Relatório 10 YAGO DIAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DO EXPERIMENTO N° 10 
Avaliação das frequências naturais de um sistema discreto de 3 graus de 
liberdade com acelerômetros 
 
 Yago Muniz Dias 00318988 
 
 
 
 
 
 
Relatório desenvolvido durante disciplina 
de Medições mecânicas, ministrada pelo 
professor Herbert Martins Gomes 
 
 
 
 
PORTO ALEGRE 
Agosto de 2022 
 
 
Resumo 
Este experimento consiste na análise vibratória completa de uma estrutura de três 
graus de liberdade. A partir dos dados geométricos e do material, as frequências naturais 
e os modos de vibração de uma estrutura foram determinados teoricamente por análise de 
vibração livre sem amortecimento viscoso. Em seguida, dados de um ensaio 
experimental, realizado com a utilização de acelerômetros equipados sobre a estrutura, 
foram coletados e processados de forma a apresentar os mesmos pontos da análise teórica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1 Introdução.................................................................. Erro! Indicador não definido. 
2 Objetivos ................................................................... Erro! Indicador não definido. 
3 Equipamentos utilizados ........................................... Erro! Indicador não definido. 
4 Procedimentos ........................................................... Erro! Indicador não definido. 
5 Resultados .................................................................................................................. 5 
5.1 Avaliação dos dados obtidos ............................................................................... 5 
6 Discussão .................................................................................................................... 6 
7 Conclusões ................................................................................................................. 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 
Um sistema oscilatório pode ser modelado por um sistema massa-mola-
amortecedor, e é classificado de acordo com a natureza do amortecimento e com a 
quantidade de coordenadas independentes necessárias para descrever seu movimento, ou 
seja, o grau de liberdade. A caracterização das frequências naturais que um sistema possui 
e aos modos de vibração em que ele será submetido a vibrar são parâmetros que, por 
exemplo, garantem a segurança e o funcionamento do sistema em estudo, devido à sua 
influência no comportamento do movimento. 
Neste relatório serão determinados os parâmetros de um sistema de 3 graus de 
liberdade experimentalmente. O sistema constitui-se de duas hastes engastadas livre com 
3 massas. Então, serão comparadas as frequências naturais teóricas com a experimentais 
obtidas pelo gráfico do espectro de frequências do sinal de aceleração. 
 
2. OBJETIVOS 
 
Avaliar as frequências naturais de um sistema discreto de 3 Graus de Liberdade 
com o uso da acelerometria. Avaliar as mesmas frequências comparativamente de forma 
analítica. Avaliar a razão de amortecimento para cada modo de vibração. Obter os modos 
de vibração de forma analítica e experimental. Cuidados com instalação e obtenção de 
sinais com acelerômetros. 
 
3. EQUIPAMENTOS UTILIZADOS 
 
• 1 Placa de aquisição externa USB-1208FS da empresa Measurement Computing 
com 12 bits de resolução e escala de medição de ±5V. cabo USB para ligação ao 
laptop; 
• 1 software de Aquisição Agilent Vee 7.5 comercial, da empresa Agilent, com 
capacidade de linguagem de programação orientada a objeto e interface gráfica de 
fácil utilização (Licença UFRGS) 
• 3 acelerômetros modelo ADXL203 da empresa Analog Devices com limites de 
medição de ±1,7g e faixa de frequência de 0-2kHz. 
• Um pórtico em aço e blocos de plástico (tecnil) formando um sistema de 3 graus 
de liberdade com os acelerêmetros colados e instalados em cada patamar. 
 
 
• 2 sarjentos (No.2) e bloco de metal para prender a base do pórtico em uma 
bancada. 
 
4. PROCEDIMENTOS 
 
O sistema analisado nesse estudo (Fig. 1) é constituído por uma estrutura aporticada 
de 3 graus de liberdade. O sistema vibra no sentido transversal da estrutura (indicado por 
flechas na figura), mesmo sentido da excitação provocada e no qual o sistema de medição 
(acelerômetros) está atuando. É compreendido que o sistema terá sua componente 
principal de vibração apenas nessa direção, pois o grau de liberdade de giro está suprimido 
pelas duas vigas laterais existentes na peça. 
 
 
Figura 1: Dimensões geométricas do Pórtico de 3 graus de liberdade. 
 
A rigidez de uma haste engastada e sujeita a uma translação perpendicular é dada 
por: 
 
 
k = 
12EI
L3
 
 
Onde I é o momento de inércia em torno do eixo de flexão, h é o comprimento entre 
os engastes e E é o módulo de elasticidade longitudinal. 
Com os acelerômetros no sistema, foram gerados dados em vibração livre e com a 
técnica do decremento logarítmico será calculado o amortecimento viscoso. Foi feito o 
uso de um filtro para eliminação do ruído. 
 
 
5. RESULTADOS 
 
 A rigidez de uma haste engastada-livre e sujeita a uma translação perpendicular é 
dada por: 
k = 
12EI
L3
 
 Com L, b e h iguais a 64mm, 25,4mm e 0,4mm respectivamente: 
𝐼 =
𝑏ℎ3
12
= 135,46𝑥10−15𝑚4 
𝐸 = 1,96𝑥1011 𝑁/𝑚2 
𝑘 = 1,2154𝑥10³N/m 
 
O gráfico gerado no acelerômetro 1 para um deslocamento inicial é o seguinte: 
 
 
 Utilizou-se então dados do experimento em vibração livre e a técnica do 
decremento logarítmico para obter o amortecimento viscoso. 
𝛿 =
1
𝑛
𝑙𝑛 (
𝑥1
𝑥𝑛
) =
1
10
𝑙𝑛 (
0,222
0,136
) = 0,048097 
 
A razão de amortecimento: 
𝛿 =
2𝜋𝜉
√1 − 𝜉2
 
𝜉 =
𝛿
√(2𝜋)2 + 𝛿2
=
0,048097
√(2𝜋)2 + 0,0480972
= 7,655𝑥10−3 
 
O amortecimento para o k da rigidez experimentada em (2) será: 
𝑐 = 𝜉2√𝑚𝐾 = 7,655𝑥10−3 ∗ 2√112𝑥10−3 ∗ 1,2154𝑥10³ = 0,1786 Nkg/m 
 
Como o sistema possui um coeficiente de amortecimento baixo, simplificamos a 
equação e utilizamos a análise modal para resolver as frequências naturais: 
 
 
2,20E+00; -2,22E-01
3,20E+00; -1,36E-01
-5,00E-01
-4,00E-01
-3,00E-01
-2,00E-01
-1,00E-01
0,00E+00
1,00E-01
2,00E-01
3,00E-01
4,00E-01
5,00E-01
2,00E+00 2,50E+00 3,00E+00 3,50E+00 4,00E+00 4,50E+00
A
ce
le
ra
çã
o
 e
m
 g
ra
v
id
ad
es
 [
g
]
Tempo [s]
Aceleração para vibração livre
FILTRO (8-12 Hz)
 
 
Determinando os autovalores da matriz D, retirando a raiz e convertendo para 
hz, chegou-se a: 
 Wn1=10,43hz 
 Wn2=29,23hz 
 Wn3=42,25hz 
 Para verificar a frequência experimental, foi utilizado o gráfico do espectro de 
frequências. 
 
Figura 1 – Gráfico dos dados do espectro de frequências Hz por aceleração g. 
 
Verificando os dados gerados da figura 6, chega-se às seguintes frequências 
naturais: 
Wn1=10hz 
Wn2=28,6hz 
Wn3=42,3hz 
 
6. CONCLUSÃO 
 
1,00E+01
2,86E+01
4,23E+01
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,20E-01
1,40E-01
0,00E+00 5,00E+01 1,00E+02 1,50E+02 2,00E+02 2,50E+02
M
ag
n
it
u
d
e 
d
a 
F
F
T
 
d
a 
A
ce
le
ra
çã
o
 (
g
)
Frequência (Hz)
Espectro de Frequências da aceleração (sem 
filtro)
 
 
A desconsideração da constante de amortecimento acarretou em um erro 
considerável entre as frequências naturais, entretanto facilitou o cálculo e pode-se 
verificar uma relação entre os valores. 
 
 
7. BIBLIOGRAFIA 
 
[1] Notas de aula de Medições Mecânicas , Professor Herbert Martins Gomes