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Cálculo I � IM � UFRJ Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 28.02.2019 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chama- remos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno, além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e a Internet. Outro ponto importante é aprender a ESCREVER Matemática. No ensino médio a ênfase é em fazer contas. Na Universidade é em saber os CONCEITOS e TEOREMAS e saber escrever sobre eles. Note em Matemática a importância da precisão na linguagem: para todo, existe algum, implica, se, e somente se, etc. Na linguagem usual se diz �todo� querendo dizer �quase todo� ou muitos. Em Matemática isto é imperdoável. Não confunda implicação (se isso então aquilo) com equivalência (se, e somente se). Se diz para todo, existe pelo menos um, com probabilidade maior que 80% (seria um �quase todo�), etc. Assim acostume-se a dissertar sobre os tópicos, a saber explicar seu raciocínio. NUNCA a resposta a uma questão deve ser composto somente de números: tem que aparecer o raciocínio escrito e bem redigido. Experimente ir no quadro e explicar a resolução para algum colega. Na resposta escrita nas avaliações a ausência de texto explicativo resulta em receber zero no item. Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de grá�cos (uma sugestão é www.desmos.com/calculator, que é um site que plota grá�cos sem precisar instalar programa; incluindo desigualdades). (b) CAS (computer algebra system) que faz manipulações algébricas (sugerimos maxima, que tem versão para Linux e Windows). Tópicos do Pré-Cálculo 1. Aritmética e Álgebra. (a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas. (b) Racionalizar expressões algébricas envolvendo raízes. (c) Divisão de polinômios. Notação utilizada para o conjunto de polinômios de uma variável com coe�cientes em R é R[x], em duas variáveis com coe�cientes em Q é Q[x, y] (tipo 3xy − 4x2 + 3x4y2/4). (d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x− a. (e) Signi�cado de somatórios, como por exemplo 3∑ i=1 (i2−5i) = (12−5·1)+(22−5·2)+(32−5·3). (f) Produtos notáveis: (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 e (a+ b)(a− b) = a2 − b2. 2. Funções. (a) Domínio, imagem e contradomínio de função. Notação utilizada para o conjunto de funções de A em B é F(A;B), por exemplo a função log pertence a F((0, ∞); R). (b) Funções de�nidas por palavras, por grá�cos, por tabelas e por fórmulas explícitas. Função de�nida por partes. (c) Composição de funções. (d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente. (e) Grá�cos de funções. Translação de grá�co de funções (horizontal e vertical). (f) Quando uma curva no plano é o grá�co de uma função? Teste da reta vertical. Dado o grá�co de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal. 1 (g) Função par/impar: de�nição e simetrias no grá�co. (h) Função inversa e seu grá�co, obtido por re�exão em torno da reta y = x. Exemplos impor- tantes: arcsen, arctan, log x e √ x (não é verdade que arsen x é igual a 1 senx !). (i) Sinal de funções racionais, função da forma f(x) = p(x) q(x) , onde p e q são polinômios. Técnica: Quadro de sinais. (j) Máximo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre- mos). Completar quadrado para isso. (k) Funções logaritmo e exponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Grá�co da expo- nencial e do log (vide item função inversa acima) usando que uma inversa da outra. De- terminar do grá�co o domínio e a imagem do log e da exponencial. Observação: loge = ln. Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log10. Ao longo do Cálculo será explicado porque utilizamos e como base do logaritmo. (l) Funções Trigonométricas. Trigonometria do ângulo agudo. Domínio e imagem do seno, cosseno e tangente. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade conve- niente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculo trigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ângulo qualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Proprieda- des básicas: sen(−x) = − senx, cos(−x) = cosx. sen(a ± b) = . . ., cos(a ± b) = . . . etc. sen2(x) + cos2(x) = 1. (m) Função Módulo. De�nição: |x| = { x, x ≥ 0, −x, x < 0. Grá�co do módulo de uma função, como por exemplo, grá�co de y = |(x− 1)(x− 2)|. 3. Geometria Analítica no Plano Básica. (a) Equação da reta no plano: signi�cado geométrico do coe�ciente angular (incluindo como determinar que 2 retas são perpendiculares entre si pelo coe�ciente angular), saber calcular equação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo coe�ciente angular (b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do 2o grau; duas equações do 2o grau. (c) Equação do círculo no plano. (d) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância. (e) Dada equação geral do segundo grau em 2 variáveis, determinar centro do círculo e raio; semi-eixos das elipses. Técnica: completar quadrado. Exercícios • Aritmética e Álgebra. 1. Determine k e m se 27 · 322 = 3−k e 25 · 5 2m+1 5−3 = 5−2. 2. Escreva 27 4 √ 413915 na forma 2x3y. 3. Determine p, q inteiros tais que 811/4 9−1/2 × 3 −3 30 = p q . 4. Escreva expressão equivalente a 3 √ x+ 1 1 + √ x sem raiz no denominador (racionalize). 5. Determine o quociente e o resto da divisão de x4 − 3x2 + x+ 1 por x2 − 1. 2 6. (Veri�que o Teorema de D'Alambert.) Veri�que que −2 é raiz de x3 + 4x2 − 11x − 30. Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes. 7. Determine o valor de 5∑ i=2 (2i+ 1). 8. Calcule (a+ b)2 − (a− b)2. 9. Prove (Teorema de D'Alambert) que se a é raíz do polinômio p então existe um polinômio q tal que p(x) = (x− a)q(x). Siga o roteiro abaixo: (a) Divida o polinômio p pelo polinômio (x − a). Pelo algoritmo da divisão de polinômios existem polinômios q e r tais que p(x) = q(x)(x− a) + r(x). (b) Como o dividendo (x − a) tem grau 1, r tem grau 0, ou seja, é uma constante. Assim r(x) = C. (c) Use o fato que a é raíz para concluir que C = 0, obtendo o resultado. • Funções. 1. Determine imagem da função g(x) = (3− x)2 − 5. 2. Determine o domínio da função g(x) = log(1− x) 1− √ x+ 2 . 3. Dado x ∈ R, de�na f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(π) e f(−π). Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem? 4. Esboce o grá�co de: (a) f(x) = { x2, se x < 1, 4− 3x, se x ≥ 1. (b) f(x) = { − √ 9− x2; |x| ≤ 3 |x| − 3; |x| > 3. (c) f(x) = {√ x− 1; x ≥ 1; log(x) + 1; x < 1. 5. Se f(x) = 3x− 1 e g(x) = 5x2 − 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)). 6. Determine o maior intervalo contendo −10 onde f(x) = (x+1)2+1 é injetiva. Esta função é sobrejetiva? 7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente: (a) f(x) = 9− x2. (b) f(x) = 6− 2x. (c) f(x) = log(x)− 4. (d) f(x) = 3x− 7. (e) f(x) = sen(x)− 4. (f) f(x) = e−x. 8. Baseado no grá�co de f(x) = x2, esboce o grá�co de g(x) = (x+ 2)2 − 3. 9. Esboce os grá�cos de f(x) = 1 x e f(x) = 1 x2 . Elas são funções par ou impar? 10. Esboce o grá�co de f(x) = √ x e, fazendo translações, de g(x) = 3 + √ x+ 4. 11. Determine intervalos do eixo x onde a curva abaixo pode representar o grá�co de uma função y = f(x). 2 x y 12. Considere o grá�co de g da �gura abaixo. (a) Determine intervalos onde g é injetiva. (b) Nestes intervalos pode-se de�na uma função inversa g−1. Determine o domínio de g−1 associado a estes intervalos. 2 g(x) −1 2 x y 3 13. Esboce o grá�co de f(x) = x3 e f(x) = x4 (são semelhantes ao de x e x2 respectivamente). Baseado nestes grá�cos, esboce o grá�co das inversas 3 √ x, 4 √ x (re�exão em torno da reta y = x). 14. Baseado no grá�co de f(x) = ex, esboce o grá�co da sua inversa log x (re�exão em torno da retay = x). 15. Faça o estudo de sinal do numerador e denominador para determinar os valores de x que satisfazem as desigualdades: (a) 3− x2 x2 − 1 ≥ 0; (b) x 3 − 1 x(x2 − 4) ≤ 0. 16. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaixo. (a) f(x) = x2 + 5x+ 6 1− x2 . (b) g(x) = x(x+ 2) 1− x2 . 17. Determine o máximo e mínimo de f(x) = (x− 1)2 +2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3]. 18. Determine a ∈ R se log10(1003a · 10) = 9. 19. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5). 20. Determine o valor de: (a) sen(3π/2). (b) cos(3π). (c) tan(3π/4). (d) cos(5π/4). 21. Expresse log5 30 utilizando ln. 22. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico �ca o ângulo (em radianos): (a) 32π/3. (b) 13π/4. (c) −21π/5. 23. Determine o sinal de seno e cosseno de β = π − 1 e θ = 1 + 3π/2. 24. Sabendo que senβ = −2/3, determine valores possíveis para cosβ. 25. Sabendo que tan γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ. 26. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+ b) e cos(a+ b)): (a) cos(3a) e (b) sen(−4a). 27. Aplique a de�nição do módulo para esboçar o o grá�co de: (a) cosx | cos(x)| ; (b) √ |x|. 28. Partindo de grá�co de funções simples (±x2, √ x, log(x)), utilizando translações verticais e/ou horizontais e/ou re�exões, esboce o grá�co de: (a) y = 1 + √ x (b) y = log(x− 1) + 2; (c) y = |(x+ 1)(x+ 2)|. 29. Determine as raízes de 3x2 − 5x+ 2 completando o quadrado. 30. Um erro comum é achar que √ x2 é igual a x para todo x ∈ R. (a) Porque isso não é verdade? (b) Determine √ x2 utilizando a função módulo. (c) Determine uma expressão para ( √ x)2. Ela é válida para todo x? 31. Veri�que se √ x4 + x2 = x √ x2 + 1 para todo x ∈ R. 32. Veri�que se é verdade que para todo x ∈ R: (a) x2 − 4 x+ 2 = x− 2. (b) x 3 + x x2 + 1 = x. (c) x3 + x x = x2 + 1. 33. ConsidereM2(R) o conjunto das matrizes quadradas 2× 2 com entradas em R e a função determinante que associa a cada M2(R) um elemento de R. Determine se esta função é injetiva e qual sua imagem. Escreva o símbolo de um conjunto a que pertence esta função. 34. Considere a função que associa a cada p ∈ Z[x] o elemento p(1) + p(0) de Z . Determine se esta função é injetiva e qual sua imagem. Escreva o símbolo de um conjunto a que pertence esta função. 35. Determine TODOS valores de x tais que: (a) tan(3x) > 0. (b) cos(10x+ 1) < 0. 36. Determine um intervalo para x onde: (a) sen(x2 + x) > 0. (b) log(4− x2) < 0. 4 37. Determine o domínio e a imagem de: (a) log(x2 + 3x+ 4). (b) log(x2 + x− 2). (c) tan(5x+ 2). (d) sen(3x− x2 + 4). (e) log(tan(5x+ 1)). • Geometria Analítica no Plano Básica. 1. Ordene as retas de acordo com seu coe�ciente angular: 3y − 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0. 2. Determine a equação da reta que passa em (1, 2): (a) e em (−2, 3). (b) com coe�ciente angular 2. (c) perpendicular à reta 3y + 2x = 1. 3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o grá�co de y = x2 + x − 2 e o grá�co de: (a) 2y − x+ 1 = 0. (b) y + x2 − x = 0. 4. Determine a distância entre os pontos do plano (−2, 1) e (4,−1). 5. Determine todo a, x ∈ R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x− 2| < |x+ 1|. 6. Determine a equação do círculo com centro em (−3, 5) ∈ R2 e raio 7. 7. Determine se é círculo ou elipse. Caso seja círculo qual o centro e raio, caso elipse o tamanho dos semi-eixos: (a) 2x2 + 16x+ 6 + 2y2 = 0. (b) 6x2 − 32x+ 4 + y2 + 4y = 0. 5 Respostas dos Exercícios • Aritmética e Álgebra. 1. k = −25, m = −4. 2. x = 13/2, y = 21/2. 3. p = 1, q = 3. 4. −3x+ 2 √ x+ 1 1− x , obtida multiplicando numerador e denominador por 1− √ x. Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x))); 5. Quociente: x2 − 2, resto: x− 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1); 6. Raizes: −2,−5, 3. Como −2 é raiz, divida polinômio por (x − (−2)) = x + 2. Obtenha polinômio do 2o grau e determine suas raizes. 7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5); 8. 4ab. • Funções. 1. [−5,∞) pois g(x) ≥ −5 para todo x (note que (3− x)2 é sempre não-negativo). 2. Resposta: os intervalos [−2, −1) e (−1, 1). Como existe logaritmo somente de números positivos, 1−x deve ser positivo, ou seja, 1−x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Além disso o denominador não pode se anular: 1− √ x+ 2 6= 0, o que implica x 6= −1. Assim 1 > x > −1 ou −1 > x ≥ −2. 3. f(π) = 3 e f(−π) = −4. Não é injetiva pois f(π) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é somente os inteiros: Imagem de f : Z. 4. 1−1 x y (a) f(x) = { x2, se x < 1, 4− 3x, se x ≥ 1. x y −3 3 −3 (b) f(x) = { − √ 9− x2; |x| ≤ 3 |x| − 3; |x| > 3. x y 1 1 (c) f(x) = {√ x− 1; x ≥ 1; log(x) + 1; x < 1. 5. g(f(x)) = 45x2 − 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 − 13. Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x))); 6. (−∞, −1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para x < −1. Basta ver que seu vértice é em x = −1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ∞). 7. (a) (−∞, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ∞). (d) (−∞, ∞) = R. (e) Em (−π/2, π/2) é crescente. De forma geral em (2kπ − π/2, 2kπ + π/2) para todo k ∈ Z. (f) Sempre decrescente. 8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente �para baixo� e 2 unidades para �esquerda�. Veja grá�cos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modi�car o 2 e 3 para ver efeito no programa. 6 9. Faça um tabela de valores e veri�que o que ocorre quando x �ca próximo de 0 (por exemplo 1/100, 1/103, 1/105 e −1/100, −1/103, −1/105,−1/1000) e também muito grande em módulo � �próximo� de ±∞ (por exemplo 102, 103, 105 e −102, −103, −105). Depois (somente após tentar pela tabela) veja os grá�cos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/x é impar e 1/x2 é par. Veja que são similares 1/x3, 1/x4, . . .. 10. Partindo do grá�co de x2, re�ita o grá�co na reta y = x para obter grá�co de √ x. Depois faça translações para obter o grá�co de g(x) = 3 + √ x+ 4. Veja os grá�cos de y = x2, y = √ x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão. 11. (−∞, 0) ou (2, ∞). Note que no intervalo (0, 2) para cada x existem 3 valores distintos para y. Assim, para x ∈ (0, 2) não podemos de�nir uma função y = f(x). 12. (a) (−∞, −1), (−1, 2) e (2, ∞). (b) Pelo grá�co pode-se ver que a imagem destes intervalos são, respectivamente, os intervalos: (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Logo domínios possíveis para g−1 (não será a mesma função!): (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Comprove a existência de mais de uma inversa observando que existem três possibilidades para g−1(1): aproximadamente −2, 1 e 3 pelo grá�co. 13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja os grá�cos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por re�exão. Veja os grá�cos de y = x3, y = x1/3 = 3 √ x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão. 14. Veri�que com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x. 15. (a) Análise de dois termos quadráticos. Será positiva em [− √ 3,−1) e em (1, √ 3]. (b) O termo x3 − 1 possui a raiz 1. Pelo Teorema D'Alembert pode ser fatorado por x − 1. Fazendo divisão de polinômios obtemos que x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1). Calculando Delta, vemos que o segundo polinômio possui 2 raízes complexas. Como a > 0, o termo x2 + x + 1 ≥ 0. Fazendo quadro de sinais com x− 1, x e x2− 4 (podemos ignorar o termo sempre positivo x2+x+1) obtemos que será negativa em (−2, 0) e [1, 2). 16. (a) Positiva nos intervalos (−3, −2) e (−1, 1). Negativa em x < −3 ou −2 < x < −1 ou x > 1. (b) Positiva nos intervalos (−2, −1) e (0, 1). Negativa em x < −2 ou −1 < x < 0 ou x > 1. Com maxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2)<0); 17. O vértice da parábola tem coordenada x = 1. (a) Mínimo em x = 1, com f(1) = 2, máximo em x = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos extremos (o vértice não pertence ao intervalo): Mínimo em x = 2, f(2) = 3, máximo em x = 3, f(3) = 6. 18. a =4/3. 19. (a) e0 = 1. (b) log 0 não existe. Mas quando x se aproxima de 0 pela direita (isto é x > 0), log x se aproxima de −∞. Veja grá�co de log próximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1. (e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5. 20. (a) sen(3π/2) = −1. (b) cos(3π) = −1. (c) tan(3π/4) = −1. (d) cos(5π/4) = − √ 2/2. 21. Por propriedade do logaritmo, log5 30 = ln 30 ln 5 . 22. (a) 2o quadrante pois 32π/3 = 2π/3 + 5 · 2π e 2π/3 está no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois 13π/4 = π + π/4 + 2π. (c) 4o quadrante −21π/5 = −2 · 2π − π/5. 23. Como β está no 2o quadrante e θ no 4o, senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0. 24. cosβ = − √ 5/3 ou cosβ = √ 5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);. 25. sen γ = −5/ √ 26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x. 26. (a) cos(3a) = cos3 a− 3 cos a sin2 a e (b) sen(−4a) = 4 cos a sin3 a− 4 cos3 a sin a. No maxima: trigexpand(cos(3*a)). 27. (a) a função alterna entre 1, quando cos(x) > 0, e −1, quando cos(x) < 0. Nos pontos onde cos(x) = 0 ela não está de�nida. x y f(x) = cos(x) | cos(x)| − 5π2 − 3π 2 −π2 π 2 3π 2 5π 2 y = 1 y = −1 7 (b) x y f(x) = √ |x| 28. (a) Translação vertical de uma unidade do grá�co de √ x. x y (a) y = 1 + √ x 1 (b) translação horizontal do log por uma unidade seguido por translação vertical de duas unidades (faça duas �guras antes de obter a resposta abaixo). x y (c) y = log(x− 1) + 2 1 2 2 (c) Raízes do polinômio: −1,−2. Esboce o grá�co da parábola (x + 1)(x + 2) e depois re�ita em torno do eixo x (efeito do módulo). x y −2 −1 (e) y = |(x+ 1)(x+ 2)| 29. Completando o quadrado obtemos 3(x−5/6)2 = 1/12. Logo x−5/6 = ±1/6. Assim x = 5/6±1/6. Logo x = 1 ou x = 2/3. 30. (a) Para x < 0 isso não vale. Por exemplo para x = −2: √ (−2)2 = √ 4 = 2 6= −2. (b) √ x2 = x para x > 0 e √ x2 = −x para x < 0. Assim √ x2 = |x| em todos os casos. (c) Note que √ x somente tem sentido para x ≥ 0. E neste caso ( √ x)2 = x para x ≥ 0. 31. Errado. O correto é √ x4 + x2 = |x| √ x2 + 1 pois √ x2 = |x|. Para x > 0 é correto, mas para x < 0 não (veri�que!). 32. (a) Expressão correta para x 6= −2 pois senão obtemos divisão por zero. É análogo a x/x = 1 para x 6= 0. Para x = 0 a expressão x/x não está de�nida por envolver divisão por zero. Neste sentido x/x = 1 quando está de�nida. (b) Neste caso não temos divisão por zero no denominador e de fato a expressão é verdadeira para todo x ∈ R. Se considerarmos os complexos ela não está de�nida para x = ±i. (c) Verdadeira somente para x 6= 0. 8 33. Ela não é injetiva pois duas matrizes distintas podem ter o mesmo determinante. Crie um exemplo. Sua imagem é o R basta considerar a matriz com todos elementos nulos exceto na diagonal, com 1 e k ∈ R qualquer. Esta matriz terá determinante k. A função determinante pertence ao conjunto F(M2(R); R), que associa a cada matriz (um elemento deM2(R)) um número real. 34. Não é injetiva pois p(x) = x e q(x) = 1−x possuem a mesma imagem e são diferentes. Sua imagem é Z pois pode-se considerar p(x) = kx, com k ∈ Z e a função levará em k ∈ Z qualquer. Esta função pertence ao conjunto F(Z[x]; Z). 35. (a) tan y > 0 se y ∈ (kπ, kπ + π/2) para k ∈ Z. Assim queremos que kπ < 3x < kπ + π/2 ou kπ/3 < x < kπ/3 + π/6 para algum k ∈ Z. (b) Para o cosseno 2kπ + π/2 < 10x + 1 < 2kπ + 3π/2. Logo kπ/5 + π/20 − 1/10 < x < kπ/5 + 3π/20− 1/10. 36. Como está pedindo um intervalo, não vamos gerar todos. (a) Esboce o grá�co do argumento do seno x2 + x. É parábola que passa em 0 e −1. Como sen y > 0 se 0 < y < π/2, podemos resolver 0 < x2+x < π/2. Vendo o grá�co vemos que x > 0 e no máximo devemos ter x2+x = π/2. Resolvendo esta equação e considerando somente a solução positiva obtemos que 0 < x < ( √ 2π + 1− 1)/2. (b) Como o log é negativo para o argumento menor que 1 obtemos 0 < 4−x2 < 1. Assim 0 < 4−x2 e 3 − x2 < 0. A solução (esboce os grá�cos!!!! Cuidado com INEQUAÇÃO do 2o grau!) da 1a é x ∈ (−2, 2) e da 2a é x > √ 3 ou x < − √ 3. Assim x ∈ ( √ 3, 2) ou x ∈ (−2, − √ 3). 37. (a) Domínio é obtido resolvendo x2+3x+4 > 0. Como possui raízes complexas e concavidade para cima, concluímos que domínio é x ∈ R. Para imagem note que esta parábola possui um mínimo (complete quadrado) para x = −3/2. Assim o argumento de log varia de 7/4 até in�nito e a imagem é (log(7/4), ∞). (b) Raízes do polinômio são 1 e −2, concavidade para cima. Assim domínio é x > 1 ou x < −2. Aqui o argumento varia de 0 a in�nito. Logo imagem é R. (c) A única restrição é que 5x + 2 6= kπ + π/2. Assim o domínio é x 6= kπ/5 + π/10 − 2/5. Como todos valore entre −π/2 e π/2 serão percorridos, a imagem é R. (d) Domínio é R pois seno não possui restrição nos argumentos. Como a parábola vai percorrer todos valores negativos (concavidade para baixo), vai percorrer por exemplo [−π, 0], a imagem será [−1, 1]. (e) Para log estar de�nido precisamos que tan(5x+1) > 0. Assim kπ < 5x+1 < kπ+ π/2, ou seja, o domínio é kπ/5−1/5 < x < kπ/5+π/10−1 para algum k ∈ Z. Como tan assumirá todos valores positivos, a imagem será R. • Geometria Analítica Básica. 1. Maior coe�ciente para menor: 3y − 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (−3/2) e 5x+ 3y = 0 (−5/3). 2. (a) y = 7/3− x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2. 3. (a) x = 1, y = 0 e x = −3/2, y = −5/4. (b) x = −1, y = −2 e x = 1, y = 0. No maxima: algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);. 4. 2 √ 10. 5. (a) R: a = −6 ou a = 2. Dica: distância de a até −2 deve ser 4. (b) R: x > 1/2. Dica 1: Separe em casos: se x − 2 > 0 . . . e se x − 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2 subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma. Dica 2: Em termos de distância, x deve estar mais perto de 2 do que de −1. Faça uma �gura. 6. (x+ 3)2 + (y − 5)2 = 49. 7. (a) Completando o quadrado obtemos (x+4)2+y2 = 13: círculo com centro em (−4, 0) e raio √ 13. (b) Completando o quadrado obtemos a elipse transladada 6(x−8/3)2+(y+2)2 = 128/3. Dividindo por 128/3 obtemos os semi-eixos a = 8/3 e b = √ 128/3 pois ( x− 8/3 a )2 + ( y + 2 b )2 = 1. 9
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