AV1 - Fundamentos da Resistências dos Materiais -Roberta

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA DE FUNDAMENTOS DE 
RESISTÊNCIAS DOS MATERIAIS 
 
 
Nome: Roberta Manoela Pinheiro da Silva 
Matrícula: 01033613 
Curso: Engenharia de Produção 
 
 
A propositura de atividade com contextualização é de suma importância para a 
fixação do entendimento sobre o assunto, visto que são apresentadas, 
circunstâncias que ajudam a formar uma compreensão total a respeito de um 
tema e não de modo fragmentado, contribuindo assim para a descoberta e 
construção do conhecimento do aluno, por meio da observação e da participação 
em atividades autênticas. 
 
E seguindo, esse ideal juntamente com o cronograma da disciplina, foi 
disponibilizado um case, contendo uma situação-problema, que para sua 
resolução será necessário conhecimento acerca de todo o conteúdo 
apresentado na disciplina de fundamentos da resistência dos materiais. 
 
Para tanto, a atividade propõe considerar uma viga biapoiada de concreto 
armado de seção retangular, que está sujeita apenas a ação do próprio peso, 
com as seguintes características: comprimento total de 10 m; altura da seção de 
50 cm; base da seção de 25 cm; módulo de elasticidade de 30.000 Mpa e peso 
específico de 25 kN/m³. 
Figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deve ser considerado, ainda, que a carga de peso próprio é distribuída 
uniformemente ao longo da viga pela fórmula: 
 
q = (peso específico do material) . b . h [k N/m] 
 
Já para a flecha no meio do vão (deslocamento vertical), pode ser obtida através 
da fórmula: 
 
w = (5/384) . [(q. L27(EI)] 
 
q kN/m 
A 
(S0) (S1) (S2) (S3) (S4) 
2,5m 2,5m 2,5m 2,5m 
B 
 
 
Onde q é a carga distribuída, L é o comprimento total da barra, E é o módulo de 
elasticidade e I é o momento de inércia da seção. 
 
Diante do exposto, deve ser determinado as reações de apoio da viga, os valores 
de momento fletor e os valores dos deslocamentos verticais para cada seção; 
 
Assim, considerando que a carga de peso próprio é distribuída uniformemente 
ao longo da viga pela acima descrita, temos: 
 
 Comprimento total (L): 10 m 
 Altura da seção (h): 50 cm ou 0,50 m 
 Base da seção (b): 25 cm ou 0,25 m 
 Módulo de elasticidade (E): 30.000 Mpa 
 Peso específico: 25 kN/m³ 
 
E observando a figura 1, é possível identificar que trata-se de carga distribuída, 
de modo que calculamos (q): 
 
q = (peso específico) . b . h [k N/m] 
 
 𝑞 = 25 ∙ 0,25 ∙ 0,5 
 
𝑞 = 3,12 N/m 
 
Para calcular as reações de apoio da viga, é necessário identificar a existência 
de um diagrama de corpo livre e de uma carga distribuída, onde deverá ser 
calculado a carga distribuída multiplicado pela distância que ela está 
percorrendo. Cabe ressaltar ainda, que não se tem nenhuma carga ou apoio na 
horizontal, apenas na vertical. 
 
E tendo como referência o ponto A, a soma das forças na vertical tem que ser 
igual a zero. E tendo o ponto B como referência, a soma das dos momentos tem 
que ser igual a zero. 
 
De modo que tem-se: 
 
𝐹 = 0 
 
 𝑉 + 𝑉 = 𝑞 ∙ 𝑙 
 
 
𝑀 = 0 
 
−𝑉 ∙ 𝑙 + (𝑞 ∙ 𝑙) ∙
1
2
= 0 
 
 
 
(𝑞 ∙ 𝑙) ∙
1
2
= 𝑉 ∙ 𝑙 
𝑉 = 
𝑞𝑙
2
 
 
𝑉 = 
3,12 ∙ 10
2
 
 
𝑉 = 
31,2
2
 
 
𝑉 = 15,6 𝐾𝑁/𝑚 
 
E para ratificar o cálculo, faz-se a soma do momento 𝑀 = 0 
 
𝑀 = 0 
 
𝑉 ∙ 𝑙 − (𝑞 ∙ 𝑙) ∙
1
2
= 0 
 
(𝑞 ∙ 𝑙) ∙
1
2
= 𝑉 ∙ 𝑙 
 
𝑉 = 
𝑞𝑙
2
 
 
𝑉 = 
3,12 ∙ 10
2
 
 
𝑉 = 
31,2
2
 
 
𝑉 = 15,6 𝐾𝑁/𝑚 
 
Já para calcular o momento fletor, será utilizada a integral da força cortante, 
conforme a seguir: 
 
𝑀 = 𝑉(𝑥)𝑑𝑥 
 
𝑀 = −𝑞𝑥 + 
𝑞𝑙
2
𝑑𝑥 
 
𝑀 = −
𝑞𝑥
2
+
𝑞𝑙𝑥
2
 
 
 
 
 
E para encontrar o momento máximo, deverá ser substituir 𝑥 por , conforme 
abaixo: 
 
𝑀 = −
𝑞
2
𝑥 +
𝑞𝑙
2
𝑥 
 
𝑀 = −
𝑞
2
∙
𝑙
2
+
𝑞𝑙
2
∙
𝑙
2
 
 
𝑀 = −
𝑞
2
∙
𝑙
4
+
𝑞𝑙
2
∙
𝑙
2
 
 
𝑀 = −
𝑞𝑙
8
+
𝑞𝑙
4
∙
2
2
 
 
𝑀 = −
𝑞𝑙
8
+
2𝑞𝑙
8
 
 
𝑀 = 
𝑞𝑙
8
 
 
𝑀 = 
3,12 ∙ 10
8
 
 
𝑀 = 
3,12 ∙ 10
8
 
 
𝑀 = 
3,12 ∙ 100
8
 
 
𝑀 = 
312
8
 
 
𝑀 = 39 𝐾𝑁/𝑚 
 
Para calcular S0 tem-se que (x = 0), para S1 tem-se que (x = 2,5), para S2 tem-
se que (x = 5), para S3 tem-se que (x = 7,5), e finalmente, para S4, tem-se que (x 
= 10), conforme a seguir: 
𝑀 = −
𝑞
2
𝑥 +
𝑞𝑙
2
𝑥 
 
𝑀 = −
3,12
2
𝑥 +
(3,12 ∙ 10)
2
𝑥 
 
 𝑀 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
 
Sendo S0, tem-se: 
𝑆 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
𝑆 = (15,6 ∙ 0) − (1,56 ∙ 0 ) 
 
𝑆 = 0 𝐾𝑁/𝑚 
 
Sendo S1, tem-se: 
𝑆 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
𝑆 = (15,6 ∙ 2,5) − (1,56 ∙ 2,5 ) 
 
𝑆 = 39 − 9,75 
 
𝑆 = 29,25 𝐾𝑁/𝑚 
 
Sendo S2, tem-se: 
𝑆 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
𝑆 = (15,6 ∙ 5) − (1,56 ∙ 5 ) 
 
𝑆 = 78 − 39 
 
𝑆 = 39 𝐾𝑁/𝑚 
 
Sendo S3, tem-se: 
𝑆 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
𝑆 = (15,6 ∙ 7,5) − (1,56 ∙ 7,5 ) 
 
𝑆 = 117 − 87,75 
 
𝑆 = 29,25 𝐾𝑁/𝑚 
 
E, sendo S4, tem-se: 
𝑆 = 15,6𝑥 − 1,56𝑥 
 
𝑆 = (15,6 ∙ 10) − (1,56 ∙ 10 ) 
 
𝑆 = 156 − 156 
 
𝑆 = 0 𝐾𝑁/𝑚 
 
Assim, o momento fletor ocorre em S2 quando atinge 39 𝐾𝑁/𝑚. 
 
 
Para calcular os deslocamentos verticais para cada seção, tem-se a se a 
seguinte equação: 
 
𝐼 = 
𝑏 ∙ ℎ
12
 
 
Neste momento, cabe resgatar os valores anteriormente fornecidos, sendo para 
a base da seção (b) que é 25 cm ou 0,25 m e para a altura da seção (h) é 50 cm 
ou 0,50 m, de modo que se tem: 
 
𝐼 = 
0,25 ∙ 0,5
12
 
𝐼 = 0,0026 
Já para o módulo de elasticidade (E) é 30.000 Mpa ou 30000000 KN/m, assim 
tem: 
 
𝑤 =
−𝑞𝑥(𝑙 − 2𝑙𝑥 + 𝑥 )
24𝐸𝐼
 
 
E sabendo que 𝐸 = 30000000 e 𝐼 = 0,0026, poderá ser calculado o S0, onde (x 
= 0), o S1 onde (x = 2,5), S2 onde (x = 5), S3 onde (x = 7,5) e S4 onde (x = 10): 
 
𝑆 =
(−3,12 ∙ 0) ∙ (10 − 2 ∙ 10 ∙ 0 + 0 )
24 ∙ 30000000 ∙ 0,0026
 
𝑆 = 0 𝑚 
 
𝑆 =
(−3,12 ∙ 2,5) ∙ (10 − 2 ∙ 10 ∙ 2,5 + 2,5 )
24 ∙ 30000000 ∙ 0,0026
 
𝑆 =
−7,8 ∙ 890,62
1872000
 
𝑆 =
−6946,875
18872000
 
𝑆 = −0,0037 𝑚 
 
𝑆 =
(−3,12 ∙ 5) ∙ (10 − 2 ∙ 10 ∙ 5 + 5 )
24 ∙ 30000000 ∙ 0,0026
 
𝑆 =
−15,6 ∙ 625
1872000
 
 
 
𝑆 =
−9750
18872000
 
𝑆 = −0,0052 𝑚 
 
𝑆 =
(−3,12 ∙ 7,5) ∙ (10 − 2 ∙ 10 ∙ 7,5 + 7,5 )
24 ∙ 30000000 ∙ 0,0026
 
𝑆 =
−23,4 ∙ 296,875
1872000
 
𝑆 =
−6946,875
18872000
 
𝑆 = −0,0037 𝑚 
 
𝑆 =
(−3,12 ∙ 7,5) ∙ (10 − 2 ∙ 10 ∙ 7,5 + 7,5 )
24 ∙ 30000000 ∙ 0,0026
 
𝑆 =
−31,2 ∙ 0
1872000
 
𝑆 =
−0
18872000
 
𝑆 = 0 𝑚 
 
E ainda de acordo com a atividade proposta, supondo que haja uma necessidade 
de reduzir à flecha no meio do vão pela metade, e que, para tanto, a única 
alternativa seja aumentar a altura da seção da viga, utilizando incrementos de 5 
cm, deverá ser determinado a altura a partir da qual o deslocamento vertical no 
centro da viga atenda a essa necessidade. 
 
De modo que, para o primeiro incremento de 5 cm na seção da viga, temos h = 
550 cm, ou 0,55 m. E sabendo que a base é 0,25 m e o peso 25 kN/m³, tem-se: 
𝑞 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑝𝑒𝑠𝑜 
𝑞 = 0,25 ∙ 0,55 ∙ 25 
𝑞 = 3,4375 𝑘𝑁/𝑚 
 
Já para encontrar o deslocamento vertical, tem-se: 
𝐼 = 
𝑏 ∙ ℎ
12
 
 
 
𝐼 = 
0,25 ∙ 0,55
12
 
𝐼 = 0,03466 
E para identificar o deslocamento máximo, deverá ser considerado o módulo de 
elasticidade (E) sendo 30000000 KN/m e o comprimento total (L) é 10 m, tem-
se: 
𝛿 =
5𝑞𝑙
384𝐸𝐼
 
𝛿 =
5 ∙ 3,4375 ∙ 10
384 ∙ 30000000 ∙ 0,03466
 
𝛿 = 0,0043 
O deslocamento vertical máximo de 0,0043 é maior que 0,0026. 
Para determinar o segundo incremento de 5 cm (0,60 cm), sabendo que a base 
é 0,25 m e o peso 25 kN/m³, para h = 0,60 m, tem-se: 
𝑞 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑝𝑒𝑠𝑜 
𝑞 = 0,25 ∙ 0,60 ∙ 25 
𝑞 = 3,75 𝑘𝑁/𝑚 
E para achar o deslocamento vertical, tem-se: 
𝐼 = 
𝑏 ∙ ℎ
12
 
𝐼 = 
0,25 ∙ 0,60
12
 
𝐼 = 0,045 
Considerando que o módulo de elasticidade (E) é 30000000 KN/m e o 
comprimento total (L) é 10 m, para achar o deslocamento máximo, tem-se: 
𝛿 =
5𝑞𝑙
384𝐸𝐼
 
𝛿 =
5 ∙ 3,75 ∙ 10
384 ∙ 30000000 ∙ 0,045
 
𝛿 = 0,0036 
E assim, o deslocamento vertical máximo de 0,0036 é maior que 0,0026. 
 
 
 
Para o terceiro incremento de5 cm (0,65 cm), sabendo que a base é 0,25 m e o 
peso 25 kN/m³, para h = 0,65 m, tem-se: 
𝑞 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑝𝑒𝑠𝑜 
𝑞 = 0,25 ∙ 0,65 ∙ 25 
𝑞 = 4,06 𝑘𝑁/𝑚 
Já para achar o deslocamento vertical tem-se: 
𝐼 = 
𝑏 ∙ ℎ
12
 
𝐼 = 
0,25 ∙ 0,65
12
 
𝐼 = 0,05721 
Considerando que o módulo de elasticidade (E) é 30000000 KN/m e o 
comprimento total (L) é 10 m, para achar o deslocamento máximo, tem-se: 
𝛿 =
5𝑞𝑙
384𝐸𝐼
 
𝛿 =
5 ∙ 4,06 ∙ 10
384 ∙ 30000000 ∙ 0,05721
 
𝛿 = 0,0030 
O deslocamento vertical máximo de 0,0030 é maior que 0,0026. 
Para encontrar o quarto incremento de 5 cm (0,70 cm), sabendo que a base é 
0,25 m e o peso 25 kN/m³, para h = 0,70 m, tem-se: 
𝑞 = 𝑏 ∙ ℎ ∙ 𝑝𝑒𝑠𝑜 
𝑞 = 0,25 ∙ 0,70 ∙ 25 
𝑞 = 4,375 𝑘𝑁/𝑚 
E para achar o deslocamento vertical, tem-se: 
𝐼 = 
𝑏 ∙ ℎ
12
 
𝐼 = 
0,25 ∙ 0,70
12
 
𝐼 = 0,007146 
Considerando que o módulo de elasticidade (E) é 30000000 KN/m e o 
comprimento total (L) é 10 m, para achar o deslocamento máximo, tem-se: 
 
 
𝛿 =
5𝑞𝑙
384𝐸𝐼
 
𝛿 =
5 ∙ 4,375 ∙ 10
384 ∙ 30000000 ∙ 0,007146
 
𝛿 = 0,0026 
O deslocamento vertical máximo de 0,0026 é igual a 0,0026. 
Diante dos cálculos ora expostos, chega-se ao entendimento de que a viga 
deverá ter 70 cm para reduzir pela metade o deslocamento máximo. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
BENTO, Daniela A. Fundamentos de resistência dos materiais. Florianópolis: 
GEMM/CEFETSC, 2003. Disponível em: 
https://ecivilufes.files.wordpress.com/2011/03/fundamentos-de-resistc3aancia-
dos-materiais-apostila.pdf. Acesso em: 15 de novembro de 2022 
 
Deslocamento Vertical - Estrutura Isostática. Teoria do Zero. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=rjsEtczi_5k. Acesso em: 29 de novembro de 
2022. 
 
HALLACK, João C.; H LEMONGE, Afonso C.; BARBOSA, Flávio S.; HALLACK, 
Patrícia H. Apostila de resistência dos materiais I. Juiz de Fora: UFJF, março 
2015. Disponível em: http://www.ufjf.br/mac002/files/2014/08/apostila.pdf. 
Acesso em: Acesso em: 15 de novembro de 2022. 
 
HORVATH, Daniel Stefan Christiano. Fundamentos de Resistência dos 
Materiais. Ser Educacional. Recife-PE, 2020. 
 
LAGES, Andressa Eulálio. Cálculo de flecha em viga pelo método da linha 
elástica. Guia da Engenharia, 2017. Disponível em: 
https://www.guiadaengenharia.com/flecha-viga-linha-elastica. Acesso em: 26 de 
novembro de 2022. 
 
MEIRA, Fabiano. Diagrama de Momento Fletor e Esforço Cortante de viga 
isostática. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=bb7qt3NZBGg. 
Acesso em: 29 de novembro de 2022.