Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.2 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais: I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova. Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado para este fim. 4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM 5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada. 6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! 7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas: I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las de acordo com as questo˜es. 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por- tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸a˜o espec´ıfica: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. AP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 16/11/2019 Co´digo da disciplina EAD 06075 Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM • Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e Polo. • E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru- mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer material que sirva de consulta. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli- cador. • Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas. • As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. • Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 a seguir.) Um representante comercial tem sala´rio mensal fixo de R$5.000,00. Caso o valor total das vendas feitas em um determinado meˆs exceda R$30.000,00, e´ acrescida ao sala´rio uma comissa˜o de 10% so- bre o que exceder R$30.000,00. Vamos chamar de sala´rio final o sala´rio fixo acrescido da comissa˜o, se houver. Chame de x o valor total, em reais, das vendas feitas em um certo meˆs e de s a func¸a˜o que representa o sala´rio final naquele meˆs, dependendo de x. Isto e´, em um meˆs em que o representante venda x reais, ele recebera´ s(x) como sala´rio final. Questa˜o 1 (0.5 pt) Calcule o sala´rio final do representante comercial quando ele vender R$20.000,00 e R$35.000. Em outras palavras, calcule s(20.000) e s(35.000). Resposta: Caso ele venda R$20.000,00, na˜o havera´ comissa˜o. Logo, o sala´rio final sera´ de R$5.000,00. Assim, s(20.000) = 5.000. Caso ele venda R$35.000,00, havera´ excedente sobre R$30.000,00, logo, o sala´rio final sera´ dado por s(35.000) = 5.000 + 10% · (35.000− 30.000) = 5.000 + 10100 · 5.000 = 5.000 + 500 = 5.500 Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o de s(x) quando x 6 30.000 e quando x > 30.000. Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Resposta: Caso ele venda x 6 30.000, na˜o havera´ comissa˜o. Logo, o sala´rio final sera´ de R$5.000,00. Assim, s(s) = 5.000, para x 6 30.000. Caso ele venda > 30.000, havera´ excedente sobre R$30.000,00, logo, o sala´rio final sera´ dado por s(x) = 5.000 + 10% · (x− 30.000) = 5.000 + 10100 · (x− 30.000) = 5.000 + 1 10 · (x− 30.000) = = 5.000 + x10 − 3.000 = x 10 + 2.000, para x > 30.000. Questa˜o 3 (1.0 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s, tendo o valor x das vendas como eixo horizontal e o valor s(x) como eixo vertical. Resposta: Para 0 6 x 6 30.000, temos s(x) = 5.000, logo o gra´fico da func¸a˜o sera´ uma reta horizontal para x 6 30.000. Para x > 30.000, teremos s(x) = x10 + 2.000, cujo gra´fico e´ uma reta, dada por y = x 10 + 2.000. Para obter dois pontos desta reta, vamos escolher dois valores de x. Para x = 30.000, temos y = 30.00010 + 2.000 = 5.000. Para x = 40.000, temos y = 40.000 10 + 2.000 = 6.000. Esboc¸ando enta˜o o gra´fico, temos Questa˜o 4 (2.0 pt) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem simul- taneamente as condic¸o˜es |x− 8| 6 3, |y − 10| 6 1, x + y = 15. Resposta: Temos que |x− 8| 6 3⇔ −3 6 x− 8 6 3⇔ 5 6 x 6 11, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 assim, a primeira condic¸a˜o representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada x esteja entre 5 e 11, incluindo estes valores. Esboc¸ando esta regia˜o, temos Da mesma forma, |y − 10| 6 1⇔ −1 6 y − 10 6 1⇔ 9 6 y 6 11, assim, a segunda condic¸a˜o representa a “faixa”do R2 formada pelos pontos cuja coordenada y esteja entre 9 e 11, incluindo estes valores. Esboc¸ando esta regia˜o, temos A condic¸a˜o x + y = 15 representa a reta que passa pelos pontos (0, 15) e (15, 0), esboc¸ada abaixo. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 Esboc¸ando as treˆs regio˜es simultaneamente, temos Note que, na reta, para x = 5 temos 5 + y = 15, logo y = 10 e, para y = 9, temos x+ 9 = 15, logo x = 6. O conjunto dos pontos que satisfazem as treˆs condic¸o˜es simultaneamente sera´ dado enta˜o pela intersec¸a˜o das duas faixas com a reta, isto e´, por Questa˜o 5 (1.5 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo. ( x− 23 )2 + 119 > 2 ( x− 13 ) (x + 2)− 20x3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 Resposta: Temos ( x− 23 )2 + 119 > 2 ( x− 13 ) (x + 2)− 20x3 ⇔ x 2 − 4x3 + 4 9 + 11 9 > 2 ( x2 − x3 + 2x− 2 3 ) − 20x3 ⇔ x2 − 4x3 + 15 9 > 2 ( x2 − x3 + 6x 3 − 2 3 ) − 20x3 ⇔ x2 − 4x3 + 15 9 > 2 ( x2 + 5x3 − 2 3 ) − 20x3 ⇔ x2 − 4x3 + 15 9 > 2x 2 + 10x3 − 4 3 − 20x 3 ⇔ x2 − 4x3 + 15 9 > 2x 2 − 10x3 − 4 3 ⇔ x2 − 4x3 + 15 9 − 2x 2 + 10x3 + 4 3 > 0 ⇔ −x2 + 6x3 + 159 + 12 9 > 0 ⇔ −x2 + 2x + 279 > 0 ⇔ −x2 + 2x + 3 > 0 As ra´ızes de −x2 + 2x + 3, sa˜o as ra´ızes de x2 − 2x− 3, que sa˜o −1 e 3, portanto −x2 + 2x + 3 = −(x + 1)(x− 3), logo, voltando a` inequac¸a˜o, temos −x2 + 2x + 3 > 0⇔ −(x + 1)(x− 3) > 0⇔ (x + 1)(x− 3) < 0. Estudando o quadro de sinais, temos (−∞,−1) −1 (−1, 3) 3 (3,+∞) x + 1 − 0 + + + x− 3 − − − 0 + (x + 1)(x− 3) + 0 − 0 + Assim, −x2 + 2x + 3 > 0⇔ x2 − 2x− 3 < 0⇔ x ∈ (−1, 3). (Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 a 9 e a seguir.) Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti- vamente, por D(P ) = −P 2 + 4P + 5 e Q(P ) = 2P − 4, onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. Questa˜o 6 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o ma´ximo do produto (valor acima do qual na˜o ha´ demanda pelo mesmo)? E qual e´ o prec¸o m´ınimo (valor abaixo do qual na˜o ha´ oferta)? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 7 Resposta: Prec¸o ma´ximo: D(P ) = 0⇔ −P 2 + 4P + 5 = 0⇔ P = −4± √ 42 − 4(−1)(5) 2 · (−1) = −4±√36 −2 = −4± 6 −2 ⇔ ⇔ P = 5 ou P = −1. Como P > 0, temos, como prec¸o ma´ximo, P = 5, isto e´, R$5,00. Prec¸o m´ınimo: Q(P ) = 0⇔ 2P − 4 = 0⇔ 2P = 4⇔ P = 2. Temos enta˜o, como prec¸o m´ınimo, R$2,00 Questa˜o 7 (1.0 pt) A partir de uma ana´lise da func¸a˜o quadra´tica D, que representa a demanda, determine a demanda ma´xima do produto e o prec¸o para o qual ela ocorre. Resposta: Sabemos que a demanda deste produto e´ dada por D(P ) = −P 2+4P+5. Considerando os coeficientes a = −1, b = 4 e c = 5, a demanda ma´xima e´ dada por Dmax = −∆4a = − b2 − 4ac 4a = − 16− 4(−1)(5) 4(−1) = − 36 −4 = 9. Ou seja, a demanda ma´xima e´ de 9 milho˜es de unidades. Esta demanda ma´xima ocorre para P = − b2a = − 4 2(−1) = 2, isto e´, para o prec¸o de R$2,00. Questa˜o 8 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Considere √ 10 ≈ 3.16. Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio P e´ tal que D(P ) = Q(P )⇔ −P 2 + 4P + 5 = 2P − 4⇔ −P 2 + 2P + 9 = 0⇔ P 2 − 2P − 9 = 0⇔ ⇔ P = 2± √ 22 − 4(1)(−9) 2 · 1 = 2±√4 + 36 2 = 2±√40 2 = 2± 2√10 2 = 1± √ 10⇔ ⇔ P ≈ 1− 3.16 = −2.16 ou P ≈ 1 + 3.16 = 4.16. Como P na˜o pode ser negativo, o prec¸o de equil´ıbrio sera´ de R$4,16. Questa˜o 9 (1.0 pt) Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto, identificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda sa˜o iguais a zero, os pontos de equil´ıbrio e o ponto de demanda ma´xima. Resposta: A func¸a˜o demanda, de expressa˜o D(P ) = −P 2 + 4P + 5, e´ uma func¸a˜o quadra´tica cujo gra´fico tem concavidade para baixo. Suas ra´ızes ja´ foram calculadas na questa˜o 6, e sa˜o −1 e 5. Seu ma´ximo, calculado na questa˜o 7, e´ 9, obtido quando P = 2. A func¸a˜o oferta, de expressa˜o Q(P ) = 2P − 4 tem como gra´fico uma reta. Sabemos, pela questa˜o 6, que Q(2) = 0. Para obtermos outro ponto do gra´fico desta func¸a˜o, vamos substituir o prec¸o de equil´ıbrio: Q(4.16) = 2 · 4.16− 4 = 4.32. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 8 Assim, podemos trac¸ar os gra´ficos das duas func¸o˜es, definidos para 2 6 P 6 5 (prec¸os m´ınimo e ma´ximo), e que se encontram no ponto de equil´ıbrio (4.16, 4.32). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
Compartilhar