UNIDADE 1 e 2 3 e 4 - Técnicas de Integração 1

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Questão 1
Incorreta
As integrais imediatas oferecem diretrizes de integração para determinadas funções, contudo, essa abordagem se aplica apenas a um conjunto limitado de funções. Portanto, frequentemente, torna-se imperativo simplificar a função a ser integrada para uma forma mais elementar, facilitando assim a determinação da integral de maneira mais eficiente. Diversos métodos estão disponíveis para auxiliar na simplificação da função a ser integrada, permitindo uma abordagem mais acessível e eficaz para o cálculo integral. Com base nesses métodos, calcule a integral que segue.
∫xcosxdx
Assinale a alternativa que contém o valor da integral.
Sua resposta
Incorreta
xsenx-cos⁡x+K
Solução esperada
xsenx+cos⁡x+K
Questão 2
Correta
Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionado com o cálculo da área de uma região abaixo da curva. Considere a função f, de R em R, definida pela seguinte lei: f (x) = x7 + 4x2 + 3 e o intervalo I = [-1,0]. Com base nessas informações, analise os itens que seguem.
I – A primitiva de f é uma função polinomial de 6º grau.
II – A função F(x) = x88 + 4x33 + 3x + 3 é uma primitiva de f.
III – O resultado da integral definida da função f no intervalo dado é 10124.
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Correta
Apenas os itens II e III estão corretos.
Questão 3
Correta
Ao abordarmos o progresso histórico do Cálculo, é inevitável mencionar dois notáveis matemáticos: Leibniz e Newton. A contribuição fundamental de ambos reside na exploração da relação recíproca entre a derivada e a integral, sendo essa relação essencial para o desenvolvimento do Cálculo como um método matemático sistemático. O fruto desse entendimento é formalizado no Teorema Fundamental do Cálculo. Considerando informações sobre esse Teorema, calcule a integral que segue.
∫141x2+xdx
Assinale a alternativa que contém o resultado correto da integral.
Sua resposta
Correta
65/12.
Questão 4
Incorreta
Para auxiliar no cálculo das integrais de funções de uma variável podemos empregar determinadas técnicas, dentre as quais podemos citar a substituição (ou mudança de variáveis), a integração por partes entre outras.
Seja a função de uma variável real definida por
fx=x22+x34
Deseja-se calcular a integral definida da função f considerando os limites de integração correspondentes aos extremos do intervalo [0,1].
Assinale a alternativa que contém o valor da integral da função.
Sua resposta
Incorreta
32/15.
Solução esperada
211/15.
 
Comentário
Para resolvermos essa integral, vamos utilizar a substituição u=2+x3. Logo,du=3x2dxdx=du3x2Como temos uma integral definida temos que mudar os limites de integração:Quando x=0 então u=2Quando x=1 então u=3Realizando as substituições temos:∫01x22+x34dx=∫23u4du3=13∫23u4du=13u5523=11535-25=115243-32=21115
Questão 5
Incorreta
O Cálculo de integrais tem amplas aplicações em física, engenharia, economia e diversas outras disciplinas, desempenhando um papel crucial na modelagem e resolução de problemas do mundo real. Com base nas propriedades relacionadas as integrais, analise os itens que seguem.
I- ∫01x2dx=-∫10x2
II-∫-11xdx=0
III-∫231dx=1
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Incorreta
Apenas os itens I e II estão corretos.
Solução esperada
Apenas os itens I e III estão corretos.
Comentário
O item I está correto, pois∫01x2dx=x3301=13∫10x2=x3310=0-13=-13O item II está incorreto, pois∫-11xdx=x22-11=12--12=12+12=1O item III está correto, pois∫231dx=x23=3-2=1
UNIDADE 2 
Questão 1
Correta
A gráfica Gramadela  fez um estudo e constatou que a variação do lucro (em reais) na produção de banners em relação a quantidade é dada pela função
dLdx=2x+3
Sabe-se que se a gráfica não produz banners não há lucro. Com base nessas informações analise os itens que seguem.
I- A função lucro é dada por Lx=x2+3x.
II- Se forem produzidos 10 banners o lucro será de R$23,00.
III- Se forem produzidos 2 banners o lucro será de R$10,00.
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Correta
Apenas os itens I e III estão corretos.
Comentário
Para determinarmos a função lucro, basta integrarmos a função dadaL=∫2x+3dx=2x22+3x+K=x2+3x+KO valor de K será dado, utilizando a condição que não há lucro se não se produz:L0=02+30+K=0K=0Logo, o item I está correto, pois a função lucro é dada por Lx=x2+3x.O item II está incorreto, pois o lucro para se produzir 10 banners é de L10=102+310=130O item III está correto, pois o lucro para se produzir 2 banners é deL10=22+32=10
Questão 2
Correta
O bumerangue é uma arma de arremesso usada para caçar e para guerra na Austrália e alhures, cuja forma varia, sendo a mais conhecida a peça arqueada de madeira que, após descrever curva, retorna às mãos do lançador. A superfície de um bumerangue pode ser modelada através da área limitada pelas curvas f(x) = 2x² e g(x) = x² + 9 e por x = -3 e x = 3.
Assinale a alternativa que contém a área da superfície do bumerangue.
Sua resposta
Correta
36 u.a.
Questão 3
Incorreta
Um museu de arte está realizando um concurso para construir uma edificação que tenha pelo menos 500 m3 e no máximo 1.200 m3 de capacidade.  O arquiteto de uma das construtoras desenhou uma bela edificação rotacionando a curva y = 16 − x2 (considerando as grandezas em metros) em torno do eixo y, para y variando entre 0 e 16.
Assinale a alternativa que contém o volume dessa edificação.
Sua resposta
Incorreta
128π u.v..
Solução esperada
256π u.v..
Questão 4
Correta
O estudo de certos problemas envolvendo áreas entre curvas pode ser desenvolvido com auxílio, dentre outros conceitos, das integrais definidas de funções de uma variável real, devido às associações que podem ser estabelecidas entre estes conceitos.
Suponha que uma peça metálica tenha o formato igual ao da região no plano limitada pelas retas x = 0, x = π/2, pelo eixo x e pelo gráfico da função f(x) = 5cos(x).
Qual das seguintes alternativas indica corretamente a área da peça metálica apresentada?
Sua resposta
Correta
5 u.a.
Comentário
Se a região cuja área deseja-se determinar é limitada o gráfico da função f(x) = -5cos(x) e pelas retas x = 0, x = π/2, y = 0, então a área da região será calculada porA=∫0π25 cos⁡(x)dx=5∫0π2cos⁡xdx=5sen(x)0π2=51-0=5 u.a.
Questão 5
Correta
O processo de calcular integrais de funções de uma variável real encontra diversas aplicações práticas, notadamente na área da física. Uma dessas aplicações é a determinação da velocidade de um veículo em função de sua aceleração durante um intervalo de tempo específico. Com base nessas informações, calcule a velocidade aproximada de um foguete cuja aceleração é dada por at=tet no intervalo 0≤t≤5.
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Correta
Aproximadamente 594,65 m/s.
Comentário
Para encontrar a velocidade do foguete temos que integrar a função a(t) no intervalo 0≤t≤5. Logo teremos:vt=∫05tetdtPara resolver essa integral precisamos utilizar o método de integração por partes, logo:u=t→du=dtdv=etdt→v=etvt=∫05tetdt=tet05-∫05etdt=tet05-et05=5e5-0-e5-e0==5e5-e5+1=4e5+1 ≅594,65 m/sPortanto a velocidade do foguete é de aproximadamente 594,65 m/s.
Uidade 3 
Questão 1
Correta
Considere uma chapa quadrada de metal com 3m de lado que compõe a proteção lateral de um equipamento mecânico, que pode ser desenhada no primeiro quadrante do plano xy. Um engenheiro mediu sua temperatura e chegou à seguinte função para descrever o resultado de sua observação:
T(x,y) = 3xy – 2y4 
Assinale a alternativa que indica corretamente a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1) na direção de y.
Sua resposta
Correta
-2.
 
Comentário
Para encontrarmos a taxa de variação da função temos que encontrar a derivada parcial em relação a variável y. Temos queTy=3x-8y3  Calculando no ponto dado teremosTy2,1=32-813=6-8=-2
Questão 2
Incorreta
O domínio de uma função de duas variáveis é formado por todos os pontos (x,y) pertentes ao plano ℝ², para os quais um valor da função z=f(x,y) pode ser calculado. Com base nessas informações analise a função a seguir
fx,y=1(1+3x-y3
Assinale a alternativa que contém o domínio da função.
Sua respostaIncorreta
Df=x,y∈ℝ2 x≠y33+13}.
Solução esperada
Df=x,y∈ℝ2 x>y33-13}.
Questão 3
Correta
Considere a seguinte situação: um alpinista está escalando um morro cujo formato é descrito pela função de duas variáveis reais dada por
fx,y=200-0,04x2-0,04y2
na qual x e y são medidos em metros.
Esse indivíduo inicia a sua subida a partir do ponto P(20, 10), seguindo a direção sudoeste, a qual pode ser descrita por meio da direção indicada pelo vetor unitário v→=-22, -22.
Qual das seguintes alternativas indica a taxa de variação aproximada da distância percorrida pelo alpinista na subida do morro considerando a direção dada pelo vetor v→?
Sua resposta
Correta
1,7.
Questão 4
Correta
Um dos procedimentos necessário ao realizar o estudo de problemas de otimização é encontrar o ponto (a,b) tal que fx(a,b) = fy(a,b) = 0, a esse ponto denominamos de ponto crítico da função. Considere a função f(x,y) = x2 +y2 + 4x +4y.
Assinale a alternativa que contém o ponto crítico dessa função.
Sua resposta
Correta
(-2, -2).
Comentário
Temos que determinar as derivadas de primeira ordem da função f(x,y) = x2 +y2 + 4x +4y:fx=2x+4→2x+4=0→x=-2fy=2y+4→2y+4=0→y=-2Logo, o ponto crítico é (-2,-2).
Questão 5
Correta
Uma professora visando avaliar o entendimento de seus alunos sobre funções de duas variáveis propôs que os alunos analisassem a função
f(x,y)=x+yx+y
E escrevessem sobre o domínio e a imagem dessa função. Os próximos itens, ilustram o que 3 alunos discorreram sobre essa função.
I.  José afirmou que o domínio da função é dado por D=x,y∈ℝ2y>-x.
II. Carla afirmou que o domínio da função é dado por D=x,y∈ℝ2y≥-x.
III. Maria afirmou que a função tem como imagem todos os valores reais.
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Correta
Apenas o item I está correto.
Unidade 4
Questão 1
Correta
Em matemática é comum utilizarmos outras coordenadas, além das cartesianas, para resolvermos determinados problemas. Temos relações entre esses tipos de sistemas de coordenadas, por exemplo, conseguimos mudar de coordenada cartesiana para polar ou de polar para cartesiana.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente as coordenadas cartesianas (x,y) do ponto A sabendo que suas coordenadas polares são A4,π6.
Sua resposta
Correta
 23,2.
Questão 2
Correta
Suponha que para resolver determinado problema você precise calcular a integral da função f (x,y) = x2 + y2 sobre a região D limitada pela semicircunferência x2 + y2 = 4. Para tal solução você percebeu que é necessário fazer uma mudança de coordenadas e calcular essa integral em coordenadas polares.
Assinale a alternativa que contém o resultado dessa integral em coordenadas polares.
Sua resposta
Correta
4π.
 
Questão 3
Correta
Essas integrais têm uma ampla gama de aplicações em física, engenharia, economia e muitas outras áreas. Elas nos permitem modelar e entender como funções de duas variáveis se comportam em diferentes regiões do plano, além de nos fornecer ferramentas para resolver problemas complexos de área e volume. Com base em informações sobre as integrais duplas, determine o volume do sólido abaixo do plano z=3x + 2y e acima da região limitada pelas curvas y = x2 e pela reta y =x.
Assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Correta
Aproximadamente 0,38 u.v.
Questão 4
Incorreta
No cálculo das integrais duplas, associadas a funções de duas variáveis reais, um dos principais aspectos a ser analisado corresponde aos limites de integração, derivados das regiões de integração.
Analise as seguintes afirmações a respeito deste tema:
I. A região de integração correspondente a ∫01∫-113xexydydx é dada por
R=0,1×-1, 1={x,y∈ℝ2; 0≤x≤1,-1≤y≤1}
 
II. A região de integração correspondente a ∫13∫01cos⁡(3x)dxdy é dada por
R=1,3×0, 1={x,y∈ℝ2; 1≤x≤3, 0≤y≤1}
III. A região de integração correspondente a ∫-11∫01x2sen⁡(y)dxdy é dada por
R=0,1×-1, 1={x,y∈ℝ2; 0≤x≤1,-1≤y≤1}
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta.
Sua resposta
Incorreta
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
Solução esperada
Apenas as afirmações I e III estão corretas.
Questão 5
Correta
Para resolver integrais duplas de forma precisa, é essencial identificar os limites de integração apropriados para as variáveis x e y associadas, garantindo assim uma caracterização correta da região de integração. Considere a região retangular R = [-1,2] × [0,3] e a função f(x,y) = 3y².
Assinale a alternativa que contém o valor da integral dupla da função dada sobre a região R.
Sua resposta
Correta
81.
Questão 5
Correta
Para resolver integrais duplas de forma precisa, é essencial identificar os limites de integração apropriados para as variáveis x e y associadas, garantindo assim uma caracterização correta da região de integração. Considere a região retangular R = [-1,2] × [0,3] e a função f(x,y) = 3y².
Assinale a alternativa que contém o valor da integral dupla da função dada sobre a região R.
Sua resposta
Correta
81.