Resumo de estatistica Paulo

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Paulo Zacarias 
 
 
 
 
 
Resumo sobre analise combinatória, permutações, arranjo e combinações 
 
 
Mestrado em Agro-química e ambiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Save 
Massinga 
2022 
 
Paulo Zacarias 
 
 
 
 
Resumo sobre analise combinatória, permutações, arranjo e combinações 
 
 
Mestrado em Agro-química e Ambiente 
 
 
 
 
 
Docente: Professor Doutor Alberto Halar 
 
 
 
Universidade Save 
Massinga 
2022 
 
Trabalho de Modulo de Estatística a ser entregue 
no Departamento de Ciências Naturais e Exactas 
para efeitos de avaliação. 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo 
1. Introdução......................................................................................................................... 4 
1.1.Objectivos do trabalho ..................................................................................................... 4 
1.1.1. Objectivo geral ............................................................................................................. 4 
1.1.2. Objectivos específicos .................................................................................................. 4 
2. Análise combinatória.......................................................................................................... 5 
2.1. Permutações .................................................................................................................... 5 
2.1.1. Permutações simples .................................................................................................... 6 
2.1.2.Permutações com repetições ......................................................................................... 6 
2.2. Arranjos ........................................................................................................................... 7 
2.3. Combinações ................................................................................................................... 8 
2.3.1. Combinações simples ................................................................................................... 9 
2.3.2. Combinações complementares ................................................................................... 10 
3. Conclusão ......................................................................................................................... 11 
4. Referencia Bibliográfica .................................................................................................. 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
O presente trabalho pretende-se fazer resumo sobre análise combinatória que estuda as 
diferentes maneiras de formar e ordenar conjuntos a partir de elementos de outros conjuntos. 
Dentro desta temática ira-se fazer menção detalhada de permutações que podem ser simples 
ou com repetições, arranjos simples ou com elementos repetidos, combinações simples e 
complementares. Estes elementos farão parte da realização deste trabalho que tem como 
objectivo principal interpretar problemas relacionados com analise combinatória e todas 
fontes consultadas serão devidamente citadas e constarão na referência bibliográfica. 
1.1.Objectivos do trabalho 
1.1.1. Objectivo geral 
 Interpretar problemas relacionados com análise combinatória. 
1.1.2. Objectivos específicos 
 Definir os conceitos de permutações, arranjos e combinações; 
 Diferenciar permutações de combinações; 
 Resolver exercícios relacionados com permutações, arranjos e combinações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Análise combinatória 
Para MORGADO (2006), a análise combinatória é o campo de estudo que desenvolve 
métodos para fazer a contagem, de modo eficiente, do número de elementos de um conjunto. 
Associada à probabilidade e à estatística, a análise combinatória constitui um poderoso 
instrumento de antecipação de resultados nos campos industrial, comercial, científico e 
outras. 
Contudo entende-se que análise combinatória é uma parte da matemática que estuda os 
agrupamentos de elementos sem precisar enumera-los e a sua origem está ligada ao estudo 
dos jogos de azar, tais como lançamento de dados, jogos de cartas entre outros. (!) 
Muitos problemas de análise combinatória devem ser resolvidos com uma multiplicação de 
números naturais consecutivos, como 1 . 2 . 3 ou 5 . 4 . 3 . 2 . 1. 
Nesses exemplos, multiplicamos os números naturais de 1 até n, sendo no primeiro caso n = 3 
e, no segundo, n = 5. Em geral, produtos do tipo 1 . 2 . 3 .....(n – 1) . n são escritos com a 
notação de factorial (!). 
Dado um número natural n (n > 1), define-se n factorial ou factorial de n (indicado por n!) 
como sendo o produto dos n números naturais consecutivos, escritos desde n até 1. 
Exemplo: 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
Portanto só existe factorial de números inteiros positivos e (-5)! = NÃO EXISTE -(5)! = -
1(5.4.3.2.1) = -120 
O cálculo de n! fica complicado a medida que o número n aumenta. Por isso, podemos 
interromper a qualquer momento, desde que colocado o símbolo ! depois do número. 
2.1.Permutações 
Segundo VASCONCELO e ROCHA (2019:32), qualquer agrupamento de um conjunto de n 
objectos numa dada ordem é denominado uma permutação dos objectos (tomados todos de 
uma vez). Portanto o número de permutações que se pode ter num conjunto de n objectos, é : 
Pn = n! 
 
 
2.1.1. Permutações simples 
 Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples dos n elementos qualquer 
sequência (agrupamento ordenado) desses n elementos, diferindo apenas pela ordem dos 
elementos. Para determinar o número de permutações em um grupo com n elementos, basta 
calcular o factorial desse n. 
A fórmula geral das permutações é: 
Pn = An,n = n x (n -1) x (n – 2) x … x 1. 
Exemplo1: 
Gui, Bussunda e JowJow vão posar para uma fotografia. De quantas maneiras essa fotografia 
pode ser tirada: 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Exemplo 2: Qualquer ordenação que você der ao arrumar 4 livros na prateleira de uma 
estante é uma permutação dos quatro livros. 
P4 = 4! = 4. 3.2.1 = 24 
2.1.2. Permutações com repetições 
 Para os cálculos de permutação de n elementos, dos quais k são repetidos, utilizaremos a 
seguinte fórmula, onde n é o número total de elementos a ser permutados e n1, n2, …, nk os 
elementos repetidos. 
 
 
 
 
Anagramas GRAMAS 
São palavras obtidas a partir de outra, quando se trocam as posições de suas letras, não 
importando se essas palavras tenham sentido ou não. Exemplo quantos são os anagramas da 
palavra AMOR? 
A M O R = 4 letras não repetidas 
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 anagramas 
A palavra IRACEMA é um anagrama da palavra AMÉRICA e é uma permutação das sete 
letras A, M, E, R, I, C, A com repetição de duas letras A. 
Em um anagrama não se leva em consideração acentos nem cedilhas. Contando o número de 
permutações com elementos repetidos. Para entender o que vem a ser permutação de n 
objectos com elementos repetidos e calcular seu número, vamos tomar como exemplo os 
anagramas da palavra ESSES. 
Note que em ESSES existem duas letras iguais a E e três letras iguais a S. Assim, os seus 
anagramas são somente as palavras: 
ESSES ESSSE ESESS EESSS SESSE 
SESES SSESE SSEES SSSEE SEESS 
É claro que isso ocorre por conta das letras iguais, pois se todas as letras fosses diferentes 
teríamos 120 (= 5 x 4 x 3 x 2 x 1) anagramas. Portanto perante esta situação o número de 
permutações de n objectos com repetição de a1, a2, a3, … ar desses objectos é denotado por:
 
E pode ser calculado pela mesma fórmula permutações com repetições: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: O número de anagramas da palavra MARIANA é P7,3 que é igual a 840. De fato, 
temos : 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual é a quantidade de números de 5 algarismos que podemos formar usando 
todos os algarismos 1, 1, 1, 2 e 2? 
Teremos: 
 
 
 
 
2.2.ArranjosSegundo VASCONCELO e ROCHA (2019:32), 
Arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, isto é, qualquer 
mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento. Por exemplo, ao formar números 
naturais de 3 algarismos distintos escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos 
arranjando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o número 246 é diferente de 642. Note que 
os algarismos são os mesmos, mas diferem pela ordem. 
Dado um conjunto de n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos, tomados de p 
a p, (n ≥ p) a qualquer sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n 
existentes. 
 
 
 
 
 Arranjo simples. Dados os números inteiros positivos n e p, com 1 ≤ p ≤ n, um 
arranjo simples dos n objectos distintos a1, a2, a3, …, an tomados p a p é qualquer 
ordenação de p objetos diferentes escolhidos dentre esses objectos. 
 Arranjo com elementos repetidos. Dados os números inteiros positivos n e p, com 1 
≤ p ≤ n, um arranjo com repetição dos n objectos distintos a1, a2, a3, …, an tomados 
p a p é qualquer ordenação de p objectos, diferentes ou não, escolhidos dentre esses 
objectos. 
Temos ainda que um arranjo simples ou com elementos repetidos de n objectos tomados 1 a 1 
é qualquer um dos n objectos. 
Exemplo 1. Se de uma sala com 20 alunos premiarmos os 5 primeiros colocados, com 
prêmios diferentes, cada premiação possível é um arranjo simples dos 20 alunos tomados 5 a 
5. 
Exemplo 2. As sequências de letras abc, acd, bca, cdb, e abd podem ser pensadas como 
arranjos simples das letras a, b, c, e d tomadas 3 a 3. 
Exemplo 5. O número de sequências de três letras distintas que podemos formar com as 
letras a, b, c, e d é dado por A4,3, sendo igual a 4 x 3 x 2 = 24. 
Geralmente usamos arranjo nos problemas envolvendo senhas, formação de números, grupos 
de pessoas com cargos, placas, números de telefone. E a permutação é um caso particular do 
arranjo, assim, qualquer problema que envolva permutações ou arranjo simples pode ser 
resolvido directamente pelo princípio multiplicativo. 
Princípio multiplicativo 
Uma pessoa quer viajar de Porto Alegre a Recife, passando por São Paulo. Sabendo que há 3 
roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Porto Alegre e 4 roteiros diferentes 
para chegar a Recife partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá 
viajar de Recife a Porto Alegre? 
3(1ª etapa) x 4 (2ª etapa) = 12 (rotas diferentes). 
2.3.Combinações 
De acordo com SANTOS (2002), 
Combinações são agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos, isto é, 
mudanças na ordem dos elementos não alteram o agrupamento. Por exemplo, ao formar 
conjuntos de números naturais de 3 algarismos distintos, escolhido entre os algarismos 2, 4, 
6, 7 e 8, estaremos combinando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o conjunto {2, 4, 6} é 
igual ao conjunto {6, 4, 2}. Note que a ordem dos algarismos mudou, mas o conjunto é o 
mesmo, ou seja, os elementos não diferem pela ordem. 
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, 
tomados p a p, ( n p), qualquer subconjunto de A formado por p elementos. 
 
 
 
 
 
Geralmente usamos combinação nos problemas envolvendo conjuntos, figuras planas, grupos 
de pessoas sem cargos, loterias. 
2.3.1. Combinações simples 
1. Para VASCONCELO e ROCHA (2019:54), 
O número de combinações de n objectos distintos, tomados p a p, com 1 ≤ p ≤ n, pode ser 
calculado em função do número de arranjos dos n objectos, tomados p a p e do número de 
permutações de p, se lembrarmos que An.p = Cn.p X Pp, em que An,p é o número de arranjos 
de n objectos, tomados p a p, e Pp é o número de permutações de p objectos. 
Da igualdade anterior, temos: 
 
Na notação de factorial, temos que o número de combinações de n objectos distintos, 
tomados p a p, é dado por: 
 
Exemplo1. Qual o numero de três factores que se podem formar com os elementos do 
conjunto A={2,3,5,7} 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: De quantos modos diferentes se pode escolher uma comissão de três pessoas dum 
grupo de dez pessoas? 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Um saco contem 10 bolas brancas e 7 bolas pretas. Tira-se duas bolas, de quantos 
modos diferentes se podem tirar: 
a) Só bolas brancas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Só bolas pretas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Bolas da mesma cor ? 
 
 
 
 
2.3.2. Combinações complementares 
Para VASCONCELO e ROCHA (2019:55), 
Dados n objectos distintos, qualquer escolha de p destes objectos corresponde à escolha dos 
n- p restantes ou que completam o conjunto. Por exemplo, ao escolhermos os algarismos 1, 2 
e 3 do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, automaticamente os algarismos 4 e 5 ficam escolhidos 
como elementos do conjunto complementar de {1, 2, 3}. Dizemos, por isso, que tais 
combinações são combinações complementares. 
Em virtude do que foi feito, podemos enunciar o seguinte resultado. 
 Propriedade das combinações complementares. Dados os inteiros n e p, com 1 ≤ p ≤ 
n, temos que Cn.p = Cn.n-p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Conclusão 
Depois da realização deste trabalho pode-se concluir que a análise combinatória possui varias 
aplicações, como na probabilidade e estatística e que auxiliam bastante na tomada de decisões 
em diversos sectores como científicos, governamentais, industrial, agrícola, na saúde, no 
sistema de segurança que analisam as combinações possíveis para maior protecção. A análise 
combinatória está presente também em jogos de lotaria, poker entre outros jogos tabuleiros. 
A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas maneiras existem 
para ordenar os elementos de um conjunto finito, fazer permutação é realizar uma troca, esta 
troca é bastante importante por exemplo no campo da genética visto que proporcionam as 
diferenças entre as espécies e se isso não acontecesse todos os seres humanos seriamos 
clones, organismos idênticos geneticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Referencia Bibliográfica 
MORGADO, Augusto C. de O. e outros. Análise Combinatória e Probabilidade: com as 
soluções dos exercícios. Colecção do Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2006. 
SANTOS, J. Plínio O. e outros. Introdução à análise combinatória. Campinas: Ed. da 
UNICAMP, 2002. 
VASCONCELO, Cleiton Baptista; ROCHA, Manoel Américo; Matemática, análise 
combinatória e probabilidade; Editora da universidade estadual de Ceara; 3ª edição; 
Fortaleza – Ceara; 2019