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LISTA DE EXERCÍCIOS 7 – ÁLGEBRA LINEAR 
1. Verifique, em cada caso se 𝑣 é um autovetor da matriz 𝐴. Caso seja, determine o autovalor 
associado a este autovetor. 
a) 𝐴 = 
3 0
8 −1
 , 𝑣 = (1,2) 
b) 𝐴 = 
3 1
1 3
 , 𝑣 = (1,1) 
c) 𝐴 = 
0 3
3 0
 , 𝑣 = (1,1) 
d) 𝐴 = 
2 2
2 −1
 , 𝑣 = (1, −2) 
e) 𝐴 = 
1 2
0 1
 , 𝑣 = (0,1) 
f) 𝐴 = 
3 0 0
0 1 −2
1 0 1
 , 𝑣 = (2, −1,1) 
2. Dada a matriz 𝐴, determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das 
matrizes a seguir. 
a) 𝐴 = 
1 0 0 0
0 1 0 0
1 1 3 0
−2 1 2 −1
 
b) 𝐴 = 
1 3
−2 6
 
c) 𝐴 = 
1 1 0
0 −2 1
0 0 1
 
3. Dada a matriz 𝐴 = 
−1 3 5
0 2 4
0 0 1
 , calcule os autovalores das matrizes 𝐴² e 𝐴³. 
4. Seja 𝐴 uma matriz de ordem 𝑛. Mostre que 𝐴 e sua transposta 𝐴𝑡 tem o mesmo polinômio 
característico. 
5. Mostre que se 𝐴 e 𝐵 são semelhantes então 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐵. 
6. Mostre, em cada caso, que as matrizes a seguir são diagonalizáveis e determine uma matriz 
diagonal 𝐷 e uma matriz 𝑃 tal que 𝐷 = 𝑃−1 . 𝐴. 𝑃. 
a) 𝐴 = 
1 1 0
0 2 −1
0 0 3
 
b) 𝐴 = 
1 0 1
0 1 1
1 1 0
 
c) 𝐴 = 
2 −1 −1
1 0 −1
−1 1 2
 
d) 𝐴 = 
2 −3
1 −1
 
e) 𝐴 = 
4 0 0
1 4 0
0 0 5
 
f) 𝐴 = 
7 −2 0
−2 6 −2
0 −2 5
 
7. Em cada caso, verifique se o operador linear 𝑇: ℝ3 ⟶ ℝ³ é diagonalizável. Caso seja, determine sua 
representação diagonal 𝐷 ∈ 𝑀3 (ℝ) e a matriz P que representa a base dos autovetores 
correspondente. 
a) 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑧, 𝑦, 𝑥 
b) 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦, 𝑦 − 𝑧, 2𝑦 + 4𝑧 
c) 𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 − 2𝑧, 0, −2𝑥 + 4𝑦)
8. Seja 𝑇: ℝ2 ⟶ ℝ² definido por 𝑇 𝑣 = 𝐴𝑣 , sendo 𝐴 = 
1 1
−1 3
 . Mostre que 𝑣1 = 1,1 é autovetor 
de 𝑇 e que o operador 𝑇 não é diagonalizável. 
9. Seja 𝐴 uma matriz quadrada não singular ( 𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0), sendo 𝜆 um autovalor de 𝐴 associado ao 
autovetor 𝑣 . Mostre que 𝜆−1 é um autovalor de 𝐴−1 e que todo autovetor de 𝐴 é também um 
autovetor de 𝐴−1 . 
 
 
GABARITO 
1. a) 𝜆 = 3 
b) 𝜆 = 4 
c) 𝜆 = 3 
d) 𝜆 = −2 
e) Não é autovetor 
f) 𝜆 = 3 
 
2. a)Os autovalores são -1,1 e 3. Os 
autovalores -1 e 3 têm multiplicidades 
algébricas e geométricas igual a 1, e o 
autovalor 1 tem multiplicidade algébrica e 
geométrica igual a 2. Para o autovalor -1 a 
base encontrada foi { 0,0,0,1 }. Para o 
autovalor 1 a base encontrada foi 
{ −2,2,0,3 , −2,0,1,3 }. Para o autovalor 3 
a base encontrada foi { 0,0,2,1 }. 
 
b)Os autovalores são 4 e 3. Os autovalores 4 
e 3 têm multiplicidades algébricas e 
geométricas igual a 1. Para o autovalor 4 a 
base encontrada foi { 1,1 }. Para o 
autovalor 3 a base encontrada foi { 3,2 }. 
 
c)Os autovalores são 1,-2 e 3. Os 
autovalores 1, -2 e 3 têm multiplicidades 
algébricas e geométricas igual a 1. Para o 
autovalor 1 a base encontrada foi { 1,0,0 }. 
Para o autovalor -2 a base encontrada foi 
{ 1, −3,0 }. Para o autovalor 3 a base 
encontrada foi { 1,2,10 }. 
 
3. Os autovalores de 𝐴² são 1,4 e 1. Os 
autovalores de 𝐴³ são -1, 8 e 1. 
6. a) Os autovalores de A são 1, -2 e 3. Como 
são distintos, A é diagonalizável. 𝐷 =
 
1 0 0
0 −2 0
0 0 3
 e 𝑃 = 
1 1 1
0 −3 2
0 0 10
 . 
 b) Os autovalores de A são 1, -1 e 2. Como 
são distintos, A é diagonalizável. 𝐷 =
 
1 0 0
0 −1 0
0 0 2
 e 𝑃 = 
−1 1 1
1 1 1
0 −2 1
 . 
 c) O conjunto de autovetores são LI, logo A é 
diagonalizável. 𝐷 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 2
 e 𝑃 =
 
1 1 1
1 0 1
0 1 −1
 . 
 d) A não é diagonalizável. 
 e) A não é diagonalizável. 
 f) Os autovalores de A são 3, 6 e 9. Como são 
distintos, A é diagonalizável. 𝐷 = 
3 0 0
0 6 0
0 0 9
 e 
𝑃 = 
1 2 2
2 1 −2
2 −2 1
 . 
7. a) 𝑇 é diagonalizável, sua representação 
diagonal é 𝐷 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
 e 𝑃 = 
1 0 1
0 1 0
1 0 −1
 . 
 b) 𝑇 não é diagonalizável. 
 c) T é diagonalizável, sua representação 
diagonal é 𝐷 = 
0 0 0
0 0 0
0 0 5
 e 𝑃 = 
2 0 1
0 1 0
1 0 −2
 . 
8. 𝑇 não é diagonalizável, pois 𝑇 tem apenas um 
autovetor não-nulo.