prova p2 gab geom 2015 1 mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 2a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
29/05/2015
1a Questa˜o: (4,5 pontos) (soluc¸a˜o na folha 1)
1. Na figura abaixo determine o aˆngulo que e´ oposto ao lado de menor comprimento.
Soluc¸a˜o
• Repare que os triaˆngulos EOD, CDO e BCO sa˜o iso´sceles com base EO, CD e
BC, respectivamente.
Logo, ED, OD, OC e OB sa˜o congruentes e ED = OD = OC = OB = a.
• No triaˆngulo EOD, como ι > κ = λ, enta˜o EO > a.
• No triaˆngulo BCO, como Ô = 90◦ > α = β, enta˜o BC > a.
• No triaˆngulo ABO, como ζ > η > θ, enta˜o AB > AO > a.
• No triaˆngulo CDO, como γ < ² = δ, enta˜o DC < a.
Logo, o aˆngulo que e´ oposto ao lado de menor comprimento e´ γ.
2. Seja P um ponto no interior do triaˆngulo ABC. O per´ımetro p de ABC e´ definido
como p = AB +BC + CA. Verifique se AP +BP + CP >
p
2
.
Soluc¸a˜o
Pela desigualdade triangular,
• AB < AP + PB.
• BC < BP + PC.
• AC < AP + PC.
Logo
p = AB +BC + AC < AP + PB +BP + PC + AP + PC = 2[AP +BP + CP ]
e portanto AP +BP + CP >
p
2
.
3. O interior do c´ırculo com centro O e raio r e´ um conjunto convexo do plano?
Soluc¸a˜o Feita em aula.
2a Questa˜o: (5 pontos) (soluc¸a˜o na folha 2)
1a parte Aqui e´ va´lido usar todos os axiomas e resultados obtidos ate´ o momento.
1. Quanto mede a altura de um triaˆngulo equila´tero cujos lados medem um cent´ımetro
cada?
Soluc¸a˜o
Seja ABC um triaˆngulo equila´tero cujos lados medem um cent´ımetro cada.
Seja D o pe´ da perpendicular baixada do ponto C sobre o segmento AB.
Sabemos que em um triaˆngulo equila´tero, a mediana CD e´ altura do triaˆngulo e
bissetriz de Ĉ. Logo DB = 1/2.
Como CDB e´ triaˆngulo retaˆngulo, podemos aplicar o Teorema de Pita´goras para
calcular o valor de CD:
CD
2
+
(
1
2
)2
= 12.
Logo CD = (
√
3/2 ) cm.
2. Use o item anterior para provar que se um triaˆngulo retaˆngulo tem aˆngulos agudos
de 30◦ e 60◦, enta˜o seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
Soluc¸a˜o
Seja EFG um triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa FG e aˆngulos agudos Ĝ = 30◦
e F̂ = 60◦. Seu menor cateto e´ EF , oposto ao menor aˆngulo interno Ĝ.
No item anterior, como ABC e´ um triaˆngulo equila´tero, seus aˆngulos internos
sa˜o todos congruentes, medindo 60◦. Como a mediana CD e´ tambe´m a bissetriz
de Ĉ, o aˆngulo BĈD = 30◦.
2
Dos fatos Ĝ = 30◦ = BĈD e F̂ = 60◦ = B̂, temos que os triaˆngulos EFG
e DBC sa˜o semelhantes.
Em particular,
FG
1
=
EF
1/2
, isto e´, FG = 2EF , o menor cateto mede metade
do comprimento da hipotenusa.
2a parte Aqui na˜o e´ va´lido usar os resultados obtidos a partir do axioma das paralelas.
1. Deˆ uma nova prova de que se um triaˆngulo retaˆngulo tem aˆngulos agudos de 30◦
e 60◦, enta˜o seu menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
Soluc¸a˜o
Seja ABC um triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa BC e aˆngulos agudos Ĉ = 30◦
e B̂ = 60◦. Seu menor cateto e´ AB, oposto ao menor aˆngulo interno Ĉ.
Seja D ∈ SBA, tal que DA = AB. Ligamos D ao ponto C.
Como DA = BA (por construc¸a˜o), CÂD = 90◦ = CÂB(aˆngulos suplementares)
e AC = AC (lado comum), por congrueˆncia LAL, ADC = ABC.
Em particular, AD̂C = AB̂C = 60◦, DĈA = BĈA = 30◦, isto e´, DĈB = 60◦ e
o triaˆngulo DBC e´ equila´tero.
Logo
AB =
DB
2
= CB,
3
o menor cateto mede metade do comprimento da hipotenusa.
2. Prove que em um triaˆngulo retaˆngulo se seu menor cateto mede metade do com-
primento da hipotenusa, enta˜o seus aˆngulos agudos α e β satisfazem β = 2α.
Soluc¸a˜o
Seja ABC um triaˆngulo retaˆngulo com hipotenusa BC e menor cateto AB sat-
isfazendo AB =
BC
2
. Seja α o aˆngulo oposto ao cateto AB e β o aˆngulo oposto
ao cateto AC.
Como no item anterior, sejaD ∈ SBA, tal queDA = AB. LigamosD ao ponto C.
Como DA = BA, CÂD = 90◦ = CÂB e AC = AC, por congrueˆncia LAL,
ADC = ABC.
Em particular DC = BC = 2AB = DB, isto e´, o triaˆngulo DBC e´ equila´tero.
Logo de DĈA = BĈA = α, DĈB = 2α e DĈB = β, temos β = 2α.
3a Questa˜o: (1,5 ponto) (soluc¸a˜o na folha 3)
Pode existir um triaˆngulo ABC em que a bissetriz do aˆngulo Aˆ e a bissetriz do aˆngulo
externo do ve´rtice B sejam paralelas?
Soluc¸a˜o
Seja D ∈ SAB, B entre A e D. Sejam SAF a bissetriz de  e SBE a bissetriz de CB̂D,
aˆngulo externo ao ve´rtice B.
Se SAF//SBE enta˜o
Â
2
=
CB̂D
2
, pois sa˜o aˆngulos correspondentes.
4
Absurdo, pois CB̂D > Â, pelo Teorema do aˆngulo externo.
Portanto na˜o pode existir um triaˆngulo ABC em que a bissetriz do aˆngulo Aˆ e a bis-
setriz do aˆngulo externo do ve´rtice B sejam paralelas.
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