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Regra da Derivada do Produto para a Antiderivação
"Método de Integração por Partes"
O "Método de Integração por Partes" que formularemos aqui, nada mais é do que
a bem conhecida Regra da Derivada do Produto, reescrita em termos de integrais.
Se f e g são duas funções diferenciáveis então a Regra da Derivada do Produto
diz que
(fg)′ = f ′g + fg′
logo ∫
(fg)′ dx =
∫
f ′g dx+
∫
fg′ dx
Como
∫
(fg)′ dx = fg, podemos escrever a identidade acima na forma:
Método Integração por Partes∫
f ′g dx = fg −
∫
fg′ dx
Note que este método não diz, de caras, quanto é a integral
∫
f ′g dx. O método
relaciona essa integral com a outra integral,
∫
fg′ dx, que, eventualmente, poderá
ser mais simples de resolver!
Vamos ver que este método é bastante útil para resolver algumas integrais, como
por exemplo ∫
x(x+ 1)8 dx
Note que se trata de uma integral de um polinômio de grau 9, mas a ideia é
resovê-la sem desenvolver (x+ 1)8, o que seria bastante trabalhoso. Se na integral
acima não tivéssemos o fator x, sería bastante simples (sería a integral de uma
potência simples). A ideia é aplicar o Método de Integração por Partes à integral
acima, para "eliminar" o fator x, derivando-o. Para a gente poder derivar x por
aplicação deste método, inicialmente temos de escrever o outro fator que aparece na
integral como a derivada de alguma função (uma sua antiderivada) para, depois de
aplicar o método, a derivada passar para o x como pretendido. Mais precisamente,
começamos escrevendo∫
x(x+ 1)8 dx =
∫
x
(
(x+ 1)9
9
)′
dx
Agora aplicamos o Método de Integração por Partes:∫
x
(
(x+ 1)9
9
)′
dx = x
(x+ 1)9
9
−
∫
x′
(x+ 1)9
9
dx
= x
(x+ 1)9
9
−
∫
(x+ 1)9
9
dx
O fator x desapareceu, como pretendíamos, e agora ficamos reduzidos a calcular
uma integral simples. Continuando,
x
(x+ 1)9
9
− 1
9
∫
(x+ 1)9 dx = x
(x+ 1)9
9
− 1
9
(x+ 1)10
10
+ C
Portanto, ∫
x(x+ 1)8 dx =
1
9
x(x+ 1)9 − 1
90
(x+ 1)10 + C
1
2
Sería muito difícil chegar a este resultado sem aplicar algum método !
Exercício: Derive o resultado e confirme que está certo.
Outros exercícios : Use o Método de Integração por Partes para resolver as
seguintes integrais:
(1)
∫
x
√
x+ 1 dx
(2)
∫
x√
3x+ 2
dx
(3)
∫
x2 (x+ 1)
1
3 dx Sugestão: use integração por partes 2 vezes
Gabarito: Para confirmar o seu resultado, derive o resultado e confirme!