CÁLCULO CONCEITOS 6

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CÁLCULO – CONCEITOS 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Zanardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! 
Na aula de hoje vamos tratar de funções compostas e de funções inversas. Falaremos 
também sobre ponto de equilíbrio. 
Assista ao vídeo do professor Ricardo sobre os conteúdos da aula acessando o material 
on-line! 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Em muitos momentos de nossas vidas, precisamos tomar decisões, no campo 
profissional e também no pessoal. Mas você já parou para pensar em como tomamos 
decisões? 
O processo de tomada de decisões segue critérios previamente estabelecidos. Para 
comprarmos uma roupa, por exemplo, podemos estabelecer alguns critérios tais como 
o modelo, o tamanho e o preço. Se as três condições são satisfeitas, concretizamos a 
compra. Se pelo menos um desses critérios não estiver de acordo com o esperado, a 
compra não é realizada. 
É claro que os critérios são muitas vezes subjetivos e podem variar de acordo com 
quem está tomando a decisão ou de acordo com o contexto em que esses critérios se 
encontram. 
A matemática pode ser muito útil no processo de tomada de decisões. Estudos 
comprovam que a falta de conhecimento matemático pode provocar muitos prejuízos 
em situações que envolvem quantidades. 
Ao escolhermos uma operadora de telefonia celular, por exemplo, temos diversos 
planos disponíveis e com preços variados. Vamos supor que temos dois planos de 
telefonia celular que mais chamaram a atenção e que estão de acordo com as 
expectativas. 
O primeiro plano tem uma mensalidade de R$ 39,90 com 50 minutos de ligações. 
Ultrapassando esses 50 minutos, cada minuto adicional tem um custo de R$ 0,79. O 
outro plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 também com 50 minutos para ligações 
e cada minuto adicional tem um custo de R$ 0,69. 
 
 
3 
Se formos utilizar no máximo 50 minutos por mês, o primeiro plano é o mais adequado, 
pois tem uma mensalidade menor. No entanto, se ultrapassarmos esses 50 minutos, 
iremos pagar pelo tempo adicional de conversa. Mesmo tendo uma mensalidade mais 
barata, os minutos adicionais do primeiro plano são mais caros do que os do segundo 
plano. 
Nesse caso, o primeiro plano será vantajoso até um certo ponto. Depois disso, o 
segundo plano será mais viável financeiramente. 
 Mas que ponto é esse? 
 Até quantos minutos adicionais o primeiro plano é melhor? 
 A partir de quantos minutos o segundo plano é melhor? 
Isso e muito mais é o que veremos nessa aula! 
TEMA 1 – FUNÇÕES COMPOSTAS 
As funções compostas estão relacionadas a problemas onde temos grandezas 
associadas entre si por duas ou mais leis de composição. Por exemplo, a receita de 
uma empresa está associada à produção e essa produção está associada à demanda. 
Nesse caso, podemos dizer que a receita está associada à demanda. Conhecendo a 
relação entre a receita e a produção e entre a produção e a demanda, é possível 
estabelecer a relação que há entre a receita e a demanda. E é isso que veremos a 
seguir. 
Para iniciarmos nossos estudos, vamos assistir ao seguinte vídeo sobre funções 
compostas. https://www.youtube.com/watch?v=P1Y5Sh8sw7A 
Podemos dizer, então, que uma função composta: f(g(x)) é constituída pelas funções 
f(u) e g(x) onde substituímos u por g(x) na expressão de f(u). 
 
Para entendermos melhor, vamos ver agora um exemplo relacionado à aplicação de 
funções compostas. 
 
 
4 
O nível de monóxido de carbono em uma pequena cidade é de: 
m(p)=0,7p+1 
Partes por milhão quando a população corresponde a p mil habitantes. Estima-se que 
daqui a t anos, a partir da data atual, a população será de 
p(t)=45+0,2t2 mil habitantes. 
a) Qual é a função que relaciona o nível de monóxido de carbono com o tempo? 
Nesse caso, temos a relação entre o nível de monóxido de carbono e a população, 
dada por m(p)=0,7p+1 e temos também a relação entre a população e o tempo, dada 
por p(t)=45+0,2t2. Precisamos relacionar o nível de monóxido de carbono com o tempo. 
Para isso, na função m(p)=0,7p+1, vamos substituir a variável p pela expressão 
45+0,2t2, pois p(t)=45+0,2t2. 
m(p(t))=0,7(45+0,2t2)+1 
Vamos agora aplicar a lei distributiva, multiplicando 0,7 por 45 e também 0,7 por 0,2t2 
m(p(t))=31,5+0,14t2+1 
Somando 31,5 com 1, temos 
m(p(t))=32,5+0,14t2 
Que é a relação entre o nível de monóxido de carbono e o tempo. 
 
b) Qual é o nível atual de monóxido de carbono? 
Sabemos que a relação entre o nível de monóxido de carbono e o tempo é dada por: 
m(p(t))=32,5+0,14t2 
Para sabermos o nível atual de monóxido de carbono, vamos substituir a variável t por 
0. 
m(p(0))=32,5+0,14(0)2 
m(p(0))=32,5+0,14(0) 
m(p(0))=32,5+0 
 
 
5 
m(p(10))=32,5 ppm 
Portanto, o nível atual de monóxido de carbono é de 32,5 partes por milhão. 
 
c) Qual será o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos? 
Para determinarmos o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos, basta 
substituirmos t por 10 na expressão 
m(p(t))=32,5+0,14t2, 
O que resulta em 
m(p(10))=32,5+0,14(10)2 
m(p(10))=32,5+0,14(100) 
m(p(10))=32,5+14 
m(p(10))=46,5 ppm 
Sendo assim, o nível de monóxido de carbono daqui a 10 anos será de 46,5 partes por 
milhão. 
Seja as funções f(t)=2t2-5t e t(x)=4x+1. Escreva a função f(t(x)). 
Resolução: 
Sabemos que f(t)=2t2-5t e que t(x)=4x+1. Para encontrarmos f(t(x)), basta substituirmos 
4x+1 no lugar de t na função f(t)=2t2-5t: 
f(t(x))=2(4x+1)2-5(4x+1). 
Em primeiro lugar precisamos resolver a potência (4x+1)2. 
f(t(x))=2(16x2+8x+1)-5(4x+1) 
Vamos agora efetuar as multiplicações: 
f(t(x))=32x2+16x+2-20x-5 
Somando os termos semelhantes, temos: 
f(t(x))=32x2-4x-3 
 
 
6 
que é a função procurada. 
Vamos assistir o professor Ricardo e suas explicações sobre as funções compostas? 
Para isso, acesse o material on-line! 
EXEMPLOS COM FUNÇÕES COMPOSTAS 
Agora que já sabemos o que são funções compostas, vamos resolver alguns exemplos 
relacionados a esse assunto. 
O primeiro deles consiste em, dadas duas funções f e g, determinarmos a função 
composta fog. 
1. Determine f(g(x)) onde f(u)=3u+5 e g(x)=x2+1. 
Substituindo x2+1 no lugar da variável u, na função f(u)=3u+5, temos: 
f(g(x))=3(x2+1)+5 
f(g(x))=3x2+3+5 
f(g(x))=3x2+8 
O segundo exemplo mostra que é possível utilizarmos o que aprendemos até aqui para 
realizarmos a decomposição de funções. 
2. Seja    22
2
12
1
3


 x
x
xf , faça, convenientemente, a decomposição da função f. 
Sabendo que    22
2
12
1
3


 x
x
xf , podemos escrever f(x) como: 
  22
3
u
u
uf  
Onde 12  xu . 
A seguir, dois vídeos apresentando exercícios resolvidos relacionados às funções 
compostas. 
https://www.youtube.com/watch?v=NKIuiSk4zSs 
https://www.youtube.com/watch?v=Dfy6Eov80SY 
 
 
 
7 
1. Considere as funções dadas a seguir denotadas por f(x) e g(x). Determine o domínio 
destas funções. Determine as expressões (equações) das funções compostas (f+g)(x), 
(f-g)(x), (g-f)(x), (f.g)(x), (f/g)(x), (g/f)(x), (fog)(x) e (gof)(x) e os domínios destas funções. 
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 e 𝒈(𝒙) = √𝒙 − 𝟏 
b) 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙 e 𝒈(𝒙) = √𝒙 
c) 𝒇(𝒙) = 𝟒. 𝒙𝟐 + 𝟐 e 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝒙) 
 
Resolução: 
a) Para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 tem-se: 𝐷𝑓 = {𝑅} pois não ocorrem restrições 
nesta função. Em relação a função e 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1 ocorre uma raiz de índice par, 
fazendo com que no radicando somente sejam aceitos valores não negativos, ou 𝑥 −
1 ≥ 0 ou ainda 𝑥 ≥ 1 resultando 𝐷𝑔 = [1; +∞). As expressões resultantes e os 
correspondentes domínios, para as funções compostas serão: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + √𝑥 − 1 
 𝐷𝑓+𝑔 = [1; +∞) 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − √𝑥 − 1 𝐷𝑓−𝑔 = [1; +∞) 
(𝑔 − 𝑓)(𝑥) = √𝑥 − 1 − 𝑥2 − 3𝑥 𝐷𝑔−𝑓 = [1; +∞) 
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥). √𝑥 − 1 = 𝑥2. √𝑥 − 1 + 3𝑥. √𝑥 − 1 𝐷𝑓.𝑔 = [1; +∞) 
(𝑓/𝑔)(𝑥) =
𝑥2+3𝑥
√𝑥−1
 𝐷𝑓/𝑔 = (1; +∞) 
(Para a situaçãode divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso x=1 deve ser excluído) 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
√𝑥−1
𝑥2+3𝑥
=
√𝑥−1
𝑥.(𝑥+3)
 𝐷𝑔/𝑓 = [1; +∞) 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso x=0 e x=-3 devem ser excluídos, porém estes valores não pertencem ao domínio 
de sobreposição das funções originais, restando então o domínio informado) 
 
 
8 
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = (√𝑥 − 1)
2
+ 3. √𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 3√𝑥 − 1 𝐷𝑓𝑜𝑔 = [1; +∞) 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de f(x)) 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 − 1 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de g(x), ou onde 𝑥2 + 3𝑥 − 1 ≥ 0. 
Resolvendo esta inequação tem-se as raízes (fórmula quadrática) calculados como: 
𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−3 ± √32 − 41. (−1)
2.1
=
−3 ± √13
2
=
−3 ± 3,6
2
 
Resultando 𝑥1 ≅ 0,3 e 𝑥2 ≅ −3,3 . Considerando-se que é desejado valores maiores 
ou iguais a zero, deve-se tomar os intervalos fora das raízes, de forma a obter 𝐷𝑔𝑜𝑓 =
(−∞; −3,3] ∪ [0,3; +∞) 
b) Considerando as funções 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = √𝑥 . Para a função 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥 tem-se: 𝐷𝑓 = {𝑅} pois não ocorrem restrições nesta função. Em relação a função 
e 𝑔(𝑥) = √𝑥 ocorre uma raiz de índice par, fazendo com que no radicando somente 
sejam aceitos valores não negativos, ou 𝑥 ≥ 0 resultando 𝐷𝑔 = [0; +∞). As 
expressões resultantes e os correspondentes domínios, para as funções compostas 
serão: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑒𝑥 + √𝑥 𝐷𝑓+𝑔 = [0; +∞) 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑒𝑥 − √𝑥 𝐷𝑓−𝑔 = [0; +∞) 
(𝑔 − 𝑓)(𝑥) = √𝑥 − 𝑒𝑥 𝐷𝑔−𝑓 = [0; +∞) 
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑒𝑥. √𝑥 𝐷𝑓.𝑔 = [0; +∞) 
(𝑓/𝑔)(𝑥) =
𝑒𝑥
√𝑥
 𝐷𝑓/𝑔 = (0; +∞) 
 
 
9 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso x=0 deve ser excluído) 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
√𝑥
𝑒𝑥
 𝐷𝑔/𝑓 = [0; +∞) 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso no denominador ocorre a função exponencial que NUNCA se anula, restando 
apenas a observação do numerador que envolve a radiciação, onde o radicando deve 
ser não negativo). 
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = √𝑒𝑥 𝐷𝑓𝑜𝑔 = {𝑅} 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de f(x). A variável x pode assumir qualquer valor real, 
ocasionando em 𝑒𝑥 valores sempre positivos, ou seja, o radicando será sempre 
positivo que é a condição de existência de raízes de índice par). 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑒√𝑥 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de g(x), ou onde: 
 𝑥 ≥ 0 𝐷𝑔𝑜𝑓 = [0; +∞) 
c) Para a função 𝑓(𝑥) = 4. 𝑥2 + 2 tem-se: 𝐷𝑓 = {𝑅} pois não ocorrem 
restrições nesta função. Em relação a função e 𝑔(𝑥) = ln (𝑥) ocorre uma situação 
de logaritmo, fazendo com que no logaritmando somente sejam aceitos valores 
positivos, ou 𝑥 > 0 resultando 𝐷𝑔 = (0 ; +∞). As expressões resultantes e os 
correspondentes domínios, para as funções compostas serão: 
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 4. 𝑥2 + 2 + ln (𝑥) 𝐷𝑓+𝑔 = (0 ; +∞) 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 4. 𝑥2 + 2 − ln (𝑥) 𝐷𝑓−𝑔 = (0 ; +∞) 
(𝑔 − 𝑓)(𝑥) = ln(𝑥) − 4. 𝑥2 − 2 𝐷𝑔−𝑓 = (0 ; +∞) 
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = (4x2 + 2). ln (𝑥) 𝐷𝑓.𝑔 = ( 0 ; +∞) 
 
 
10 
(𝑓/𝑔)(𝑥) =
4x2+2
ln (𝑥)
 𝐷𝑓/𝑔 = (0; 1) ∪
(1; +∞) 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso x=1 deve ser excluído pois o ln(1)=0): 
(
𝑔
𝑓
) (𝑥) =
ln (𝑥)
4𝑥2+2
 𝐷𝑔/𝑓 = (0 ; +∞) 
(Para a situação de divisão deve-se excluir valores que zerem o denominador, neste 
caso no denominador sempre ocorrerão valores positivos, restando apenas a 
observação do numerador que envolve o logaritmo, onde o logaritmando deve ser 
positivo). 
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) = 4. (ln(𝑥))2 + 2 𝐷𝑓𝑜𝑔 = (0 ; +∞) 
(O domínio de fog(x) são todos os valores do domínio de g(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de f(x). A variável x pode assumir qualquer valor real 
positivo devido estar no logaritimando). 
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = ln (4𝑥2 + 2) 
(O domínio de gof(x) são todos os valores do domínio de f(x) cujo conjunto imagem 
contenha os valores do domínio de g(x), ou seja, são todos os valores reais): 
𝐷𝑔𝑜𝑓 = (−∞; +∞) 
 
Para fixarmos melhor o que aprendemos até aqui, vamos assistir ao vídeo do professor 
Ricardo sobre a resolução de problemas sobre funções compostas! Para isso, acesse 
o material on-line! 
 
TEMA 2 – FUNÇÕES INVERSAS 
Além das funções compostas, um estudo útil e importante é sobre funções inversas. 
Para podermos determinar a função inversa de uma dada função, precisaremos, 
primeiro, saber o que são funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras. Para isso, vamos 
assistir ao vídeo a seguir. 
 
 
11 
https://www.youtube.com/watch?v=tQ7o3EezYo8 
Para sabermos como encontrar a inversa de uma função, temos um vídeo bem 
interessante. 
https://www.youtube.com/watch?v=mRIW3fFw3eE 
Sabemos que uma função f relaciona valores de y a partir de certos valores de x. Mas 
será que temos como fazer o processo inverso, ou seja, conhecendo y, saber qual é o 
valor de x? 
? xy
yx


 
Caso exista essa possibilidade, temos uma situação onde é feita a inversão de uma 
função. Para podermos determinar a inversa de uma função f, essa função f deve ser 
bijetora. Mas o que é uma função bijetora? Uma função bijetora é uma função que 
atende a seguinte condição: 
para )()( 2121 xfxfxx  e ffCD Im , 
Ou seja, cada valor de y deve estar associado a um único valor de x e todos os valores 
do contradomínio devem estar associados aos elementos do domínio de f. 
Bom, agora que sabemos o que é uma função bijetora, podemos definir o que é uma 
função inversa. 
Se f é uma função bijetora com domínio A e imagem B, então f-1 (função inversa de f) é 
a função com domínio em B e imagem em A definida por 
f-1(b)=a se e somente se f(a)=b. 
Podemos visualizar o que é uma função inversa observando a imagem a seguir. 
 
 
12 
 
Se f relaciona s elementos do conjunto A com os elementos do conjunto B, a inversa f-
1 relaciona esses elementos de B com os elementos do conjunto A. É bom ressaltar 
que nem todas as funções possuem inversa. 
1. Para as funções dadas a seguir, faça a representação gráfica e utilize o teste da linha 
horizontal para verificar se a função terá inversa. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 3𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑦 =
2
𝑥
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = ln(𝑥) 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥2 + 4 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = √𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 𝑥3 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑦 =
𝑥
𝑥−3
 
Resolução: O teste da linha horizontal consiste em imaginar linhas horizontais para 
verificar se cortam o gráfico em uma única posição (função bijetora que admitirá 
inversa), ou em mais de uma posição (função não admitirá inversa). 
a) Admite inversa 
 
 
13 
 
b) Admite inversa 
 
c) Admite inversa 
 
d) Não admite inversa 
 
 
14 
 
e) Admite inversa 
 
f) Admite inversa 
 
g) Admite inversa 
 
 
 
15 
Vamos assistir ao professor Ricardo falando um pouco mais sobre as funções inversas? 
Acesse o material on-line! 
EXEMPLOS RELACIONADOS ÀS FUNÇÕES INVERSAS 
Em diversas situações práticas podemos fazer uso das funções inversas. Por exemplo, 
se temos o lucro em função das vendas dado por 
L=1,5x-2000 
É possível estimarmos as vendas em função do lucro: 
5,1
2000
20005,1
20005,1
20005,1





L
x
Lx
Lx
xL
 
Por exemplo, se o lucro mensal foi de R$ 8.500,00, o número de unidades vendidas foi 
igual a 7.000, pois 
7000
5,1
10500
5,1
20008500
5,1
2000






x
xx
L
x
 
Esse é um exemplo da utilização de funções inversas em situações reais. 
O exemplo nos mostra como podemos determinar a inversa de uma determinada 
função. 
Seja 
1
)(


x
x
xf . Determine )(
1 xf  . 
Considerando a função 
1
)(


x
x
xf , com o intuito de simplificarmos a notação utilizada, 
podemos fazer )(xfy  . Logo 
1

x
x
y 
 
 
16 
Vamos agora escrever y no lugar de x e x no lugar de y 
1

y
y
x 
O nosso objetivo é isolar y para que tenhamos a função inversa. Para isso vamos 
multiplicar os dois membros por y+1 
yyx  )1( 
Multiplicando x por y e x por 1, temos: 
yxxy  
Subtraindo x e subtraindo y dos dois membros, temos: 
xyxy  
Vamos agora colocar y em evidência: 
xxy  )1( 
O próximo passo é dividir ambos os membros por x-1: 
1


x
x
y 
Como a variável x está no numerador com o sinal negativo, podemos ainda simplificar 
essa expressão. Para isso, vamos colocar, no denominador, o sinal negativo em 
evidência: 
)1( 


x
x
y 
Finalmente, comparando os sinais do numerador e do denominador, temos a função 
inversa dada por: 
x
x
y


1
 
Vamos ver agora diversos exemplos de funções e, caso existam, suas respectivas 
inversas. 
 )(xf 
 )(
1 xf  
 
 
17 
 15 x 
5
1x
 
 
1
1


x
x
 
1
1


x
x
 
 2x A função f(x)=x2 não possui 
i inversa, pois f não é bijetora. 
C Contra-exemplo: 
 f(2)=4 e f(-2)=4. 
 
 3x 
 
3 x 
 xe xln 
 23 x 
 
3
2
,
3
22


x
x
 
 
1. Calcule as funções inversas das funções dadas. 
a) 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟏 
b) 𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝟐
𝒙
 
c) 𝒇(𝒙) = 𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙) 
d) 𝒇(𝒙) = 𝒚 = √𝒙 
e) 𝒇(𝒙) = 𝒚 =
𝒙
𝒙−𝟑
 
 
Resolução: 
a) Para a função: 𝑦 = 3𝑥 + 1 faz-se 𝑥 = 3𝑦 + 1 e isolando y vem 𝑥 − 1 =
3𝑦 ou 𝑦 =
𝑥−1
3
. A seguir o gráfico das duas funções, a original e a inversa. 
 
 
 
18 
b) Para a função 𝑦 =
2
𝑥
 faz-se 𝑥 =
2
𝑦
 e isolando y vem 𝑦 =
2
𝑥
 que é a mesma 
função original. 
 
c) Para a função: 𝑦 = ln(𝑥) faz-se 𝑥 = ln (𝑦) e isolando y vem 𝑒𝑥 = 𝑒ln(𝑦) =
𝑦 ou 𝑦 = 𝑒𝑥. A seguir os gráficos das duas funções, a original e a inversa: 
 
d) Para a função: 𝑓(𝑥) = 𝑦 = √𝑥 faz-se 𝑥 = √𝑦 e elevando ao quadrado tem-
se 𝑥2 = 𝑦 e isolando 𝑦 = 𝑥2 . A seguir os gráficos das duas funções, a original e 
a inversa: 
 
 
 
19 
e) Para a função: 𝑓(𝑥) = 𝑦 =
𝑥
𝑥−3
 faz-se a troca de variáveis obtendo-se 𝑥 =
𝑦
𝑦−3
 e invertendo as frações tem-se 
1
𝑥
=
𝑦−3
𝑦
= 1 −
3
𝑦
 que pode ser reescrito 
1
𝑥
− 1 =
−
3
𝑦
 ou 1 −
1
𝑥
=
3
𝑦
 . Aplicando mmc no lado esquerdo vem 
𝑥−1
𝑥
=
3
𝑦
 e finalmente 
invertendo as frações tem-se 𝑦 =
3𝑥
𝑥−1
. 
 
Acesse o material on-line e confira a apresentação do professor Ricardo sobre diversos 
problemas envolvendo funções inversas! 
 
TEMA 3 – PONTO DE EQUILÍBRIO 
Para finalizarmos, vamos falar sobre ponto de equilíbrio. Matematicamente, quando 
pensamos em ponto de equilíbrio, estamos pensando em igualdade entre funções. 
Essas igualdades podem estar relacionadas a equilíbrio entre oferta e demanda, entre 
receitas e despesas... 
O vídeo a seguir está relacionado ao ponto de equilíbrio. 
https://www.youtube.com/watch?v=Z-ydL91brmI 
Vamos ver agora um exemplo prático que nos mostra a importância do ponto de 
equilíbrio. 
Uma empresa comercializa um determinado produto a um preço de R$ 50,00. Logo, a 
receita total dessa empresa consiste em ganhos relacionados diretamente à venda 
desses produtos. A função receita é 
R(x)=50x 
 
 
20 
Onde R indica a receita total e x indica a quantidade de produtos comercializados. 
Temos ainda que cada produto tem um custo de R$ 30,00 e também que, mensalmente, 
essa empresa possui custos fixos que totalizam R$ 5.000,00. Logo, a função que 
associa o custo C com a quantidade de produtos vendidos x é 
C(x)=30x+5000. 
Para determinarmos o ponto de equilíbrio dessa empresa ou, nesse caso, o número de 
unidades que devem ser vendidas para que essa empresa consiga pagar os seus 
custos e também qual é a receita referente a esse volume de vendas precisamos 
escrever uma expressão onde a receita R deve ser igual ao custo C e, em seguida, 
isolarmos o valor e x. 
250
20
5000
500020
50003050
50003050





x
x
x
xx
xx
 
Com isso, sabemos que a empresa precisa vender 250 unidades do seu produto para 
que possa pagar os seus custos. 
Vamos agora determinar qual é essa receita, em reais. 
Como R(x)=50x, R(250)=50(250). Logo, R(250)=12.500. Do mesmo modo, 
C(250)=12.500. 
Graficamente, o ponto de equilíbrio consiste na intersecção dos gráficos das funções 
R(x)=50x e C(x)=30x+5000. 
 
 
 
21 
Uma grande empresa pretende terceirizar o serviço de manutenção de computadores 
e tem dois possíveis contratos que estão em análise. No primeiro contrato a empresa 
prestadora de serviço cobra uma taxa mensal de R$ 1.200,00 mais R$ 50,00 para cada 
computador que precisou de manutenção. No segundo contrato não há taxa mensal, 
mas o custo por computador que precisou de manutenção é de R$ 100,00. 
Sob o ponto de vista financeiro, qual dos dois contratos é mais vantajoso em relação 
ao número de computadores que precisam mensalmente de manutenção? 
Resolução: 
fA=50x+1200 
fB=100x 
fA=fB 
50x+1200=100x 
50x-100x=-1200 
-50x=-1200 x(-1) 
50x=1200 
x=1200/50 
x=24 
Para até 24 computadores mensais, o contrato B é mais vantajoso. Para 24 
computadores ou mais por mês, o contrato A é mais vantajoso. 
No material on-line, o professor Ricardo aborda os principais conteúdos relacionados 
ao ponto de equilíbrio. Não deixe de acessar! 
 
APLICAÇÕES 
Vamos agora ver que podemos utilizar os conhecimentos adquiridos para que 
possamos tomar decisões em problemas reais. 
Como exemplo, vamos considerar uma empresa de planos de saúde que oferece duas 
opções para os seus clientes: 
 
 
22 
Plano A: mensalidade de R$ 100,00 mais R$ 50,00 por consulta. 
Plano B: mensalidade de R$ 150,00 mais R$ 25,00 por consulta. 
Supondo que as demais coberturas tais como exames, cirurgias, internamentos e 
atendimentos de emergência são iguais para os dos planos, qual é o plano que mais 
se adapta às características de um determinado cliente, em função do número de 
consultas mensais? 
Para que possamos determinar qual é a melhor escolha, vamos, primeiro, escrever as 
funções que relacionam o valor mensal a ser pago pelo cliente com o número de 
consultas realizadas. Para isso, basta, para cada plano, multiplicarmos o valor de cada 
consulta por x, que corresponde ao número de consultas por mês e, em seguida, 
somarmos esse valor ao preço da mensalidade, que é constante. 
A: f(x)=50x+100 
B: g(x)=25x+150 
 Para determinarmos o ponto de equilíbrio, vamos igualar as funções f e g e em seguida 
determinar o valor de x. 
2
25
50
5025
1001502550
1502510050





x
x
x
xx
xx
 
Chegamos à conclusão que o ponto de equilíbrio ocorre quando x é igual a 2, ou seja, 
quando temos duas consultas por mês os dois panos têm o mesmo custo para o cliente. 
Precisamos agora determinar qual plano é financeiramente mais vantajoso para quem 
tem, em média, até duas consultas por mês e para quem tem mais do que duas 
consultas mensais. 
O plano que tem uma mensalidade menor é mais vantajoso para quem tem poucas 
consultas por mês, ou seja, o plano A é maisvantajoso para até duas consultas 
mensais. Por outro lado, o plano B é mais vantajoso para mais do que duas consultas 
mensais, pois esse apresenta um valor menor por consulta, mesmo tendo uma 
mensalidade maior do que a mensalidade cobrada pelo plano A. 
 
 
23 
Graficamente, temos a seguinte situação: 
 
O valor a ser pago, tanto no plano A quanto no plano B, para duas consultas 
corresponde a R$ 200,00. Para chegarmos a esse valor, basta substituirmos x por 2 na 
função f(x)=50x+100 ou na função g(x)=25x+150. 
Podemos entender melhor essa aplicação assistindo ao vídeo do professor Ricardo no 
material on-line! 
 
NA PRÁTICA 
Lembra-se do problema colocado no início da aula? 
 Precisamos decidir sob o ponto de vista financeiro qual dos dois planos de 
telefonia celular é mais viável. Sabemos que o primeiro plano tem uma mensalidade de 
R$ 39,90 e que cada minuto adicional tem um custo de R$ 0,79. 
 O segundo plano tem uma mensalidade de R$ 49,90 e cada minuto adicional 
custa R$ 0,69. 
 Como o primeiro plano tem uma mensalidade menor, é mais viável para poucos 
minutos adicionais. O segundo plano tem um custo menor por minuto adicional. 
Logo, até quantos minutos adicionais o primeiro plano é melhor? 
A partir de quantos minutos o segundo plano é melhor? 
Resolução 
Para podermos resolver esse problema, precisamos encontrar o ponto de equilíbrio, 
que é o ponto onde os custos mensais dos dois planos são iguais para um certo número 
de minutos adicionais. 
 
 
24 
Primeiro, vamos escrever a função que relaciona o custo total do primeiro plano com o 
número de minutos adicionais: 
y=0,79x+39 
Onde y é o custo total por mês e x é o número de minutos adicionais. 
Em relação ao segundo plano, a função que relaciona o custo mensal y com os minutos 
adicionais x é dada por: 
y=0,69x+49 
Podemos encontrar o ponto de equilíbrio igualando 
as duas funções: 
0,79x+39=0,69x+49 
Agora precisamos colocar no primeiro 
membro os termos que contêm a variável x 
e no segundo membro os termos 
independentes: 
0,79x-0,69x=49-39 
 
Efetuando as subtrações, temos: 0,1x=10 
Dividindo ambos os membros por 0,1, temos: 0,1x/0,1=10/0,1 
Logo: x=100 
 
Portanto, o valor de x que iguala o custo dos dois planos é 100, ou seja, até 100 minutos 
adicionais o primeiro plano é mais vantajoso e a partir de 100 minutos adicionais o 
segundo plano é mais vantajoso. Observe que nesse caso não estamos considerando 
outros planos, mas poderíamos comparar esse resultado com planos de 100 ou mais 
minutos para verificar o que é mais vantajoso. 
 
SÍNTESE 
Nessa aula tratamos de funções compostas e de funções inversas. Vimos que elas 
podem ser muito úteis na resolução de problemas práticos. Tratamos também de ponto 
de equilíbrio e da importância desse tema no processo de tomada de decisões. 
Para saber mais, a sugestão é a leitura dos capítulos 13 e 14 da obra Pré-Cálculo dos 
autores Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Gregory D. Foley e Daniel Kennedy, 2a 
edição, editora Pearson. 
 
 
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REFERÊNCIA 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2a Ed, São 
Paulo, Pearson, 2013.