Prova A5 (N2) Cálculo Aplicado Uma Variavel

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Pergunta 1)Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine o valor de image0375e3db909_20211112222004.gif
 
image0385e3db909_20211112222004.gif
Fonte: elaborada pela autora
O valor encontrado é:
Resposta: image0415e3db909_20211112222004.gif
Resposta correta.image0395e3db909_20211112222004.gif
Pergunta 2)Um avião levanta vôo, formando um ângulo de 30º com o chão. Mantendo essa inclinação, ele estará a uma distância x, em km, do ponto de partida, quando atingir 4,5 km de altura. Nessas condições, o valor de x, é:
Resposta: 9
Resposta correta. No triângulo retângulo o x é a hipotenusa, assim, sen30image0315e3db909_20211112222011.gif=4,5/x. Logo, x=4,5/0,5=9.
Pergunta 3)Em relação ao estudo de máximo e mínimos de funções, pontos críticos, pontos de inflexão e de assíntotas é necessário utilizar como ferramenta a primeira e a segunda derivada da função.  Nesse contexto, considere a função image0645e3b2757_20211112221922.gif, em que image0655e3b2757_20211112221922.gife image0665e3b2757_20211112221922.gife analise o gráfico da image0495e3b2757_20211112221922.gif, na Figura a seguir. 
 
           image0675e3b2757_20211112221923.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
Após levantamento dos dados e análise gráfica, avalie as alternativas a seguir.
 
I. image0495e3b2757_20211112221923.gifpossui valor mínimo local em image0685e3b2757_20211112221923.gif.
II. Existe ponto de inflexão em image0695e3b2757_20211112221923.gif.
III. Existe assíntota vertical em image0415e3b2757_20211112221923.gifporque image0705e3b2757_20211112221924.gif.
IV. Existe assíntota vertical em image0715e3b2757_20211112221924.gifporque image0725e3b2757_20211112221924.gif.
 
É correto o que se afirma apenas em:
 
Resposta: I e IV apenas.
A alternativa está correta, pois a alternativa I é verdadeira, porque image0735e3b2757_20211112221924.gif eimage0745e3b2757_20211112221924.gif.  A alternativa II  é falsa, porqueimage0755e3b2757_20211112221925.gif. A alternativa III  é falsa, porque existe assíntota vertical emimage0415e3b2757_20211112221925.gifporqueimage0765e3b2757_20211112221925.gifE por fim, a alternativa IV é verdadeira, porque existe assíntota vertical emimage0715e3b2757_20211112221925.gifporqueimage0725e3b2757_20211112221925.gif.
Pergunta 4)Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas:
 
1 - Derivada do Produto.
2 - Derivada do Quociente.
3 - Derivada da Soma.
4 - Derivada da Cadeia.
 
( ) image0795e304361_20211112221950.gif
( ) image0805e304361_20211112221950.gif
( ) image0815e304361_20211112221950.gif
( ) image0825e304361_20211112221951.gif
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência
correta.
Resposta: 2, 3, 1, 4.
De acordo com as regras estudadas, temos queimage0835e304361_20211112221951.gif = Derivada do Quociente.image0845e304361_20211112221951.gif = Derivada da Soma.image0855e304361_20211112221951.gif= Derivada do Produto.image0865e304361_20211112221951.gif= Derivada da Cadeia.
Pergunta 5)Dadas as curvas image1145e6b8595_20211112221912.gif e image1155e6b8595_20211112221912.gife as retas verticais image1045e6b8595_20211112221912.gif e image1165e6b8595_20211112221912.gif, é necessário verificar qual dessas funções está limitando a região superiormente. Observe a região limitada ao gráfico da figura abaixo, que serve como suporte para o cálculo da área dessa região. Nesse sentido, encontre a área proposta e assinale a alternativa correta.
 
Figura 4.2 - Região limitada pelas funções image1145e6b8595_20211112221912.gife image1175e6b8595_20211112221913.gife a reta image1165e6b8595_20211112221913.gif
 
 image1185e6b8595_20211112221913.jpg
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Resposta: image1235e6b8595_20211112221915.gif.
A alternativa está correta, pois, para encontrar a área proposta, resolvemos a integralimage1195e6b8595_20211112221913.gif. Verifique que a função que limita superiormente é a exponencial, portanto, a função integranda éimage1205e6b8595_20211112221913.gif. Verifique, também, que a função exponencial não zera quandoimage1045e6b8595_20211112221914.gif.
Pergunta 6)Para usar a regra de L’Hospital diretamente, é necessário que a indeterminação seja do tipo image0155e3b2757_20211112222009.gifou image0145e3b2757_20211112222009.gif. Quando isso não ocorre, devemos aplicar artifícios matemáticos para preparar a função e obter as indeterminações adequadas para aplicação da regra de L’Hospital.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao calcular image0235e3b2757_20211112222009.gif.
 
Resposta: -3
A alternativa está correta, pois após preparar a função e utilizar a regra de L’Hospital, obteve-se o valor de -3 para o limite, como mostra os cálculos a seguir.
 image0245e3b2757_20211112222009.gif.
image0255e3b2757_20211112222009.gif.
Pergunta 7)A derivada de uma função image1395e304361_20211112221846.gifaplicada a um ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva image1395e304361_20211112221846.gif no ponto P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta tangente e da reta normal à curva image1405e304361_20211112221846.gif, no ponto image1415e304361_20211112221846.gife analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação da reta tangente é igual a image1425e304361_20211112221847.gif
II. A equação da reta normal é igual aimage1435e304361_20211112221847.gif 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do coeficiente angular da reta normal.
IV. A derivada da função image1445e304361_20211112221847.gifé igual à image1455e304361_20211112221847.gif, portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a image1465e304361_20211112221847.gif.
 
Está correto o que se afirma em:
Resposta: I e IV, apenas.
 correta. De acordo com os cálculos a seguir:
image1475e304361_20211112221847.gif, a equação da reta tangente é igual a 
Como o coeficiente da reta normal é igual ao valor oposto inverso do valor do coeficiente angular da reta tangente, a equação da reta normal é igual aimage1495e304361_20211112221848.gif
Pergunta 8)Os pontos críticos e pontos de inflexão de um gráfico podem ser identificados através do estudo de sinal da primeira e da segunda derivada da função. Sendo assim, através da análise gráfica dos gráficos da primeira e da segunda derivada é possível chegar a algumas conclusões.
 
Nesse contexto, observe os gráficos da Figura 3.5 e Figura 3.6.
image0775e3b2757_20211112221948.jpg
Assinale a alternativa que indique a análise correta para pontos críticos e de inflexão.
Resposta: image0785e3b2757_20211112221950.gifé a abscissa do ponto de inflexão.
 A alternativa está correta, pois emimage0785e3b2757_20211112221948.gif a função da 2ª derivada f’’(x) muda de sinal, portanto, há mudança de concavidade, que comprova a existência do ponto de inflexão.
Pergunta 9)Uma função, image0535e304361_20211112222013.gifdefinida por várias sentenças pode ser derivada, respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a condição para que a derivada de uma função exista num ponto image0545e304361_20211112222014.gif: as derivadas laterais a direita, image0555e304361_20211112222014.gif, e a derivada lateral à esquerda, image0565e304361_20211112222014.gif, existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função contínuanum ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a seguir, definida por várias sentenças:
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
 
image0575e304361_20211112222014.gif
image0585e304361_20211112222014.gif
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 
I.  (  ) A função  image0595e304361_20211112222015.gif é derivável em image0605e304361_20211112222015.gif.
II. (  ) A derivada de image0595e304361_20211112222015.gifexiste, pois as derivadas laterais são: image0615e304361_20211112222015.gif.
III. (  ) A função image0595e304361_20211112222015.gif não é derivável em image0625e304361_20211112222016.gifporque image0595e304361_20211112222016.gif não é contínua em image0605e304361_20211112222016.gif.
IV. (  ) A função image0635e304361_20211112222016.gif é derivável em image0605e304361_20211112222016.gif, porque image0595e304361_20211112222017.gif é contínua em image0605e304361_20211112222017.gif.
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta: F,F,V,F
 A afirmativa I é falsa, sendo que image0645e304361_20211112222017.gif é derivável emimage0655e304361_20211112222017.gif, logo,image0665e304361_20211112222017.gif. De fato:image0675e304361_20211112222018.gif
image0685e304361_20211112222018.gif.
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada deimage0645e304361_20211112222018.gifexiste, poisimage0695e304361_20211112222018.gif, pois,image0665e304361_20211112222018.gif. De fato:image0675e304361_20211112222019.gif image0685e304361_20211112222019.gif.
A afirmativa III é verdadeira, dado queimage0645e304361_20211112222019.gif não é derivável emimage0655e304361_20211112222019.gif, porqueimage0645e304361_20211112222019.gif não é contínua emimage0655e304361_20211112222019.gif. De fato, image0665e304361_20211112222020.gif, portanto, f não é derivável em x=2.
image0705e304361_20211112222020.gif
image0715e304361_20211112222020.gif
Já a afirmativa  IV é falsa, uma vez queimage0725e304361_20211112222020.gif é derivável emimage0735e304361_20211112222020.gif porqueimage0645e304361_20211112222021.gif é contínua emimage0655e304361_20211112222021.gif. O fato de uma função ser contínua não garante a sua derivabilidade.
Pergunta 10)
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine o valor de image0325e3db909_20211112222002.gif
 
image0335e3db909_20211112222002.gif
Fonte: elaborada pela autora
O valor encontrado é:
Resposta: image0285e3db909_20211112222003.gif
Resposta correta.image0345e3db909_20211112222002.gif