Progressões-Geométricas

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Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco
 
1. Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma 
caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até 
o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria 
os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido 
falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos 
depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de 
a) 42.947,50. 
b) 49.142,00. 
c) 57.330,00. 
d) 85.995,00. 
e) 114.660,00. 
 
2. Em uma Progressão Geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do 
primeiro termo e na qual, o quarto termo é igual a 16875, é correto afirmar que 
a) o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo. 
b) a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o primeiro termo. 
c) o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo. 
d) a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 vezes o segundo termo. 
e) os termos também estão em progressão aritmética. 
 
3. O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência 
( ) nna 3 , com n *, é
−= − ∈ ¥ 
a) 
1
.
27
 
b) 
1
.
81
 
c) 
1
.
243
− 
d) 
1
.
27
− 
e) 
1
.
81
− 
 
4. Um colégio promoveu uma Olimpíada Interna de Matemática cuja prova consistiu de dez 
questões, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e que 
foram pontuadas de acordo com as seguintes regras:
a cada questão não resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foi 
atribuído valor 0;
à resolução correta da questão um foi atribuído o valor 1;
à resolução correta da questão dois foi atribuído o valor 2;
à resolução correta da questão três foi atribuído o valor 4;
à resolução correta da questão quatro foi atribuído o valor 8, e assim sucessivamente, até a 
questão dez.
Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da Olimpíada que obteve um total de 
213 pontos resolveu corretamente 
a) seis questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. 
b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par. 
c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar. 
d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par. 
e) três questões de numeração par e três questões de numeração ímpar. 
 
5. Considere a equação algébrica ( )
3 4 k
k
k 1
x a 0
−
=
∑ − = . Sabendo que x = 0 é uma das raízes e 
que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que 
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a) a soma de todas as raízes é 5. 
b) o produto de todas as raízes é 21. 
c) a única raiz real é maior que zero. 
d) a soma das raízes não reais é 10. 
e) todas as raízes são reais. 
 
6. Não sendo paga quantia alguma relativa a um empréstimo feito por uma pessoa, serão a 
ele incorporados juros compostos de 2,5% a.m.
Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma 
progressão 
a) aritmética de razão 0,25 . 
b) geométrica de razão 1,025 . 
c) aritmética de razão 1,205 . 
d) geométrica de razão 10,25 . 
e) aritmética de razão 12,05 . 
 
7. Observe a sequência de figuras
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse 
quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a 
soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 64 2 cm2. A 
área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é 
igual a 
a) 
2
.
16
 
b) 2 .
4
 
c) 2. 
d) 4 2. 
e) 8 2. 
 
8. Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do 
terceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 
a) 16. 
b) 18. 
c) 22. 
d) 24. 
e) 26. 
 
9. Se a e b são números reais positivos tais que a sequência (a, 6, b) é uma progressão 
aritmética e a sequência (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então o produto de a e b é: 
a) 6. 
b) 10. 
c) 11. 
d) 66. 
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e) nda. 
 
10. De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos ponto 
1 2 iP ,P ,...,P,i∈ ¥ .
Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontos 
1 2 jA ,A ,...,A , j∈ ¥ . Sabe-se que:
- 1 2PP 3 dam=
- 1 iPP 63 dam=
- ( )1 2 2 3PP ,P P ,... é uma progressão aritmética finita de razão 3.
- 1 j 1 iA A PP=
- ( )1 2 2 3A A ,A A ,... é uma progressão geométrica finita de razão 2.
- i j=
Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores 
consecutivas é, em dam, igual a 
a) 63 
b) 32 
c) 18 
d) 16 
 
11. Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse 
R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse 
R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos. 
Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento, 
você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia 
todo o dinheiro? 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
12. A sequência de termos positivos (a1, a2, a3,... an, ...) é uma progressão geométrica de 
razão igual a q .
Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga2 , loga3 , ... logan ...) é: 
a) Uma progressão aritmética de razão q . 
b) Uma progressão geométrica de razão q . 
c) Uma progressão aritmética de razão log q . 
d) Uma progressão geométrica de razão log q . 
e) Uma progressão aritmética de razão (loga1 - logq ). 
 
13. Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de 
xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na 
terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos 
acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas 
informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino 
utilizou na brincadeira é 
a) 480 
b) 511 
c) 512 
d) 1023 
e) 1024 
 
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14. A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade fica 
grande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ou 
incêndios.
Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve 1 km2 e, a cada hora 
subsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo que 
esse processo se mantenha, quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k horas do 
início do incêndio? 
a) 
k3 1
2
−
 
b) 3k 
c) 3k-1 
d) 
k3
2
 
e) 
k 13 1
2
+ −
 
 
15. Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma 
unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é 
a) 211-1. 
b) 211+1. 
c) 212-1. 
d) 212+1. 
e) 213-1. 
 
16. Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações 
matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de 
Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o 
apresenta da seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre 
dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre essesdez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; 
Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, 
a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e 
assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a
( ) n1102
n 0
1 1
d 10 1 ... 10 .
10 10
∞
=
= + + + + = + ∑
É correto afirmar que: 
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a) d = + ∞ 
b) d = 11,11 
c) d = 
91
9
 
d) d = 12 
e) d = 
100
9
 
 
17. Na manhã de segunda-feira uma empresa começou sua produção de iogurte do seguinte 
modo: adicionou a um litro de iogurte, já pronto, três litros de leite. Após 24 horas, havia 4 litros 
de iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para dar 
sequencia à produção. Se a empresa continuou esse processo, então, na manhã de sexta-
feira, o total de litros de iogurte obtidos foi de 
a) 45 
b) 46 
c) 28 
d) 29 
 
18. Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada 
choque com o solo, ela recupera apenas ½ da altura anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o 
momento de repouso é: 
a) 12 m 
b) 6 m 
c) 8 m 
d) 4 m 
e) 16 m 
 
19. Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra 
a velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C.
Se 1 2 3(E , E , E ) é uma progressão geométrica 
de razão 
1
2
, a razão da progressão geométrica 
1 2 3(V , V , V ) está indicada em: 
a) 1 
b) 2 
c) 2
2
 
d) 
1
2
 
 
20. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir.
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Pontos Velocidade
(m/s)
Energia cinética
(J)
A V1 E1
B V2 E2
C V3 E3
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Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em 
quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e 
nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de 
a) 
5
1
100 .
4
 
  
 
b) 
6
1
100 .
3
 
  
 
c) 
5
1
100 .
3
 
  
 
d) 
6
3
100 .
4
 
  
 
e) 
5
3
100 .
4
 
  
 
 
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Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [D]
(1,2,4,8,.. 2048)
Considerando a P.G., temos:
2048 = 1.2 n-1
2n -1 = 211
n = 12 (12 meses = 1 ano)
Soma dos montantes S = 
121.(2 1)
4095
2 1
− =
−
(por ano)
No 21o aniversário, termos: 21 . 4095 = 85.995,00. 
Resposta da questão 2:
 [B]
Considerando o primeiro termo igual a x e a razão igual a 3x, temos:
P.G. ( )2 3 4 5x,3x ,9x ,27x ,81x ,...
427x 16.875=
X= 5 ( P.G. crescente)
Temos a PG de razão 15 e primeiro termo 5 ( 5, 75, 1125 , 16.875, ... )
Logo, a resposta b é a correta 5 + 75 + 1125 = 241.5. 
Resposta da questão 3:
 [B]
a4 = (-3)-4 = 4
1 1
81( 3)
=
− 
Resposta da questão 4:
 [D]
O valor de cada uma das questões, em ordem crescente, é: 0 1 2 3 4 5 6 7 82 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 e 
92 .
Portanto, se um participante obteve 213 pontos, então ele acertou as questões 1, 3, 5, 7 e 8. 
Resposta da questão 5:
 [A]
2 + 2q + 2q2 = 6 ⇔ q2 + q – 2 = 0, logo q = -2 ou q = 1
Para q = 1 temos: 
(x-2)3 + (x – 2)2 + (x – 2) = 0 não apresenta o zero como raiz.
Para q = -2 temos:
(x – 2)3 + ( x+4)2 + (x – 8) = 0 ⇔ x3 -5x2 + 21x = 0 ⇔ x.(x2 – 5x + 21 ) = 0
Resolvendo a equação, temos x = 0 ou x -= 
5 i. 59
2
±
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Portanto, a soma de todas as raízes será 5. 
Resposta da questão 6:
 [B]
Se C é o capital emprestado, n é o número de meses após a concessão e a taxa de juros é 
2,5% 0,025 a.m.,= segue que o montante é dado por n nC (1 0,025) C (1,025) .⋅ + = ⋅ 
Portanto, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma 
progressão geométrica de razão 1,025. 
Resposta da questão 7:
 [A]
A sequência é uma P.G. infinita de razão
1
q
2
= , vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10 
seu décimo termo.
1
1
A 1
64 2 A .64 2 32 2
1 21
2
= ⇔ = =
−
Logo, A 10 = 
10 1
1 2
32 2.
2 16
−
  =  
 
Resposta da questão 8:
 [B]
Se (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 3, então (a, b, c) (a, 3a, 9a).=
Por outro lado, de acordo com o enunciado, temos que (a, 3a, 9a 8)− é uma progressão 
aritmética. Logo, sabendo que o termo central é a média aritmética dos extremos, vem que 
a 9a 8
3a 5a 4 3a a 2.
2
+ −= ⇔ − = ⇔ =
Portanto, a soma pedida é a 3a 9a 8 13a 8 13 2 8 18.+ + − = − = ⋅ − = 
Resposta da questão 9:
 [C]
Se (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então 2a b ( 11) 11.⋅ = = 
Resposta da questão 10:
 [B]
( )
ia 3 (n 1).3 3n
3 3n n
63 n 6
2
= + − =
+
= ⇔ =
Sabemos que o número de postes é igual ao número de árvores.
Portanto, na PG temos:
6
1
1
a (2 1)
63 a 1
2 1
−
= ⇔ =
−
Temos então a figura:
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Logo, a maior distância entre duas árvores será 32m. 
Resposta da questão 11:
 [B]
Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos: 
9
9
a 100 8.150 1300
(100 1300).9
S 6.300
2
= + =
+= =
Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:
( )n
n
n
2 1
100. 6300
2 1
2 1 63
2 64
n 6
−
=
−
− =
=
=
Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses. 
Resposta da questão 12:
 [C]
1 2 3 n
2 n 1
1 1 1 1
1 1 1 1
(loga , loga , loga , , loga , )
(loga , loga q, loga q , , loga q , )
(loga , loga logq, loga 2logq, , loga (n 1)logq, ).
−
=
=
+ + + −
K K
K K
K K
Como
1 1 1 1(loga logq) loga (loga 2logq) (loga logq) logq,+ − = + − + = =K
segue que 1 2 3 n(loga , loga , loga , , loga , )K K é uma PA de razão logq. 
Resposta da questão 13:
 [C]
A quantidade de grãos colocados pelo menino em cada casa constitui uma progressão 
geométrica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão vale 2. Logo, segue que a quantidade de 
grãos colocados até a nona casa foi de 
−⋅ =
−
92 1
1 511.
2 1
Como os grãos só acabaram na décima casa, temos que a quantidade mínima de grãos que o 
menino utilizou na brincadeira é + =511 1 512. 
Resposta da questão 14:
 [A]
(1,3,9, ...) temos uma P.G de razão 3. A soma das áreas na hora k será:
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k k1.(3 1) 3 1
S
3 1 2
− −= =
−
. 
Resposta da questão 15:
 [E]
O termo geral da sequência é an = 2n – 1
Logo a13 = 213 -1 
Resposta da questão 16:
 [E]
( ) n1102
n 0
1 1
d 10 1 ... 10 .
10 10
∞
=
= + + + + = + ∑
 PG infinita de razão 1/10
d = 9
100
10
9
10
10
1
1
10 ==
− 
Resposta da questão 17:
 [C]
Terça ----------------- 1 + 3 = 4 L de iogurte.
Quarta ----------------4 + 3.4 = 16 L de iogurte.
Quinta ----------------16 + 3.16 = 64 L de iogurte.
Sexta ------------------64 + 64.3 = 256 L = 28 L de iogurte. 
Resposta da questão 18:
 [A]
S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + ½ +1/2 + ...
S = 4 + 4 + 2 + 1 + ½ + ...( P.G. infinita de razão ½)
S = 4 + 
2
1
1
4
− (soma dos termos da P.G. Infinita)
S = 4 + 8 
S = 12m 
Resposta da questão 19:
 [C]
Sabendo que a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade V é dada por 
2mV
,
2
 
segue que:
2
21
1 1
2
22
2 2
2V
E V ,
2
2V
E V
2
= =
= =
e
2
23
3 3
2V
E V .
2
= =
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Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton FrancoComo 1 2 3(E , E , E ) é uma PG de razão 
1
,
2
 temos que:
2
1 1
2
E V
E
2 2
= = e 
2
2 1
3
E V
E .
2 4
= =
Assim,
2
2 1 1
2 2
V 2V
V V
2 2
= ⇒ =
e
2
2 1 1
3 2
V V
V V .
4 2
= ⇒ =
Em que:
1 1
3 2
2 1 11
V 2V
V V 22 2 ,
V V V 22V
2
= ⇔ = =
ou seja, 1 2 3(V , V , V ) é uma PG de razão 
2
.
2
 
Resposta da questão 20:
 [E]
Na primeira etapa: 10.10 = 100
Na segunda etapa: (3/4).100
Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4)2.100
Temos, então uma P.G. de razão q = ¾
Portanto o sexto termos será (3/4)5. 100 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração: 13/10/2011 às 23:10
Nome do arquivo: pGeometrica
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo
 1..................100548.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
 2..................104567.............Matemática.........Upe/2011................................Múltipla escolha
 3..................101507.............Matemática.........Uftm/2011...............................Múltipla escolha
 4..................105303.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
 5..................101529.............Matemática.........Ita/2011...................................Múltipla escolha
 6..................105339.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
 7..................102041.............Matemática.........Ifsp/2011.................................Múltipla escolha
 8..................105420.............Matemática.........Ufrs/2011................................Múltipla escolha
 9..................102815.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha
 10................106448.............Matemática.........Epcar (Afa)/2011.....................Múltipla escolha
 11................103191.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
 12................100045.............Matemática.........Fgv/2011.................................Múltipla escolha
 13................106671.............Matemática.........Espcex (Aman)/2011..............Múltipla escolha
 14................104245.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha
 15................91127...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
 16................91299...............Matemática.........Uff/2010..................................Múltipla escolha
 17................93026...............Matemática.........G1 - cftmg/2010......................Múltipla escolha
 18................96745...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha
 19................97344...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
 20................91126...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
 
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