Geometria Inversiva conceitos iniciais e arte

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O INVERSO DE UM NUMERO REAL 
DIFERENTE DE ZERO:
Interpretação geométrica:
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O INVERSO DE UM PONTO 
( O inverso de um ponto no plano inversivo)
Seja S(O;r) um círculo de centro O e raio r em , 
plano inversivo obtido acrescentando ao plano 
euclidiano o ponto ideal comum a todas as retas.
A transformação biunívoca que transforma 
um ponto , no ponto tal que
é dita inversão com respeito a C . 
O ponto O é dito centro de inversão, S é o círculo de 
inversão e r é a potência de inversão.
:I E E →
P E 'P OP
2. 'OP OP r=
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DEFINIÇÃO 
( )I O =  ( )I O =
E

Jakob Steiner ( 18 de março de 1796 —
1 de abril de 1863) foi um matemático
suíço.
A produção bibliográfica de Steiner
centrou-se na geometria, em que
procurou aperfeiçoar-se no campo
sintético, excluindo totalmente a
analítica, a qual odiava e dizia ser uma
desgraça para a geometria mesmo
quando por ela se obtinham iguais ou
melhores resultados.
Foi considerado o maior gênio da
geometria pura desde Apolônio de Perga.
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre(25/10/2018). 5
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:JakobSteiner.jpg
Não existem mais retas paralelas no plano inversivo, 
duas retas quaisquer têm pelo menos um ponto em 
comum, a saber, o infinito, as retas paralelas no plano 
euclidiano são agora tangentes no plano inversivo.
Na verdade, não existem mais retas.
As retas se tornaram círculos com a adição do ponto infinito
em suas “duas pontas”. Desta forma temos agora dois tipos 
de círculos, aqueles contidos no plano (ou seja, finitos) 
e os que passam pelo infinito. A estes últimos chamaremos, 
quando for conveniente, de retas, em respeito a suas vidas 
passadas no plano euclidiano.
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EM GEOMETRIA INVERSIVA DOIS OBJETOS GEOMÉTRICOS
ENTRE PONTOS, RETAS E CÍRCULOS SÃO CONSIDERADOS:
TANGENTES: QUANDO POSSUEM UM 
ÚNICO PONTO EM COMUM;
Obs: retas paralelas (no plano euclidiano)
agora possuem o ponto infinito em comum.
SECANTES: QUANDO POSSUEM MAIS DE UM
PONTO EM COMUM;
Obs: retas concorrentes (no plano euclidiano)
agora possuem também o ponto infinito em comum.
DISJUNTOS: QUANDO NÃO POSSUEM PONTO
EM COMUM;
INVERSÃO DE PONTOS:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um círculo de centro A e raio AB (círculo de inversão);
Passo 2: Marque três pontos C, D e E;
Passo 3: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 4: Clique no ponto C e depois no círculo de Inversão;
Passo 5: Repita este procedimento para os pontos D e E.
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CONCLUSÃO:
1) Se um ponto está no interior do círculo de inversão
seu inverso estará no exterior do círculo de inversão;
2) Se um ponto está no exterior do círculo de inversão
seu inverso estará no interior do círculo de inversão;
3) Se um ponto está no círculo de inversão seu inverso 
coincide com ele;
4) O inverso do centro do círculo de inversão é o ponto infinito;
5) O inverso do ponto infinito é o centro do círculo de inversão.
INVERSÃO DE RETAS:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um círculo de centro A e raio AB (círculo de inversão);
Passo 2: Construa uma reta CD que não passe pelo centro do círculo de inversão;
Passo 3: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 4: Clique na reta e depois no círculo de Inversão;
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CONCLUSÃO:
1) O inverso de uma reta é um círculo que passa pelo centro
do círculo de inversão;
2) O inverso de duas retas paralelas são dois círculos tangentes
no centro do círculo de inversão;
3) O inverso de duas retas concorrentes são dois círculos 
secantes no centro do círculo de inversão e no inverso do
ponto de concorrência das retas;
4) O inverso de um segmento de reta é um arco de círculo;
5) A inversão transforma retas em círculos e segmentos em
arcos de círculos.
INVERSÃO DE CÍRCULOS QUE NÃO PASSAM PELO
CENTRO DO CÍRCULO DE INVERSÃO:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um círculo de centro A e raio AB (círculo de inversão);
Passo 2: Construa um círculo que não passe pelo centro do círculo de inversão;
Passo 3: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 4: Clique no círculo e depois no círculo de Inversão;
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INVERSÃO DE CÍRCULOS QUE PASSAM PELO
CENTRO DO CÍRCULO DE INVERSÃO:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um círculo de centro A e raio AB (círculo de inversão);
Passo 2: Construa um círculo que passe pelo centro do círculo de inversão;
Passo 3: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 4: Clique no círculo e depois no círculo de Inversão;
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CONCLUSÃO:
1) O inverso de um círculo que não passa pelo centro
do círculo de inversão é um círculo;
2) O inverso de um círculo que passa pelo centro
do círculo de inversão é uma reta;
3) A inversão transforma círculo em reta;
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Inversão e semelhança:
Sejam O, A e B pontos não colineares do plano inversivo e S(O,r)
um círculo de inversão, então, os triângulos OAB e OA’B’ são
semelhantes.
E
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Inversão da reta:
Seja r uma reta em . Então sua inversa r’ é:
1) A própria reta r se o centro de inversão pertence a reta;
2) Um círculo passando pelo centro de inversão se o centro de inversão
não pertence a reta.
E
INVERSÃO DO CÍRCULO:
1º CASO: O CENTRO DE INVERSÃO PERTENCE AO CÍRCULO;
Demonstração: Como o inverso de uma reta que não passa pelo 
centro de inversão é um círculo passando pelo centro de 
inversão, o inverso de um círculo que passa pelo centro de 
inversão é uma reta (perpendicular a reta dos centros, porquê?).
2º CASO: O CENTRO DE INVERSÃO NÃO PERTENCE 
AO CÍRCULO;
Demonstração: seja A um ponto qualquer do círculo C tal que a 
semireta OA intercepta C em outro ponto B, temos então que:
2
2 2 2
. ' . ( , )
' ' '
OAOA r OAOB Potência O C p
r r r
OA OA OA OB
pOA p
OB
=  = =
=  =  =
Vemos que é a imagem de B pela homotetia de centro O e 
razão . Como A foi escolhido arbitrariamente em C, 
concluímos que é a imagem de C por esta homotetia, como 
homotetia leva círculo em círculo, é um círculo.
2r
p
'C
'C
'A
Mostramos assim que é a imagem de C por uma homotetia. 
Isto não significa que a inversão coincide com a homotetia pois a 
imagem de B pela homotetia é , não .
'C
'A 'B
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INVERSÃO DE TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um triângulo equilátero ABC;
Passo 2: Marque o centro D do triângulo equilátero ABC;
Passo 3: Construa um círculo de centro D e raio DA (círculo de inversão);
Passo 4: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 5: Clique em cada um dos lados do triângulo equilátero e depois no círculo de Inversão;
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INVERSÃO DE HEXÁGONOS REGULARES:
Construções no Geogebra
Passo 1: Construa um hexágono regular ABCDEF;
Passo 2: Marque o centro G hexágono regular ABCDEF;
Passo 3: Construa um círculo de centro G e raio GA (círculo de inversão);
Passo 4: Na barra das transformações, acione a tecla de inversão; 
Passo 5: Clique em cada um dos lados do hexágono regular e depois no círculo de Inversão;
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Arte 1
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Arte 2
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Arte 3
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Arte 4
1) S. M. R. Lopes, Complexidade em geometria euclidiana plana. 2002.
Disponível em: 
http://www.im-uff.mat.br/puc-rio/complexidade/complexidade-em-
geometria.pdf
Acesso em 27 set. 2018.
2) M. Spira, Como transformar retas em círculos e vice versa: a inversão 
e construções geométricas. 2004.
Disponível em: http://www.bienasbm.ufba.br/M52.pdf.
Acesso em: 27 set. 2018.
Vídeos no YouTube (com o professor Michel Spira):
3) https://www.youtube.com/embed/jZBe1FonWX4
4) https://www.youtube.com/embed/zwhQ-bvrvIs
5) https://www.youtube.com/embed/aiZE1ZXzWyU
6) https://www.youtube.com/embed/P-whEt7Cg7s
Referências
http://www.im-uff.mat.br/puc-rio/complexidade/complexidade-em-geometria.pdf
http://www.bienasbm.ufba.br/M52.pdf
https://www.youtube.com/embed/jZBe1FonWX4
https://www.youtube.com/embed/zwhQ-bvrvIs
https://www.youtube.com/embed/aiZE1ZXzWyUhttps://www.youtube.com/embed/P-whEt7Cg7s
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