BASES FUNÇÃO EXPONENCIAL

Prévia do material em texto

BASES MATEMÁTICAS 
PROF. SILVIO TADEU 
 
 
1. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
3.1. DEFINIÇÃO 
LENDA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Conta lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo jogo, a 
fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus 
súditos, então, inventou o xadrez. O Rei maravilhado com o jogo cumpriu sua promessa. Chamou 
o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. O astuto inventor pediu então 
que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, 
seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa 
seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior. O Rei considerou o 
pedido fácil de ser atendido e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa 
quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o 
total de moedas era de 263, o que corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 
9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao inventor seria a soma de todas 
as moedas contidas em todas as casas. O rei estava falido! 
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito rapidamente. Elas 
desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: 
Física, Química, Engenharia, Economia, Biologia e outras. 
(FONTE: http://qi-epitacio-ensino-medio.blogspot.com/2012/04/resumo-historico-sobre-funcao.html) 
 
Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), chama-se função exponencial de base a uma 
função de f em IR em IR*+ definida por f(x) = a
x ou y = ax. 
 
Exemplos: 
f(x) = 3x 
g(x) = (0,4)x 
h(x) = (1/2)x 
t(X) = (√2)X 
 
 
3.2. DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM 
 
 O domínio da função exponencial são todos os reais (D = IR), e seu contradomínio são 
todos os reais não negativos (CD=IR+) e o numero 0. Como a > 0 e a ≠ 1, as imagens da função 
sempre as imagens da serão positivas. 
 
 
3.3. GRÁFICOS: CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 
 Vamos montar o gráfico da função exponencial, mas para isso iremos dividis em dois 
casos: 
Primeiro caso, a > 1. 
Para f(x) = 2x, assumiremos valores quaisquer para x. Assim construiremos a tabela a 
seguir: 
x -2 -1 0 1 2 
2x 2-2 2-1 20 21 2² 
y = 2x 1/4 1/2 1 2 4 
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
Primeiro caso, 0 > a > 1. 
Para f(x) = (½)x, assumiremos valores quaisquer para x. Assim construiremos a tabela a 
seguir: 
x -2 -1 0 1 2 
(1/2)x (1/2)-2 (1/2)-1 (1/2)0 (1/2)1 (1/2)² 
y = (½)x 4 2 1 1/2 1/4 
 
       








x
y
 
 
CONSIDERAÇÕES 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 
 
Portanto, a Função Exponencial será Crescente quando a > 1 e Decrescente 
quando 0 < a < 1. 
 
 
3.4. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
 Desigualdades com a incógnitas no expoente são chamadas de inequações exponenciais. 
Por exemplo: 2x > 10; 25x < √5; etc. 
 
 Vamos resolver a seguinte inequação exponencial. 
Para resolver uma inequação exponencial devemos lembrar que a função exponencial f(x) 
= ax é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1. 
Vamos resolver: 2x + 7 < 32 
Usaremos, inicialmente, a mesma estratégia das equações exponeciais e montar uma 
desigualdade exponencial. 
2x + 7 < 25 → x + 7 < 5 → x < - 2. 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
Exercícios Propostos 
 
1) Resolver as inequações exponenciais (em IR): 
 a) 322 x b) 243
9
1






x
 c) 
3 16
1
)2( x 
 d) 5 625,1516,0 x e) tt /293  f) 0
13
2
2



xx
x
 
 
 
3.5. PROBLEMAS DE VARIAÇÃO EXPONENCIAL 
 
1) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a 
quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0 . 2
-0,25t, em que S0 representa a 
quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da 
quantidade inicial desintegre-se? 
 
2) Suponha que o crescimento de uma cultura de bactérias obedece à lei N(t) = m. 2 t/2, na qual 
N representa o número de bactérias no momento t, medido em horas. Se, no momento 
inicial, essa cultura tinha 200 bactérias, determine o número de bactérias depois de 8 horas. 
 
3) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n 
de bactérias após t horas é dado pela função N(t) = m. 2 t/3. Nessas condições, determine o 
tempo necessário para a população ser de 51.200 bactérias. 
 
 
4) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil 
unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 
1000. (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi 
de: 
a) 900 
b) 1000 
c) 180 
d) 810 
e) 90 
 
5) A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa 
de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos. 
a) Qual será o saldo no final de 12 meses? 
b) Qual será o montante final? 
 
6) (ENEM/2000) – João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os 
descontos possíveis, é de R$ 21 000,00, e esse valor não será reajustado nos 
próximos meses. Ele tem R$ 20 000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de 
juros compostos de 2% ao mês, e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado até 
que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João deverá esperar: 
a) dois meses, e terá a quantia exata. 
b) três meses, e terá a quantia exata. 
c) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00. 
d) quatro meses, e terá a quantia exata. 
e) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00. 
 
7) Para calcular o montante M gerado pela aplicação de um capital C numa instituição 
financeira na modalidade juros compostos a uma taxa mensal fixa i pode ser 
calculado pela relação matemática M(t) = C . (1 + i)t onde t representa a quantidade 
de meses. Considerando que 1,023 = 1,061208, o montante gerado pela aplicação 
de R$ 40.000,00 durante 3 meses a uma taxa fixa de 2% ao mês é: 
a) R$ 42 000,00 
b) R$ 42 448,32 
c) R$ 42 400,00 
d) R$ 44 000,00 
e) R$ 42 200,00 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. (UFPR – 08) Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número 
positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método 
consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x = N e usar propriedades 
dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 
= 0,30 e log 3 = 0,47 use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se 
aproxima de N = 2120330. 
a) 1045 
b) 1050 
c) 1055 
d) 1060 
e) 1065 
2. (FGV-2005) Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do 
tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = Akx, em que A e k são 
constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade 
desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: 
a) R$ 625,00 
b) R$ 550,00 
c) R$ 575,00 
d) R$ 600,00 
e) R$ 650,00 
 
3. (Mack - 2008) Um aparelho celular tem seu preço “y” desvalorizado 
exponencialmente em função do tempo (em meses)”t”, representado pela equação 
y = p⋅qt, com p e q constantes positivas. Se, na compra, o celular custou R$500,00 e, 
após 4 meses, o seu valor é 1/5 do preço pago,8 meses após a compra, o seu valor 
será: 
a) R$25,00 
b) R$24,00 
c) R$22,00 
d) R$28,00 
e) R$20,00 
 
4. (Mack-2005) Se os inteiros x e y satisfazem a equação 3x + 1+ 2y= 2y + 2 -3x, 
então o valor de 3x é: 
a) 1 
b) 3 
c) 1/9 
d) 3 
e) 9 
 
5. (Fuvest-1999) Um jogo eletrônico funciona da seguinte maneira: no início de 
uma série de partidas, a máquina atribui ao jogador P pontos; em cada partida, o 
jogador ganha ou perde a metade dos pontos que tem no início da partida. 
a) Se uma pessoa jogar uma série de duas partidas nas quais ela ganha uma e 
perde outra, quantos pontos terá ao final? 
b) Se uma pessoa jogar uma série de quatro partidas nas quais ela perde duas 
vezes e ganha duas vezes, quantos pontos terá ao final? 
c) Se uma pessoa jogar uma série de sete partidas, qual o menor número de vitórias 
que ela precisará obter para terminar com mais que P pontos? 
 
 
6. (UEL-2003) Um dos traços característicos dos achados arqueológicos da 
Mesopotâmia é a grande quantidade de textos, escritos em sua maioria sobre 
tabuinhas de argila crua. Em algumas dessas tabuinhas foram encontrados textos 
matemáticos datados de cerca de 2000 a.C. Em um desses textos, perguntava-se 
“por quanto tempo deve-se aplicar uma determinada quantia de dinheiro a juros 
compostos de 20% ao ano para que ela dobre?”. 
(Adaptado de: EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 
1995. p. 77.) 
Nos dias de hoje, qual equação seria utilizada para resolver tal 
problema? 
a) (1,2)t = 2 
b) 2t= 1,2 
c) (1,2)t = 2 
d) 2t = 1,2 
e) t2 = 1,2 
 
7. (Vunesp - 2003) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade 
de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q0.2(-0,1)
t sendo q0 a 
quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no 
reservatório após t meses. 
Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do 
que era no início? 
a) 5. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
8. (Uneb-1998) A expressão P(t) = K.20,05t fornece o número P de milhares de 
habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade 
tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela 
tenha no ano 2000? 
a) 352 000 
b) 401 000 
c) 423 000 
d) 439 000 
e) 441 000 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
GOMES, F. M. Pré-Cálculo UNICAMP. Disponível em: < 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/precalculo5.pdf> Acesso: 20 de Fev. de 2017. 
 
IEZZI, G. e MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar. Vol. 1, 8ª Ed. São 
Paulo. 
 
MEDEIROS, J. C. Função exponencial. Disponível em:< 
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-exponencial.html> Acesso em: 
20 de Fev. 2017 
 
SILVA, Silvio Tadeu Teles da. 2013. 219f. O Ensino das Funções Exponencial e 
Logarítmica por atividade. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado 
do Pará, Belém, 2013. 
http://www.ime.unicamp.br/~chico/ma091/precalculo5.pdf
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/funcoes/funcao-exponencial.html