATEMÁTICA E DA FÍSICA .................................................................................... 42 
5.1 O que é Educação Matemática e a Educação relacionada à Física? ............... 44 
5.2 O professor enquanto educador matemático .................................................... 46 
UNIDADE 6 – O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA: DA TEORIA À 
PRÁTICA .................................................................................................................. 51 
UNIDADE 7 – CONSTRUINDO O CONHECIMENTO .............................................. 59 
7.1 Aprender é construir conhecimento .................................................................. 59 
7.2 Aprendizagem significativa: o que se pretende? ............................................... 60 
7.3 Construção do conhecimento: processo de elaboração pessoal ...................... 61 
7.4 Conhecer a matéria a ser ensinada .................................................................. 62 
7.5 Conhecer a realidade do aluno ......................................................................... 62 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 64 
 
2 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
INTRODUÇÃO 
 
Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos 
maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a 
navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da 
humanidade. 
(Amoroso Costa) 
 
Vejamos com maiores detalhes a história da Matemática e da Física, 
especificamente falando, com a descrição de ideias, formulação de metodologias e 
métodos utilizados principalmente nas áreas das Ciências Exatas. 
Em verdade, temos como intuito a discussão e evolução científica nas áreas 
consideradas exatas, reconhecendo que o processo de construção da Física se 
baseia na estrutura organizativa do conhecimento físico, e que este pode ser 
mutável e inesperado. Logicamente, é um grande prazer compartilhar com vocês as 
ideias relacionadas à história da Matemática e Física e a formação necessária para 
a condução docente em sala de aula, pois estudar a evolução do pensamento, das 
leis aliadas às práticas do campo da educação/formação das áreas científicas 
significa compreender e analisar um campo mais instigante das conquistas do 
homem, ou seja, aprofundaremos o desenvolvimento de alguns conceitos e teorias. 
Nesse sentido, a disciplina que apresentamos nesse contexto de formação 
possui como proposta a inserção de discussões sobre uma sequência de 
procedimentos, podemos dizer didáticos, que dará sustentabilidade para a formação 
docente concernente ao processo de compreensão sobre o desenvolvimento da 
História da Matemática e Física, com aporte de revisão das principais passagens 
evolucionárias destas áreas de conhecimento. 
Pois bem, as palavras acima são nossa justificativa para o módulo em estudo. 
3 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
UNIDADE 1 - ASPECTOS INTRODUTÓRIOS E CONTEXTO 
HISTÓRICO 
 
Atualmente, a Matemática desempenha um papel importantíssimo nas mais 
diversas áreas do conhecimento, como por exemplo, na área da Física, 
Engenharias, Economia, Psicologia, Publicidade, dentre outras. Em verdade, nos 
dias atuais, a Matemática pode ser vista ou dividida em diversas subáreas, que 
descrevemos abaixo: 
• Topologia ou Geometria; 
• Análise; 
• Teoria dos Números; 
• Álgebra; 
• Matemática Aplicada. 
 
Figura 1: Uma subdivisão da Matemática. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Os docentes da área de Matemática vivenciam em vários momentos a 
experiência de serem questionados por seus alunos sobre a importância da 
Matemática e sua utilidade, principalmente no dia a dia ou na respectiva área de 
atuação. Além disso, os docentes da área de Física percebem também as mesmas 
questões ou indagações. Geralmente, os alunos costumam fazer indagações, tais 
como: 
4 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
• Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos 
estudando? 
• Professor qual a necessidade real de aprender tais fórmulas, regras 
e/ou expressões complicadas? 
• Professor, na Física temos muitas fórmulas e interpretações. Para que 
tudo isso? 
• Professor, qual a necessidade de realmente estar familiarizado com 
todos estes métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias? 
• Professor eu realmente tenho que saber isso? 
• Professor, nós podemos utilizar a Matemática para resolvermos 
problemas empresariais, ou seja, problemas de gestão? 
• Professor, para saber Física eu necessito dominar as definições e 
métodos da Matemática? 
• Por que a gente tem de aprender todas essas coisas sobre Funções, 
Triângulos, Matrizes, Probabilidade, Limites, Física Quântica, Derivadas, Sistemas 
de Amortização, Lei de Newton, Eletromagnetismo, Séries Numéricas, 
Transformadas de Laplace, Mecânica Clássica, Equações Diferenciais, entre outras? 
 
Afinal, de que vai me adiantar tudo isso na vida? Na verdade, perguntas 
desse tipo nem sempre têm respostas diretas, fáceis ou breves. Então, como 
podemos justificar tais indagações? As razões mais frequentemente mencionadaspara justificarmos o ensino da Matemática são as seguintes: 
• a Matemática e a Física são necessárias em atividades práticas que 
envolvem aspectos quantitativos da realidade; 
• a Matemática é importante porque desenvolve o raciocínio lógico, bem 
como a Física; 
• a Matemática é importante porque está presente diretamente e 
indiretamente na vida das pessoas no corre-corre do dia a dia e, diretamente ou 
indiretamente, na vida cotidiana das empresas de forma geral; 
• a Física não caminha sem a Matemática, ou seja, a Matemática é o 
alicerce para a compreensão dos fenômenos físicos; 
5 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
• a Matemática é importante na área da gestão, pois permite que o 
gestor tome decisão de forma confiável, isto é, conclusões tiradas sobre dados. 
 
Sabemos que a Matemática é produto da cultura humana e faz parte do 
nosso cotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de forma a ser aprendida por todos. É 
uma ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. Ela atualmente 
está presente em todas as áreas do conhecimento, participando de forma 
significativa para o desenvolvimento de novas teorias, resolvendo diversas 
situações. Dessa maneira, neste módulo, ao invés de atuar como um transmissor de 
regras e modelos do fazer simplesmente, sendo assim, tentaremos ser um 
organizador de aprendizagens, um consultor que oferece as informações e um 
estimulador da aprendizagem. 
Dessa maneira, por exemplo, uma das áreas que mais se aplicam em 
diversas outras áreas do conhecimento é o Cálculo Diferencial e Integral. 
Naturalmente, por que você, um cientista (Matemático, Físico, Químico, Biólogo, 
Economista, Administrador, entre outros) ou Engenheiro (Produção, Civil, Mecânica, 
Elétrico, Aeronáutico, entre outros), dentre outros, necessita estudar este assunto. 
Ou seja, o Cálculo Diferencial e Integral é o suporte matemático para muitas áreas 
da Ciência, como a Física, da Engenharia e, atualmente, de problemas diversos de 
gestão, especificamente falando, suas técnicas são utilizadas numa diversidade 
grande de problemas envolvendo tais áreas. Por isso, examinamos, ainda que 
brevemente, como o Cálculo Diferencial e Integral surge a partir da tentativa de 
formularmos, ou descrevermos, certos sistemas físicos em termos matemáticos. 
Além disso, com relação à gestão (mundo atual), o cenário cada vez mais 
competitivo que permeia o ambiente onde se inserem as organizações acaba por 
exigir pessoas mais flexíveis, com visão multidisciplinar e, atentas para estar no 
comando. De forma não rara, o desafio que se coloca é: como desenvolver 
competências e habilidades para um “pensar” matematicamente para a tomada de 
decisões em tempos de mudanças? 
Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas em relação à 
Matemática e a Física, tentaremos passar nessa disciplina o desenvolvimento da 
Matemática ao longo dos tempos, através de um aparato bem simples e informativo. 
6 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Contudo, devemos salientar, que tal subdivisão às vezes não é de total 
concordância. Além disso, cada subárea desta trabalha de forma específica 
(assuntos específicos), utilizando diretamente e indiretamente as teorias abordadas 
pelas outras subáreas. Inicialmente, salientamos que em aulas de Matemática, é 
muito comum o aluno perguntar: 
“Como inventaram isso?” 
ou 
“De onde surgiu isso?”. 
Conhecer a história da disciplina que está sendo estudada é útil e responde 
aos questionamentos, muitas vezes agressivos, sobre determinados assuntos. 
Conhecer como as coisas aconteceram, as curiosidades dos fatos ou as 
descobertas desses fatos é importante, mas não suficiente; é necessário conhecer a 
origem, o desenvolvimento e a significação do conhecimento. 
Segundo Boyer (1974), 
 
Que os começos da Matemática são mais antigos que as mais antigas 
civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente uma origem 
determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir conjectura com 
história. 
 
De forma resumida, apresentamos no Quadro 1, abaixo, a evolução humana 
através de uma linha do tempo. 
 
Quadro 1: A evolução humana ao longo do tempo. 
 
PRÉ-HISTÓRIA HISTÓRIA 
Paleolítico Neolítico Período Histórico 
Nomadismo: não 
havia produção, as 
necessidades eram 
supridas por coletas. 
Sedentarismo: 
havia produção, 
porém não o 
suficiente, por isso 
ainda coletavam. 
Cidades: havia 
excedente de produção, 
que fez aparecerem as 
classes sociais. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
7 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Vamos nos reportar a NETO1 (1998) para fazermos uma incursão na História 
e ver a evolução da Matemática como um fato social. Segundo ele, a Matemática foi 
criada e vem sendo desenvolvida pelo homem em função de necessidades sociais. 
Durante muito tempo, o homem viveu da caça e da coleta, competindo com os 
outros animais, utilizando paus, pedras e, posteriormente, o fogo. Era predador-
nômade, vivendo na dependência do que pudesse retirar da natureza. Para isso, ele 
necessitava apenas das noções de mais-menos, maior-menor e de algumas formas 
e Simetria para suas ferramentas. Essa era a Matemática de que necessitava. 
Com o passar dos tempos, o homem sentiu a necessidade de produzir 
instrumentos mais engenhosos para a caça e coleta: armadilhas, redes, cestos, 
arcos e flechas. Começaram também as pinturas e esculturas naturalistas. Surgem a 
Pictografia, os desenhos nas cavernas. Com o uso de instrumentos mais 
elaborados, já necessitava de alguns números e figuras. Para fazer um cesto 
trançado, por exemplo, é necessária a contagem até quatro ou cinco e noções 
intuitivas de paralelismo e perpendicularismo. Já inventaram o um, o dois, o três e o 
quatro. Mais que isso, dizem, muitos. 
Esquemas de ação, para construir escoras, travessas, cunhas e dar 
inclinações, vão sendo coordenados, incorporando abstrações até, mais tarde, 
sintetizarem-se no conceito de triângulo, cuja representação gráfica é feita 
simplesmente com três pontos não-colineares, ligados por segmentos de reta. 
O homem, com seus instrumentos e armadilhas, era eficiente na sua 
sobrevivência. Com o aumento da população, o sistema de coleta passou a mostrar 
suas limitações, foi entrando em colapso porque a natureza não gerava o suficiente. 
E o homem começou a cultivar plantas e domesticar animais, construindo sua 
independência em relação à natureza. O homem começou a produzir. Com isso, 
alterou sua natureza, transformando-se em produtor. 
É a revolução do Neolítico. O complexo início da agricultura e da pecuária que 
irá dar origem a um novo homem. 
 
 
1 NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. São Paulo: Ática, 1998. 
 
8 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicosou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Importante: essa era a matemática do Paleolítico Superior – esquemas de ação 
para quantificar conjuntos, fazer medidas, fazer objetos retos, paralelos, 
perpendiculares, redondos e simétricos, fazer escoras e as primeiras 
representações simbólicas desenhadas. 
 
1.1 Fundamentos da Aritmética – o marco inicial 
Em alguma parte da história humana, a Aritmética tem início com o homem 
começando a contar e, consequentemente, a associar números (mesmo que de 
forma implícita) a coleções de seres e objetos que o rodeavam. Mas quando, onde e 
mesmo de que maneira, são indagações para cuja resposta não há como fugir a 
hipóteses e conjecturas. 
Em verdade, é difícil pensar que alguma de nossas civilizações passadas, 
mesmo a mais primitiva, não tivesse em sua cultura, por mais limitada que fosse 
culturalmente, uma ideia simples e vaga sobre o conceito de número. Diferenciar um 
de dois, por exemplo, é algo que mesmo culturas mais atrasadas, com certeza 
conseguiram atingir. Essa impressão, aliás, é confirmada pela Antropologia, através 
do estudo de culturas primitivas que remanesceram até a nossa época. Como 
algumas tribos aborígines da Austrália, capazes apenas de contar de um até dois, 
quantificando qualquer coleção com mais de um par de elementos simplesmente por 
“muitos”. 
Dessa forma, é que nossos antepassados, talvez há uns 30.000 anos, 
começaram a se preocupar com o registro quantitativo de entes e coisas ligados à 
sua vida tribal: os familiares, cabeças de gado, dias que se passaram desde um 
certo evento, entre outros. E de que procedimento lançaram mão para levar a efeito 
esse registro? É bastante provável que isso foi feito através da ideia de 
correspondência biunívoca, isto é, a cada elemento do conjunto a ser quantificado, 
associava-se uma marca ou algum elemento de outro conjunto (mais próximo dele e 
de fácil manipulação), o qual passava então a servir de referência. 
Por exemplo, os dedos das mãos e, se necessário, os dos pés, poderiam ser 
usados sem dificuldades para indicação de quantos membros tinha uma família. Um 
outro caso interessante é, se tratasse de um clã ou rebanho, naturalmente a coleção 
de dedos poderia ser insuficiente, sendo assim, para conferir um rebanho, nas suas 
9 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
idas e vindas do pastoreio, um expediente bastante provável consistiria em formar 
um monte de pedrinhas, uma para cada cabeça de gado que saía de manhã, e no 
final do dia no seu egresso, uma pedrinha seria retirada do monte para cada animal 
que voltasse. Porém, é natural pensarmos que um monte de pedrinhas está muito 
distante para um registro quantitativo. 
Em 1937, Karl Absolom encontrou na antiga Tchecoslováquia (atual 
República Tcheca) uma tíbia de lobo de aproximadamente 7 polegadas de 
comprimento, datando de cerca de 30.000 anos, na qual estão gravados 55 cortes 
transversais, em grupos de cinco, sendo que os vinte e cinco primeiros se acham 
separados dos demais por um par de cortes maiores. 
É evidente que não seria improcedente conjecturar que cada um dos cortes 
correspondente a algum objeto ou ser de um conjunto, familiar ao homem pré-
histórico que os fez, visando a ter dele uma avaliação quantitativa. A cada elemento 
da coleção (de peles, parentes ou cabeças de gado, por exemplo) era feito um único 
corte sobre o osso. Essa é outra forma do uso da ideia de correspondência 
biunívoca. 
E como poderia se explicar a divisão dos cortes em grupos de 5 e, depois, 
uma divisão maior a fim de formar de 5 grupos de 5 cortes um grupo maior? É 
razoável supormos que por trás desse fato esteja também o embrião de outra das 
ideias fundamentais da Matemática, ou seja, a de base de um sistema de 
numeração – no caso a base 5. 
Dessa maneira, cada cinco unidades simples formavam uma unidade de 
ordem imediatamente superior e cinco dessas últimas formavam uma unidade da 
ordem seguinte. Se essa era a ideia usada, sem dúvida estaríamos diante de um 
exemplo de emprego de base 5. Porém, é claro que apenas esse achado 
arqueológico, apesar de sua importância, não permite nenhuma conclusão de forma 
definitiva. 
A evolução do conceito de contagem e de número, a partir dessa fase, foi 
muito lenta e em etapas difíceis de determinar. Por exemplo, o que teria vindo 
primeiro: o uso de símbolos gráficos ou o uso de arranjos de sons para designar um 
número? A hipótese mais plausível, até mesmo pelas dificuldades subjacentes a 
cada um desses avanços, é a de que primeiro teriam surgido os símbolos. De 
10 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
qualquer forma, pode ter ocorrido a princípio que um mesmo símbolo ou o mesmo 
arranjo de sons designasse indistintamente, por exemplo, “dez carneiros” e “dez 
cabras”. Somente depois de um bom tempo, talvez, é que foram surgindo símbolos 
ou arranjos de sons distintos para cada uma dessas situações. 
Em todo o caso, o apogeu desse processo, diga-se de passagem, bastante 
recente na história humana, é a dos números como abstrações, em que os símbolos 
e arranjos de sons usados para indicá-los passam a ter um significado que 
independe de qualquer possível associação com particulares coleções de objetos ou 
seres. Nos dias de hoje, por exemplo, a simples enunciação de “dez” já desperta em 
quem a ouve ou lê uma ideia quantitativa muito clara que não depende de qualquer 
outra referência. 
As primeiras culturas a utilizar símbolos especiais para designar números 
localizaram-se junto aos vales do rio Nilo, Tigre, Indo e Yangtse Kiang (China) e 
remontam à cerca de 6.000 anos. 
Se dois conjuntos finitos e não vazios podem ser colocados em 
correspondência biunívoca, ou seja, se a cada elemento do primeiro é possível 
associar, de alguma forma, um único elemento do segundo, e vice-versa, então 
existe entre esses conjuntos, sob o aspecto quantitativo, algo em comum. Sendo 
assim: dizemos que ambos possuem o mesmo número de elementos ou a 
mesma cardinalidade. Os símbolos usados para indicar os números são 
denominados numerais. 
Com o desenvolvimento natural de uma sociedade, vai-se tornando 
necessária a contagem de conjuntos cada vez mais numerosos, efetuar cálculos, o 
que ficaria muito difícil em uma sistematização do processo de contagem e, 
paralelamente, do procedimento para escrever os números. O expediente de que o 
homem fez uso nesse sentido, desde tempos imemoriais, foi, como já falamos 
anteriormente, a escolha de uma base para formar grupos de elementos. 
Em símbolos, podemos explicar a ideia de base como segue: um dado 
número natural b > 1 é escolhido como base significando que um agrupamento de b 
unidades simples (de primeira ordem) forma uma unidade de segunda ordem, um 
agrupamento de b unidades de segunda ordem forma uma unidade de terceira 
ordem, e assim por diante (no nosso sistema, por exemplo, dez unidades formam 
11 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperaçãode dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
uma dezena, dez dezenas uma centena, dez centenas uma milhar, entre outros); 
são atribuídos nomes e símbolos especiais para 1, 2, 3, ..., b (ou 0, 1, 2, ..., b – 1, se 
o zero é conhecido) e, às vezes, para b 2 , b 3 , ...; os nomes e símbolos para os 
demais números são construídos a partir daqueles já introduzidos, mediante regras 
convenientes. 
Você poderia indagar, por que esta ou aquela base? Certamente, isto 
depende, de algum modo, do conjunto tomado como referência em relação ao qual 
todos os demais são avaliados. A propósito dos sistemas de base 10 (como o que 
usamos, por exemplo) Aristóteles observou que essa escolha decorre do acidente 
anatômico de termos de dez dedos nas mãos. É curioso notar que o vocábulo dígito, 
hoje usado para indicar qualquer dos algarismos de 0 a 9, é originário do termo 
latino dígitos, que significa dedo. 
 
1.2 Sistemas de numeração 
Vejamos agora alguns sistemas de numeração que encontrávamos na 
antiguidade. Antes de descrevermos nas entrelinhas alguns sistemas de numeração 
de povos antigos, vamos examinar as Figuras abaixo que nos mostram os registros 
e símbolos de alguns povos antigos, donde podemos viajar no tempo com a história 
dos números, imaginando cada uma das épocas, como os povos viviam, o que 
faziam, quais eram suas necessidades e por que precisaram registrar com símbolos 
as quantidades. 
 
12 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 2: Registros e símbolos de civilizações antigas. 
Fonte: Dante, TUDO É MATEMÁTICA. Editora Ática. 
13 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 3: Registros e símbolos de civilizações antigas. 
Fonte: Dante, TUDO É MATEMÁTICA. Editora Ática. 
 
1.2.1 O sistema de numeração dos egípcios 
Os egípcios desenvolveram um sistema de numeração hieroglífico de base 
10 há cerca de 5.000 anos. Esse sistema usava símbolos diferentes para os 
números 1, 10, 10 2 , 10 3 , ... 
14 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 4: Símbolos utilizados no sistema de numeração egípcio. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
A escrita de um número se baseava no princípio da adição dos valores dos 
símbolos (princípio aditivo). Por exemplo: 
 
 
 
Figura 5: Exemplo do princípio aditivo no sistema egípcio de numeração. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
1.2.2 O sistema de numeração babilônico 
Ao nos referirmos à Matemática Babilônica, queremos dizer ao tipo de 
Matemática cultivada na antiga Mesopotâmia, a região entre os rios Eufrates e 
Tigres, ou, grosseiramente, o que é hoje o Iraque. Estamos, portanto, usando o 
termo “babilônio” em um sentido mais amplo do que o costumeiro nos relatos da 
História Política do Oriente Próximo, nos quais este termo se refere ao estado em 
torno da cidade da Babilônia. 
Mais ou menos na mesma época que os egípcios desenvolveram seu sistema 
de numeração hieroglífico, surgia na Mesopotâmia um sistema com a mesma 
estrutura que o nosso atual – porém de base 60. Tal como o que usamos 
atualmente, esse sistema era posicional, ou seja, o valor dos símbolos usados 
dependia de sua posição na escrita do número. Vejamos o significado dessa ideia, 
logo a seguir. 
15 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Mas por que base 60? Não existe uma resposta taxativa e conclusiva a essa 
pergunta, porém, provavelmente, essa escolha foi consequência do fato de 60 
unidades admitirem várias subdivisões: em metades, terços, quartos, quintos, 
sextos, décimos, doze avos, vigésimos e trigésimos. Isso era muito relevante numa 
região onde a Matemática estava fortemente ligada a atividades comerciais. 
Contudo, o sistema de numeração babilônico (como costuma ser chamado) 
era incompleto na medida em que usava dois símbolos apenas: 
 
 e 
 
Assim, até o número 59 era um sistema aditivo. Por exemplo: 
 
 
 
Daí em diante, entrava a ideia de base 60 e o princípio posicional. Por 
exemplo: 
 
 
 
Ou seja, o símbolo , por ocupar a primeira posição (da direita para a 
esquerda), valia efetivamente 3; o , por ocupar a segunda posição, valia 1. 60 = 
660; o , por ocupar a terceira posição, valia 1 . 60 2 = 3.600. 
O fato de não haver um símbolo para indicar o zero, além de a escrita 
babilônica ser feita em plaquetas de argila, não raro tornava ambígua a leitura de um 
numeral. Por exemplo: tanto podia representar o 2, como 61 ou 120, além de 
outros números. 
 
16 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
1.2.3 O sistema de numeração grego 
Os gregos antigos usaram dois sistemas de numeração. O mais recente, o 
jônico, era também um sistema de base 10, aditivo, mas com algumas 
particularidades interessantes. Os símbolos do sistema eram 27: as 24 letras do 
alfabeto grego e mais 3 letras em desuso. Os gregos também não trabalhavam com 
o zero. Os valores eram associados às letras da seguinte maneira: 
 
 
 
Nesse quadro, as letras em desuso eram (koppa), (sampi) e ς (vau) = 
6. Com esses símbolos e mais um uso de um acento, como explicaremos a seguir, 
era possível expressar qualquer número inferior a 10.000 com quatro letras apenas 
(uma eventualmente acentuada), o que não deixa de ser uma vantagem. 
Por exemplo: 
 
 
Para os nove primeiros múltiplos de 1.000, utilizavam as nove primeiras letras 
da tabela anterior precedidas de um acento, como no exemplo a seguir: 
 
E quando se tratava de escrever os números a partir de 10.000, usavam o 
princípio da multiplicação, colocando sobre a letra maiúscula M (mu) ou à sua direita 
os símbolos convenientes de 1 a 9.999. Por exemplo: 
 
 
 
Conceito: um sistema como o jônico é chamado às vezes de sistema de 
numeração cifrado. 
17 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
O uso da base 2 é comum hoje na área da computação moderna. Mas o que 
é uma opção técnica dos nossos dias, foi prática espontânea de muitos povos. 
Algumas dezenas de tribos de índios norte-americanos, por exemplo, adotavam a 
base 2. 
Uma delas, do oeste americano do século passado,embora sem possuir uma 
linguagem escrita, e embora discernindo os números apenas até o seis, contava da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O número 5, por exemplo, pode ser decomposto da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
1 – “urapun” 
 
2 – “okosa” 
 
3 – “okosa-urapun” 
 
4 – “okosa-okosa” 
18 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Sabemos hoje, da teoria de números, que uma vez escolhido um número 
natural b > 1, todo número natural a pode ser representado, de maneira única, do 
seguinte modo: 
a = a
r
.b r + a 1−r .b
1−r + ...+ a1.b + a 0 , 
sendo que r ≥ 0 e 0 ≤ a
0
, a1, ..., a r < b. Em virtude desse fato, a 
correspondência que associa a cada número natural a à sequência (a
r
 a 1−r ...a1 a 0 ) b 
é bijetora (i.e., sobrejetora e injetora), o que permite representar o número através 
da sequência. 
 Essa notação e os elementos teóricos em que se baseia, caracterizam o que 
se chama sistema de numeração posicional. Para escrever qualquer número são 
necessários b símbolos, um para o zero, outro para a unidade, outro para duas 
unidades, ..., e um para b – 1 unidades. Esses símbolos são denominados dígitos. 
Na expressão (a
r
 a 1−r ...a1 a 0 ) b os símbolos a 0 , a1, ..., a r representam 
respectivamente as unidades da primeira, segunda , ..., (r + 1)-ésima ordem. Em 
verdade o valor de a1 é a1.b, o de a 2 é a 2 .b
2 , entre outros. 
 No caso da base 10 (nosso sistema de numeração), omitimos os parênteses 
e o índice. Os dígitos, como se sabe, são 0, 1, 2, ..., 9. Por exemplo: 
 
179 9 + 7.10 + 1.10 2 
 
Importante: a criança de 6 e 7 anos está ainda em processo de construir o 
sistema numérico, com operações de “+ 1”. O sistema escrito na base decimal 
exige a construção mental de “1” (uma coleção de dez) em “10” unidades e a 
coordenação da estrutura hierárquica de dois níveis (mostrada na figura 
abaixo). É impossível construir o segundo nível, quando o primeiro ainda esta 
sendo construído. Como vimos, a criança não pode criar a estrutura 
hierárquica da inclusão numérica antes da idade de 7 ou 8 anos, que é quando 
seu pensamento torna-se reversível. 
19 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
1.2.4 O sistema de numeração romano 
O sistema de numeração romano (ainda com alguns usos hoje em dia) é 
também decimal aditivo. Os símbolos para 1, 10, 10 2 e 10 3 são, respectivamente, I, 
X, C e M. Mas há também símbolos especiais para 5 = V, 50 = L e 500 = D, o que 
torna mais breve (simplificada) a expressão de um número. Por exemplo, ao invés 
de justapor sete vezes o símbolo I para indicar o sete, basta escrever VII. Também 
por uma questão de brevidade, o sistema incorporou, ao longo do tempo, um 
princípio subtrativo: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, se um romano da época de Cristo escrevia, 
 
 
 
 
Porém, já pelos fins da idade média o mais comum era: 
IV = 5 – 1 
 
IX = 10 – 1 
 
XC = 100 – 10 
 
1.989 = MDCCCCLXXXVIIII 
20 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
 
 
 
 
1.989 = MCMLXXXIX 
21 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
UNIDADE 2 – O SURGIMENTO DA TEORIA DOS NÚMEROS 
 
No item anterior, focalizamos o sistema de numeração hieroglífico egípcio e o 
sistema de numeração usado na Mesopotâmia. É interessante notar que tanto os 
egípcios como os babilônios construíram, ao longo de sua história, um acervo 
matemático expressivo. Desenvolveram a Aritmética, a Geometria e a Álgebra, até 
um certo ponto. Porém, essa Matemática, apesar de suficiente para embasar 
algumas realizações materiais importantes desses povos, e apesar de exibir alguns 
vislumbres teóricos, tinha limitações sérias sob o ponto de vista científico. 
De um lado, porque a Matemática desses povos pouco passava de uma 
coleção de conclusões empíricas a que chegaram ao longo dos séculos. E sendo 
quase um receituário, não se cogitava de conceitos teóricos e muito menos de 
possíveis deduções lógicas. Outro ponto que obstava de forma séria o 
desenvolvimento da Matemática de egípcios e babilônios era sua quase total 
ausência de abstração. No caso de números e operações numéricas, pensavam-se 
abstratamente, nem desconfiavam de tal fato. Mas em Geometria, por exemplo, para 
eles, com certeza uma reta não passava de uma corda esticada e um retângulo 
nada mais era do que uma cerca ou algo equivalente. Em que pesem suas raízes 
empíricas e sua múltipla aplicabilidade, a Matemática é uma ciência dedutiva e, 
portanto, só como tal pode se desenvolver plenamente. 
Mas uma nova atitude em relação à Matemática teria lugar na Grécia Antiga, 
mais ou menos a partir do século VI a.C., na verdade, os gregos mudaram a relação 
do homem com o universo à medida que, embora sem desprezar totalmente a 
observação e a experimentação, passaram a adotar a razão como o grande 
instrumento na busca da verdade. No que tange à Matemática, essa postura se 
consubstanciou na grande ênfase dada ao método dedutivo a partir de axiomas 
enunciados a priori. Outro ponto relevante é que a primeira fase da Matemática 
grega, que vai mais ou menos do século VI a.C. à morte de Alexandre, o Grande, 
em 323 a.C., se desenvolveu junto a escolas filosóficas, resultando daí algumas de 
suas diretrizes básicas como, por exemplo, a organização lógica e o caráter abstrato 
de que se revestiu. 
O primeiro matemático grego verdadeiramente reconhecido foi Tales de 
Mileto (século VI a.C.), também filósofo. Pouco se sabe sobre a vida e a obra de 
22 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Tales, mas não foi com ele ainda que a Matemática grega atingiu o caráter abstrato 
e o rigor lógico que vieram a caracterizá-la. Talvez tenha sido ele, o primeiro 
indivíduo na história a formular algumas propriedades gerais sobre figuras 
geométricas. Por exemplo: “os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais 
entre si”. Com formulações como essa, desvinculadas de exemplos concretos, 
começa a nascer a Geometria como ciência. 
 
2.1 A Escola pitagórica 
Pitágoras nasceu na ilha de Samos por volta do ano 560 a.C., quando jovem 
visitou demoradamente o Egito, a Índia e a Mesopotâmia, onde, a par da 
Matemática, certamente absorveu muito do misticismo desses lugares. 
Com cerca de 40 anos de idade, fixou-se em Crotona, colônia grega situada 
ao sul da Itália, e lá fundou um misto de escola e comunidade religiosa em que 
coexistiamo cultivo da Filosofia, da Ciência e da Matemática, com a devoção e o 
ascetismo, em meio a uma vida comunitária e mística. 
Os ensinamentos eram transmitidos oralmente e sob promessa de segredo (é 
possível que não houvesse essa exigência com relação à Matemática). Era norma 
da escola atribuir todas as descobertas realizadas por seus membros ao chefe – daí 
não se poder discernir hoje entre as contribuições de Pitágoras e as de seus 
discípulos ou seguidores. De qualquer maneira, nenhum documento original restou 
sobre a Matemática pitagórica que, apesar de toda a influência que exerceu, só é 
conhecida através de fontes indiretas, referências ou informações esparsas. 
Com o tempo, a ordem pitagórica acabou se envolvendo na política local, o 
que provocou a expulsão de seu líder da cidade de Crotona. Pitágoras encontrou 
refúgio em Metaponto, cidade grega situada no golfo de Tarento, também na Itália, 
onde morreu no ano 497 a.C., mas a escola continuou a existir por pelo menos mais 
dois séculos e, dentre os sucessores de Pitágoras, os mais preeminentes foram 
Filolaus (450-365 a.C.) e Arquitas de Tarento (428-347 a.C.). Foi através de um livro 
escrito por Filolaus que as doutrinas pitagóricas foram reveladas, quebrando o 
silêncio e o mistério de cerca de um século que havia em torno delas. Platão (428-
328 a.C.), que inclusive foi amigo de Arquitas, teve acesso à obra de Filolaus. Dessa 
23 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
forma, e também através dos sofistas, a Matemática pitagórica entrou em Atenas, 
onde exerceu grande influência. 
A atitude de tentar explicar o universo racionalmente (o que não significa 
necessariamente de maneira correta) começou com os gregos. Para Tales, por 
exemplo, a água era o princípio fundamental de todas as coisas. Os pitagóricos 
encontraram nos números (para eles apenas os naturais não nulos) e nas relações 
numéricas a chave para explicação do universo. Aristóteles (384-322 a.C.) afirma, 
em sua Metafísica, que para os pitagóricos, os números eram a componente última 
dos objetos reais e materiais. Fatos percebidos por eles, como as ligações da 
Matemática com a Astronomia e a Música, por exemplo, devem tê-los levado a tal 
comparação. 
 Mas, deve-se levar em conta que para os primeiros pitagóricos, os números 
certamente não eram entes abstratos, como os concebemos nos dias atuais. Nessa 
primeira fase, com certeza, os imaginavam concretamente, de alguma maneira, 
constituídos de pontos materiais – o que explica, pelo menos em parte, a posição 
que ocupavam em sua filosofia. 
Isso, contudo, deve ter mudado com o correr do tempo. Segundo Proclus 
(3410-485 d.C.), em seu Comentário ao livro primeiro dos Elementos, de Euclides 
– muito provavelmente baseado numa “história” da Matemática de Eudemo de 
Rodes (século IV a.C.), uma obra que se perdeu de então para cá –, a Matemática 
pura foi uma criação dos pitagóricos, o que é bem provável. 
 
2.2 A Aritmética pitagórica 
De acordo com os comentários feitos anteriormente, percebemos que não 
resta dúvida de que os pitagóricos viam o papel dos números no mundo de uma 
maneira muito especial. Daí não ser surpresa que a aritmética teórica tenha nascido 
entre eles. Como a escola tratava a Matemática de maneira muito filosófica e 
abstrata, desvinculada das exigências da vida prática, era natural que separassem o 
estudo teórico dos números, que chamavam “Aritmética”, dos cálculos práticos, que 
denominavam “logística” preocupando-se essencialmente apenas com o primeiro 
desses aspectos. É curioso notar que nos dias atuais, entre nós, a chamada 
Aritmética corresponde muitas vezes à Logística dos gregos antigos. Mas, o termo 
24 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Aritmética vem do grego e suas raízes são as seguintes: arithmos, que significa 
número, e technes, que se traduz por ciência. 
Aos pitagóricos, deve-se a distinção entre números pares e ímpares. Os 
seguintes Teoremas, entre outros, eram conhecidos por eles: 
• a soma de dois pares é par; 
• o produto de dois ímpares é ímpar; 
• quando um número ímpar divide um número par, também divide 
sua metade. 
 
 Muita coisa da Matemática pitagórica foi reunida nos Elementos, de Euclides 
(c. 300 a.C.), uma obra em treze livros, abarcando a Matemática elementar da 
época. Os livros VII, VIII e IX são exatamente sobre aritmética teórica, como era 
praxe entre os gregos da época, o enfoque e a linguagem são geométricos. Por 
exemplo, a definição 5 do livro VII diz o seguinte: “Um número é parte de outro, o 
menor do maior, quando ele mede o maior”. Era assim que Euclides expressava que 
um número era divisor de um outro (maior que ele). 
Dividiam também os números primos e secundários (compostos). A 
definição 11 do livro VII citado é a seguinte: “Um número primo é aquele que é 
mensurável apenas pela unidade”. Mensurável aí, obviamente, significa divisível. 
Nessas condições, o próprio 1 poderia ser considerado primo, não fosse ele excluído 
do rol dos números (naturais, não nulos), por ser o gerador de todos. Mesmo o 2 às 
vezes não era considerado primo, por ser o gerador do conjunto dos números pares. 
Mas Aristóteles dizia que o 2 é “o único número par primo”. 
Outro conceito que também aparece nos Elementos e que provavelmente 
remonta os pitagóricos é o de número perfeito. “Número perfeito é aquele que é 
igual à soma de suas partes”. Por exemplo, 6 é perfeito pois: 6 = 1 + 2 + 3. Note-se 
que eles interpretavam “parte” de um número como um divisor próprio do número, 
isto é, um divisor diferente do próprio número. O número 28 também é perfeito já 
que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. 
Também se atribui aos pitagóricos a descoberta dos números amigáveis. 
Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é a soma dos divisores próprios 
do outro, como ocorre com 220 e 284, pois: 
25 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 a soma dos divisores próprios de 220 = 
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284; 
 a soma dos divisores próprios de 284 = 1+2+4+71+142 = 220. 
 
2.3 Os números geométricos (ou números figurados) 
Na época de Pitágoras ainda se contava através do uso de pedrinhas ou de 
marcas de pontos na areia. Por outro lado, eram os pitagóricos observadores 
atentos de formas geométricas. Daí porque, talvez, tiveram sua atenção chamada 
para os números figurados ou geométricos. Os números figurados são arranjos 
com pontos ou pedrinhas de maneira a formar figuras geométricas. 
Dessa forma, os números 1, 3, 6, 10, ... são chamados triangulares porque 
correspondem à distribuição de pedrinhas num plano na forma de triângulos, do 
seguinte modo: 
 
 
Se indicarmos por T
n
 o enésimo número triangular, vale a fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Os números que resultam de dispor pedrinhas num plano de modo a formar 
quadrados, são denominados de números quadrados, como mostra a Figura 
abaixo: 
 
 
 
T
n
= 1+ 2 + 3 + ...+ n = 
2
)1.( +nn
 
26 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordocom a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Diversos resultados interessantes sobre números figurados podem ser 
obtidos de maneira puramente geométrica e informal. Indicando por Q
n
 o enésimo 
número quadrangular e dividindo seus pontos como abaixo, 
 
 
 
Para passar de um número quadrangular a outro, os pitagóricos procediam 
segundo o esquema: 
 
 
Do qual tiramos que, 
 
 
 
 
Ou seja, 
 
 
 
 
Sendo, uma identidade matemática bastante conhecida por todos nós. 
O conjunto de pontos à direita e abaixo do ângulo reto traçado na Figura 
anterior era chamado gnômon. 
Outra propriedade interessante ligada aos números quadrados pode ser 
obtida abaixo: 
Q
n
+ (2n + 1) = Q
1+n 
n 2 + (2.n + 1) = (n + 1) 2 
27 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
 
 
 
� Números pentagonais: 
 
 
� Números hexagonais: 
 
 
Nessa maneira de representar os números figurados, os gnômons são 
sempre, em cada etapa, os pontos que ficam na poligonal, que fecham a figura na 
parte anterior. Ademais, cada segmento dessa linha poligonal tem um ponto a mais 
que o correspondente da poligonal anterior. Como no caso dos números 
hexagonais, são quatro os segmentos de cada gnômon, então a diferença entre o 
número de pontos de dois gnômons consecutivos é 4. Para os números eneagonais 
essa diferença é n – 2. 
Assim, no caso dos números hexagonais, os sucessivos gnômons têm: 
 
1 + 4 = 5, 5 + 4 = 9, 9 + 4 = 13, ..., 4.n + 1, ... pontos. 
 
1 + 3 + 5 + ...+ (2.n – 1) = n 2 
28 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Portanto: 
 
 
 
 
 
2.4 Os ternos pitagóricos 
Atualmente são conhecidas algumas centenas de demonstrações do 
chamado Teorema de Pitágoras, segundo o qual o quadrado da hipotenusa de 
um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos. Todavia, já 
conhecido antes de Pitágoras, é bem provável que se dava a ele, ou à sua Escola, a 
primeira demonstração dessa relação fundamental da Geometria Métrica. 
Porém, considerando o grau de preocupação dos pitagóricos no sentido de 
ligar os números (naturais) às coisas, especialmente à geometria, era natural 
esperar que procurassem determinar todos os triângulos retângulos de lados 
inteiros. Este problema consiste em resolver no conjunto dos ternos ordenados de 
números naturais não nulos a equação: 
 
 
 
Conceito: um terno (a, b, c) de números naturais não nulos tal que a 2 + 
b 2 = c 2 , chama-se terno pitagórico. 
 
Logo, a Escola pitagórica inaugurou o estudo de problemas indeterminados 
envolvendo números naturais, sendo algo retomado mais à frente por Diofanto de 
Alexandria (século III, d.C.). Embora a solução geral para essa questão só tivesse 
aparecido nos Elementos, os pitagóricos deram a sua contribuição para o assunto. 
Talvez através da observação que o gnômon que fecha o número n 2 tem 2.n 
+ 1 pontos e que este número corresponde a dois lados de um quadrado. 
 
 
H
n
 = 1 + 5 + 9 + ...+ [4.(n – 1) +1] = nn
nn −=−+ 2.2
2
).3.41(
 
x 2 + y 2 = z 2 
29 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Os pitagóricos devem ter experimentado fazer 2.n + 1 = m 2 . Daí segue que, 
 
 
 
 
E, portanto, 
 
 
 
 
Como (n + 1) 2 = n 2 + 2.n + 1, então, 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
 
Dessa maneira, se m é um número ímpar (se o quadrado de um número 
natural é ímpar, o próprio número também o é), então, 
 
 
 
 
É um terno pitagórico. 
n = 
2
1
2 −m
 
n + 1 = 
2
1
2 +m
 
1)1(
2
1
2
1 2
2
2
2
2
+−+




 −=




 +
m
mm
 
2
2
2
2
2
2
1
2
1
m
mm +




 −=




 +
 





 +−
2
1
,
2
1
,
22
mm
m (*) 
30 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Por exemplo, para m = 3 obtemos (3, 4, 5) e para m = 5 temos (5, 12, 13), 
ambos ternos pitagóricos. Porém, o terno (8, 15, 17) é obviamente pitagórico, mas 
não se enquadra em (*). 
31 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
UNIDADE 3 – REFLETINDO SOBRE A CONDUÇÃO DA 
METODOLOGIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Aqui estaremos interessados em visualizarmos como o docente que ensina 
Matemática e Física pode auxiliar, por intermédio da História dessas ciências, a 
concepção do fato de que são ciências em construção, lembrando que a Física tem 
seus aspectos fundamentados na explicação das fenomenologias do mundo natural, 
e descobertas sobre a sua estrutura. Assim sendo, vejamos primeiramente como 
são os efeitos ideais da condução do processo metodológico da Matemática e a sua 
funcionalidade, em muito nos interessará como suporte para a prática docente. 
Grosso modo, muito mais do que uma mera ferramenta de quantificação e 
linguagem de expressão científica, a Matemática e a Física são hoje ciências que 
dão sustentabilidade para a origem das diversas áreas de pesquisa, o 
desenvolvimento e aplicações cotidianas estão ligadas aos primórdios de origem 
dessas ciências. 
Particularmente, com relação à Matemática, em variados aspectos das 
práticas cotidianas, sustenta as primeiras noções que o homem possui a respeito 
das coisas que permeiam sua existência, ou seja, os aspectos acerca de tamanho, 
forma, ordem, contagem, conjunto e número. De fato, com o passar dos séculos, a 
Matemática se faz cada vez mais presente na vida de cada um de nós, seja num 
simples troco no supermercado ou ônibus, na sua aplicação em setores econômicos 
das empresas, na engenharia e em teorias físicas, por exemplo. Vamos olhar agora 
para o que tange às origens da Matemática, pois ao longo do tempo e em diferentes 
espaços geométricos, a sociedade e a cultura humana sofreram transformações, 
adaptando-se a um mundo que está sempre em transição. Dessa forma, a cultura do 
ser humano torna-se resultado de mudanças, fazendo com que a história não seja 
definida e estática. 
 
32 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperaçãode dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 6: Refletindo sobre o desenvolvimento da história humana. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Refletiu? 
Pensou em quantas diferenças existem entre eles? 
Veja que essas diferenças são resultados de um longo período de mudanças 
que transformaram a história da humanidade, sua cultura, política, economia e 
sociedade! 
Enfim, uma das maneiras de se pensar sobre a cultura humana em seus 
diferentes aspectos é incluindo aqui o processo de EDUCAÇÃO – e fazer um 
exercício de observá-la por seus registros históricos, assim aliando os nossos 
objetivos de estudo com aquilo que já comentamos a respeito das mudanças 
ocorridas ao longo da História da Humanidade. 
Convidamos você a compreender que a ideia de que a educação, bem como 
o estudo da evolução dos conhecimentos das ciências Matemáticas e Físicas faz 
parte dos movimentos de transformação da sociedade ao longo do tempo, e é 
exatamente aqui que a Educação entra, pois fomos educados, de certa maneira, por 
meio das ações evolucionárias ocorridas na sistematização reflexiva do mundo que 
nos cerca. 
33 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Vamos a partir de agora, fazer algumas considerações mais voltadas para a 
formação dos conceitos matemáticos e a sua importância de condução, por meio 
dos conhecimentos da História dessa área do conhecimento, assim vejamos que 
para corroborar com tais declarações, temos as ideias de D’Ambrósio, que comenta 
que 
 
As práticas educativas se fundam na cultura, em estilos de aprendizagem e 
nas tradições, e a história compreende o registro desses fundamentos. 
Portanto, é praticamente impossível discutir a educação sem recorrer a 
esses registros e à interpretação dos mesmos. Isso é igualmente verdade 
ao se fazer o ensino das várias disciplinas. Em especial da Matemática, 
cujas raízes se confundem com a História da Humanidade (D’AMBROSIO, 
1993). 
 
Partindo, pois, das considerações do autor acima, e concordando com as 
suas declarações, percebemos que é preciso utilizar e interpretar os registros 
históricos da Matemática para discuti-la. E, é nesse contexto que se dará, ao longo 
desta unidade, nossas discussões, ou seja, a possibilidade de você conhecer a 
História da Matemática e Física como apoio para o ensino dessas disciplinas. 
Assim, como a Matemática, a História dessa ciência é uma área de estudo 
que, de acordo com Baroni e Nobre (1999), devem ser usadas não como um 
instrumento meramente metodológico, mas sim como uma área de conhecimento 
que tem seu lugar na formação do docente de matemática, nesse sentido, é 
plausível dizer que tanto quanto o conteúdo matemático, há a necessidade de o 
docente de Matemática conhecer a sua História, ou seja: a História do Conteúdo 
Matemático. 
Agora, é imprescindível, que você reconheça que as relações da Matemática 
com o desenvolvimento social e econômico e também com as demais ciências, com 
a Religião e com as Artes é uma forma de obter um plano de fundo que nos faça 
compreender conhecimentos matemáticos tanto do passado quanto do presente. 
Com toda essa contextualização, é importante reconhecer as contribuições da 
História da Matemática para a formação do docente dessa disciplina em questões 
relacionadas com os aspectos didáticos de sua prática e também com as 
implicações na sala de aula. 
Você reconhecerá ao longo do texto que segue, que o nascimento, a 
evolução e os caminhos da Matemática, como Ciência, dependeram e ainda 
34 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
dependem da cultura. Isso porque a Matemática não se desenvolveu, assim como o 
homem, de forma solitária e isolada. Reconhecemos que a Matemática, portanto, 
tem história, transformou-se ao longo do tempo e continua se transformando. Aquilo 
que se conhecia de Matemática há dois séculos é diferente do que se conhece hoje. 
Portanto, o que estamos construindo como argumento é que existe uma 
realidade importante ao se conduzir o processo metodológico da Matemática, pois é 
necessário olhar para o passado para estudar Matemática, pois perceber as 
evoluções das ideias matemáticas somente observando o estado atual dessa ciência 
não nos dá toda a dimensão de mudança. 
É importante que você, ao conduzir os conceitos matemáticos, tome a 
metodologia da História da Matemática não apenas como um elemento motivador ao 
desenvolvimento do conteúdo matemático, mas que se preocupe em apresentar a 
História dessa ciência como uma forma de interligação entre o conteúdo e a prática 
pedagógica. Se o docente de Matemática tem o domínio da História do conteúdo 
que trabalha em sala de aula, tal interligação será fortalecida. Vianna (1995), um 
autor que pensa essas práticas mitológicas, considera que 
 
Não apenas o estudo da História da Matemática pode contribuir para uma 
melhor compreensão do conteúdo matemático, mas também que o estudo 
da História e dos problemas teóricos e metodológicos a ela associados 
pode lançar alguma luz sobre o conhecimento deste conteúdo matemático. 
 
Para que você possa ter uma compreensão melhor sobre os aspectos que 
conduzem as atividades da História da Matemática, convidamos lhe a pesquisar 
melhor sobre o item nos seguintes sites, que farão parte das nossas investigações 
ao longo do desenvolvimento da disciplina: 
35 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 7: Refletindo sobre a história da matemática. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Outros documentos que serão explorados por nós são os materiais de 
referência para o ensino da Matemática, as conduções normativas para essa área 
pelos órgãos que conduzem as formações no Brasil, vejam os endereços: 
 
Figura 8: Conduções didáticas no Brasil. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
36 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
Pesquise: para complementar o processo de conhecimento sobre as 
conduções metodológicas, convidamos lhe a compreender como se dá as 
conduções dos conhecimentos Físicos, em relação às estruturas históricas, 
vamos lá? Conhecer as metodologias específicas para condução dos saberes 
matemáticos deve ser o foco da sua investigação? 
37 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
UNIDADE 4 - REFLETINDO SOBRE A CONDUÇÃO DA 
METODOLOGIA DA HISTÓRIA DA FÍSICA 
 
Você viu que os tópicos relacionados à prática da Matemáticana condução 
da História são de suma importância para a compreensão dos afazeres do docente, 
e para complementar o tópico anterior, vamos adentrar em considerações sobre as 
atividades. É importante que você perceba que os assuntos se interlaçam, ou melhor 
dizendo, em que ponto os limites da discussão de processos de ensino e 
aprendizagem, tanto de uma ou de outra ciência, no âmbito do conhecimento 
escolar, confundem-se e aproximam-se por estarmos sempre tratando de ciência. 
De uma ciência em movimento, de uma ciência em transformação. 
A intenção dessa parte do guia de estudo é apresentar alguns pontos 
importantes sobre a metodologia de desenvolvimento da História da Física como 
suporte para o docente na condução dessa disciplina no âmbito do processo de 
ensino e aprendizagem, assim, você verá que vamos apresentar de forma simples 
algumas estratégias metodológicas de abordagem para a efetivação do 
conhecimento dessa ciência. 
 
 Figura 9: Refletindo sobre a História da Física. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Com essas considerações, o que mais se vê falar é em estratégias didáticas, 
capazes de melhorar a prática do docente, no sentido de abordar processos que 
38 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
possam melhorar o aspecto da aprendizagem das ciências, principalmente as da 
Física. E, uma curiosidade que pode instigar o docente de física, é: 
 
Figura 10: Construindo o conhecimento da Física na prática docente. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Tais questões assombram os preparativos metodológicos de variados 
docentes da área, assim, o ideal é sempre refletir sobre as questões que envolvem 
as recomendações sobre os currículos e programas brasileiros que envolvem as 
considerações para a condução didática do ensino da Física. 
Bom, há diversas recomendações para que o currículo da disciplina de Física 
dê espaço para que se mostre ao aluno, em sala de aula, a forma de construção do 
conhecimento científico. Uma das possibilidades de se atingir esse objetivo, 
segundo Robilotta (1998), é a utilização da História da Física: 
 
Encarar a ciência como um produto acabado confere ao conhecimento 
científico uma falsa simplicidade que se revela cada vez mais como uma 
barreira a qualquer construção, uma vez que contribui para a formação de 
uma atitude ingênua frente à ciência. Ao encararmos os conteúdos da 
Ciência como óbvios, as diversas redes de construção edificadas para dar 
suporte a teorias sofisticadas apresentam-se como algo natural, portanto, 
de compreensão imediata. 
 
Assim, devemos compreender que a utilização dessa ciência pelo homem, ou 
seja, a necessidade que o homem tem, ao longo da História, de entender e explicar 
39 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
os fenômenos naturais e da matéria, deve-se necessariamente à necessidade de 
entender o próprio mundo que o cerca e, conhecendo da natureza, utilizá-los a seu 
favor. Assim, ao se ensinar Física, o que você está fazendo é: 
 
Figura 11: Transformando expressões em conhecimento. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Os conhecimentos de Física são expressos nas legislações, que trazem como 
aspecto de formação alguns dos conceitos, uma vez que no desenvolvimento 
metodológico, é importante destacar alguns pontos, e principalmente seguindo o que 
está expresso, como a condução das legalidades, como seu desenvolvimento, deve 
ser pensado e executado tendo como base as finalidades do ensino médio 
expressas na lei 9394/96 (LDBN), nos seguintes termos: 
 
Art. 35. O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima 
de três anos, terá como finalidades: I – a consolidação e o aprofundamento dos 
conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento 
dos estudos; 
II – a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para 
continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade de 
novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores; 
40 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
III – o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a 
formação ética e desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico; 
IV – a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos 
produtivos, relacionados à teoria com a prática, no ensino de cada disciplina (LDBN, 
1996). 
Assim, é importante também destacar que os Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN) para o Ensino da Física trazem como proposta a sugestão de um 
conjunto de competências a serem alcançadas para a área da ciência. Como bem 
indica Santos (s/d). 
Todas estão relacionadas às três grandes competências de representação e 
comunicação, investigação e compreensão e contextualização sociocultural, 
apontadas pelas Diretrizes Curriculares Nacionais. Os Parâmetros Curriculares 
Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), em complemento às DCNEM, fazem 
referências explícitas às disciplinas, vinculadas às três áreas do conhecimento. Este 
documento propõe uma abordagem integradora das disciplinas de modo a se 
reconhecer a relação entre aquelas de uma mesma área e entre as de áreas 
diversas. Apresenta também os objetivos específicos de cada área do conhecimento 
reunidos em torno de competências gerais. 
 
Pesquise: para compreender melhor as ideias sobre a teoria de Santos (s/d), 
em relação ao assunto, convidamos lhe a investigar melhor no texto: 
http://dmd2.webfactional.com/media/anais/ENSINO-DA-FISICA.pdf 
 
Outros documentos que serão explorados por nós são os materiais de 
referência para o ensino da Matemática, as conduções normativas para essa área 
pelos órgãos que conduzem as formações no Brasil, vejam os endereços: 
41 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
 
Figura 12: Conduções didáticas no Brasil – Física. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Pesquise: conhecer as metodologias específicas para condução dos saberes 
físicos deve ser o foco da sua investigação, o que acha de investigar melhor 
sobre tais conduções? 
42 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
UNIDADE 5 - A TRAJETÓRIA DE CONSTRUÇÃO DA 
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E DA FÍSICA 
 
Acredita-se que para você o estudo da História seja algo que se constitui de 
divisões de tópicos em épocas ou eras, ou seja, os chamados períodos históricos, 
assim o que normalmente percebemos são ascaracterísticas e feitos da 
humanidade no que se refere aos aspectos que caracterizam uma cultura. Usar este 
tipo de divisão em tempos históricos, não significa que o fato foi ocorrido como 
contado, mas é sempre um delineamento do que pode ter ocorrido, assim, para fins 
didáticos, usaremos o que é comum para o estudo dos fatos matemáticos, pois 
faremos um recorte dos acontecimentos dentro de um período marcado pelas 
transformações das eras históricas e com recorte de determinados espaços 
geográficos. Assim, a divisão da história da matemática é realizada, na maioria das 
vezes, seguindo os períodos históricos: Antiguidade, Idade Média, Renascimento, 
Idade Moderna e Contemporânea. Mas, esse tipo de divisão está ligado à 
matemática ocidental, chamada de eurocêntrica, e é preciso ficar claro que essa é 
apenas uma das formas de se estudar a História da Matemática. 
No entanto, para compor esse tópico, vamos comentar em linhas gerais sobre 
a trajetória da constituição da História da Matemática ao longo dos tempos. Assim, a 
noção intuitiva de contagem surge ao ver que um grupo de homens é constituído por 
vários indivíduos semelhantes, embora diferentes em alguns aspectos, o que torna 
cada um deles único. 
 Dessa forma, a unidade, ou mais precisamente a unicidade, também nasce, 
tal que um grupo, ou conjunto, é estabelecido por várias unidades com algum 
aspecto em comum. Entretanto, ainda não havia um método sistemático de 
contagem, embora já houvesse alguns milhares de anos atrás a associação de 
elementos de um conjunto com os dedos das mãos e pés. A associação entre 
elementos de um conjunto e os dedos talvez servisse, por exemplo, para o controle 
de um rebanho por parte de seu proprietário. Se a quantidade de dedos fosse 
incompatível com a quantidade de cabeça do rebanho, fazia-se necessário outro tipo 
de relação. As pedras, por seu tamanho e peso, mostravam-se inviáveis para 
armazenamento e controle. Conforme Boyer (1996), existem algumas e poucas 
provas de registros com marcas em bastões ou ossos. Este, talvez, fosse o método 
43 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
mais viável para o gerenciamento de um rebanho, por exemplo. Portanto, 
associações com elementos e marcas em objetos e paredes representavam para os 
pré-históricos quantidade, número. 
Há ainda, como consta em Boyer (1996), uma grande dúvida quanto à origem 
do número ordinal e do número cardinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Registros numéricos da antiguidade. 
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
 
Bom, essas questões surgem quando a história da Matemática está em 
estudo, e na realidade, não são perguntas fáceis de serem respondidas, pois não 
tem como se precisar quando o homem realmente começou a contar e desenvolveu 
o conceito de número. Supõe-se que tenha sido desenvolvido de maneira a auxiliar 
o homem no desempenho de atividades nas quais fosse necessária a aplicação do 
senso numérico e do processo de contagem. 
O que se sabe é que o registro da contagem foi se alterando ao longo dos 
tempos, sendo feito de diferentes maneiras dentro de cada cultura. Como dito acima, 
imagina-se que a maneira mais antiga de contar tenha sido buscada em algum 
44 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
método de registro simples que associava um determinado elemento usado para 
contar (pedras, ossos, os dedos da mão) ao elemento que se queria contar. 
Passado o tempo, o homem começou a usar elementos, e associava a eles 
um elemento concreto. 
 
Hoje, na maioria das culturas, os números usados são concretos e estão 
ligados à relação que o homem primitivo fazia (de contar objetos concretos utilizando 
outros objetos concretos). A tudo isso, chamamos de comunicação por sinais, que 
na verdade, precedeu a comunicação oral e escrita; nossa capacidade de se 
comunicar e sofisticar a maneira pela qual o fazemos, nos fez evoluir, fazendo-nos, 
nestes aspectos, singulares frente às outras espécies de vida conhecidas. Nesse 
sentido, esta parte da origem da Matemática é muito vaga e o registro das 
informações é resgatado por meio da Antropologia: simplesmente, nos embasamos 
nela. Por assim ser, não nos prolongaremos em pontos antecedentes da história; 
vamos nos concentrar no palpável, isto é, na história que, de fato, foi transmitida 
pelos séculos e chegou até nós. 
 
5.1 O que é Educação Matemática e a Educação relacionada à Física? 
A Educação Matemática pode ser entendida como uma forma de conceber a 
Matemática e, consequentemente, o trabalho escolar com ela, enquanto que a 
Educação Física pode ser entendida como uma forma de conceber a Física e, 
consequentemente, o trabalho escolar com ela. Podemos dizer que essa nova 
perspectiva nasce de debates profundos sobre a própria Matemática e sobre a 
Matemática na Educação Básica. 
No tocante à Matemática enquanto corpo de conhecimentos historicamente 
estabelecidos, existe hoje uma crítica à visão formalista que se tornou a atitude 
predominante nos textos escritos “oficiais” matemáticos a partir de início do século 
XX. De acordo com esta visão, a Matemática configura-se como “a ciência das 
deduções formais, dos axiomas aos teoremas. Seus termos primitivos não são 
45 
Todos os direitos reservados ao Grupo Prominas de acordo com a convenção internacional de 
direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada seja por meios 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou, por sistemas de armazenagem e 
recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
definidos. Seus enunciados não têm conteúdo, até que lhes seja fornecida uma 
interpretação” (DAVIS e HERSH, 1985, p. 381). 
Assim, o que importa são as deduções lógicas válidas (demonstrações) feitas 
a partir dos axiomas. Os resultados obtidos não possibilitam dúvidas ou erros, uma 
vez que o rigor presente no processo das demonstrações e deduções não permite 
falhas ou omissões. 
As teses formalistas vêm, no entanto, sendo contestadas; seu principal 
opositor, Imre Lakatos (1976), em sua obra Proofs and Refutations, usa a História da 
Matemática para mostrar que esta, como as ciências naturais, é falível e passível de 
dúvida. 
Segundo Lakatos (1976), o conhecimento matemático se desenvolve por 
meio da crítica e da correção de teorias, as quais sempre podem conter 
ambiguidades, erros ou descuidos. Assim sendo, a demonstração não pode ser 
encarada como um processo mecânico que alcança a verdade por meio de uma 
cadeia inquebrável, desde as hipóteses até as conclusões. 
Em vez disso, consiste em explicações, justificações, elaborações que tornam 
uma conjectura mais plausível, mais convincente, à medida que se torna mais 
detalhada, mais exata, pela pressão dos contra exemplos (DAVIS e HERSH, 1985, 
p.3999-389). 
Além disso, a análise histórica da Matemática mostra que os conceitos de 
rigor e de formalização não são absolutos, mas dependem do estágio de evolução 
do conhecimento e estão estreitamente ligados à utilização de símbolos e de uma 
linguagem que, como aponta Freudenthal (s.d. apud DAVIS e HERSH, p. 29), 
configura-se como um processo contínuo de formalização, cujo estágio final é muito 
difícil de prever. 
Do ponto de vista da Educação, têm-se enfatizado