MQF_2_Parte_-_Juros_Compostos-Taxa_Efetiva_e_Montante_com_taxas_nominais-Eq

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Neste regime de capitalização, os juros que são gerados a cada período são 
agregados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Desta forma 
temos a incidência de juro sobre juro. Esse é o comportamento da capitalização 
composta ou exponencial. 
É o juro mais difundido e aplicado no cenário financeiro atual do mercado 
brasileiro, pois é o que melhor se enquadra em nossa situação corrente; o Brasil 
possui uma economia com uma boa performance, mas ainda instável, ocasionado 
por problemas políticos, estruturais (política tributária complexa, problemas com o 
sistema educacional, infraestrutura logística deficitária e obsoleta, pouco 
investimento ciência e tecnologia, pouco investimento em P&D, pouco 
investimento em produtos de alto valor agregado, baixa competitividade industrial 
internacional, elevado índice de inadimplência pessoa física e jurídica, etc.) e além 
de problemas conjunturais. 
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Juros 
Compostos 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Veja o seguinte exemplo de demonstração: 
Consideramos uma aplicação de R$ 1.000,00 por um 
período de 3 meses a uma taxa de 10% ao mês. 
 
 
n 
Capital 
aplicado 
Juros de cada 
período 
Valor acumulado 
(montante = capital + juros) 
1 R$ 1.000,00 1.000 x 10% = 100,00 1.000 + 100 = 1.100,00 
2 R$ 1.100,00 1.100 x 10% = 110,00 1.100 + 110 = 1.210,00 
3 R$ 1.210,00 1.210 x 10% = 121,00 1.210 + 121 = 1.331,00 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
 Diagrama de fluxo de caixa para o Juro Composto 
 
𝐶 𝑥 𝑖 = 𝑅$ 100,00 𝑀1 𝑥 𝑖 = 𝑅$ 110,00 𝑀2 𝑥 𝑖 = 𝑅$ 121,00 
𝑀3 = 𝑅$ 1.331,00 
M: Montante, Valor Nominal, Valor 
de Face, Valor Futuro. 
C: Capital Inicial, Valor Presente, 
Valor Aplicado, Valor Atual 
(referente a uma data inferior ao 
vencimento), Principal, Capital 
Aplicado, Capital, Capital 
Investido. 
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𝑖 = 10% 
𝑀1 = 𝐶 + 𝐽 = 1.100,00 𝑀2 = 1.210,00 
𝑀3 = 𝑀2 + 121,00 
3 
J 
Na capitalização 
composta, o montante 
gerado num determinado 
período será igual ao 
capital aplicado da 
próxima capitalização. 
1 2 
𝐶 = 𝑅$ 1.000,00 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos 
Admitamos um capital inicial de R$ 100,00 aplicado à taxa de 10% a.m. por 
um período de 5 meses a juros simples e compostos. (Adaptado de Mathias e 
Gomes, 2010) 
 
 
n 
Juros Simples Juros compostos 
Juro por período Montante Juro por período Montante 
1 100,00 x 0,1 = 10,00 110,00 100,00 x 0.1 = 10,00 110,00 
2 100,00 x 0,1 = 10,00 120,00 110,00 x 0.1 = 11,00 121,00 
3 100,00 x 0,1 = 10,00 130,00 121,00 x 0.1 = 12,10 133,10 
4 100,00 x 0,1 = 10,00 140,00 133,10 x 0,1 = 13,31 146,41 
5 100,00 x 0,1 = 10,00 150,00 146,41 x 0.1 = 14,64 161,05 
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Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos 
É possível observar no gráfico abaixo que a formação do montante em juros 
simples é linear e em juros compostos é exponencial. 
 
 
100,00 
n Períodos 1 2 3 
Juros Compostos 
Juros Simples 
Montante R$ 
Ascendência exponencial 
Ascendência linear 
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JS = JC JS = JC 
JS = JC 
0 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos 
 
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Regime 
Processo de funcionamento e 
outros detalhes 
Juros Simples 
 Somente o capital aplicado rende juro. 
 O juro simples será maior que o juro 
composto no intervalor entro o período 0 
(zero) e o período 1 (um). 
Juros Compostos 
 Após cada período, o juro é incorporado 
ao capital, proporcionando juro sobre juro. 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 Vamos recalcular o montante R$ 161,05 a juros compostos obtido 
anteriormente na tabela comparativa de juros simples e juros 
compostos, onde o capital inicial é R$ 100,00, a taxa de juros é 10% 
a.m. e o período é 5 meses, através de uma notação literal que será 
apresentado no próximo slide: 
 
 𝑪𝟏 = 𝑪𝟎 𝒙 𝟏 + 𝒊 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟏𝟏𝟎, 𝟎𝟎 
 𝑪𝟐 = 𝑪𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒊 = 𝟏𝟏𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟏𝟐𝟏, 𝟎𝟎 
 𝑪𝟑 = 𝑪𝟐 𝒙 𝟏 + 𝒊 = 𝟏𝟐𝟏, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟏𝟎 
 𝑪𝟒 = 𝑪𝟑 𝒙 𝟏 + 𝒊 = 𝟏𝟑𝟑, 𝟏𝟎 𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟏𝟒𝟔, 𝟒𝟏 
 𝑪𝟓 = 𝑪𝟒 𝒙 𝟏 + 𝒊 = 𝟏𝟒𝟔, 𝟒𝟏 𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟎𝟓 
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Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
Observe a seguinte operação matemática, adaptado de Mathias e 
Gomes, 2010 : 
A partir das seguintes equações que foram transpostas do slide 
anterior e que representam uma capitalização financeira de uma 
mesma operação, pode-se chegar a seguinte conclusão: 
 𝑪𝟏 = 𝑪𝟎 . 𝟏 + 𝒊 𝐞 𝑪𝟐 = 𝑪𝟏 . 𝟏 + 𝒊 . Usando a substituição de 
fatores nesta relação financeira, temos: 
 𝑪𝟐 = 𝑪𝟎 . 𝟏 + 𝒊 . 𝟏 + 𝒊 ; agora, substituindo a nova equação 𝑪𝟐 
em 𝑪𝟑= 𝑪𝟐 . (𝟏 + 𝒊) e depois, aplicando a propriedade de 
multiplicação de fatores de mesma base, temos: 
𝑪𝟑 = 𝑪𝟎 . (𝟏 + 𝒊)³ 
 Se continuarmos no mesmo raciocínio operacional, é possível 
generalizar até a enésima base temporal (prazo) da operação, 
de maneira que chegaríamos a seguinte equação: 
𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 . 𝟏 + 𝒊
𝒏 
 
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𝟏 + 𝒊 𝒏 
Fator de 
Capitalização 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Aplicando o exemplo anterior na fórmula encontrada no slide 
anterior, 𝐶𝑛 = 𝐶0 𝑥 1 + 𝑖
𝑛, temos a seguinte solução: 
 
 
𝑪𝟓 = 𝟏𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟏
𝟓 = 𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝟏, 𝟔𝟏𝟎𝟓𝟏 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟎𝟓𝟏 
 
Como podemos observar, encontramos, através da fórmula, o 
mesmo valor que está na planilha (a diferença apresentada em 
uma casa decimal pode ser ajustada através de uma simples 
redução operacional de décimos financeiros), através de uma 
única e simples operação. 
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𝟏, 𝟏 𝟓 Fator de Capitalização 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Temos que a fórmula que melhor representa o regime 
de capitalização composto se apresenta na forma 
do montante: 
 
 
 
 
 
 (𝟏 + 𝒊)𝒏 , representa o fator de acumulação (ou de 
capitalização) do capital a juros compostos. 
 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 Fórmula do Montante 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 É necessário tomarmos bastante atenção neste regime 
de capitalização. Pois, a priori, na capitalização 
composta quaisquer operações de multiplicação ou 
divisão de suas taxas na forma percentual, provoca 
distorções no resultado da operação, de maneira que tal 
equivoco leva a uma resposta errada e, 
consequentemente a um prejuízo na tomada de decisão. 
 Assim como em juros simples, é necessário tornarmos 
equivalentes as taxas e prazos à mesma unidade de 
tempo. No entanto, em juros compostos, é importante 
que sempre convertamos os prazos às bases temporais 
das taxas, nesta ordem. Por exemplo: prazo: 24 meses; 
taxa: 6% a.a.; convertendo ficaria assim: 2anos, 6% a.a. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Notamos que o conceito de Montante independe dos 
sistemas de capitalização (Simples e Composto) e sua forma 
geral tende a prevalecer no processo analítico. Portanto, de 
maneira geral, o montante a juros compostos também é igual 
a soma do capital (C) com o juro (J) por ele produzido no 
período de capitalização. A equação abaixo é a fórmula 
genérica ou geral do montante. 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Podemos deduzir outras equações a partir da 
equação do montante a juros compostos: 
 
 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑪 = 
𝑴
(𝟏 + 𝒊)𝒏
 
𝒊 = 
𝑴
𝑪
 
𝒏
 − 𝟏 
𝒊 = 
𝑴
𝑪
𝟏
𝒏
− 𝟏 
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Juros Compostos ou CapitalizaçãoComposta/Exponencial 
 Fórmula do Juro: Demonstração 
❶ 𝑱 = 𝑴 − 𝑪 
❷ 𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)
𝒏 
Fazendo a substituição de fatores da equação 2 
na equação 1, temos: 
 
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𝑱 = 𝑪. (𝟏 + 𝒊)𝒏 −𝟏 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Valor Atual e Valor Nominal 
 Valor Atual: corresponde ao valor da aplicação em uma 
data antes do seu vencimento. 
 Valor Nominal: é o valor do título na data do seu 
vencimento (Valor Futuro). Também chamado de “Valor de 
Face” do título. 
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . 𝟏 + 𝒊 𝒏 (Valor Nominal) 
 
𝑽𝑨 = 
𝑽𝑵
𝟏+𝒊 𝒏
 (Valor Atual ou Valor Presente) 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Valor Atual e Valor Nominal 
(Adaptado de Puccini, 2011) 𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . 𝟏 + 𝒊 𝒏 
𝑽𝑨 = 
𝑽𝑵
𝟏 + 𝒊 𝒏
 
0 n 1 
(Tempo/período) 
𝑽𝑵 
𝒐𝒖 
𝑴 𝑽𝑨 
𝒐𝒖 
𝑪 
i 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Taxas equivalentes: duas ou mais taxas serão 
consideradas equivalentes em juros compostos 
quando aplicadas sobre um mesmo capital, durante 
um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒊𝒆𝒒 = (1 + 𝒊𝒃)
𝒂
𝒃 −𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎 
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𝒊𝒆𝒒 = 𝐭𝐚𝐱𝐚 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐜𝐮𝐫𝐚𝐝𝐚 𝐚 𝐭𝐚𝐱𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐮 𝐪𝐮𝐞𝐫𝐨 . 
𝒊𝒃 = 𝐭𝐚𝐱𝐚 𝐝𝐚𝐝𝐚 𝐚 𝐭𝐚𝐱𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐮 𝐭𝐞𝐧𝐡𝐨 . 
𝒂 = nº de dias da taxa procurada (taxa equivalente) ou que eu quero. 
𝒃 = nº de dias da taxa dada (ou que eu tenho). 
 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 Taxas equivalentes: Exemplo: Um operador de renda fixa de um 
banco diz a um dos gerentes comerciais da rede de agências em uma 
ligação telefônica: “O máximo que podemos pagar nesse CDB-Pré é 
de 12% ao ano. Se você descapitalizar a taxa, dá um retorno de 0,95% 
ao mês.” Confirme a informação. 
Neste caso, o termo descapitalizar significa encontrar uma taxa de juros 
compostos equivalente para uma unidade de tempo menor do que a da 
taxa fornecida (ano para mês, mês para dia, etc.). (TOSI, 2009). 
 
 Solução: Aqui, deveremos confirmar a taxa já anunciada de 0,95%a.m. 
 𝒊𝒆𝒒 = (1 + 𝒊𝒃)
𝒂
𝒃 −𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎 
 𝑖𝑒𝑞 = 1 + 
12
100
30
360
 − 1 𝑥 100 
 
 𝒊𝒆𝒒 = 𝟎, 𝟗𝟓% 𝒂.𝒎. (Ok, confirmado a taxa) 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EXERCÍCIOS 
Exercício 1 – Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00 à taxa de 5% a.m. durante 
½ ano, capitalizado mensalmente. Calcule o montante. 
Resolução 
𝑴 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟔 ⇒ 𝑴 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏, 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗 ⇒ 𝑴 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟗 
 
Exercício 2 – Qual o valor que aplicado a juros compostos de 5% a.m., 
capitalizado mensalmente durante ½ ano, gerou o montante de R$ 
1.340,09? 
Resolução 
𝟏. 𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟗 = 𝑪 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟔 ⇒ 
𝟏. 𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟗
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝟔
 = 𝑪 ⇒ 𝑪 = 𝟗𝟗𝟗, 𝟗𝟗 ≅ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 3 – John Snow, já se precavendo do inverno que está 
chegando, aplicou R$ 1.000,00 a juros compostos, à taxa de 5% a.m., 
capitalizada mensalmente, gerando um montante de R$ 1.340,09. Por 
quanto tempo o capital ficou aplicado? 
Resolução 
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𝟏. 𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟗 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓)𝒏 ⇒ 
𝟏. 𝟑𝟒𝟎, 𝟎𝟗
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟏, 𝟎𝟓𝒏 ⇒ 𝟏, 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗 = 𝟏, 𝟎𝟓𝒏 
Aplicando o logaritmo na base 10 nas duas igualdades da equação: 𝟏, 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗 = 𝟏, 𝟎𝟓𝒏 
𝐥𝐨𝐠 𝟏, 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏, 𝟎𝟓𝒏 ⇒ 𝟎, 𝟏𝟐𝟕𝟏𝟑𝟑 = 𝒏. 𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟏𝟖𝟗 
𝒏 = 
𝟎, 𝟏𝟐𝟕𝟏𝟑𝟑
𝟎, 𝟎𝟐𝟏𝟏𝟖𝟗
= 𝟓, 𝟗𝟗𝟗 ≅ 𝟔 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 4 – Zé Pelim aplicou R$ 1.000,00 a juros compostos, por ½ ano, 
com capitalização mensal, gerando um montante de R$ 1.540,09. 
Calcule a taxa de juros. 
Resolução 
𝟏. 𝟓𝟒𝟎, 𝟎𝟗 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝒊)𝟔 ⇒ 
1.540,09
1.000
 = (1 + 𝑖)6 ⇒ 1,54009 = (1 + 𝑖)6 
 Aplicando a radiciação na equação : 𝟏, 𝟓𝟒𝟎𝟎𝟗 = (𝟏 + 𝒊)𝟔 
1,54009
6
 = (1 + 𝑖)6
6
 ⇒ 1,074627 = 1 + 𝑖 ⇒ 𝑖 = 0,074627 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟒𝟔𝟐𝟕 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟕, 𝟒𝟔% 𝒂.𝒎. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 5 – Danielys quer saber quanto rendeu, R$ 1.000,00 aplicados 
por ela a juros compostos, por ½ ano, com capitalização mensal, e taxa 
de juros de 8% a.m. 
Resolução 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 6 – (Adaptado de CAMARGOS, 2013) Um imóvel está sendo 
oferecido pela família Trancozo por R$ 450.000,00 à vista, ou por R$ 
120.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 348.000,00 ao final de seis 
meses. Sabe que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de 
renda prefixada gira em torno de 0,75% ao mês (taxa usada como 
parâmetros em descapitalizações), determine a taxa implícita na venda a 
prazo e informe a melhor opção para um interessado disposto em comprar 
o imóvel. 
Resolução 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
CONTINUAÇÃO: 
Resolução 
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Valor à vista: 450.000,00 
Entrada: 120.000,00 (condição a prazo) 
Parcela final a pagar: 348.000,00 
(condição a prazo) 
C = 330.000,00 (valor a ser financiado) 
M = 348.000,00 
(valor financiado capitalizado) 
6 meses 0 
6 meses 
0 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
CONTINUAÇÃO: Resolução 
 
 
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𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝟑𝟒𝟖. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎. (𝟏 + 𝒊)𝟔 ⇒ 
348.000
330.000
 = (1 + 𝑖)6 ⇒ 𝟏, 𝟎𝟓𝟒𝟓𝟒𝟓 = (𝟏 + 𝒊)𝟔 
 Aplicando o logaritmo na base 10 em ambos os lados da equação: 
𝐥𝐨𝐠 𝟏, 𝟎𝟓𝟒𝟓𝟒𝟓 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)𝟔 ⇒ 0,0230651 = 6. log (1 + 𝑖) 
0,0230651
6
 = log 1 + 𝑖 ⇒ log 1 + 𝑖 = 0,00384418 
 Aplicando o antilog. na equação: 𝒍𝒐𝒈 𝟏 + 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟒𝟒𝟏𝟖 
1 + 𝑖 = 100,00384418 ⇒ 𝑖 = 1.0088908 − 1 ⇒ 𝑖 = 0,0088908 . 100 
Demonstrando a taxa implícita (efetiva) na venda a prazo 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
CONTINUAÇÃO: Resolução 
 
 
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𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
 Podemos ainda comparar as condições pra um potencial comprador, 
descapitalizando a parcela que se tem a pagar daqui a 6 meses, R$ 348.000,00, até a 
data focal zero, que é o período em que acontece o pagamento à vista de R$ 
450.000,00. É importante sabermos que a taxa de descapitalização (taxa de 
desconto) será a taxa média dos títulos de renda prefixada, 0,75% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Comparando, percebemos que é melhor comprar à vista. 
Venda a prazo: Entrada =120.000,00 (é uma condição a vista) 
Venda a prazo: Descapitalizando os R$ 348.000,00 até a data focal zero (6 meses de 
prazo) 
Taxa de desconto: 0,75% a.m. 
𝑽𝑨 = 
𝟑𝟒𝟖. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟓)𝟔
 = 𝟑𝟑𝟐. 𝟕𝟒𝟐, 𝟗𝟗 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒏𝒂 𝒅𝒂𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒄𝒂𝒍 𝒛𝒆𝒓𝒐: 𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟐. 𝟕𝟒𝟐, 𝟗𝟗 = 𝟒𝟓𝟐. 𝟕𝟒𝟐, 𝟗𝟗 (𝒂 𝒑𝒓𝒂𝒛𝒐) 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 7 – (MATHIAS E GOMES, 2010) O preço de uma mercadoria é de R$ 
2.000,00, sendo financiada em até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses 
como prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar a vista, a loja 
oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40% a.a., 
vale a pena comprar a prazo (resolva usando o conceito de taxa equivalente a 
juros compostos)? 
Resolução 
 
 
 
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Aplicando o desconto para pagamento a vista: 
𝐕𝐀 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟏𝟎% = 𝟏. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 (𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐅𝐢𝐧𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐝𝐨) 
Considerando o preço inicialda mercadoria como Montante ou Valor Nominal: 
𝐕𝐍 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Prazo para o pagamento: 
𝐧 = 𝟑 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬 
Calculando a taxa praticada pela loja: 𝐕𝐍 = 𝐕𝐀 . (𝟏 + 𝐢)𝐧 
2.000 = 1.800 . (1 + 𝑖)3 ⇒ 
2.000
1.800
 = (1 + 𝑖)3 ⇒ 1,11111 = (1 + 𝑖)3 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
Exercício 7 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando o conceito de taxas equivalentes a juros compostos para encontrar a taxa anual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∴ como a taxa de mercado é de 40% a.a. e a taxa praticada pela loja é de 52,41% a.a., 
conclui-se que é melhor comprar a vista. 
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𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = (𝟏 + 𝒊)𝟑 ⇒ 1,11111
3
 = (1 + 𝑖)3
3
 ⇒ 1,03574 = 1 + 𝑖 
𝑖 = 1,03574 − 1 ⇒ 𝑖 = 0,03574 . 100 = 𝟑, 𝟓𝟕𝟒% 𝒂.𝒎. 
𝐢𝐞𝐪 = 𝟏 + 𝐢𝐛
𝐚
𝐛 − 𝟏 
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 0,03574
360
30 − 1 ⇒ 𝑖𝑒𝑞 = 1,03574 
12 − 1 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 8 – (Adaptado de MATHIAS E GOMES, 2010) KennoSaby aplicou 
todos os seus R$ 15.000,00 e após um ano recebeu R$ 18.782,87 de juros. 
Agora KennoSaby quer saber qual foi a taxa de juros mensal paga pela 
financeira onde seu dinheiro foi aplicado? 
Resolução 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . [(𝟏 + 𝒊)𝒏 −𝟏] 
 𝟏𝟖. 𝟕𝟖𝟐, 𝟖𝟕 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝒊 𝟏𝟐 − 𝟏 ⇒ 
18.782,87
15.000
 + 1 = 1 + 𝑖 12 
1 + 𝑖 12 = 2,2521913 ⇒ 1 + 𝑖 12
12
 = 2,2521913
12
 
1 + 𝑖 = 1,069999 ⇒ 𝑖 = 0,069999 . 100 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 9 – (Adaptado de MATHIAS E GOMES, 2010) LittleFinger quer 
saber qual taxa de juros mensal fará um capital dobrar em 1 ano? 
Resolução 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
 
 
 
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𝟐. 𝑪 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝟏𝟐 ⇒ 
2 . C
C
 = (1 + i)12 ⇒ 2 = (1 + i)12 
log(2) = log(1 + i)12 ⇒ 0,3010299 = 12 . log 1 + i ⇒ 
log 1 + i = 
0,3010299
12
 ⇒ 𝐥𝐨𝐠 𝟏 + 𝐢 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟎𝟖𝟓𝟖 
Aplicando o antilog. na base 10 na equação: 𝐥𝐨𝐠 𝟏 + 𝐢 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟎𝟖𝟓𝟖 
100,0250858 = 1 + i ⇒ 1,0594630 − 1 = i 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 10 – Calcule quanto Cão Sarnento deve depositar no Banco 
MultiPlik para que ao fim de 8 anos possua em sua conta master, o valor 
de R$ 300.000,00. Saiba que o banco aplica a taxa de 25% a.a., com 
capitalização bimestral. 
Resolução 
 
 
 
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Transformando a taxa nominal em taxa efetiva: 
𝒊𝒆 = 
𝟎, 𝟐𝟓
𝟔
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒, 𝟏𝟕% 𝒂. 𝒃. 
Transformando o prazo anual para bimestres: 
𝒏 = 𝟖 𝒂𝒏𝒐𝒔 . 𝟔 𝒃𝒊𝒎. = 𝟒𝟖 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 
Aplicando na fórmula do montante: 𝐌 = 𝐂 . (𝟏 + 𝐢)𝐧 
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑪 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟏𝟕)𝟒𝟖 ⇒ 𝑪 = 
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟕, 𝟏𝟎𝟔𝟑𝟕
 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
Exercício 11 – JazzMine levou toda sua beleza mais a bagatela de R$ 
15.000,00 ao Banco Jardim de Ouro, pretendendo aplicar esse dinheiro 
por um prazo de 5 meses. Seu Lírio, gerente do banco, olhando fixamente 
pra JazzMine se empolgou e lhe ofereceu a melhor condição, uma taxa 
de juros compostos de 181,27% a.a. pelo período de aplicação 
pretendido; de pronto ela se interessou e aplicou todo seu capital. Ao 
término do período, JazzMine resgatou todo o montante. Em seguida, ela 
resolveu aplicar todo o rendimento da aplicação inicial, agora por 16 
meses. Nesta nova aplicação, seu Lírio disse: pra você linda JazzMine, lhe 
ofereço uma taxa de juros compostos de 289,60% a.a. Determine a taxa 
mensal de juros equivalente da segunda aplicação e o valor dos juros, 
também da última aplicação? 
Resolução 
 
Como o que está sendo perguntado é o valor dos juros da ultima aplicação, e o capital 
aplicado nesta ultima aplicação foi o rendimento da primeira, usaremos em toda a 
resolução do problema, a fórmula dos juros na capitalização composta. 
 
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𝐽 = 𝐶 . 1 + 𝑖 𝑛 − 1 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
Exercício 11 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 inicialmente calcularemos os juros da primeira aplicação: 
 
 
 
 
 Calculando a taxa equivalente mensal de juros da segunda aplicação: 
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𝑱 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 
𝑱 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 
𝐽 = 15.000 . 1 + 1,8127
5
12 − 1 ⇒ 𝐽 = 15.000 . 1, 53863 − 1 
𝑱 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟓𝟑𝟖𝟔𝟑 = 𝟖. 𝟎𝟕𝟗, 𝟒𝟓 
𝒊𝒆𝒒 = 𝟏 + 𝒊𝒃
𝒂
𝒃 − 𝟏 
𝑖𝑒𝑞 = 1 + 2,896
30
360 − 1 = (1,12000 − 1) . (100) 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 11 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
 
 
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Aplicando o rendimento da primeira aplicação, na segunda 
aplicação, considerando a taxa mensal de 12% a.m. calculada 
anteriormente: 
 Calculando os juros: 
 
 𝑱 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 
𝐽 = 8.079,45 . 1 + 0,12 16 − 1 ⇒ 𝐽 = 8.079,45 . 6,13039 − 1 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Exercício 12 – (VIEIRA SOBRINHO, 1997) Em quanto tempo um capital 
aplicado por seu Ukara pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, 
se aplicado a 3,755% ao mês? 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . [ 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏] 
𝟎, 𝟓 . 𝑪 = 𝑪 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟓𝟓 𝒏 − 𝟏 → 
0,5 . 𝐶
𝐶
 = 1,03755𝑛 − 1 
0,5 + 1 = 1,03755𝑛 → 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟕𝟓𝟓𝒏 
 Aplicando o logaritmo na base 10 na equação: 𝟏, 𝟓 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟕𝟓𝟓𝒏 
log 1,5 = log 1,03755𝑛 → 0,17609 = 𝑛 . log 1,03755 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
 Taxa Efetiva a Juros Compostos: é uma taxa apurada durante 
determinado prazo, sendo formada por n períodos de capitalização. 
Neste caso, a unidade de tempo da taxa coincide com a unidade de 
tempo da capitalização dos juros (CAMARGOS, 2013). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒊: 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒐𝒖 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 
𝒊𝒇: 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 
𝒌 ∶ 𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çõ𝒆𝒔 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒂𝒅𝒂. 
𝒏: 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒐 𝒑𝒓𝒂𝒛𝒐. 𝑬𝒔𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒗𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒐 𝒎𝒆𝒔𝒎𝒐 𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒂𝒅𝒂, 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒔𝒂𝒓. 
𝑷: 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔, 𝒆𝒎 𝒇𝒖𝒏ç𝒂𝒐 𝒅𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂 (𝒑𝒓𝒐𝒄𝒖𝒓𝒂𝒅𝒂), 
𝒒𝒖𝒆 𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 é 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒅𝒂 𝒏𝒂 𝒐𝒑𝒆𝒓𝒂çã𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆𝒊𝒓𝒂. 
𝑴: 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒐 𝒎𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒇𝒓𝒆 𝒂çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔. 
𝑪: 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒐 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒐𝒇𝒓𝒆 𝒂çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒂𝒔 𝒂𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔. 
 
 
 
𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 𝒊𝒇 = 
𝑴
𝑪
𝟏
𝒏
 − 𝟏 
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1 2 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Taxa Efetiva a Juros Compostos 
Ex1: Calcule a taxa anual efetiva equivalente à taxa nominal de 
24% ao ano capitalizada trimestralmente? (adaptado de 
SAMANEZ, 2002) 
𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 → 𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝟎,𝟐𝟒
𝟒
𝟒
 − 𝟏 → 𝒊𝒇 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔
𝟒 − 𝟏 
→ 𝒊𝒇 = 𝟐𝟔, 𝟐𝟓% 𝒂. 𝒂. ## 
 
Ex2: Calcule a taxa anual efetiva equivalente à taxa nominal de 
24% ao semestre capitalizada mensalmente? (adaptado de 
SAMANEZ, 2002) 
𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 → 𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝟎,𝟐𝟒
𝟔
𝟏𝟐
 − 𝟏 = 𝟔𝟎, 𝟏𝟎% 𝒂. 𝒂. ## 
 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Taxa Efetiva a Juros Compostos 
Ex3: (Adaptado de Mathias e Gomes, 2010) - Um capital de 1.000 
reais foi aplicado por 3 anos,à taxa de 10% a.a. com 
capitalização semestral. Calcular a taxa efetiva anual da 
operação? 
Resolução 
𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 
 𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝟎,𝟏
𝟐
𝟐
 − 𝟏 = (𝟏, 𝟎𝟓)𝟐 −𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟐𝟓% 𝒂. 𝒂. 
 
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Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
Taxa Efetiva a Juros Compostos: Exemplo: Muddie descontou, 87 dias antes do 
vencimento, uma promissória de R$ 12.000,00 no Switzer Bank pela taxa comercial 
simples de 26% a.a. Qual a taxa efetiva composta, considerando que sobre o valor 
nominal do título incidiu imposto de 0,9%? (Adaptado de Milone, 2006). 
Solução: 
Considerando que o desconto se deu à taxa comercial simples, aplicaremos, primeiramente, o 
Desconto simples para encontrar o valor recebido por Muddie. 
 𝐕. 𝐀𝐭𝐮𝐚𝐥: 𝐕𝐀 = 𝐕𝐍 𝐱 𝟏 − 𝐝 . 𝐧 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙 𝟏 − 𝟎, 𝟐𝟔 𝒙
𝟖𝟕
𝟑𝟔𝟎
 = 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟎 
 Imposto (I): 𝑰 = 𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒙
𝟎,𝟗
𝟏𝟎𝟎
 = 𝑹$ 𝟏𝟎𝟖, 𝟎𝟎 
 Valor recebido por Muddie: 𝟏𝟏. 𝟐𝟒𝟔, 𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟖, 𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟏𝟏. 𝟏𝟑𝟖, 𝟎𝟎 
 Prazo (n): n = 87 dias = 87/360 = 0,241666667 ano (transforma-se dias em ano, 
pois a taxa é anual) 
 
Taxa efetiva a juros compostos: 
𝒊𝒇 = 
𝑴
𝑪
𝟏
𝒏
 − 𝟏 = 
𝟏𝟐.𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎
𝟏𝟏.𝟏𝟑𝟖,𝟎𝟎
𝟏
𝟎,𝟐𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
 − 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟔𝟏𝟑 = 𝟑𝟔, 𝟏𝟑% 𝒂. 𝒂. 
 
 
 
 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
O Montante quando o período da capitalização não 
coincide com o período da taxa: nesta situação 
comumente adotamos a convenção de que a taxa por período 
de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
 
 
 𝒊= taxa nominal 
 𝒌 = nº de capitalizações para 1 período da unid. temporal da taxa nominal dada. 
 𝒏 = representa a quantidade de tempo (prazo) da operação condicionada à 
mesma unidade temporal da taxa nominal. 
 𝑪 = Principal ou Valor Aplicado ou Capital Aplicado ou Capital Inicial ou Valor 
Atual ou Valor Presente 
 𝑴𝒏𝒌 = Montante ou Valor Futuro ou Valor Nominal 
 
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𝑴𝒏𝒌 = 𝑪 . 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒏.𝒌
 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
O Montante quando o período da capitalização não 
coincide com o período da taxa: 
Ex. 1: (Adaptado de Mathias e Gomes, 2010) - Um capital de 
1.000 reais foi aplicado por 3 anos, à taxa de 10% a.a. com 
capitalização semestral. Calcular o montante da operação? 
Resolução 
𝑴𝒏𝒌 = 𝑪 . (𝟏 + 
𝒊
𝒌
)𝒏.𝒌 
𝑴𝟑.𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 
𝟎, 𝟏
𝟐
𝟑.𝟐
⇒ 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒏𝒐 𝒔𝒍𝒊𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Continuação Exemplo 1: 
 
𝑴𝟔 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓
𝟔 ⇒ 
 
𝑴𝟔 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏, 𝟑𝟒𝟎𝟎𝟗𝟓 ⇒ 
 
O Montante acumulado em 6 capitalizações 
semestrais (durante 3 anos) é igual R$ 1.340,10. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
O Montante quando o período da capitalização não 
coincide com o período da taxa: 
Ex. 2: (Adaptado de Samanez, 2010) – Em quantos meses uma 
aplicação de R$ 4.000,00 a juros nominais de 12% a.s., capitalizados 
trimestralmente, tem um rendimento mínimo de R$ 2.000,00? Admita 
que a frequência de capitalização dos juros da aplicação coincide 
com a da taxa nominal. 
Resolução 
C=4.000,00, M= 6.000,00, i=12% a.s., k=2, n=? 
𝑴𝒏𝒌 = 𝑪 . (𝟏 + 
𝒊
𝒌
)𝒏.𝒌 
𝟔. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 
𝟎, 𝟏𝟐
𝟐
𝒏.𝟐
⇒ 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝒏𝒐 𝒔𝒍𝒊𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆 
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Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
 
Continuação Exemplo 1: 
𝟔. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔 𝒏.𝟐 ⇒ 
𝟔.𝟎𝟎𝟎
𝟒.𝟎𝟎𝟎
 = 𝟏, 𝟎𝟔 𝒏.𝟐 ⇒ 
𝟏, 𝟓𝟎 = 𝟏, 𝟎𝟔 𝒏.𝟐 
 Aplicando o logaritmo na base 10 na equação: 𝟏, 𝟓𝟎 = 𝟏, 𝟎𝟔 𝒏.𝟐 
log 𝟏, 𝟓𝟎 = log 𝟏, 𝟎𝟔 𝒏.𝟐 ⇒ log 𝟏, 𝟓𝟎 = 𝒏. 𝟐 . log 𝟏, 𝟎𝟔 
𝒏 = 
log 𝟏, 𝟓𝟎
𝟐. log 𝟏, 𝟎𝟔
 ⇒ 
 
 
Será preciso um período de 20 meses e 26 dias. Arredondando, 21 
meses. 
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Composta/Exponencial 
O Montante quando o período da capitalização não 
coincide com o período da taxa: 
Ex. 3: (Adaptado de Samanez, 2010) – Verifique se a taxa nominal 
de 120% a.a., capitalizada mensalmente, é equivalente à taxa 
efetiva de 213,84% a.a. Se ficar demonstrada a equivalência, provar 
que o montante produzido por uma aplicação financeira de R$ 
1.000,00, durante dois anos, a essas duas taxas é o mesmo. 
Resolução 
i=120% a.a.; 𝒊𝒇=213,84% a.a.; k=12; n=2 anos(prazo); C=1.000,00 
Taxa Efetiva Anual: 𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 
𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝒊
𝒌
𝒑
 − 𝟏 ⇒ 𝒊𝒇 = 𝟏 + 
𝟏,𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝟐
 − 𝟏 = 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
Continuação Exemplo 1: 
 Montante à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente: 
𝑴𝒏𝒌 = 𝑪 . (𝟏 + 
𝒊
𝒌
)𝒏.𝒌 
𝑴𝒏𝒌 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 
𝟏, 𝟐
𝟏𝟐
𝟐.𝟏𝟐
 = 𝟗. 𝟖𝟒𝟗, 𝟓𝟔 
 
 Montante à taxa efetiva de 213,84% a.a.: 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊𝒇)
𝒏 
𝑴 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟐, 𝟏𝟑𝟖𝟒 2 = 𝟗. 𝟖𝟒𝟗, 𝟓𝟔 
 
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Verificamos 
que as duas 
taxas são 
equivalentes, 
pois resultam 
no mesmo 
montante 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
O Montante quando o período da capitalização não 
coincide com o período da taxa: 
Ex. 4: (Adaptado de Samanez, 2010) – Calcular a taxa nominal 
anual, capitalizada mensalmente, que produz um montante de R$ 
1.933,15 a partir de um investimento de R$ 1.200,00 aplicado pelo 
prazo de três anos. 
Resolução 
i=?.; k=12; n=3 anos(prazo); C=1.200,00; M= 1.933,15 
𝑴𝒏𝒌 = 𝑪 . (𝟏 + 
𝒊
𝒌
)𝒏.𝒌 
𝟏. 𝟗𝟑𝟑, 𝟏𝟓 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎 . 𝟏 + 
𝒊
𝟏𝟐
𝟏𝟐.𝟑
 ⇒ 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Custo Efetivo Total (CET): criado através da Resolução nº 
3.517 do Conselho Monetário Nacional. O CET, como o próprio nome 
diz, compõe o custo inserido sobre a contratação de operações de 
crédito e de arrendamento mercantil ofertadas a pessoas físicas 
pelas instituições financeiras, e deve ser expressa na forma de taxa 
percentual anual. 
 Fórmula para o cálculo do CET: 
 
 
𝑭𝑪𝒋
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻
𝒅𝒋 − 𝒅𝟎
𝟑𝟔𝟓
 − 𝑭𝑪𝟎 = 𝟎
𝑵
𝒋=𝟏
 
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Composta/Exponencial 
 
Custo Efetivo Total (CET): Abaixo, são apresentados por Tosi, 
(2009), as definições das variáveis que compõe a fórmula do 
CET, apresentado no slide anterior. 
 
𝑭𝑪𝟎: valor do crédito concedido, deduzido, se for o caso, das despesas e 
tarifas antecipadamente; 
𝑭𝑪𝒋 : valores cobrados pela instituição, periódicos ou não, incluindo as 
amortizações, juros, prêmio de seguro e tarifa de cadastro ou de renovação 
de cadastro, quando for o caso bem como qualquer outro custo ou encargo 
cobrado em decorrência da operação; 
𝒋 : j-ésimo intervalo existente entre a data do pagamento dos valores 
periódicos e a data de desembolso inicial, expresso em dias corridos; 
𝑵: prazo do contrato, expresso em dias corridos; 
𝒅𝒋: data do pagamento dos valores cobrados, periódicos ou não (𝑭𝑪𝒋); 
𝒅𝟎: data da liberação do crédito pela instituição (𝑭𝑪𝟎). 
 
 
 
 
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Composta/Exponencial 
 
Custo Efetivo Total (CET): ainda segundo Tosi (2009) e no 
que está definido na Resolução nº 3.517 da CMN, para o 
cálculo do CET, deve ser considerado os fluxos referentes às 
liberações de capital e aos pagamentos previstos, além da 
inclusão da taxa de juros pactuada no contrato, dos tributos, 
das tarifas, dos seguros e outras despesas cobradas do cliente, 
mesmo que relativas ao pagamento de serviçosde terceiros 
contratados pela instituição, inclusive quando essas despesas 
forem objeto de financiamento. 
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Composta/Exponencial 
Custo Efetivo Total (CET): 
Vamos analisar o exemplo abaixo retirado do site do BACEN. 
 
Exemplo: Supondo um financiamento nas seguinte condições: 
 Valor financiado: R$ 1.000,00 
 Taxa de juros: 12% a.a. ou 0,95% a.m. 
 Prazo da operação: 5 meses 
 Prestação mensal: R$ 205,73 
Além dos dados, considere também a hipótese de pagamento a vista 
(sem a inclusão no valor financiado), dos seguintes valores: 
 Tarifa de confecção de cadastro para início de relacionamento: R$ 
50,00 
 IOF: R$ 10,00 
 
 
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Composta/Exponencial 
Continuação: Exemplo 1 
Usando as condições estabelecidas pelo BACEN para o CET, temos: 
 𝐹𝐶0 = 1.000 − 50 + 10 = 940,00 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑟é𝑑𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜) 
 𝐹𝐶𝑗 = 205,73 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑏𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖çã𝑜; 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜) 
Considerando a fórmula abaixo: 
 
𝑭𝑪𝒋
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻
𝒅𝒋 − 𝒅𝟎
𝟑𝟔𝟓
 − 𝑭𝑪𝟎 = 𝟎
𝑵
𝒋=𝟏
, e ajustando a uma melhor condição, temos: 
 
 
𝑭𝑪𝒋
𝟏+𝑪𝑬𝑻
𝒅𝒋 − 𝒅𝟎
𝟑𝟔𝟓
 =𝑵𝒋=𝟏 𝑭𝑪𝟎 , e agora, elaborando uma variação para 
parcelas comerciais mensais. Temos o seguinte: 
 
 
𝑭𝑪𝒋
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻
𝒅𝒋 − 𝒅𝟎
𝟑𝟎
 =
𝑵
𝒋=𝟏
 𝑭𝑪𝟎 
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Composta/Exponencial 
Continuação: Exemplo 1 
Agora, aplicando os dados e desenvolvendo a equação dada, temos: 
 
𝑭𝑪𝒋
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻
𝒅𝒋 − 𝒅𝟎
𝟑𝟎
 =
𝑵
𝒋=𝟏
 𝑭𝑪𝟎 
 
𝟐𝟎𝟓, 𝟕𝟑
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻 𝟏
+ 
𝟐𝟎𝟓, 𝟕𝟑
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻 𝟐
+ 
𝟐𝟎𝟓, 𝟕𝟑
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻 𝟑
+ 
𝟐𝟎𝟓, 𝟕𝟑
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻 𝟒
+ 
𝟐𝟎𝟓, 𝟕𝟑
𝟏 + 𝑪𝑬𝑻 𝟓
= 𝟗𝟒𝟎, 𝟎𝟎 
 
Fazendo uso de uma calculadora financeira, temos que o CET será igual a: 
 
 
𝑪𝑬𝑻 = 𝟑, 𝟎𝟖𝟏𝟑𝟎𝟏𝟑𝟓𝟗% 𝒂.𝒎. 𝒐𝒖 𝟒𝟑, 𝟗𝟑% 𝒂. 𝒂. 
 
 
 
 
 
Como chegamos a esse 
resultado? Demonstração 
no próximo slide 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
Continuação: Exemplo 1: 
Para se chegar no resultado de 43,93% a.a., temos que aplicar os conceitos 
de equivalência de taxas a juros compostos, assunto já estudado. Sendo 
assim, usaremos a seguinte fórmula: 
𝒊𝒆𝒒 = (1 + 𝒊𝒃)
𝒂
𝒃 −𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎 
Desenvolvendo a solução: 
Usaremos todas as casas decimais do CET em meses na modalidade 
comercial, já disponível no slide anterior, para encontrarmos uma taxa anual 
mais fidedigna possível às necessidades financeiras. Vamos ao cálculo: 
 
 𝒊𝒆𝒒 = (1 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟖𝟏𝟑𝟎𝟏𝟑𝟓𝟗)
𝟑𝟔𝟎
𝟑𝟎 −𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎 = 𝟒𝟑, 𝟗𝟑𝟐𝟒𝟒𝟖𝟏𝟕% 𝒂. 𝒂. 
 
 𝒊𝒆𝒒 = 𝑪𝑬𝑻 ≅ 𝟒𝟑, 𝟗𝟑% 𝒂. 𝒂. 
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Composta/Exponencial 
Custo Efetivo Total - CET 
Exemplo 2: (Extraído de Tosi, 2009) – Considerando uma simulação de crédito 
pessoal para um pagamento único realizado em um determinado banco, 
onde nos foi fornecido o valor do percentual do CET e o valor de outras 
variáveis, poderemos demonstrar como é feito o cálculo para o CET. 
 Data da simulação: 08/06/2009 
 Valor solicitado: R$ 1.000,00 
 Valor do imposto: R$ 6,42 
 Valor financiado: R$ 1.006,42 
 Vencimento da parcela única: 10/08/2009 
 Valor da parcela única: R$ 1.134,72 
 5,88% a.m. (juros mensais incidentes sobre a operação no período) 
 Taxas de juros remuneratórios: 100,40% a.a. (365 dias) 
 Custo Efetivo Total: 107,97% a.a. (365 dias) 
 
 
 
63 dias corridos 
contabilizados 
no intervalo das 
duas datas. 
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Composta/Exponencial 
 
Continuação: Exemplo 2: CET 
 
 
 Valor financiado(contratado): R$ 1.006,42 
 Valor solicitado: R$ 1.000,00 
 Taxa de juros compostos incidente sobre a operação: 5,88% a.m. 
 Valor da parcela única a pagar(desembolso): R$ 1.134,72 
 Prazo da capitalização em dias corridos: 63 dias = 2,1 mês 
 Convertendo o prazo(63 dias) para ano(somente duas casas após a virgula: 63/365= 
0,172603 ano 
 
Aplicando a fórmula do Montante: 𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏, temos a seguinte solução: 
1.134,72 = 1.000,00 . (𝟏 + 𝒊)0,172603 ⇒ 
1.134,72
1.000,00
 = 1 + 𝑖 0,172603 ⇒ 
1,13472 = 1 + 𝑖 0,172603 ⇒ log 1,13472 = log 1 + 𝑖 0,172603 ⇒ 
 
0,05488870958 = 0,172603 . log(1 + 𝑖) 
 
 
 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑴 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟔, 𝟒𝟐 𝒙 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝟖𝟖 𝟐,𝟏 
𝑴 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟔, 𝟒𝟐 𝐱 𝟏, 𝟏𝟐𝟕𝟒𝟖𝟏𝟎𝟔𝟗 
𝑴 = 𝟏, 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝟐 
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Composta/Exponencial 
Continuação: Exemplo 2: CET 
 
0,05488870958
0,172603
= log 1 + 𝑖 ⇒ 
 
 
 Aplicando o anti-log na equação acima, temos: 
 
𝟏𝟎𝟎,𝟑𝟏𝟖𝟎𝟎𝟓𝟓𝟑𝟔𝟑 = 𝟏 + 𝒊 ⇒ 𝟐, 𝟎𝟕𝟗𝟕𝟐𝟑𝟏𝟗𝟗 = 𝟏 + 𝒊 ⇒ 
 
𝟐, 𝟎𝟕𝟗𝟕𝟐𝟑𝟏𝟗𝟗 − 𝟏 = 𝒊 ⇒ 𝒊 = 𝟏, 𝟎𝟕𝟗𝟕𝟐𝟑𝟏𝟗𝟗 𝒙 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 
 
𝒊 = 𝟏𝟎𝟕, 𝟗𝟕𝟐𝟑𝟏𝟗𝟗% 𝒂. 𝒂. ≅ 𝑪𝑬𝑻 = 𝟏𝟎𝟕, 𝟗𝟕% 𝒂. 𝒂. ## 
 
 
 
 
𝟎, 𝟑𝟏𝟖𝟎𝟎𝟓𝟓𝟑𝟔𝟑 = 𝒍𝒐𝒈 𝟏 + 𝒊 
Capitalização Contínua 
Quando um capital (𝐶) é aplicado a taxa 
nominal (𝑖) (em um certo período de tempo) e o 
número de capitalizações tende para o infinito 
(relação de continuidade), o montante naquele 
período será dado por: 
 
 
 
Onde “ 𝒆 “, que representa a função exponencial, é 
o número de 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓, que vale aproximadamente 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟐. 
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𝑴 = 𝑪 . 𝒆𝒊.𝒏 
Montante na 
Capitalização 
Contínua 
Capitalização Contínua 
Exemplo 1 (Adaptado de HAZZAN E POMPEU, 2007) – Calcule o 
montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 a uma taxa de 10% 
a.s., durante 2 anos, com capitalização contínua. 
 
Resolução 
 
𝑴 = 𝑪 . 𝒆𝒊 .𝒏 
𝑀 = 10.000 . 𝑒(0,1 . 4) 
𝑀 = 10.000 . 1,491825 
 
 
 
 
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Capitalização Contínua 
Exemplo 2 (HAZZAN E POMPEU, 2007) Qual taxa anual que, com 
capitalização anual, é equivalente a 10% a.a. com capitalização 
contínua? 
Resolução 
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Taxa com capitalização anual: 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
Taxa com capitalização contínua: 
𝑴 = 𝑪 . 𝒆𝒊 .𝒏 
Fazendo a equivalência entre as taxas: 
𝑪 . (𝟏 + 𝒊)𝒏= 𝑪 . 𝒆𝒊 .𝒏 
𝐶 . (1 + 𝑖)𝑛
𝐶
 = 𝑒𝑖 .𝑛 → (1 + 𝑖)𝑛 = 𝑒𝑖 .𝑛 
(1 + 𝑖)1 = 𝑒(0,1 .1) 
𝑖 = 1,10517 − 1 
𝑖 = 0,10517 . 100 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
As necessidades de negociarmos títulos por 
antecipação ou prorrogação, ou também, trocarmos 
um título por outro ou por vários e vice-versa, nos leva a 
querer entender tais aplicações e compreender como 
isso se comporta ao longo do tempo em função das 
particularidades existentes; por exemplo, prazos 
diferentes, mas com taxas iguais. Daí a necessidade de 
estudarmos a equivalência de capitais. A busca é 
incessante por equacionar os ganhos e perdas nas 
relações econômicas-financeiras. 
 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Aqui, novamente, nos deparamos com a definição 
de data focal, a qual nos diz que é data de 
referência de comparação ou análise dos valores 
referendados por títulos (valorizados por seus 
respectivos capitais) a datas diferentes. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
Podemos dizer que dois ou mais capitais são 
equivalentes quando, levados para uma mesma 
data focal à mesma taxa de juros e com datas de 
vencimentos determinadas, tiverem valores iguais. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Aplicação por definição: seja um conjunto de valoresnominais e suas respectivas datas de vencimentos: 
 Capital Data de vencimento 
𝑪𝟏 1 
𝑪𝟐 2 
𝑪𝟑 3 
… ... 
𝑪𝒏 n 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 Representação dos capitais no diagrama: 
0 1 2 3 n . . . 
. . . 
C1 C2 
C3 Cn 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
CAPITAIS EQUIVALENTES: 
Considerando uma taxa de juros “i”, e data focal zero, 
estes capitais serão equivalentes se: 
 
 
 
 Onde indicamos os valores por V, pois serão 
os valores atuais para os respectivos capitais 
na data focal zero. 
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𝑽 = 
𝑪𝟏
(𝟏+𝒊)𝟏
 = 
𝑪𝟐
(𝟏+𝒊)𝟐
 = 
𝑪𝟑
𝟏+𝒊 𝟑
 = . . . = 
𝑪𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏
 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS 
Para se calcular o valor atual de um conjunto de 
capitais de uma determinada data, é necessário fixar-
se a taxa de juros e a data focal. Nestas condições o 
valor atual do conjunto seria obtido descontando os 
capitais para a data focal e somando os valores 
obtidos: 
 
 
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𝑽 = 
𝑪𝟏
(𝟏+𝒊)𝟏
 + 
𝑪𝟐
(𝟏+𝒊)𝟐
 + 
𝑪𝟑
𝟏+𝒊 𝟑
 + . . . + 
𝑪𝒏
(𝟏+𝒊)𝒏
 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
 
CONJUNTOS EQUIVALENTES DE CAPITAIS: dois 
conjuntos são equivalentes quando, fixada uma 
data focal e uma taxa de juros, os valores atuais 
dos dois conjuntos forem iguais. 
 
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Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 1 – Frederico trocou um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00, com 
vencimento para 6 meses, por um outro de valor nominal igual a R$ 8.900,00, 
com vencimento para 4 meses. A taxa de juros corrente de mercado é de R$ 
2,5% a.m. Será que Frederico fez um bom negócio? 
Resolução 
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8.900,00 10.000,00 
4 m 6 m 0 
i = 2,5% a.m. 
2 meses 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 1 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
Comparando a opção de troca, tomando como data de referência (data focal) o 
vencimento do primeiro título (prazo de 6 meses). Portanto, haverá uma 
capitalização do título de valor igual a R$ 8.900,00 por 2 meses. 
 
 
𝑉𝑁 = 8.900,00 . (1 + 0,025)2 → 𝑉𝑁 = 8.900,00 . 1,050625 
 
 Infelizmente Frederico não fez um bom negócio. 
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𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 . (1 + 𝑖)𝑛 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 2 – (Mathias e Gomes, 2010) Um terreno é posto venda por R$ 100.000,00 
a vista, ou caso o comprador opte por financiamento, por R$ 50.000,00 no 
ato mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de R$ 34.000,00 e a 
segunda de R$ 35.000,00. qual é a melhor alternativa para o comprador, se 
considerarmos que a taxa de juros corrente é de 50% a.a.? 
Resolução 
 
 
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100.000,00 
50.000,00 34.000,00 35.000,00 
1 sem. 2 semestre 
i = 50% a.a. 
0 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 2 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
Fazendo a comparação da proposta de financiamento com o pagamento a 
vista. Traremos os valores do financiamento até a data focal zero, onde já 
está a entrada. 
 
 
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𝑉𝐴 = 50.000 + 
34.000
(1 + 0,5)0,5
 + 
35.000
(1 + 0,5)1
 → 
𝑉𝐴 = 50.000 + 27.760,88 + 23.333,33 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 3 - (Mathias e Gomes, 2010) Um sítio é o posto a venda em uma 
imobiliária por R$ 500.000,00 a vista. Como alternativa, a imobiliária propõe: 
entrada de R$ 100.000,00, uma parcela de R$ 200.000,00 para 1 ano e dois 
pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano 
e meio. Qual é o valor destes pagamentos, se a taxa de juros adotada for de 
5% a.m.? 
Resolução 
 
 
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500.000,00 
100.000,00 200.000,00 X X 
6 12 18 meses 
0 
i = 5% a.m. 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 3 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
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500.000 = 100.000 + 
𝑋
(1 + 0,05)6
 + 
200.000
(1 + 0,05)12
 + 
𝑋
(1 + 0,05)18
 
500.000 = 100.000 + 111.367,50 + 𝑋 .
1
1,340096
+ 
1
2,406619
 
288.632,50 = 𝑋 . 0,746215 + 0,415521 
𝑋 = 
288.632,50
1,161736
 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 4 – (Milone, 2006) Quantas noites não durmo, a lembrar-me de que daqui 
a três meses tenho de pagar R$ 5.570,00 e dali a dois meses, mais R$ 8.790,00. 
Para efetuar esses pagamentos nos seus vencimentos, quanto deveria ter 
hoje aplicado a juro composto de 2,15% a.m.? 
Resolução 
 
 
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5.570,00 8.790,00 
X 
3 m 5 m 
0 
i = 2,15% a.m. 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 4 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 
 
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𝑋 = 
5.570
(1 + 0,0215)3
 + 
8.790
(1 + 0,0215)5
 
𝑋 = 
5.570
1,065897
+ 
8.790
1,112223
 
𝑋 = 5.225,66 + 7.903,09 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 5 – (Milone, 2006) Depois de implorar, soltar fagulhas e pontas de agulhas, 
Januária conseguiu convencer seu Diolanda a botar a mão na consciência 
e lhe comprar uma TV nova (a velha era um chuvisco só). Como ele não 
tinha R$ 1.950,00 para dar à vista, deu uma pequena entrada e mais três 
mensais de R$ 500,00. Qual foi a entrada, tendo em vista o financiamento ter 
sido feito a juros compostos de 3,54% a.m.? 
Resolução 
 
 
 
 
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500,00 
X (entrada) 
500,00 500,00 
1.950,00 (a vista) 
1.950 - X 
(valor 
financiado) 
0 
1 2 3 m 
i = 3,54% a.m. 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 5 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 
 
 
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1.950 − 𝑋 = 
500
1 + 0,0354 1
 + 
500
1 + 0,0354 2
 +
500
1 + 0,0354 3
 
1.950 − 𝑋 = 
500
1.0354
 +
500
1,07205
 +
500
1,110004
 
1.950 − 𝑋 = 482,91 + 466,39 + 450,45 
𝑋 = 1.950 − 1.399,75 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 6 – (Samanez, 2010) Considerando juros compostos de 5% a.m., daqui a 
quantos dias deve ser feito um pagamento único de R$ 160.000,00, para 
liquidar uma dívida pela qual o devedor pagará três parcelas, a saber: R$ 
50.000,00 no fim de seis meses, R$ 40.000,00 no fim de dez meses e R$ 
80.000,00 no fim de 12 meses? 
Resolução 
 
 
 
 
 
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n 
12 meses 10 6 
160.000 
80.000 40.000 50.000 
0 
0 
VA 
VA 
1º - Trazendo todos os valores pra data focal zero, para encontra o VA da dívida 
2º - Com o VA encontrado, capitaliza-se a operação a fim de encontrar o prazo do pagamento único 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 6 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 
 
 
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𝑉𝐴 = 
50.000
1 + 0,05 6
 + 
40.000
1 + 0,05 10
 +
80.000
1 + 0,05 12
 
𝑉𝐴 = 37.310,77 + 24.556,53 + 44.546,99 = 𝟏𝟎𝟔. 𝟒𝟏𝟒, 𝟐𝟗 
1º - Trazendo todos os valores pra data focal zero, para encontra o VA da dívida 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 . (1 + 𝑖)𝑛 
160.000 = 106.414,29 . (1 + 0,05)𝑛 → (𝟏, 𝟓)𝒏 = 𝟏, 𝟓𝟎𝟑𝟓𝟔 
Aplicando o logaritmo na base 10: 𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓)𝒏 = 𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓𝟎𝟑𝟓𝟔 ) 
𝒏 = 
𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓)
𝐥𝐨𝐠(𝟏, 𝟓𝟎𝟑𝟓𝟔)
 → 
2º - Calculando o prazo do 
pagamento único 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 7 – (Hazzan e Pompeo, 2007)A loja Bom Sono vende um conjunto de som 
em duas parcelas: R$ 200,00 de entrada e R$ 400,00 após cinco meses. 
Francisco propõe adiar a segunda parcela por mais três meses. 
Considerando que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de 
capitalização composta. Quanto Francisco deverá pagar a mais, na 
entrada. Resolução 
 
 
 
 
 
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E = 200,00 
400,00 
0 5 meses 
400,00 
8 meses 
3 meses 
Adiamento (parcela) da dívida por 3 meses 
i = 5% a.m. 
E’ 
Descapitalizando p/ 
encontrar o preço a 
vista da 1ª condição 
Descapitalizando p/ encontrar o preço a vista da 2ª condição 
Juros Compostos ou Capitalização Composta/Exponencial 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
EX. 7 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
 
 
 
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Calculando o preço a vista da 1ª situação: 
𝑷 = 𝑬 + 𝑷𝒂𝒓𝒄𝒆𝒍𝒂 
𝑃 = 200 + 
400
(1 + 0,05)5
 = 𝟓𝟏𝟑, 𝟒𝟏 
 
Calculando o preço a vista da 2ª situação: 
𝑷 = 𝑬′ + 𝑷𝒂𝒓𝒄𝒆𝒍𝒂 
𝑃 = 𝐸′ + 
400
1 + 0,05 8
 = 𝑬′ + 𝟐𝟕𝟎, 𝟕𝟔 
 
Calculando o aumento na entrado em função da postergação do pagamento 
da parcela. Igualando os preços: 
𝑬′ + 𝟐𝟕𝟎, 𝟕𝟔 = 𝟓𝟏𝟑, 𝟒𝟏 
𝐸′ = 513,41 − 270,76 
 
Descontos Racional Compostos 
Segundo Camargos 2013, o desconto racional composto (por 
dentro) caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de 
desconto sobre o valor atual do título, o qual é deduzido, em cada 
período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. 
Perceberemos que esta modalidade de desconto é semelhante aos 
cálculos de juros compostos. 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊𝒅)
𝒏 
𝑽𝑨 = 
𝑽𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒅)
𝒏
 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑵 . [𝟏 − 𝟏 + 𝒊𝒅
−𝒏] 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑵 − 𝑽𝑨 
Onde: 
𝑽𝑨 é o valor atual ou valor 
líquido recebido pelo título 
𝑽𝑵 é o valor futuro do título 
𝒊𝒅 é a taxa de desconto o 
título 
𝒏 é o período de desconto 
Desconto Composto 
 
Descontos Comercial Compostos 
Desconto comercial composto (por fora) é aquele em que a taxa 
de desconto incide sobre o montante, deduzido dos descontos 
acumulados até o período imediatamente anterior (VIEIRA 
SOBRINHO, 1997). Podemos calcula-lo, aplicando uma das três 
fórmula seguintes. Em geral, no meio comercial está operação 
(desconto simples ou composto) visa basicamente a obtenção de 
recursos de curto prazo, como o capital de giro. 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝒏 
𝑫𝒄 = 𝑽𝑵 . 𝟏 − 𝟏 − 𝒊𝒅
𝒏 
Onde: 
𝑽𝑨 é o valor atual ou valor 
líquido recebido pelo título 
𝑽𝑵 é o valor futuro do título 
𝒊𝒅 é a taxa de desconto o 
título 
𝒏 é o período de desconto 
𝑫𝒄 = 𝑽𝑵 − 𝑽𝑨 
Desconto Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 1 (CAMARGOS, 2013) – Um investidor descontou um título com a valor 
nominal de R$ 45.000,00, quatro meses antes do seu vencimento, com uma 
taxa de desconto racional composto de 4,1% a.m. Determine: 
a) O valor do desconto (D); 
b) O valor líquido recebido pelo investidor (VA); 
c) A taxa efetiva do período; 
d) A taxa efetiva mensal da operação. 
Resolução 
a) Desconto 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑵 . [𝟏 − 𝟏 + 𝒊𝒅
−𝒏] 
𝑫𝒓 = 𝟒𝟓. 𝟎𝟎𝟎 . 𝟏 − 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟒𝟏
−𝟒 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Racional Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 1 – CONTINUAÇÃO 
b) Valor Atual 
𝑽𝑨 = 
𝑽𝑵
(𝟏 + 𝒊𝒅)
𝒏
 
𝑉𝐴 = 
45.000
(1 + 0,041)4
 → 𝑉𝐴 = 
45.000
1,17436
 = 
 
c) Taxa efetiva do período 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 . (1 + 𝑖)𝑛 → 
45.000
38.318,74
 = (1 + 𝑖)1 
1,17436 = 1 − 𝑖 
𝑖 = 0,17436 . 100 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Racional Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 1 – CONTINUAÇÃO 
d) Taxa efetiva mensal da operação 
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
45.000 = 38.318,74 . (1 + 𝑖)4 → 
45.000
38.318,74
 = (1 + 𝑖)4 
1,17436
4
 = (1 + 𝑖)4 
4
 → 1,04099 = 1 + 𝑖 
𝑖 = 1,04099 − 1 = 0,04099 
𝑖 = 0,04099 . 100 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Racional Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 2 (Adaptado de CAMARGOS, 2013) – Seu AsnoFinn recebeu R$ 13.500,00 do 
Banco Multiplik S.A. em uma operação de desconto racional composto, cujo 
valor nominal era de R$ 14.800,00. Determine quantos meses foi o prazo de 
antecipação desse título, considerando que a taxa de desconto utilizada foi de 
3,5% a.m. 
Resolução 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊𝒅)
𝒏 
14.800 = 13.500 . (1 + 0,035)𝑛 → 
14.800
13.500
 = 1,035 𝑛 
1,096296 = 1,035 𝑛 
Aplicando o logaritmo na base 10 na equação: 𝟏, 𝟎𝟗𝟔𝟐𝟗𝟔 = 𝟏, 𝟎𝟑𝟓 𝒏 
log 1,096296 = log 1,035𝑛 → log 1,096296 = 𝑛 . log 1,035 
𝑛 = 
log 1,096296
log 1,035
 = 
0,03993 
0,014903
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Racional Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 3 (CAMARGOS, 2013) – Um título de valor nominal de R$ 21.000,00 
envolvido em uma operação de desconto comercial por fora teve 
antecipado em cinco meses o seu vencimento a uma taxa de desconto de 
3,6% a.m. Determine: 
a) O valor descontado (D); 
b) O valor recebido pelo seu detentor (VA); 
c) A taxa efetiva do período; 
d) A taxa efetiva mensal da operação. 
Resolução 
a) Desconto 
𝑫𝒄 = 𝑽𝑵 . 𝟏 − 𝟏 − 𝒊𝒅
𝒏 
𝐷𝑐 = 21.000 . 1 − 1 − 0,036
5 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 3 – CONTINUAÇÃO 
b) Valor Atual 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝒏 
𝑉𝐴 = 21.000 . (1 − 0,036)5 
c) Taxa efetiva do período 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑖𝑒 = 
21.000
17.482,54
1
 − 1 . 100 
. 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 3 – CONTINUAÇÃO 
 
d) Taxa efetiva mensal 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑖𝑒 = 
21.000
17.482,54
1
4
 − 1 . 100 
𝑖𝑒 = 1,201198
1
4 − 1 . 100 
 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 4 – (MILONE, 2010) Por um título de R$ 18.950,00, que vence em 42 dias, 
Fausto recebe R$ 12.000,00 na hora e mais outro título de R$ 8.000,00. Qual o 
prazo desse filhote, considerando o desconto comercial à taxa composta de 
2,95% a.m.? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
VA 
18.950 (VN) 
42 dias 0 
i = 2,95% a.m. 
VA – 12.000 
8.000 (VN) 
n 0 
i = 2,95% a.m. 
Estabelecendo a 1ª condição 
Estabelecendo a 2ª condição 
 
Descontos Compostos 
EX. 4 – CONTINUAÇÃO 
Calculando o Valor Atual do título que vence em 42 dias apresentado no primeiro 
diagrama no slide anterior (observe na 1ª condição): 
 
 
𝑉𝐴 = 18.950 . (1 − 0,0295)
42
30 
𝑉𝐴
18.950
 = (0,9705)
42
30 
𝑉𝐴
18.950
= (0,9705)
42
30 
𝑉𝐴 = 0,958945 . 18.950 
𝑽𝑨 = 𝟏𝟖. 𝟏𝟕𝟐, 𝟎𝟏 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊)𝒏 
 
Descontos Compostos 
EX. 4 - CONTINUAÇÃO 
Para se encontrar o prazo de antecipação do filhote (R$ 8.000) presente no 
segundo diagrama do 1º primeiro slide é preciso estabelecer uma relação entre o 
saldo do valor do título na data focal zero menos os R$ 12.000,00 que recebeu, de 
maneira que o valor restante (saldo – considerar-se-á como valor atual) deverá 
ser equivalente ao outro título (o filhote) dado na negociação de valor igual a R$ 
8.000,00 (considera-se o valor desse título como valor nominal). Assim sendo, 
devemos fazer uma relação de desconto entre valor atual e valor nominal para se 
saber o prazo: 
 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊)𝒏 
6.172 = 8.000 . (1 − 0,0295)𝑛 
6.172
8.000
 = 0,9705𝑛 → 𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟎𝟓𝒏Prof. Econ. Márcio Gleick 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
 
Descontos Compostos 
EX. 4 - CONTINUAÇÃO 
 
Aplicando logaritmo na base 10 na equação: 𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟗𝟕𝟎𝟓𝒏 
log 0,7715 = log 0,9705𝑛 → 𝑛 = 
log 0,7715
log 0,9705
 
𝑛 = 
−0,11266
−0,01300
 
 
 
 
 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
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Descontos Compostos 
EX. 5 (MILONE, 2006) – Na capitalização composta, qual o valor nominal de 
um título vencível em um ano, visto que descontado comercialmente vale 
R$ 6.194,50 e racionalmente R$ 7.059,26? 
Resolução 
𝐕𝐀𝐂 = 𝟔. 𝟏𝟗𝟒, 𝟓𝟎 
𝐕𝐀𝐑 = 𝟕. 𝟎𝟓𝟗, 𝟐𝟔 
Desconto Comercial: 
𝑽𝑨𝑪 = 𝑽𝑵𝑪 . (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝒏 
6.194,50 = 𝑉𝑁𝐶 . (1 − 𝑖𝑑)
1 
𝑽𝑵𝑪 = 
𝟔. 𝟏𝟗𝟒, 𝟓𝟎
(𝟏 − 𝒊𝒅)
𝟏
 
Desconto Racional: 
𝑽𝑵𝑹 = 𝑽𝑨𝑹 . (𝟏 + 𝒊𝒅)
𝒏 
𝑽𝑵𝑹 = 𝟕. 𝟎𝟓𝟗, 𝟐𝟔 . (𝟏 + 𝒊𝒅)
𝟏 
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Descontos Compostos 
EX. 5 – CONTINUAÇÃO 
Igualando os valores nominais: 
 
𝑽𝑵𝑪 = 𝑽𝑵𝑹 
𝟔. 𝟏𝟗𝟒, 𝟓𝟎
(𝟏 − 𝒊𝒅)
𝟏
 = 𝟕. 𝟎𝟓𝟗, 𝟐𝟔 . (𝟏 + 𝒊𝒅)
𝟏 
6.194,50
7.059,26
 = (1 − 𝑖𝑑)
1 . (1 + 𝑖𝑑)
1 → 0,877499 = 1 + 𝑖𝑑 − 𝑖𝑑 − 𝑖𝑑
2 
0,877499 = 1 − 𝑖𝑑
2 → 𝑖𝑑
2 = 1 − 0,877499 → 𝑖𝑑
2 = 0,122500 
𝑖𝑑 = 0,122500 
𝑖𝑑 = 0,35 . 100 
𝒊𝒅 = 𝟑𝟓% 𝒂.𝒎. 
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EX. 5 – CONTINUAÇÃO 
 
Calculando o Valor Nominal por qualquer modalidade: 
𝑽𝑵𝑪 = 
𝟔. 𝟏𝟗𝟒, 𝟓𝟎
(𝟏 − 𝒊𝒅)
𝟏
 
𝑉𝑁𝐶 = 
6.194,50
(1 − 0,35)1
 
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Descontos Compostos 
EX. 6 – (Adaptado de BRUNI, 2008) Sobre um determinado capital incidiu 
uma taxa e juros compostos de 175% a.a. durante 540 dias. Calcule a taxa 
de desconto que, aplicada sobre o novo valor do capital, fará com que ele 
retorne ao valor inicial? 
Resolução 
 
1º Passo: Calcular o Valor Nominal da aplicação: 
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊)𝒏 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 . (1 + 1,75)1,5 
𝑽𝑵 = 𝟒, 𝟓𝟔𝟎𝟑𝟔 . 𝑽𝑨 
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Continua... 
 
Descontos Compostos 
 
EX. 6 – CONTINUAÇÃO 
 
2º Passo: Calculando a taxa de desconto comercial composta: 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝒏 
𝑉𝐴 = 4,56036 . 𝑉𝐴 . (1 − 𝑖𝑑)
1,5 → 
𝑉𝐴
4,56036 . 𝑉𝐴
 = (1 − 𝑖𝑑)
1,5 
𝟎, 𝟐𝟏𝟗𝟐𝟖𝟏 = (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝟏,𝟓 
Aplicando a radiciação na equação: 𝟎, 𝟐𝟏𝟗𝟐𝟖𝟏 = (𝟏 − 𝒊𝒅)
𝟏,𝟓 
0,219281
1,5
 = (1 − 𝑖𝑑)
1,51,5 → 0,363636 = 1 − 𝑖𝑑 
𝑖𝑑 = 1 − 0,363636 = 0,63636 . 100 
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Desconto Comercial Composto 
Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
 Taxa Implícita (efetiva): é aquela, que aplicada sobre o 
valor atual comercial, retorna ao valor nominal. (MILONE, 
2010). Podemos perceber, abaixo, que esta taxa 
representa uma situação condicionada a desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Implícita do 
Desconto Comercial 
Composto 
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 𝒊𝒅: equivale a taxa de desconto comercial (juros) exposto 
ou oferecido na operação financeira. 
 𝒊𝒊𝒎𝒑𝒍: equivale a taxa implícita ou efetiva da operação 
financeira. 
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Juros Compostos ou Capitalização 
Composta/Exponencial 
 
 Taxa Implícita: Exemplo: Um título de R$ 5.700,00 de valor 
nominal foi descontado comercialmente à taxa composta de 3% 
a.m. seis meses antes do vencimento. Qual o valor recebido e 
qual é a taxa implícita dessa operação? (MILONE, 2006) 
Solução: 
 Valor Atual Descontado na Capitalização Composta: 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵. 𝟏 − 𝒏 = 𝟓. 𝟕𝟎𝟎 𝒙 𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟑 𝟔 = 𝑹$ 𝟒. 𝟕𝟒𝟕, 𝟗𝟒 
 
 Taxa Implícita a juros compostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verificação 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . 𝟏 + 𝒊𝒊𝒎𝒑𝒍
𝒏
 
𝑉𝑁 = 4.747,94 𝑥 1 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟗 6 
 𝑽𝑵 ≅ 𝑹$ 𝟓. 𝟕𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
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