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Capítulo 3:
Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas
Coeficiente de Dilatação Térmica
Professor Fernando Porto
Resistência dos Materiais
Tensões em Vasos de 
Pressão de Paredes Finas
• Vasos de pressão cilíndricos.
• Vasos de pressão esféricos.
Tensões em Vasos de Pressão de 
Paredes Finas
• As paredes finas deste tipo de construção de vasos 
de pressão oferecem pequena resistência à flexão, 
de modo que podemos considerar que os esforços 
internos que atuam são tangenciais à superfície do 
vaso.
Tensões em Vasos de Pressão de 
Paredes Finas: Vasos Cilíndricos
• Consideremos um vaso cilíndrico de raio interno r e 
parede de espessura t contendo um fluido sob 
pressão. 
• Seja um pequeno elemento de parede, de lados 
relativamente paralelos e perpendiculares ao eixo do 
cilindro: 
• As tensões normais s1 e s2 são as tensões principais. 
• A tensão s1 é chamada de tensão tangencial, 
enquanto a tensão s2 é chamada de tensão 
longitudinal.
Tensão tangencial
Tensão longitudinal
Tensão tangencial
• Seja uma porção da parede do vaso:
s1.t.Dx
s1.t.Dx
p.(2r.Dx)
S
S
Tensão longitudinal
• Seja uma porção da parede do vaso:
s2.(2p.r.t)
p.(p. r2)
S
Atenção: esta é uma 
aproximação válida 
somente porque t << r
S
Atenção: verifica-se que a 
tensão tangencial s1 é o dobro 
da tensão longitudinal s2.
Através da aplicação do círculo 
de Mohr (ainda não 
ministrado, por isto não será 
apresentado o 
desenvolvimento aqui), 
verifica-se que a tensão 
cisalhamento máxima tmax tem 
igual valor à tensão 
longitudinal s2 :
Tensão de Cisalhamento
Tensões em Vasos de Pressão de 
Paredes Finas: Vasos Esféricos
• Consideremos agora um vaso esférico de raio interno 
r e parede de espessura t contendo um fluido sob 
pressão. 
• Por razões de simetria, as tensões exercidas nas 4 
faces de um pequeno elemento da superfície da 
parede devem ser iguais:
• Para determinarmos o valor da tensão, passamos 
uma seção pelo centro C do vaso de pressão, 
considerando então o corpo livre constituído pela 
porção do vaso e seu conteúdo localizados à 
esquerda da seção:
• Somatório de forças em x é nulo: S
Atenção: esta é uma 
aproximação válida 
somente porque t << r
Através da aplicação do círculo 
de Mohr (ainda não 
ministrado, por isto não será 
apresentado o 
desenvolvimento aqui), 
verifica-se que a tensão 
cisalhamento máxima tmax tem 
metade do valor da tensão 
longitudinal s2 :
Tensão de Cisalhamento
Exemplo 1
Seja um tanque de ar comprimido apoiado em 2 cavaletes como 
ilustrado. O corpo cilíndrico do tanque foi construído em chapa 
de aço de 10mm de espessura, enquanto que as calotas esféricas 
das extremidades empregam chapas de 8mm de espessura.
Para uma pressão interna 
de 1260kPa, determinar 
(a) a tensão normal e a 
tensão máxima de 
cisalhamento na calota 
esférica; (b) as tensões 
tangencial e longitudinal 
no corpo cilíndrico.
Quando for ministrado o conceito de 
círculo de Mohr, este ângulo poderá ser 
usado para calcular as tensões na solda.
Ângulo de solda
(a) Calota esférica: p = 1260x 103Pa; t = 8 x 10-3m; r = 0,4m
(b) Corpo cilíndrico: p = 1260x 103Pa; t = 10 x 10-3m; r = 0,4m
Coeficiente de Dilatação 
Térmica
• Nas estruturas estudadas até este ponto, 
consideramos que a temperatura permanecia 
constante durante o tempo de carregamento. Agora 
vamos considerar situações onde ocorrem variações 
de temperatura.
• Seja uma barra AB, homogênea e de seção 
transversal uniforme:
Superfície lisa 
“sem atrito”
• Se aumentarmos a temperatura em DT, notamos que 
a barra sofre um alongamento dT, o qual é 
proporcional tanto à temperatura, como em relação 
ao comprimento. Então:
a: coeficiente de 
dilatação térmica
Neste caso não existem tensões 
relacionadas com a deformação.
• Como DT, é expresso em unidades de temperatura, e 
L e dT, em unidades de comprimento, o coeficiente 
de dilatação térmica a é expresso em grau 
centígrado elevado a -1 (poderia ser expresso em 
qualquer outra unidade de temperatura).
• L [m]
• dT [m]
• DT [°C]
• a [°C-1] ou [1/°C]
• Vamos agora considerar que a barra AB de 
comprimento L foi colocada entre 2 anteparos fixos, 
não existindo tensões nesta condição inicial.
• Se elevada a temperatura DT, a barra deveria dilatar-
se, mas os anteparos impedem esta dilatação. Assim 
sendo, passa a existir uma tensão interna 
relacionada à dilatação.
P P
Para determinar esta tensão, 
determina-se a força P capaz 
de deformar a barra de modo a 
compensar a dilatação da 
mesma, quando sob ação da 
variação de temperatura:
Como a deformação anula a 
dilatação, então:
Obs.: Esta equação somente é válida para barras 
homogêneas, de seção transversal uniforme.
Exemplo 2
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando 
a temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas 
partes AC e CB da barra para a temperatura de -50°C. 
Usar E = 200GPa e a = 12 x 10-6 /°C.
A = 400mm2
A = 800mm2
300mm 300mm
Obs.: como a temperatura decai 
de +25°C para -50°C, a barra 
sofre uma contração, e não uma 
expansão.
O primeiro passo é determinar a variação de temperatura:
Dilatação dT correspondente ( L = 0,6m; a = 12 x 10
-6 /°C )
A = 400mm2
A = 800mm2
300mm 300mm
O sinal negativo é indicativo 
de que se trata de contração, 
e não de dilatação.
Dilatação causada pela aplicação de uma força:
A = 400mm2
A = 800mm2
300mm 300mm
RB
A dilatação causada pela aplicação da força anula a contração:
A = 400mm2
A = 800mm2
300mm 300mm
RB
Encontrada a força, determina-se as tensões:
A = 400mm2
A = 800mm2
300mm 300mm
RB
Exercício 1
Um tanque esférico de gás tem 
um raio interno de 1,5m. Se 
está sujeito a uma pressão 
interna de 300kPa, determine 
a espessura requerida para 
que a tensão normal máxima 
não exceda 12MPa.
Resposta: 18,8 mm
Ex. 8-1 9th ed.
Exercício 2
Um tanque esférico de gás foi construído 
empregando-se chapas de aço de 0,5 
polegada. Se sujeito a uma pressão de 
200psi, determine seu raio para que a 
máxima tensão normal não exceda 
15kpsi (15000 psi).
1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m
1 psi (libra por polegada quadrada) = 6894,76 Pa
Resposta: 75,5 pol. ou 1917,7 mm
Ex. 8-2 9th ed.
Exercício 3
O tanque do compressor da figura é sujeito a uma pressão 
interna de 90 psi. Se o diâmetro interno do cilindro é de 22 
polegadas, e a espessura da parede, 0,25 polegadas, determine 
as tensões atuantes no ponto A.
Resposta: 3,96 kpsi e 1,98 kpsi ou 27,30MPa e 13,65MPa.
Ex. 8-4 9th ed.
A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apoia no 
cilindro BD de 30mm de diâmetro. Um parafuso de 22mm de 
diâmetro passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma 
porca simplesmente ajustada. 
Continua...
Exercício 4
Resposta: 40,3MPa
Exercício resolvido 2.4 no livro texto 3ª. edição em português (biblioteca).
A montagem, feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma 
tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é 
aumentada para 50°C, enquanto o parafuso tem sua 
temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas 
condições as tensões no cilindro. 
Barra AC: aço; E = 200GPa; a = 12 x 10-6 °C-1
Cilindro BD: latão; E = 105GPa; a = 18,8 x 10-6 °C-1
Exercício 4
Exercício 5
A montagem mostrada tem os materiais e dimensões como 
indicado. O conjunto foi fixado à 50°F sem tensões internas. 
Determine as tensões normais internas em cada material, 
quando a temperatura subir a 110°F.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C86100, 17 x 10-6 °C-1; aço inox 304, 17 
x 10-6 °C-1. 
Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C86100, 103GPa; aço inox 304, 
193GPa.
50°F = 10°C 
110°F = 43,33°C 
1 ft ou 1 pé = 0,3048 m
1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m
2014-T6 Alumínio
C 86100 Bronze
304 aço inox
12 pol. 8 pol.
4 pol.
Resposta: 2,46 kpsi; 5,52 kpsi; 22,1 kpsi ex. 4-69 9th ed.
17,0Mpa; 38,1MPa; 152,4MPa
Exercício 6
A barra AB de latão vermelho C83400 e a barra BC de alumínio 
2014-T6 são conectadaspor uma junta em B, e fixadas às 
paredes. Ambas as barras tem área de seção transversal de 
1,75pol2. Não há tensões quando a temperatura é de 50°F. 
Determine (a) as tensões normais em cada barra quando a 
temperatura subir para 120°F e (b) calcule o deslocamento da 
junta B.
Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C83400, 18 x 10-6 °C-1. 
Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C83400, 101GPa.
120°F = 48,89°C 
Resposta: 9,77 kpsi; 0,611 x 10-3 polegadas
67,36Mpa; 0,0155mm ex. 4-68 9th ed.
• Resistência dos Materiais
• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr., 
E. Russell; Editora Pearson 
Nakron Books, 3a. Ed., 2010
Fonte Bibliográfica