Lista de Exercícios - Cálculo II

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Cálculo II
Lista 1
1. Determine o domínio da função vetorial γ(t) = t− 2
t+ 2 i + sen tj + ln(9− t
2)k.
2. Calcule os limites.
(a) lim
t→0
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
t+ 1
)
(b) lim
t→∞
(
arctg t, e−2t, ln t
t
)
3. Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
(a) γ(t) = (t, 2− t, 2t) (b) γ(t) = (t, cos 2t, sen 2t)
4. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos t, y = t sen t, z = t está no cone z2 = x2 + y2, e use esse fato para
esboçar a curva.
5. Parametrize e esboce a curva obtida pela intersecção das superfícies z = x2 e x2 + y2 = 1.
6. Mostre que a curva com equações paramétricas x = t2, y = 1− 3t, z = 1 + t3 passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas
não passa pelo ponto (4, 7,−6).
7. Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção do cone z =
√
x2 + y2 com o plano z = 1 + y.
8. Suponha que a trajetória de duas partículas sejam dadas pelas funções vetoriais γ1(t) = (t2, 7t − 12, t2) e γ2(t) =
(1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t), para t ≥ 0. As partículas colidem? Suas trajetórias se interceptam?
9. Sejam γ(t) e σ(t) funções vetoriais que possuem limites quando t→ a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes
propriedades de limites.
(a) lim
t→a
(γ(t) + σ(t)) = lim
t→a
γ(t) + lim
t→a
σ(t)
(b) lim
t→a
(cγ(t)) = c lim
t→a
γ(t)
(c) lim
t→a
(γ(t) · σ(t)) = lim
t→a
γ(t) · lim
t→a
σ(t)
(d) lim
t→a
(γ(t)× σ(t)) = lim
t→a
γ(t)× lim
t→a
σ(t)
10. Em cada um dos itens abaixo: esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada; encontre γ′(t); esboce o vetor
posição γ(t) e o vetor tangente γ′(t) para o valor de t dado.
(a) γ(t) = (t− 2, t2 + 1); t = −1
(b) γ(t) = sen ti + 2 cos tj; t = π/4
(c) γ(t) = (1 + cos t)i + (2 + sen t)j; t = π/6
11. Determine a derivada da função vetorial.
(a) γ(t) = (tg t, sec t, 1/t2) (b) γ(t) = arcsen(t)i +
√
1− t2j + k
12. Determine o vetor tangente unitário T(t) à curva γ(t) = cos(t)i + 3tj + 2 sen(t)k no ponto com valor de parâmetro t = 0.
13. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva γ(t) = (et cos t, e−t sen t, et) no ponto (1, 0, 1).
14. As curvas γ1(t) = (t, t2, t3) e γ2(t) = (sen t, sen 2t, t) se interceptam na origem. Determine o ângulo de intersecção destas.
15. Mostre que a curva γ(t) = (cos t, sen t cos t), t ∈ R tem duas tangentes em (0, 0) e ache suas equações. Esboce a curva.
16. Encontre o ponto da curva γ(t) = (2 cos t, 2 sen t, et), 0 ≤ t ≤ π, em que a reta tangente é paralela ao plano
√
3x+ y = 1.
17. Considere f(x) = ( 3
√
x)2.
(a) Mostre que a função f não é derivável em x = 0.
(b) Determine uma curva γ : R→ R2, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f .
(c) Interprete geometricamente o fato de que f não é derivável em x = 0, mas a curva γ é derivável em t0, onde
γ(t0) = (0, 0).
18. Um barbante é enrolado ao redor de um círculo e então desenrolado, sendo mantido esticado. A curva traçada pelo ponto
P no final do barbante é chamada de involuta do círculo. Se o círculo tiver raio r e centro O, a posição inicial de P for
(r, 0), e se o parâmetro θ for escolhido como na figura abaixo, mostre que as equações paramétricas da involuta são:
x = r(cos θ + θ sen θ) e y = r(sen θ − θ cos θ)
19. Uma circunferência de raio r rola sem escorregar ao longo do eixo Ox. Encontre equações paramétricas para a curva
descrita por um ponto da circunferência que se encontra inicialmente no origem. Esta curva é chamada de ciclóide. (Veja
figura abaixo.)
20. Calcule a integral.
(a)
∫ 2
0
(
ti− t3j + 5etk
)
dt
(b)
∫ π/2
0
(3 sen2 t cos t, 3 sen t cos2 t, 2 sen t cos t) dt
(c)
∫ 1
0
(
4
1 + t2 i +
2t
1 + t2 k
)
dt
21. Encontre γ(t) se γ′(t) = 2ti + 3t2j +
√
tk e γ(1) = i + j.
22. Se γ(t) = (sen t, cos t, t) e σ(t) = (1, t cos t, sen t), use a Regra do Produto para encontrar d
dt
(γ(t) · σ(t)).
23. Calcule dγ
dt
e d
2γ
dt2
.
(a) γ(t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1)) (b) γ(t) = 3
√
t2i + cos(t2)j + 3tk (c) γ(t) = sen(5t)i + cos(4t)j− e−2tk
24. Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
(a) γ(t) = (cos t, sen t, t) e γ(π/3) (b) γ(t) = (t2, t) e γ(1) (c) γ(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
e γ(2)
25. Determine γ(t) sabendo que
2
(a) γ′(t) = ti + 2k e γ(0) = i + j
(b) γ′(t) = sen(t)i + cos(2t)j + 1
t+ 1k, t ≥ 0, e γ(0) = i− j + k
(c) γ′(t) = 11 + 4t2 i + e
−tj + k e γ(0) = k
26. Se γ(t) 6= 0, mostre que d
dt
‖γ(t)‖ = 1
‖γ(t)‖γ(t) · γ
′(t). [Dica. ‖γ(t)‖2 = γ(t) · γ(t).]
27. Se uma curva tem a propriedade de o vetor posição γ(t) ser sempre perpendicular ao vetor tangente γ′(t), mostre que essa
curva está em uma esfera com o centro na origem. [Dica. Basta mostrar que a ‖γ(t)‖ é uma função constante.]
28. Seja F(t) uma força dependendo do tempo t, que atua sobre uma partícula entre os instantes t1 e t2. Supondo F integrável
em [t1, t2], o vetor
I =
∫ t2
t1
F(t) dt
denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado.
(a) F(t) = ti + j + t2k, t1 = 0 e t2 = 2. (b) F(t) = 1
t+ 1 i + t
2j + k, t1 = 0 e t2 = 1.
29. Determine o comprimento da curva dada.
(a) γ(t) =
√
2ti + etj + e−tk, 0 ≤ t ≤ 1 (b) γ(t) = i + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 1
30. Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x2 = 2y e da superfície 3z = xy. Encontre o comprimento exato de C
da origem até o ponto (6, 18, 36).
31. Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde t = 0 na direção crescente de t.
(a) γ(t) = 2ti + (1− 3t)j + (5 + 4t)k (b) γ(t) = e2t cos 2ti + 2j + e2t sen 2tk
32. A molécula de DNA tem a forma de duas hélices circulares. O raio de cada uma das hélices é de cerca de 10 ångströms
(1 Å = 10−8 cm). Cada hélice, em uma volta completa, sobe 34Å, e existem cerca de 2, 9 · 108 voltas completas. Estime o
comprimento de cada hélice circular.
Considere o movimento de uma partícula no espaço (ou no plano) descrita pela função posição γ(t). No instante t:
• O vetor velocidade da partícula é dado por v(t) = γ′(t).
• A velocidade escalar da partícula é ‖v(t)‖.
• O vetor aceleração da partícula é dado por a(t) = v′(t) = γ′′(t).
A versão vetorial da Segunda Lei de Newton para o Movimento nos diz que, se em qualquer instante de tempo t, uma força
F(t) age sobre um objeto de massa m produzindo uma aceleração a(t), então
F(t) = ma(t).
33. A função posição de uma partícula é dada por γ(t) = (t2, 5t, t2 − 16t). Quando sua velocidade escalar é mínima?
34. Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são
ortogonais.
35. Uma bola é atirada em um ângulo de elevação de 45° em relação ao solo. Se a bola cai no solo a uma distância de 90 m,
qual a velocidade escalar inicial da bola? Assuma que a resistência do ar seja desprezível e que a única força externa seja a
gravidade g ≈ −10j.
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