MQF_Capitalização_Simples_Versão_Alunos

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Universidade Federal do Amazonas 
Instituto de Natureza e Cultura 
Prof. Econ. Márcio Gleick Métodos Quantitativos Financeiros 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
R$ 
% 
$ 
£ 
Introdução 
 
A matemática financeira tem como principal 
objetivo, estudar o valor do dinheiro no 
tempo. Assim, é necessário conhecermos as 
aplicações do dinheiro (moeda) como 
importante instrumento de meio de 
pagamentos e reserva de valor. É importante, 
portanto, termos a compreensão do seu 
comportamento quanto aos pagamentos de 
empréstimos e financiamentos, além da 
dinâmica do fluxo de caixa. 
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Introdução 
 
 No decorrer histórico do processo de 
desenvolvimento das sociedades, as necessidades 
humanas, um importante elemento da relação 
econômica, em conjunto com a escassez de 
recursos, contribuem, decisivamente, para que esta 
relação seja um tanto quanto problemática e 
desafiadora. A solução mais adequada para tal 
problema se fundamentou na relação de troca de 
um bem por outro, no processo de especialização 
da criação de bens e serviços, no uso racional dos 
fatores produtivos e num meio de pagamento dos 
agentes envolvidos neste sistema de mercado. 
Desta forma temos a fundamentação do sistema 
econômico e a criação da relação de bem estar 
social e econômico. 
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Introdução 
 
 Neste processo contínuo de melhora das relações e 
produção econômica, surgiu o instrumento chamado, 
moeda, que se tornou um bem intermediário da relação 
de troca, um bem que equacionava o pagamento das 
atividades e dos agentes envolvidos nas trocas, e 
portanto, fundamental na relação comercial; como 
consequência, a moeda se tornou um meio 
estabelecedor/garantidor de valor, e também, por 
evolução do processo, acumulou outras característica, 
entre elas, a de ser capaz de gerar mais moeda e 
proporcionar mais riqueza, de maneira rápida e segura. 
Agora, o preço baseado em moeda, seria a variável que 
estabeleceria essa medida de valor dos bens no 
mercado. Notemos a evolução da quantificação do 
valor do bem em moeda(dinheiro) e a busca contínua 
de um equilíbrio das necessidades e dos recursos 
financeiros e físicos situado na relação de troca. 
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Introdução 
 
 Muito bem! Agora, teremos uma noção, objetiva, do 
nascimento da ideia de Juros. Podemos assim descrever: 
 A noção de “juros” ou “juro” decorre do fato de que a 
maioria das pessoas preferem consumir seus bens de 
imediato ou no momento presente, e não num tempo 
posterior (futuro). Assim, as pessoas preferem, a princípio, ter 
o estimado bem em “suas mãos” e, quando da 
necessidade/vontade de “abrir mão” desse bem em 
benefício de uma outra pessoa (física ou jurídica), na 
maioria das circunstâncias normais e de mercado, faz-se 
valer, para que haja a troca, a ideia da existência de um 
ganho ou recompensa, afinal, “abriríamos mão de um 
bem nosso a troco de quê?”; então nesse caso surge a 
figura dos juros (ganho ou recompensa), que cobriria 
inclusive o risco existente na relação, de tal maneira, que 
seria capaz de proporcionar um lucro satisfatório. 
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Introdução 
 
 Em outras palavras, se por uma determinada razão 
houver a necessidade/vontade da supressão do uso 
(de um bem) ou do consumo(desse bem) em 
consonância com a relação de troca, as pessoas 
desejarão um prêmio ou recompensa. Esta 
recompensa(ou prêmio) será chamada de juro ou 
juros. 
 Neste sentido, pelo âmbito monetário, podemos 
considerar o juro como sendo o “preço do dinheiro”, ou 
o pagamento deste pelo uso do seu poder aquisitivo(o 
uso do dinheiro)por um determinado indivíduo e por 
um determinado período de tempo. 
 Do ponto vista financeiro, não se cede dinheiro sem a 
incidência de juros. 
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Algumas Definições Financeiras: 
 
 as expressões 
têm o mesmo significado e indicam, 
respectivamente, a expressão “por cento” ou 
“per centum”, (esta última expressão, em latim), 
e são representados pelo sinal % (por cento) e 
que significa, na prática, divido por cem (÷ 
100). 
 é o ato econômico no 
qual um indivíduo possuidor de capital – 
Credor, transfere esse capital a outro indivíduo – 
Tomador, mediante a condições pré-
estabelecidas e gerando no final da transação, 
um título de crédito, que selará o ato ou 
acordo. 
 
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Algumas Definições Financeiras: 
 
 é a remuneração obtida a partir da 
aplicação, numa operação financeira, de determinado 
capital. Muitos dizem, simplesmente, que o juro é o preço 
do dinheiro emprestado. Ou podemos dizer que é o 
Rendimento ou Ganho gerado por determinado capital, 
quando aplicado. Pode vim a ser chamado de Lucro. 
Os juros também podem ser nomeados de acordo com 
ponto de vista,(CAMARGOS, 2013): 
De quem paga juros: despesa financeira, custo, 
prejuízo, etc. 
De quem recebe juros: rendimento, receita 
financeira, ganho, etc. 
 é o recurso financeiro (dinheiro) sujeito a 
transação, (emprestar ou aplicar)que deve ser 
remunerado por uma determinada taxa de juros, por 
um determinado tempo. 
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 é o coeficiente obtido da 
relação dos juros (J) com o capital (C) para um 
determinado período, e esta deve sempre ser 
apresentada na forma percentual (relativa). 
Podemos afirmar que a taxa é a unidade de 
medida dos juros e representa o custo ou a 
remuneração percentual paga pelo uso do 
dinheiro durante determinado tempo, (TOSI, 2009). 
 é o tempo que certo capital, aplicado 
a uma determinada taxa, necessita para gerar 
um juro ou montante de uma operação 
financeira. É o período de capitalização do 
capital. 
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 é uma quantidade monetária 
acumulada resultante de uma operação comercial ou 
financeira após determinado período de tempo, a 
uma determinada taxa de juros; em outras palavras, é 
a soma do capital aplicado com o juro gerado num 
determinado prazo, a uma determinada taxa. 
 (Equação Básica da Matemática 
Financeira ou Fórmula Genérica ou Geral do 
Montante). 
 refere-se ao processo de 
formação dos juros, que poderá ser simples ou 
composto, (TOSI, 2009). 
 
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 é a operação em que é 
adicionado ao capital (C), os juros (J). Também 
conhecido como “acumulação”. Há sempre a 
possibilidade de acontecer uma situação 
inversa a esta; para tal fato dá-se o nome de 
“Descapitalização”. 
 é o período de tempo em que 
determinada obrigação não é exigível do 
devedor. Tomemos como exemplo, a seguinte 
situação: “...cliente, a partir da compra no valor 
de R$ 100,00, você poderá parcelar sua 
compra em 4 vezes mensais com juros e só 
começará a pagar daqui a 100 (cem) dias, ...” 
 
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 é o nome dado, de forma 
genérica, a um documento que representa uma 
dívida ou crédito, ou que representa uma captura 
de recursos para um provável financiamento 
posterior de uma atividade econômica. 
(CAMARGOS, 2013) 
Exemplos: caderneta de poupança, recibos e 
certificados de depósitos bancários(RDB e CDB) e 
interbancários (CDI), fundos por cotas, ações, 
debêntures, duplicatas, notas promissórias, planos 
de aposentadoria, etc. (CAMARGOS, 2013). E 
também Letras de Câmbio e do Tesouro e, 
cheques. 
 
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 De forma genérica, ágio significa, um prêmio 
resultante da troca de um valor (moeda, ações, 
títulos, etc.) por outro...O ágio pode surgir também 
quando o preço oficial de um produto (ou preço 
de tabela) está fixado num nível muito baixo e sua 
compra só se concretiza se o interessado estiver 
disposto a pagar mais por essa transação. Então a 
diferença entre o preço oficial e o que comprador 
realmente paga é considerada o ágio daquela 
transação(SANDRONI, 2010). 
 De acordo com Sandroni, 2010, é a 
transferência que sofre o papel-moeda em relação 
ao preço do ouro. O termo também se aplica à 
depreciação do valor nominal de um título ou do 
preço de tabela de uma mercadoria em relaçãoao seu valor real de mercado. 
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 Título privado de crédito mediante 
o qual o comprador se compromete a pagar 
ao vendedor, no prazo fixado, a importância 
estipulada (SANDRONI, 2010). 
 É um instrumento de crédito 
representado por uma promessa incondicional 
por escrito entre dois agentes, assinada por 
aquele que se compromete a pagar em 
determinada data uma soma determinada de 
dinheiro ao primeiro, ou ao portador da nota 
promissória (SANDRONI, 2010). 
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 O Certificado de Depósito Bancário (CDB) é 
um ativo financeiro destinados à captação de 
recursos do setor privado e que pode ser transferido 
por endosso nominativo, o que significa dizer que 
tem imediata liquidez, podendo ser liquidado antes 
do prazo estipulado mediante um pequeno 
deságio. (SANDRONI, 2010). Estes também são 
classificados com títulos de renda fixa, onde o 
retorno do capital investido pode ser conhecido no 
momento da aplicação (CDB prefixado) ou no 
momento do resgate (CDB pós-fixado), significando 
que há remunerações diferenciadas entre os 
prefixados e os pós-fixados. 
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 O Recibo de Depósito Bancário (RDB) é 
diferente do CDB, principalmente, por que o 
CDB pode ser negociado no mercado antes de 
seu vencimento, ou seja, transferido a outro 
investidor, mediante endosso nominativo, e o 
RDB é um título inegociável e intrasferível(ASSAF 
NETO e LIMA, 2009). 
 É a empresa que tem como atividade 
básica, a guarda de dinheiro e outros valores. 
Mas também, concede empréstimos, 
financiamentos, faz pagamentos e 
recebimentos de terceiros, vende e desconta 
títulos, faz operações com ações e etc. 
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 situação em que, partindo-se de 
determinado conjunto de ações, se chega a vários 
resultados possíveis, num determinado cenário. 
Pode-se até dizer que os resultados são conhecidos, 
mas não a probabilidade de eles ocorrerem. 
(SANDRONI, 2010). 
Geralmente, a incerteza, como uma condicionante 
econômica, está relacionada a falta de 
conhecimento prévio e controle sobre as variáveis 
que interferem no sistema econômico financeiro. 
Tipo, uma crise financeira em um país emergente 
ou uma crise de gestão de uma grande empresa, 
etc. 
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 Situação em que, partindo-se de determinado 
conjunto de ações, vários resultados são possíveis e as 
probabilidades de cada um acontecer são conhecidos. ...Em 
sentido mais concreto, é a condição de um investidor, ante as 
possibilidades conhecidas de perder ou ganhar dinheiro. 
(SANDRONI, 2010). Portanto, podemos perceber que o risco é 
a possibilidade quanto a realização de um investimento, que 
naquele momento se apresenta aparentemente atrativo ao 
investidor, mas não é garantido o seu sucesso por n 
circunstâncias. O investidor mesmo sabendo das 
possibilidades, segue em frente e assume o risco do insucesso 
(não há garantia de sucesso), almejando o ganho futuro. Em 
todo caso, podemos dizer que, quanto maior for o risco do 
investidor, mais caros são os empréstimos e os financiamentos 
(juros maiores), o que por sua tendem a fazer com que os 
retornos esperados sejam maiores (a recompensa é maior em 
função do risco assumido). 
“Uma coisa é certa ... a princípio, nada é certo! Mas, no futuro, 
quem sabe.. .! Portanto, arrisque!” 
 
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 Aplicação de recursos (dinheiro ou títulos) 
em empreendimentos (bens) que renderão ou possibilitarão 
ganhos através de juros ou lucros, em geral a longo 
prazo.(SANDRONI, 2010)...(isso não significa dizer que os 
investimentos não poderão gerar lucros no curto prazo)... De 
tal forma que estes investimentos representarão gastos 
ativados em função de sua vida útil ou de benefícios (juros ou 
lucros) atribuíveis a períodos futuros.(BRUNI, 2010). 
 
 É uma taxa adicional de risco cobrada sobretudo 
(mas não exclusivamente) no mercado financeiro 
internacional (SANDRONI, 2010). Mas, podemos considerar, de 
forma simplista, que é a diferença entre o valor dos juros 
auferidos em uma aplicação de um investidor, pelo ente 
financeiro (instituição financeira) – juros de capitação (juros 
pagos), e o valor dos juros cobrados por esse mesmo ente 
financeiro (instituição financeira) para financiamentos ou 
empréstimos a terceiros. Diferença entre os juros pagos e os 
juros cobrados. 
 
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 Consiste no pagamento do bem ou 
serviço, independentemente de quando o produto 
ou serviço foi ou será consumido(BRUNI, 2010). 
Portanto é saída financeira da empresa...que pode 
ocorrer concomitante ao gasto (pagamento a 
vista) ou depois dele (pagamento a prazo) 
(CREPALDI e CREPALDI, 2018). 
 Conjunto dos títulos ou valores monetários 
que são objeto de negociações por parte de um 
banqueiro, comerciante ou operador de bolsas de 
valores. Por exemplo, carteira de crédito agrícola, 
carteira de descontos e carteira câmbio. 
(SANDRONI, 2010). Por entendimento, este conjunto 
de títulos, que não deixa de ser um portfólio, tende 
a formar uma carteira de clientes, que irá compor, 
por exemplo, uma carteira de crédito agrícola. 
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 a princípio, e resumidamente, podemos 
considerar que é a aplicação gráfica das entradas e saídas de dinheiro 
ao longo do tempo, representadas por setas para baixo(saídas) e setas 
para cima(entradas). Na figura abaixo, temos a situação em que o 
capital inicial (valor presente) será pago ou recebido de uma só vez 
(único pagamento) numa data futura. Nesta data futura será gerado 
um montante (valor futuro). 
C (VP) 
M (VF) 
i (taxa) 
n (prazo ou período de capitalização) 
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Saída de capital 
Entrada de capital 
Fluxo positivo 
Fluxo negativo 
C + J 
 neste tipo de fluxo de 
capital há somente uma inversão de capital, como pode 
ser visto abaixo, do período 1 para o período 2, onde 
temos, respectivamente, uma saída (período 1) e uma 
entrada (período 2), seguida de uma série de entradas 
até o final do fluxo, como vemos no DIAGRAMA. 
 
 
 
 
 
 
0 
3 4 5 6 
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1 
2 
 neste tipo de fluxo 
há várias inversões de capitais positivos(entradas) e 
negativos(saídas). Assim, se houver mais de uma inversão 
de capital num FLUXOGRAMA, pode-se considerar o fluxo 
como não-convencional. Como podemos observar, no 
exemplo abaixo há 4 inversões (zero pra um, três pra 
quatro, quatro pra cinco e cinco pra seis) de capitais ao 
longo do diagrama (Fluxograma). 
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1 2 3 
4 
5 
6 0 
 
 taxa referente a juros simples 
ou capitalização simples. 
 taxa referente a juros 
compostos ou capitalização composta. 
 são taxas que quando 
aplicadas sobre um mesmo capital, pelo mesmo 
período de tempo, produzem o mesmo montante. 
“Quando se tratar de operações financeiras 
envolvendo a capitalização composta, há uma 
metodologia muito particular para se determinar 
a taxa equivalente.” 
 
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 utilizada apenas no regime de 
Capitalização Simples. Por exemplo, uma taxa de juros 
de 1% ao dia e proporcional a 30% ao mês ou a 360% 
ao ano. No regime de Juros Simples, a Taxa 
proporcional é igual a Taxa equivalente. 
 também considerada como taxa 
aparente. É aquela em que o período de 
capitalização diverge do período da unidade 
temporal da taxa. Ex.: 10% a.a., capitalizados 
mensalmente. 
 representa o custo ou a remuneração 
efetiva total da operação financeira. É a taxa que é 
verdadeiramente, cobrada na operação financeira. 
Também pode ser chamada de taxa implícita. Ex.: 10% 
a.m. 
 
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Algumas outras Taxas do Mercado 
Financeiro: 
 
 nesta, o valor dos juros produzidos 
por sua aplicação sobre o valor nominal do título é 
descontado, no ato da contratação, do “valor de 
face” (Valor Nominal) do título. 
 possibilita ao aplicador ou tomador 
dos recursos saber, quando da data da contratação 
da operação,o valor final a ser pago ou regatado. 
 é aquela em 
que não são considerados os efeitos dos impostos 
sobre a rentabilidade da aplicação financeira. 
 quando os 
impostos são considerados sobre o rendimento da 
operação. 
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Algumas outras Taxas do Mercado Financeiro: 
 
 
 taxa obtida por meio dos efeitos da 
variação monetária sobre a taxa efetiva. A variação 
monetária será calculada com base num indicador 
econômico financeiro, como por exemplo, a taxa 
de inflação ou um índice de correção monetária, 
como por exemplo, o IPCA. 
 taxa de juros que será dividida por 
30(mês comercial) para podermos encontrar uma 
taxa diária, a qual será capitalizada em função de 
determinada quantidade de dias úteis. 
 taxa média diária baseada nos 
registros das operações diárias com Certificados de 
Depósitos Interbancários. 
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Algumas outras Taxas do Mercado Financeiro: 
 
 é uma taxa criada para cobrir as 
despesas de abertura, concessão (liberação) e controle do 
crédito aos clientes das instituições financeiras. Geralmente, 
esta taxa engloba ou se divide em tarifa de cobrança e 
tarifa de contratação. Esta é calculada de uma única vez 
sobre o valor do título (Valor Nominal ou Valor de Face) e 
descontada quando da liberação dos recursos ao cliente. 
(TOSI, 2009) 
este imposto 
tem sua alíquota determinada pelo Governo Federal, 
podendo variar de acordo com o segmento a que se 
destina o empréstimo Pessoa Jurídica ou Pessoa Física. É 
calculado sobre o valor atual do título (valor nominal menos 
os juros)e cobrado no ato da liberação do recurso. (TOSI, 
2009) 
 é o aumento generalizado dos preços dos 
produtos ao longo de um determinado período de tempo, 
que implica em perda no poder aquisitivo. 
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Principais Unidades Temporais das Taxas (i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde o “ 𝒊 “ representa uma determinada taxa de capitalização ou a taxa 
de juros presente numa operação financeira. 
 
FORMAS das TAXAS LEITURA FINANCEIRA 
i% a.a. i % ao ano 
i% a.s. i% ao semestre 
i% a.q. i% ao quadrimestre 
i% a.t. ...ao trimestre 
i% a.b. ...ao bimestre 
i% a.m. ...ao mês 
i% a.d. ...ao dia 
i% a.p. 
...ao período (ao período de 15 dias, por 
exemplo ou um outro período qualquer de 
capitalização). 
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Formas da Taxa de Juros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma centesimal ou 
relativa 
Forma unitária ou 
absoluta 
Significado 
7000% 70 Sete mil por cento 
700% 7 Setecentos por cento 
70% 0,7 Setenta por cento 
7% 0,07 Sete por cento 
0,7% 0,007 Zero virgula sete por cento 
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Formas da Taxa de Juros 
Exerc.: Calcular as taxas, na forma unitária e centesimal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma centesimal 
ou relativa 
Forma unitária ou 
absoluta 
Forma unitária ou 
absoluta 
Forma centesimal 
ou relativa 
12% a.a. ? 0,13 a.m. ? 
22%a.a. ? 2,31 a.a. ? 
42%%a.a. ? 0,418 a.m. ? 
18%a.a. ? 0,1 a.m. ? 
1,2%%a.m. ? 1 a.a. ? 
30%%a.m. ? 0,05 a.m. ? 
2%a.m. ? 0,017 a.m. ? 
127%a.a. ? 16,61 a.a. ? 
0,03%a.d. ? 0,006 a.m. ? 
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Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 
 Ex. 1 - Qual o percentual que 6 representa em 
relação a 4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
𝒊 = 
𝟔
𝟒
 ⇒ 𝒊 = 𝟏, 𝟓 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟎% 
 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 
 Ex. 2 - Qual o percentual que 5 representa em 
relação a 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
𝒊 = 
𝟓
𝟔
 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑𝟑 . 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖𝟑, 𝟑𝟑% 
 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 
 Ex. 3 - Qual é a comissão de 12% sobre R$ 900,00? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
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𝟗𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎% 
 𝒙 𝟏𝟐% 
 
 
𝑿 = 
𝟗𝟎𝟎 . 𝟏𝟐%
𝟏𝟎𝟎%
 
 
 
𝑿 = 𝟏𝟎𝟖, 𝟎𝟎 
 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 Ex. 4 - Por quanto devo vender uma mercadoria que custou 
R$ 2.637,00 para que eu posso obter uma rentabilidade de 
8%? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
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2.637,00 𝟏𝟎𝟎% 
 𝒙 𝟖% 
 
 
𝑿 = 
𝟐. 𝟔𝟑𝟕 . 𝟖%
𝟏𝟎𝟎%
 
 
 
𝑿 = 𝟐𝟏𝟎, 𝟗𝟔 
 
 
Preço de venda: R$ 2.637+R$ 210,96 
 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 
 Ex. 5 - Um empresário do ramo do comércio ganha R$ 
986,00 sobre o custo de uma mercadoria. Sabe-se que a 
taxa de lucro é de 9%. Qual é o custo dessa mercadoria? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐𝒓𝒊𝒂 . 𝟗% = 𝑳𝒖𝒄𝒓𝒐 
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐𝒓𝒊𝒂 . 𝟎, 𝟎𝟗 = 𝟗𝟖𝟔, 𝟎𝟎 
𝑪𝒖𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒆𝒓𝒄𝒂𝒅𝒐𝒓𝒊𝒂 = 
𝟗𝟖𝟔
𝟎, 𝟎𝟗
= 𝟏𝟎. 𝟗𝟓𝟓, 𝟓𝟓 
 
Lucro unitário = Lucro percentual 
R$ 986,00 = 9% 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 
 Ex. 6 (Adaptado de Bonora Jr., 2008): Calcule o 
número que quando diminuído em 20% dele 
resulta 8? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Qual é o 
número?: X 
 Diminuição 
de 20% deste 
número: 
20%.X 
Resolução 
 ⇒ 𝒙 − 
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
 . 𝒙 = 𝟖 ⇒ 
⇒ 𝑥 − 0,2 . 𝑥 = 8 ⇒ 0,8 . 𝑥 = 8 ⇒ 
⇒ 𝑥 = 
8
0,8
 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟎 
𝒙 − 𝟐𝟎% . 𝒙 = 𝟖 
Exercícios envolvendo operações com 
Porcentagem 
 Ex. 7 (Adaptado de Bonora Jr., 2008): Calcule a 
porcentagem que deve ser adicionada a R$ 40,00 para que 
no final resulte em R$ 50,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
 ⇒ 40 . 𝑥 = 50 − 40 ⇒ 
⇒ 40 . 𝑥 = 10 ⇒ 𝑥 = 
10
40
 ⇒ 𝑥 = 0,25 . (100) 
 ⇒ 𝒙 = 𝟐𝟓% 
40 + 𝑥. 40 = 50 
Exercícios envolvendo operações com Porcentagem 
 
 Ex. 8 (Bonora Jr., 2008): Se o poder de compra de meu salário é 
hoje 30% daquele de um ano atrás, então para reaver aquele 
poder de compra, meu salário deve ser reajustado em que 
porcentagem? 
Resolução 
Salário hoje + reajuste = salário há 1 ano atrás 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Salário há 1 
ano atrás = 
X 
 Salário Hoje 
= 30% . X 
 Reajuste = 
i . (30% . X) 
𝟑𝟎% . 𝒙 + 𝒊 . (𝟑𝟎% . 𝒙) = 𝒙 
𝟎, 𝟑 . 𝒙 + 𝟎, 𝟑 . 𝒙 . 𝒊 = 𝒙 
𝟎, 𝟑 . 𝒙 . 𝒊 = 𝒙 − 𝟎, 𝟑 . 𝒙 
𝟎, 𝟑 . 𝒙 . 𝒊 = 𝟎, 𝟕. 𝒙 ⇒ 𝒊 = 
𝟎, 𝟕. 𝒙
𝟎, 𝟑 . 𝒙
 
⇒ 𝒊 = 𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ⇒ 
𝒊 = 𝟐, 𝟑𝟑𝟑𝟑 . 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 𝒊 = 𝟐𝟑𝟑% 
Exercícios envolvendo operações com Porcentagem 
 
 Ex. 9 (Bonora Jr., 2008): Uma distribuidora do varejo oferece um 
desconto de 15% nas mercadorias quando as compras são feitas 
no atacado. Desconta, ainda, 10% do preço final (𝑷𝒇 ) para 
pagamentos à vista. Qual o desconto (taxa) que teve o vendedor 
comprando nessa loja por atacado e pagando à vista? 
Resolução 
Aplicando 15% de desconto no preço p/ compra no atacado e mais 10% de desconto 
sobre o preço descontado da compra no atacado, se pagar à vista 
 
𝑷𝒇 = [𝑷𝒊−𝟏𝟓% . 𝑷𝒊] − [𝟏𝟎% . (𝑷𝒊 − 𝟏𝟓% . 𝑷𝒊)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Descontando 15% sobre as 
compras no atacado 
Descontando 10%, por ser a 
vista, sobre o valor a pagar 
nas compras no atacado 
Continua no próximo slide 
Valor a pagar para 
compras no atacado 
Exercícios envolvendo operações com Porcentagem 
 
 Ex. 9: CONTINUAÇÃO 
 
Resolução 
Desconto de 15% no preço p/ compra no atacado e mais 10% se for à vista 
 
 
𝑷𝒇 = [𝑷𝒊 − 𝟎, 𝟏𝟓 . 𝑷𝒊] − [𝟎, 𝟏𝟎 . 𝑷𝒊 − 𝟎, 𝟏𝟓 . 𝑷𝒊 ] ⇒ 𝑷𝒇 = 𝟎, 𝟖𝟓 . 𝑷𝒊 − [𝟎, 𝟏 . 𝟎, 𝟖𝟓 𝑷𝒊 ] 
𝑷𝒇 = 𝟎, 𝟖𝟓. 𝑷𝒊 − 𝟎, 𝟎𝟖𝟓. 𝑷𝒊 ⇒ 
 
 ⇒ 𝒅 = 𝑷𝒊 − 𝟎, 𝟕𝟔𝟓. 𝑷𝒊 ⇒⇒
 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟓 ⇒ 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟓 . 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑷𝒇 = [𝑷𝒊−𝟏𝟓% . 𝑷𝒊] − [𝟏𝟎% . 𝑷𝒊 − 𝟏𝟓% . 𝑷𝒊 ] 
𝑷𝒇 = 𝟎, 𝟕𝟔𝟓. 𝑷𝒊 
𝒅𝒂𝒕¬𝒂𝒗 = 𝟐𝟑, 𝟓% 
𝒅𝒂𝒕¬𝒂𝒗 = 𝑷𝒊 − 𝑷𝒇 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟓 . 𝑷𝒊 
Exercícios envolvendo operações com Porcentagem 
 
 Ex. 10 (Bonora Jr., 2008): A prestação de minha casa 
consome 40% do meu salário. Se o meu salário é corrigido 
com um aumento de 180%, e a prestação com um 
aumento de 250%, qual será a nova porcentagem que a 
prestação da casa passa a consumir do meu salário? 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑺𝒂𝒍á𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍: 𝑿 
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍: 𝟒𝟎%.𝑿 = 𝟎, 𝟒. 𝑿 
𝑺𝒂𝒍á𝒓𝒊𝒐 𝑵𝒐𝒗𝒐 (𝑪𝒐𝒓𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐): 𝑿 + 𝟏𝟖𝟎% . 𝑿 = 𝑿 + 𝟏, 𝟖 . 𝑿 = 𝟐, 𝟖. 𝑿 
𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çã𝒐 𝑵𝒐𝒗𝒂: 𝟒𝟎% . 𝑿 + 𝟐𝟓𝟎% . (𝟒𝟎% . 𝑿) = 𝟎, 𝟒 . 𝑿 + 𝟐, 𝟓 . (𝟎, 𝟒 . 𝑿) = 𝟏, 𝟒. 𝑿 
Exercícios envolvendo operações com Porcentagem 
 
 Ex. 10 – CONTINUAÇÃO: 
 
Resolução 
 
Porcentagem de consumo da prestação sobre o salário: 
 
 
 
𝑷𝒄 = 
𝟏, 𝟒. 𝑿
𝟐, 𝟖. 𝑿
 ⇒ 𝑷𝒄 = 
𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟓 ⇒ 
⇒ 𝑷𝒄 = 𝟎, 𝟓 . 𝟏𝟎𝟎 ⇒ 
 𝑷𝑪 = 𝟓𝟎% 
 
 
 
 
 
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𝑷𝒄 = 
𝑷𝒏
𝑺𝒏
 
𝑷𝒏: Novo valor da prestação 
𝑺𝒏: Novo valor do salário 
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Thomas Jefferson 
 
 
 
 
 
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$ 
Juros Simples 
O juro será considerado simples quando o percentual de juros 
incidir apenas sobre o valor do capital inicial, por 𝒏 períodos. 
Encontraremos a fórmula a partir da demonstração abaixo: 
 𝑱𝟏 = 𝑷𝑽 . 𝒊 (juros para o 1º período) 
 
 𝑱𝟐 = 𝑷𝑽 . 𝒊 + 𝑷𝑽 . 𝒊 ⇒ 𝑱𝟐 = 𝟐 . (𝑷𝑽 . 𝒊) (juros para o 2º período) 
 
 𝑱𝒏 = 𝑷𝑽 . 𝒊 + 𝑷𝑽 . 𝒊 + … + 𝑷𝑽 . 𝒊 ⇒ 𝑱𝒏 = 𝑷𝑽 . 𝒊 . 𝒏 (juros para n períodos) 
 
 
 
 
 
 Obs: PV(Present Value) é o Valor Principal (ou Valor Presente, Capital, 
Capital Aplicado, Valor Aplicado, Valor Atual, Valor Inicial, Capital 
Inicial, Capital Investido, Valor Investido ou simplesmente, Principal). 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
 Variações da fórmula de Juros Simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considerando a fórmula do montante , M = C + J, e que o juro seja o inicial ou o 
equivalente a um (1) período(n = 1), o que implicaria que J = C . i, temos: 
 i = 
𝑴
𝑪
 - 1 
𝑪 = 
𝑱
𝒊 . 𝒏
 Capital 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 . 𝒊
 Prazo 
𝒊 = 
𝑱
𝑪 . 𝒏
 Taxa 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização 
Linear 
Juro Exato e Juro Comercial 
 Juro exato: quando falamos de juros exatos é 
porque devemos considerar a quantidade de 
dias existentes em cada mês e, portanto, que 
um ano tem 365 ou 366 dias(devemos 
considerar o calendário civil). 
 Juro Comercial: no juro comercial devemos 
considerar sempre que um mês tem 30 dias e, 
portanto, um ano tem 360 dias. 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
 Ex.: 1 – (Adaptado de Milone, 2006): Aline abriu uma 
caderneta de poupança com seu décimo terceiro salário, 
de R$ 1.700,00. Seis meses depois, seu extrato anunciava 
que tinha R$ 1.915,48. Qual a taxa de juros do período? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Décimo Terceiro Salário: R$ 1.700,00 (Capital) 
Valor da Poupança (capitalizada por 6 meses): R$ 1.915,48 (Montante) 
Período: 1 período de 6 meses (o valor do n é igual a 1) 
Taxa de juros do período: ??? 
𝒊 = 
𝑴
𝑪
 − 𝟏 ⇒ 𝒊 = 
𝟏. 𝟗𝟏𝟓, 𝟒𝟖
𝟏. 𝟕𝟎𝟎, 𝟎𝟎
 − 𝟏 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟖 
⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟖 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 𝒊 = 𝟏𝟐, 𝟔𝟖% a.p. 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 2 – (Adaptado de Milone, 2006): Que capital, aplicado 
a juros simples por sete meses, à taxa de 3% a.m., produz R$ 
5.400,00 de juro? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
 
𝑪 = 
𝑱
𝒊 . 𝒏
 ⇒ 𝑪 = 
𝟓. 𝟒𝟎𝟎
𝟎, 𝟎𝟑 . 𝟕
 ⇒ 𝑪 = 
𝟓. 𝟒𝟎𝟎
𝟎, 𝟐𝟏
 
𝑪 = 𝟐𝟓. 𝟕𝟏𝟒, 𝟐𝟗 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 3 – (Adaptado de Milone, 2006): Aplicado a juros 
simples de 4% a.m., quanto tempo um capital de R$ 
6.400,00 leva para produzir R$ 1.152,00 de juro? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 . 𝒊
 ⇒ 𝒏 = 
𝟏. 𝟏𝟓𝟐, 𝟎𝟎
𝟔. 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟎𝟒
 ⇒ 𝒏 = 
𝟏. 𝟏𝟓𝟐, 𝟎𝟎
𝟐𝟓𝟔
 
⇒ 𝒏 = 𝟒, 𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 4 – (Adaptado de Milone, 2006): A que taxa devo 
aplicar o capital de R$ 8.600,00, para que em seis meses 
e meio, renda um juro simples de R$ 2.135,00? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝒊 = 
𝑱
𝑪 . 𝒏
 ⇒ 𝒊 = 
𝟐. 𝟏𝟑𝟓, 𝟎𝟎
𝟖. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟔, 𝟓
 ⇒ 𝒊 = 
𝟐. 𝟏𝟑𝟓, 𝟎𝟎
𝟓𝟓. 𝟗𝟎𝟎, 𝟎𝟎
 ⇒ 
 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟏𝟗 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖𝟏𝟗 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 
 𝒊 = 𝟑, 𝟖𝟏𝟗% 𝒂.𝒎. 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 5 – (Adaptado de Milone, 2006): Apliquei R$ 
1.780,00 por oito meses à taxa simples de 3,5% a.m. 
Quanto recebi de juros? 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪. 𝒊. 𝒏 
 
𝑱 = 𝟏. 𝟕𝟖𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 . 𝟖 ⇒ 𝑱 = 𝟒𝟗𝟖, 𝟒𝟎 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 6 – (Adaptado de Samanez, 2010): Em oito meses, R$ 
18.000,00 renderam R$ 4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual 
de juros simples auferida na aplicação? 
Resolução 
Observação: prazo e taxa devem está na mesma unidade temporal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝒊 = 
𝑱
𝑪 . 𝒏
 ⇒ 𝒊 = 
𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟏𝟖. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 .
𝟖
𝟏𝟐
 ⇒ 𝒊 = 
𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟏𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
 
𝒊 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 𝒊 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑% 𝒂. 𝒂. 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 7 – (Adaptado de Marcondes, 1985): Que quantia devo 
aplicar no MGM Bank para que eu obtenha uma renda de R$ 
97.500,00, depois de 1 ano, 4 meses e 6 dias, a uma taxa de juros 
simples de 3% a.m.? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
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Observação: prazo e taxa devem está na mesma unidade temporal. De 
preferência, transformar o prazo para a unidade temporal da taxa. 
𝒏 = 𝟏 𝒂𝒏𝒐 . (𝟏𝟐) + 𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 + 
𝟔 𝒅𝒊𝒂𝒔
𝟑𝟎
 = 𝟏𝟔, 𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝑪 = 
𝑱
𝒊 . 𝒏
 ⇒ 𝑪 = 
𝟗𝟕. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟎, 𝟎𝟑 . 𝟏𝟔, 𝟐
 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟔𝟏𝟕, 𝟐𝟖 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 8 – (Adaptado de Mathias e Gomes, 2010): Quanto 
tempo deve permanecer aplicado um capital para que o 
juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 
25% a.a.? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conforme o enunciado temos, 𝑱 = 𝟓. 𝑪 ; 𝐢 = 𝟐𝟓% 𝐚. 𝐚. 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 . 𝒊
 ⇒ 𝒏 = 
𝟓. 𝑪
𝑪 . 𝟎, 𝟐𝟓
 ⇒ 𝒏 = 𝟐𝟎 𝒂𝒏𝒐𝒔 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 9 – (Adaptado de Mathias e Gomes, 2010): Se um capital de 
R$ 3.000,00 rendeu R$ 950,00 de juros em 3 anos, qual é a taxa de 
juros equivalente trimestral? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conforme o enunciado temos, 𝑱 = 𝟗𝟓𝟎, 𝟎𝟎 ; 𝐂 = 𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ; 𝐧 = 𝟑 𝐚𝐧𝐨𝐬 ; 𝟏 𝐭𝐫𝐢𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐞 = 𝟑 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬 
Transformando o prazo anual em trimestre: 𝟑 𝒂𝒏𝒐𝒔 𝒙 𝟏𝟐 = 𝟑𝟔 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔; 
𝟑𝟔
𝟑 
 = 𝟏𝟐 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆𝒔 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝒊 = 
𝑱
𝑪 . 𝒏⇒ 𝒊 = 
𝟗𝟓𝟎, 𝟎𝟎
𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟏𝟐
 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟑𝟖 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟑𝟖 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 𝒊 = 𝟐, 𝟔𝟑𝟖% 𝒂. 𝒕. 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 10 – (Adaptado de Mathias e Gomes, 2010): A quantia de R$ 
2.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a. pelo prazo de 
100 dias. Qual será o juro desta aplicação se for considerado: 
 Juro comercial?? 
 Juro exato?? 
 
 
 
 
 
 
 
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Juro Comercial: Resolução 
 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 ⇒ 𝑱 = 𝟐. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟒𝟐 .
𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟎
 
𝑱 = 
𝟏𝟎𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟎
 ⇒ 𝑱 = 𝟐𝟗𝟏, 𝟔𝟕 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 10 – CONTINUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
Juro Exato: 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 ⇒ 𝑱 = 𝟐. 𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟎, 𝟒𝟐 .
𝟏𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟓
 
𝑱 = 
𝟏𝟎𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝟑𝟔𝟓
 ⇒ 𝑱 = 𝟐𝟖𝟕, 𝟔𝟕 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 Montante ou Valor Futuro: 
 Fórmulas e variações: 
 𝑀 = 𝐶 + 𝐽, 𝑒𝑞. 1 𝑒, 𝐽 = 𝐶. 𝑖 . 𝑛, 𝑒𝑞. (2). Por substituição (equação 2 na eq. 1), temos: 
 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 . 𝑖 . 𝑛. Colocando o capital(C) em evidência, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 Variações da fórmula do montante: 
 
 𝑪 = 
𝑴
(𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
 ⇒ Fórmula do Capital 
 
 𝑀 – 𝐽 = 
𝑀
(1 + 𝑖 .𝑛)
 ⇒ 𝐽 = 𝑀 - 
𝑀
(1 + 𝑖 . 𝑛)
 ⇒ 
 
 ⇒ 𝑱 = 𝑴 . [1- 
𝟏
(𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
 ] ⇒ Fórmula do Juro 
 
INFORME 
Para transformarmos o prazo de uma 
operação financeira que está em mês, para 
ano, por exemplo, basta dividirmos o prazo 
mensal por 12 (doze), que é a quantidade de 
mês em 1 (um) ano. Se, desejarmos o inverso, 
ano para mês, multiplicamos o prazo anual 
por 12 (doze). Da mesma maneira, fazemos 
para as outras conversões temporais. 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 Taxa Proporcional 
Dizemos que duas taxas são proporcionais se houver a igualdade de 
quociente das taxas com o quociente dos respectivos períodos. 
 
 
 
onde n1 e n2 são períodos com unidades comum de tempo das taxas. 
 
 Ex.: verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano 
são proporcionais: 
 

𝒊𝟏
𝒊𝟐
 = 
𝒏𝟏
𝒏𝟐
 ⇒
𝟎,𝟎𝟓
𝟎,𝟐
 = 
𝟑
𝟏𝟐
 ⇒ 0,6 = 0,6 (portanto, proporcionais) 
 
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𝒊𝟏
𝒊𝟐
 = 
𝒏𝟏
𝒏𝟐
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 Taxa Equivalente 
 Duas taxas são equivalentes se, as duas taxas aplicada 
sobre um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de 
tempo, ambas produzirem o mesmo juro. 
 
 Valor Nominal 
 Podemos dizer que é quanto vale um compromisso na 
data do seu vencimento(neste sentido, posso chamá-
lo de Valor Futuro). Quando não saldado no seu 
vencimento, o compromisso continua tendo o seu 
valor nominal, mas poderá ser acrescido agora, de 
juros e de eventuais multas por atraso. 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 Valor Atual 
 É o valor que um compromisso tem em uma data 
que antecede ao seu vencimento. O cálculo do 
valor atual pressupõe que já tenhamos um 
compromisso que vence numa data futura. O 
mesmo que Valor Presente. 
 Valor Futuro 
 É o mesmo que Montante e que também pode 
ser chamado de Valor Nominal (ou Valor de 
Face). 
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JUROS SIMPLES 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
Métodos Quantitativos Financeiros 
 
 
 
 
JUROS 
CAPITAL 
INICIAL 
MONTANTE 
JUROS CAPITAL 
INICIAL 
TAXA 
PRAZO 
CAPITAL 
INICIAL 
MONTANTE 
TAXA 
PRAZO 
CAPITALIZAÇÃO LINEAR OU 
JUROS SIMPLES 
JUROS SIMPLES 
Métodos Quantitativos Financeiros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES E MONTANTE A JUROS SIMPLES 
DICA! 
Quando da realização do ajuste 
operacional para deixar o prazo 
e taxa na mesma unidade 
temporal num processo de 
resolução de exercícios 
envolvendo capitalização, é 
sempre bom trabalharmos essa 
modificação adequativa na 
variável prazo (n), mantendo a 
unidade temporal da taxa (i) na 
sua condição original, a fim de 
evitarmos transtornos futuros 
envolvendo cálculos 
financeiros. 
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JUROS SIMPLES 
𝑱 = 𝑪 . 𝒊 . 𝒏 
𝑪 = 
𝑱
𝒊 . 𝒏
 
𝒏 = 
𝑱
𝑪 . 𝒊
 
𝒊 = 
𝑱
𝑪 . 𝒏
 
𝒊 = 
𝑴
𝑪
 − 𝟏 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝑪 = 
𝑴
(𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
 
𝑱 = 𝑴 . [𝟏 − 
𝟏
(𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
 ] 
𝑴 = 𝑪 + 𝑱 
𝒏 = 
𝑴
𝑪 − 𝟏
𝒊
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝑽𝑨 = 
𝑽𝑵
𝟏 + 𝒊 . 𝒏
 
𝒊 = 
𝑴
𝑪 − 𝟏
𝒏
 
𝑱 = 
𝑴 . 𝒊 . 𝒏
(𝟏 + 𝒊 . 𝒏)
 
Métodos Quantitativos Financeiros 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Tabela Metodológica de Transformação de Prazos, por classe 
(ano, mês e dia), nas Operações Financeiras – Juros Comercial 
Ano 
Ano para mês 
Multiplica-se o prazo 
anual por 12. 
Ano para dia 
Multiplica-se o prazo 
anual por 360. 
Mês 
Mês para ano 
Divide-se o prazo 
mensal por 12. 
Mês para dia 
Multiplica-se o prazo 
mensal por 30. 
Dia 
Dia para ano 
Divide-se o prazo diário 
por 360. 
Dia para mês 
Divide-se o prazo diário 
por 30. 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Valor Atual (Presente) e Valor Nominal 
 
 Ex. 1: (Mathias e Gomes, 2010) Admitindo que uma pessoa aplicou hoje 
uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá 
valer R$24.000,00 no mês 12. Supondo que o valor aplicado tenha sido 
de R$ 15.000,00; qual seria a taxa de juros aplicada? Agora, se 
admitíssemos que não sabíamos o valor aplicado, mas que 
conhecemos a taxa de aplicação que é de 6% ao mês, qual seria o 
valor atual hoje? Supomos agora que passados 6 meses da data de 
aplicação, a pessoa precisou de dinheiro, sem alternativas, ela irá 
descontar seu título no mercado. Para esta operação ocorrida na data 
6 a taxa de juros vigente era de 7% ao mês. Quanto obteria esta 
pessoa pelo título? E finalmente, supomos agora, que esta pessoa 
resolveu negociar seu título 3 meses antes do vencimento a uma taxa 
de mercado de 8% ao mês, qual o valor do título nesta situação? 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
ATENÇÃO!!! 
Observe a resolução deste 
exemplo nos slides seguintes: 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Valor Atual (Presente) e Valor Nominal 
1ª situação: 
0 𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 (𝒑𝒓𝒂𝒛𝒐) 
𝑹$𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 (𝑽.𝑵𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒐𝒖 𝑴𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆) 
𝑹$𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 (𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒐𝒖 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍) 
𝑴 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝒊 . 𝟏𝟐) 
𝟏𝟐 . 𝒊 = 𝟎, 𝟔 
𝒊 = 
𝟎, 𝟔
𝟏𝟐
 
𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒐𝒖 𝟓% 𝒂.𝒎. 
 
 
Obs: Para transformar um número absoluto 
(unitário), que representa um índice, em 
um número relativo (percentual) dentro de 
uma operação de capitalização 
financeira, multiplica-se o número 
absoluto em questão, por 100. Para fazer o 
processo inverso divide-se por 100. 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
ATENÇÃO !!! 
𝒊 = ? 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Valor Atual (Presente) e Valor Nominal 
 2ª situação do Exemplo anterior: 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑪 . (𝟏 + . 𝟏𝟐) ⇒ 
⇒ C = 
𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟕𝟐
 = 𝟏𝟑. 𝟗𝟓𝟑, 𝟒𝟗 (Valor atual na data zero, ou 
quanto a pessoa aplicou hoje ou no momento em análise) 
 
 O Valor Atual será chamado de VA e este, aqui, substituirá o C(Capital 
Inicial). Lembrando que ambos tem o mesmo comportamento, 
portanto, podemos dizer que são sinônimos nesta situação. 
 O Montante(M) será substituído pelo Valor Nominal VN, neste caso, 
também podemos dizer que ambos são sinônimos. 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
É muito importante que nos cálculos de 
capitalização financeira, transformemos 
(coloquemos) a taxa em questão, na 
forma unitária (absoluta), como 
podemos notarna condição ao lado, 
em destaque. 
𝟎, 𝟎𝟔 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Valor Atual (Presente) e Valor Nominal 
 3ª situação do Exemplo anterior: 
 
12 meses 6 meses 0 
VA(Valor Atual) 
24.000(Valor Nominal) 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕 . 𝟔) 
𝑽𝑨 = 
𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎
𝟏,𝟒𝟐
 = 𝟏𝟔. 𝟗𝟎𝟏, 𝟒𝟏 (Valor Atual do título na data focal 6) 
 Lembrando, que, por definição, o capital inicial pode ser 
igual ao valor presente e ao valor atual. 
 CI = VP = VA. Aqui, C = VA. 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Valor Atual (Presente) e Valor Nominal 
 4ª situação do Ex.: 
 
 
12 meses 9 meses 
24.000(Valor Nominal) 
VA(Valor Atual) 
0 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟖 . 𝟑) 
𝑽𝑨 = 
𝟐𝟒.𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎,𝟎𝟖 . 𝟑)
 
 
𝑽𝑨 = 𝟏𝟗. 𝟑𝟓𝟒, 𝟖𝟒(𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍) 
 
 Atenção no exemplo: 
 ... quando a partir destes mesmos 9(nove) 
meses, que é data focal, aplicarmos o 
Valor Atual à taxa vigente de 8% a.m. 
obteremos, naturalmente, o Valor Nominal 
de 24.000 reais, que nada mais é, que o 
Valor Futuro do título, para o período em 
análise. 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 2 – (Milone, 2006): Adamastor toma R$ 9.000,00 
emprestado à taxa de 27,5% a.a. Depois de oito meses, qual o 
total da dívida? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
Prazo e taxa de juros precisam está na mesma unidade temporal. 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝑴 = 𝟗. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟕𝟓 . 
𝟖
𝟏𝟐
 ⇒ 𝑴 = 𝟗. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . (𝟏, 𝟏𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑) 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 3 – (Bonora Jr., 2008): Certa instituição financeira faz 
empréstimos cobrando 6% a.m. de juros simples pagos 
antecipadamente pelo tomador. Calcular a taxa efetiva 
simples que o tomador pagou pelo empréstimo de R$ 700,00 
por 4 meses. 
Resolução 
Antes de mais nada, precisamos calcular o valor efetivamente emprestado, 
pra depois calcularmos a taxa efetiva simples do negócio. Como a instituição 
financeira cobra antecipadamente 6% a.m. de juros do empréstimo de R$ 
700,00, deveremos proceder da forma que segue abaixo: 
 
 
Calculando a taxa efetiva: 
 Igualamos o Montante Aparente ao Montante Efetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒊𝒗𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 = [𝟕𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟔 . 𝟕𝟎𝟎, 𝟎𝟎] = 𝟔𝟓𝟖, 𝟎𝟎 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 3 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑀 = 700 . (1 + 0,06 . 4) 
𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐸𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜: 𝑀 = 658 . 1 + 𝑖 . 4 
 
Igualando os Montantes: 
Montante Aparente = Montante Efetivo 
𝟕𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔 . 𝟒 = 𝟔𝟓𝟖 . 𝟏 + 𝒊 . 𝟒 
⇒ 𝟖𝟔𝟖 = 𝟔𝟓𝟖 . 𝟏 + 𝒊 . 𝟒 ⇒ 
𝟖𝟔𝟖
𝟔𝟓𝟖
= 𝟏 + 𝒊 . 𝟒 ⇒ 𝟏, 𝟑𝟏𝟗𝟏𝟒𝟖 − 𝟏 = 𝟒 . 𝒊 ⇒ 𝟎, 𝟑𝟏𝟗𝟏𝟒𝟖 = 𝟒 . 𝒊 
𝒊 = 
𝟎, 𝟑𝟏𝟗𝟏𝟒𝟖
𝟒
 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟕𝟖𝟕 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟕𝟖𝟕 . (𝟏𝟎𝟎) 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 4 – (Mathias e Gomes, 2010): Uma loja vende um gravador por R$ 
1.500,00 a vista. A prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de 
entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual 
cobrada? 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
Valor à vista: R$ 1.500,00 
Valor a prazo: R$ 1.800,00 
Entrada para compra a prazo: R$ 200,00 
Valor financiado (C): [1.500 – 200] = R$ 1.300,00 
Valor a pagar após entrada (M): [1.800 – 200] = R$ 1.600,00 
Prazo: 1 ano 
Taxa de juros: ????? 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝟏. 𝟔𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟑𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝒊 . 𝟏 ⇒ 
𝟏. 𝟔𝟎𝟎
𝟏. 𝟑𝟎𝟎
= 𝟏 + 𝒊 ⇒ 𝟏, 𝟐𝟑𝟎𝟕𝟔𝟗 − 𝟏 = 𝒊 
 
𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟎𝟕𝟔𝟗 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 5 – (Mathias e Gomes, 2010): Em quanto tempo o montante 
produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicado a 25% a.a. se 
iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% 
a.a.? Admitir que ambos sejam investidos na mesma data. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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𝑴𝟏 = 𝑪𝟏 . 𝟏 + 𝒊𝟏 . 𝒏 ; 𝑴𝟐 = 𝑪𝟐 . 𝟏 + 𝒊𝟐 . 𝒏 ; 
𝟏. 𝟗𝟐𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓 . 𝒏 = 𝟐. 𝟒𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓 . 𝒏 ⇒ 
𝟏. 𝟗𝟐𝟎
𝟐. 𝟒𝟎𝟎
 . 𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝒏 
⇒ 𝟎, 𝟖. 𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝒏 ⇒ 𝟎, 𝟖 + 𝟎, 𝟐. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝒏 
⇒ 𝟎, 𝟐. 𝒏 − 𝟎, 𝟏𝟓. 𝒏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟖 ⇒ 𝟎, 𝟎𝟓. 𝒏 = 𝟎, 𝟐 
⇒ 𝒏 = 𝟎, 𝟐 ÷ 𝟎, 𝟎𝟓
𝑴𝟏 = 𝑴𝟐 
Resolução 
Observe que o problema refere-se a uma igualdade de montantes. Observe também 
que há duas aplicações distintas e para ambas, diferentes capitais e diferentes taxas, e 
que são investidos numa mesma data. 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 6 – (Bonora Jr., 2008): A terça parte de um capital aplicada à 
taxa simples de 7,2% a.m. produziu o mesmo montante final do 
restante do capital aplicado à taxa de simples de 3% a.m. 
Determinar em quanto tempo isso ocorre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
Terça parte: 𝑴𝟏 = 
𝟏
𝟑
. 𝑪 . (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 . 𝒏) 
Restante: 𝑴𝟐 = 
𝟐
𝟑
. 𝑪 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝒏 
 
𝟏
𝟑
. 𝑪 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐 . 𝒏 =
𝟐
𝟑
. 𝑪 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝒏 ⇒ 
𝟏
𝟑 . 𝑪
𝟐
𝟑 . 𝑪
 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝒏 
𝟎, 𝟓 . 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟕𝟐. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝒏 ⇒ 𝟎, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟔. 𝒏 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑. 𝒏 
⇒ 𝟎, 𝟎𝟑𝟔. 𝒏 − 𝟎, 𝟎𝟑. 𝒏 = 𝟏 − 𝟎, 𝟓 ⇒ 𝟎, 𝟎𝟎𝟔. 𝒏 = 𝟎, 𝟓 ⇒ 
𝒏 = 𝟎, 𝟓 ÷ 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 ⇒ 
𝑴𝟏 = 𝑴𝟐 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 7 – (Samanez, 2010): Em quantos meses um capital 
dobra a juros simples de 200% a.a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
𝑴 = 𝑪 . (𝟏 + 𝒊 . 𝒏) 
𝟐. 𝑪 = 𝑪 . 𝟏 + 𝟐, 𝟎 . 𝒏 ⇒ 
𝟐. 𝑪
𝑪
= 𝟏 + 𝟐, 𝟎. 𝒏 ⇒ 
𝟐 − 𝟏 = 𝟐, 𝟎. 𝒏 ⇒ 𝟏 = 𝟐, 𝟎. 𝒏 ⇒ 𝒏 = 
𝟏
𝟐
 ⇒ 𝒏 = 𝟎, 𝟓 𝒂𝒏𝒐 . (𝟏𝟐) 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 8 – (Samanez, 2010): Aplicando R$ 80.000,00 durante 17 meses, 
resgatamos R$ 140.000,00. Qual é a taxa anual de juros simples obtida 
na operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
𝑴 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 
𝟏𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝒊 .
𝟏𝟕
𝟏𝟐
 ⇒ 
𝟏𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟏 + 𝒊. 𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕 ⇒ 
𝟏, 𝟕𝟓 − 𝟏 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕. 𝒊 ⇒ 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕. 𝒊 ⇒ 𝒊 = 
𝟎, 𝟕𝟓
𝟏, 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕
 
⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟗𝟒 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟐𝟗𝟒 . (𝟏𝟎𝟎) 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 9 – (Samanez, 2010): Um capital de R$ 135.000,00 transformou-
se em R$ 180.000,00 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa 
mensal de juros simples obtida na operação. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
𝑴 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 
𝟏𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝟏𝟑𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 . 𝟏 + 𝒊 .
𝟒𝟒
𝟑𝟎
 ⇒ 
𝟏𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟑𝟓. 𝟎𝟎𝟎
= 𝟏 + 𝒊. 𝟏, 𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕 ⇒ 
𝟏, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏 = 𝟏, 𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕. 𝒊 ⇒ 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟏, 𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕. 𝒊 ⇒ 
 𝒊 = 
𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟏, 𝟒𝟔𝟔𝟔𝟔𝟕
 
⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟐 ⇒ 𝒊 = 𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟐 . (𝟏𝟎𝟎) 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 10 – (Marcondes, 1985): O montante de uma aplicação por 6 
meses é de R$ 200.000,00; por 8 meses e à mesma taxa, é de R$ 
230.000,00.Calcular essa taxa e a aplicação inicial. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
𝑴𝟏 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 ; 𝑴𝟐 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 ; 𝑴𝟏 = 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ; 𝑴𝟐 = 𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ; 
𝑶 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒆 𝒂 𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒔ã𝒐 𝒐𝒔 𝒎𝒆𝒔𝒎𝒐 (𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒔 𝒅𝒖𝒂𝒔 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂çõ𝒆𝒔 
 
 𝑴𝟏 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 ⇒ 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑪. 𝟏 + 𝒊. 𝟔 ⇒ 𝑪 = 
𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊.𝟔)
 
 𝑴𝟐 = 𝑪 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 ⇒ 𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑪. 𝟏 + 𝒊. 𝟖 ⇒ 𝑪 = 
𝟐𝟑𝟎.𝟎𝟎𝟎
(𝟏+𝒊.𝟖)
 
 Calculando a taxa de juros usada nas aplicações: 
 Igualando o capital (C): 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 =
𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝒊. 𝟖)
 ⇒ 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝒊. 𝟖)
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 = 𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 10 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
 
 
 
 
 
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𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 =
𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝒊. 𝟖)
 ⇒ 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 . (𝟏 + 𝒊. 𝟖)
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 = 𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
(𝟏 + 𝒊. 𝟖)
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 = 
𝟐𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
 ⇒ 
(𝟏 + 𝒊. 𝟖)
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 = 𝟏, 𝟏𝟓 
𝟏 + 𝒊. 𝟖 = 𝟏, 𝟏𝟓 . 𝟏 + 𝒊. 𝟔 ⇒ 𝟏 + 𝟖. 𝒊 = 𝟏, 𝟏𝟓 + 𝟔, 𝟗. 𝒊 
𝟖. 𝒊 − 𝟔, 𝟗. 𝒊 = 𝟏, 𝟏𝟓 − 𝟏 ⇒ 𝟏, 𝟏. 𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟓 ⇒ 𝒊 = 
𝟎,𝟏𝟓
𝟏,𝟏
 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟔𝟑𝟔𝟑𝟔𝟑 
 
𝒊 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟔𝟑 . (𝟏𝟎𝟎) ⇒ 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Ex.: 10 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
 
 
 
 
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 Calculando o Capital usado nas aplicações: 
𝑪 = 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝒊. 𝟔)
 ⇒ 𝑪 = 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟔𝟑 . 𝟔)
 ⇒ 𝑪 = 
𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟖𝟏𝟕𝟖
 
 
 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 11 – (Samanez, 2010): Uma pessoa deve pagar R$ 200,00 
daqui a dois meses e R$ 400,00 daqui a cinco meses. A juros 
simples de 5% a.m., determinar o valor de um pagamento único a 
ser efetuado daqui a três meses que liquide a dívida. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
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0 1 2 4 5 6 
200,00 
400,00 
mês 
Descapitalizando 400 reais até X 
capitalizando 200 reais até X 
1 mês 
2 mês 
X 
i = 5% a.m. 
JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 11 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
 
𝑋 = 200. 1 + 0,05 .1 + 
400
(1 + 0,05 . 2)
 ⇒ 𝑋 = 210 + 363,64 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 12 – Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros 
simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à 
taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante 
referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante 
referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros 
correspondentes à aplicação da primeira pessoa será? 
Resolução 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
 
 Primeiro passo: calcular os montante das duas aplicações: 
𝑴𝟏 = 𝑪𝟏 . 𝟏 + 𝒊𝟏 . 𝒏 
𝑴𝟏 = 10.000 . 1 + 0,02 . 𝑛 = 10.000 + 200 . 𝑛 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎 . 𝒏 
𝑴𝟏 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎𝟎 . 𝒏 
 
𝑴𝟐 = 𝑪𝟐 . [𝟏 + 𝒊𝟐 . (𝒏 − 𝟐)] 
𝑴𝟐 = 8.000 . 1 + 0,04 . 𝑛 − 2 = 8.000 + 320 . 𝑛 − 640 = 𝟕. 𝟑𝟔𝟎 + 𝟑𝟐𝟎 . 𝒏 
𝑴𝟐 = 𝟕. 𝟑𝟔𝟎 + 𝟑𝟐𝟎 . 𝒏 
𝑴𝟏 𝒆 𝑴𝟐 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Ex.: 12 – CONTINUAÇÃO 
Resolução 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Segundo passo: calcular o prazo (igualando os montantes): 
𝐌𝟏 = 𝐌𝟐 
10.000 + 200 . 𝑛 = 7.360 + 320 . 𝑛 → 320 . 𝑛 − 200 . 𝑛 = 10.000 − 7.360 
120. 𝑛 = 2.640 → 𝒏 = 
𝟐. 𝟔𝟒𝟎
𝟏𝟐𝟎
 = 𝟐𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 
Terceiro passo: calculando o montante 
𝑀1 = 10.000 + 200 . 𝑛 → 𝑀1= 10.000 + (200 . 22) = 𝟏𝟒. 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
𝑀2 = 7.360 + 320 . 𝑛 → 𝑀2 = 7.360 + (320 .22) = 𝟏𝟒. 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Quarto passo: calculando os juros da primeira aplicação 
𝑱𝟏 = 𝑴𝟏 − 𝑪𝟏 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
 
Segundo Samanez (2010), dizemos que dois capitais são 
equivalentes quando têm o mesmo valor em determinada 
data de avaliação (data focal). 
É importante sabermos que em juros simples, se mudarmos a 
data focal, a equivalência dos capitais mudará também, ou 
seja, os capitais equivalentes pra uma determinada data focal 
não serão em outra data focal. Em função disso, sempre é 
aconselhado, em juros simples, desde que não explicitado no 
exercício uma outra data focal, tomar como data focal, o 
período zero. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
 
EX. 1: Mostre se há equivalência de capitais, na data focal 2, para dois 
capitais: um de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e o outro de R$ 5.600,00 que 
ocorre na data 6. A operação acontece na forma de juros simples, a uma 
taxa de 10% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que na data focal 2, os dois capitais (R$ 3.636,35 e R$ 5.600,00) são 
equivalentes, pois os capitais se equivalem em R$ 4.000,00. 
 
 
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JUROS SIMPLES 
3.636,35 
5.600,00 
𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ⇐ 𝟑. 𝟔𝟑𝟔, 𝟑𝟓 . (𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟏) 
𝟓. 𝟔𝟎𝟎, 𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟒)
 ⇒ 𝟒. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
0 1 2 6 meses 3 
Data focal 
4 
descapitalizando 
capitalizando 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
EX 2: Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 2.000,00 daqui a três 
meses e R$ 2.500,00 daqui a 8 meses. Ela quer trocar esses débitos por dois 
pagamentos iguais, um para dez meses e outro para 15 meses. Calcular o valor 
desses pagamentos se a taxa de juros simples for de 10% a.m. 
 
 
 
 
Trazendo todos os valores para a data focal zero. 
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JUROS SIMPLES 
Informação importante !!! 
Em juros simples, quando o enunciado não apresentar a data focal, considerar a data zero, como 
data focal. 
0 3 8 10 15 meses 
2.000,00 2.500,00 X X 
Data focal 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES 
 
EX 2: CONTINUAÇÃO 
 
 TRAZENDO TODOS OS VALORES PARA A DATA FOCAL ZERO E IGUALANDO AS 
CONDIÇÕES APRESENTADAS: 
 
𝐗
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟏𝟓)
 + 
𝐗
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟏𝟎)
 = 
𝟐. 𝟓𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟖)
 + 
𝟐. 𝟎𝟎𝟎
(𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟎 . 𝟑)
 
𝐗 .
𝟏
𝟐
 + 
𝟏
𝟐, 𝟓
 = 𝟐. 𝟗𝟐𝟕, 𝟑𝟓 ⇒ 𝐗 = 
𝟐. 𝟗𝟐𝟕, 𝟑𝟓
𝟎, 𝟗
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
 
Descontos Simples 
 Podemos definir o desconto, como sendo um abatimento ou dedução 
de uma determinada quantia do valor nominal(ou valor de face) de 
um título ou dívida em função de uma antecipação de um título ou 
liquidação de uma dívida antes do seu vencimento. 
 A definição genérica financeira do desconto nos diz que ele é a 
diferença entre o valor nominal ou valor de face(montante) de um 
título e o seu valor atual(valor presente). Também podemos dizer que é 
a liquidação de um compromisso que é saldado antes do seu 
vencimento. Sua expressão matemática é a seguinte: 
 
 
 
 onde: 
 D: é o desconto ou valor do desconto 
 VN: é o valor nominal ou valor de face 
 VA: é o valor atual 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Descontos Simples 
(Adaptado de Puccini, 2011) 
 
𝑽𝑵 
𝒐𝒖 
𝑽𝑭 
D 
𝒊𝒅 
𝑽𝑨 
𝒐𝒖 
𝑽𝑷 
0 n Tempo/períodos 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Desconto Racional ou Por Dentro 
 Age sobre o Valor Atual (Valor Presente). 
𝑽𝑨 : o valor atual (valor 
presente ou valor 
descontado racional (Saldo) 
𝑫𝒓: desconto racional 
𝑽𝑵 : valornominal ou 
montante 
𝒊𝒅: taxa de desconto 
𝒏 : número de períodos de 
antecipação do vencimento 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Desconto Racional ou Por Dentro 
Ex.: (Retirado de Mathias e Gomes, 2010): Uma pessoa 
pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu 
vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 
40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter? 
 𝐷𝑟 = 
𝑽𝑵 . 𝒊𝒅 . 𝒏
𝟏 +𝒊𝒅. 𝒏
 ⇒ 𝐷𝑟 = 
5.500 . 0,4 . 
3
12
1 + 0,4 . 
3
12
 = 
550
1,1
 ⇒ 
 𝐷𝑟 = 500,00(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜) 
 𝑫𝒓 = 𝑽𝑵 – 𝑽𝑨 ⇒ 500 = 5.500 – 𝑉𝐴 ⇒ 𝑉𝐴 = 5.500 − 500 
 𝑽𝑨 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟á 𝑎𝑝ó𝑠 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜) 
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JUROS SIMPLES 
Juros Simples ou Capitalização Linear 
Desconto Comercial ou Por Fora 
 É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor 
nominal do compromisso que seja saldado n períodos antes do 
vencimento. Age sobre o Valor Nominal. 
 
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𝑽𝑨: o valor atual ou valor 
descontado racional (Saldo) 
𝑫𝒄: desconto comercial 
𝑽𝑵: valor nominal ou 
montante 
𝒊𝒅: taxa de desconto 
𝒏: número de períodos 
(prazos) de antecipação do 
vencimento 
JUROS SIMPLES 
Desconto Comercial ou Por Fora 
Ex.: (Retirado de Mathias e Gomes, 2010): Uma pessoa 
pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de 
seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é 
de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter? 
𝐷𝑐 = 𝑉𝑁. 𝑖𝑑 . 𝑛 = 5.500 𝑥 0,40 𝑥
3
 12
 = 550,00 (valor do 
desconto) 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 . 1 – 𝑖𝑑 . 𝑛 = 5.500 𝑥 (1 − 0,40 𝑥 
3
12
) = 
𝑉𝐴 = 4.950,00 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑒𝑏𝑒𝑟á 𝑎𝑝ó𝑠 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜) 
 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
 Continuação do exercício: 
A taxa utilizada para fazer o desconto comercial não refletirá 
agora a mesma taxa de juros que reproduzia o valor nominal. 
Neste caso, observaremos duas taxas, a taxa de desconto 
utilizada na operação e a taxa implícita que é a aplicada de 
fato. 
i = 
550
4.950
 = 0,1111... ao trimestre 
i = 0,1111 𝑥 4 = 0,444 𝑥 100 = 44% 𝑎. 𝑎.(taxa implícita) 
 
 
 
Onde “𝒊𝒅” é a taxa de desconto operado(corrente) no 
mercado – apresentado no enunciado do exercício. 
𝒊𝒊𝒎𝒑𝒍 = 
𝒊𝒅
𝟏 − 𝒊𝒅 . 𝒏
 
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JUROS SIMPLES 
Desconto Comercial 
TAXA EFETIVA A JUROS SIMPLES 
Representa o custo ou a remuneração efetiva total da operação 
financeira. É a taxa que é cobrada de fato, na operação 
financeira. Segundo Camargos (2013), no juros simples a taxa 
efetiva está associada aos conceitos de taxa bruta e líquida, 
sendo calculada sobre descontos concedidos no ato da compra, 
juros pagos antecipadamente, prestações pagas no ato da 
compra, imposto de renda incidente sobre operações financeiras, 
etc. No sistema de juros simples, quase sempre ela será 
equivalente à taxa implícita. 
 
 
 
 
 
 
 𝒏: representa o prazo. Este deve convertido ao mesma período da taxa dada, se precisar. 
 𝑴: representa o montante que sofre ações de variáveis como as acima mencionadas. 
 𝑪: representa o capital que sofre ações de variáveis como as acima mencionadas, portanto será 
igual ao Valor Atual (VA). 
 
𝒊𝒆 = 
𝟏
𝒏
 .
𝑴
𝑪
 − 𝟏 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
JUROS SIMPLES 
Relação Notável entre Desconto Comercial e 
Desconto Racional Simples 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
𝑫𝑪 = 𝑫𝑹 . (𝟏 + 𝒊𝒅. 𝒏) 
𝑽𝑭 = 
𝑫𝒄 . 𝑫𝒓
(𝑫𝒄 − 𝑫𝒓)
 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de 
Descontos Simples 
 
 
 
Ex. 1 – (Costa, 2010) Se a taxa de desconto comercial simples for de 4% ao mês e o 
prazo de vencimento de uma duplicata for de 54 dias, qual a taxa mensal de juros 
simples da operação? 
Resolução 
 
 
 
 
𝑖 = 
0,04
1 − 0,04 .
54
30
 = 
0,04
0,928
 = 0,0431 
 
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JUROS SIMPLES 
𝒊 = 
𝒊𝒅
𝟏 − 𝒊𝒅 . 𝒏
 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de 
Descontos Simples 
 
 
 
Ex. 2 – (Costa, 2010) No mercado futuro de juros, um título no valor nominal de R$ 
100,00 tem hoje, um mês antes do seu vencimento, um PU (preço unitário) de R$ 
91,00, ou seja, o título sofre um desconto de 9%. Qual a taxa mensal que o mercado 
está projetando? 
Resolução 
 
 
 
 
𝑖 = 
1
1
 . 
100
91
 − 1 = 0,09890 
 
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JUROS SIMPLES 
𝒊 = 
𝟏
𝒏
 . 
𝑴
𝑪
 − 𝟏 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de 
Descontos Simples 
 
 
 
Ex. 3 – (Costa, 2010) Dois títulos de valores nominais iguais são descontados 45 dias 
antes de seus vencimentos. Em um dos títulos foi utilizada a operação do desconto 
racional simples e no outro, a operação do desconto comercial simples. Em ambos 
os casos, considerou-se a taxa de desconto de 3% ao mês e a convenção do mês 
comercial. Se o valor do desconto correspondente ao título em que se utilizou 
operação do desconto racional simples foi igual a R$ 900,00, qual o valor do 
desconto do outro título? 
Resolução 
 
Titulo A: 
 
 
Título B: 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊𝒅 . 𝒏) 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊𝒅 . 𝒏) 
Desconta Racional 
Desconto Comercial 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de Descontos 
Simples 
Ex. 3 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
Título A: 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊𝒅 . 𝒏) 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑨 . 𝒊𝒅 . 𝒏 
Calculando o VA através do desconto racional: 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑨 . 𝒊𝒅 . 𝒏 
900,00 = 𝑉𝐴 . 0,03 .
45
30
 → 𝑉𝐴 = 
900
0,045
 → 𝑽𝑨 = 𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Calculando o VN através do desconto racional: 
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . (𝟏 + 𝒊𝒅 . 𝒏) 
𝑉𝑁 = 20.000 . 1 + 0,03 .
45
30
 → 𝑽𝑵 = 𝟐𝟎. 𝟗𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
 
 
 
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Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de Descontos 
Simples 
Ex. 3 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
Título B: 
Calculando o Desconto comercial a partir do VN calculado anteriormente: 
𝑫𝒄 = 𝑽𝑵 . 𝒊 . 𝒏 
𝐷𝑐 = 20.900 . 0,03 .
45
30
 
 
O 𝑫𝑪 do Título B também poderia ser calculado através da fórmula abaixo: 
 
𝑫𝑪 = 𝑫𝑹 . (𝟏 + 𝒊𝒅. 𝒏) 
 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de Descontos Simples 
EX. 4 - (FCC – SEFAZ) Um título é descontado em um banco 5 meses antes de 
seu vencimento com a utilização do desconto comercial simples a uma taxa 
de desconto de 36% ao ano. Caso este título tivesse sido descontado com a 
utilização do desconto racional simples, também a uma taxa de desconto de 
36% ao ano, o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em 
R$ 517,50. O valor do desconto apurado com a utilização da operação de 
desconto racional simples é?: 
Resolução 
 
Desconto Comercial Simples: 
Encontrando o valor atual comercial para a 1ª situação: 
 
𝑽𝑨 = 𝑽𝑵 . (𝟏 − 𝒊𝒅 . 𝒏) 
𝑉𝐴 = 𝑉𝑁 . 1 − 0,36 .
5
12
 → 𝑽𝑨𝑪 = 𝟎, 𝟖𝟓 . 𝑽𝑵 
 
Desconto Racional Simples: 
Encontrando o valor atual racional para a 1ª situação: 
 
𝑽𝑵 = 𝑽𝑨 . 𝟏 + 𝒊 . 𝒏 
𝑉𝑁 = 𝑉𝐴 . 1 + 0,36 .
5
12
 → 𝑉𝑁 = 1,15 . 𝑉𝐴 → 𝑽𝑨𝑹 = 
𝑽𝑵
𝟏, 𝟏𝟓
 
 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de Descontos 
Simples 
EX. 4 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
Escrevendo a equação da 2ª situação, onde o valor atual racional, conforme o 
enunciado, é R$ 517,50 superior ao valor atual comercial. Vejamos como fica: 
 
 
Fazendo a substituição dos valores de 𝑽𝑨𝑹 e 𝑽𝑨𝑪 na equação da 2ª situação para 
que assim possamos encontrar o valor nominal do título: 
 𝑽𝑨𝑹 = 𝑽𝑨𝑪+ 𝟓𝟏𝟕, 𝟓𝟎 
 
𝑽𝑵
𝟏, 𝟏𝟓
 = 𝟎, 𝟖𝟓 . 𝑽𝑵 + 𝟓𝟏𝟕, 𝟓𝟎 
 𝑉𝑁 = 1,15 . 0,85 . 𝑉𝑁 + 517,50 
𝑉𝑁 = 0,9775 . 𝑉𝑁 + 595,125 → 𝑉𝑁 − 0,9775 . 𝑉𝑁 = 595,125 
0,0225 . 𝑉𝑁 = 595,125 → 𝑉𝑁 = 
595,125
0,0225
 
𝑽𝑵 = 𝟐𝟔. 𝟒𝟓𝟎, 𝟎𝟎 
 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
𝑽𝑨𝑹 = 𝑽𝑨𝑪 + 𝟓𝟏𝟕, 𝟓𝟎 
Outros Exemplos de Exercícios envolvendo de Descontos 
Simples 
EX. 4 – CONTINUAÇÃO - Resolução 
 
 
O passo seguinte, é calcular o valor atual racional do título. Observe que já 
calculamos uma equação num momento anterior. Vejamos: 
 
𝑽𝑨𝑹 = 
𝑽𝑵
𝟏, 𝟏𝟓
 
𝑽𝑨𝑹 = 
26.450,00
 1,15
 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
 
Último passo: Calculando o desconto racional do título. 
 
𝑫𝒓 = 𝑽𝑵 − 𝑽𝑨𝑹 
𝐷𝑟 = 26.450 − 23.000 
 
 
 
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JUROS SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝒊𝒊𝒏𝒇: representa a taxa de inflação, mas pode ser considerado na operação, o custo 
de oportunidade do período ou o índice de atualização monetária (como um índice de 
preços, por exemplo, o IGP). 
 O objetivo do cálculo da taxa real é encontrarmos o valor de ganho descontado da 
inflação. Então para sabermos a verdadeira rentabilidade de algo é necessário 
calcularmos a taxa real. 
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Taxa Real 
Taxa Acumulada 
JUROS SIMPLES 
Capital Médio de um Conjunto de Títulos 
O capital médio refere-se a uma série de títulos, e é 
efetuado pela média aritmética ponderada dos 
capitais dos diversos títulos transacionados. Onde os 
prazos de movimentação dos títulos serão o fator 
de ponderação.(MILONE, 2006). Sendo assim, 
temos a seguinte equação: 
 
 
 
 Para que a condição de 
capital médio seja atendido 
na sua total aplicabilidade é 
necessário que a taxa de 
juros seja a mesma para 
todas as aplicações. 
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JUROS SIMPLES 
𝐶 =
 𝐶𝑡.𝑛𝑡
 𝑛𝑡
 
Capital Médio de um Conjunto de Títulos 
Ex.: (Retirado de Milone, 2006): À taxa de juros simples de 
3% a.m., aplicou-se R$17.000,00 por nove meses e R$ 
26.000,00 por 15 meses. Que capital único se deveria se 
deveria investir pelos mesmos prazos para se obter os 
mesmos juros? 
𝐶 =
 𝐶𝑡𝑛𝑡
 𝑛𝑡
 ⇒ 𝐶 = 
(17.000 𝑥 9) +(26.000 𝑥 15)
9+15
 = 
543.000
24
 = 
 
𝑪 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟐𝟓, 𝟎𝟎 
 
 Teste de verificação: 
 
 𝐽 = (22.625 𝑥 0,03 𝑥 9) + (22.625 𝑥 0,03 𝑥 15) = 16.290,00 
 𝐽 = (17.000 𝑋 0,03 𝑥 9) + (26.000 𝑥 0,03 𝑥 15) = 16.290,00 
 
 
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JUROS SIMPLES 
Prazo médio de um Conjunto de Títulos 
 
Está relacionado ao retorno de uma série de 
investimentos, ou seja, ao desconto de um conjunto 
de títulos. É dado pela média aritmética ponderada 
dos prazos considerados, onde o fator de ponderação 
será os valores dos capitais transacionados. Também é 
necessário que a taxa seja a mesma para as 
aplicações.(MILONE, 2006) 
 
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𝑛 = 
 𝐶𝑡.𝑛𝑡
 𝐶𝑡
 
JUROS SIMPLES 
Prazo médio de um Conjunto de Títulos 
Ex.: (Retirado de Milone, 2006) - Aplicou-se R$ 15.000,00 por 
cinco meses e R$ 25.000,00 por nove meses à mesma taxa de 
juros simples. A que prazo se deveria investir os R$ 40.000,00 
transacionados para se obter o mesmo montante? 
 𝑛 = 
 𝐶𝑡𝑛𝑡
 𝐶𝑡
 ⇒ 𝑛 = 
15.000𝑥5 +(25.000𝑥9)
15.000+25.000
 = 
300.000
40.000
 = 7,5 
meses 
 Verificando à taxa de 10% a.m.: 
 Aplicação única: 
 𝑀 = 40.000 𝑥 (1 + 0.1 𝑥 7,5) = 70.000,00 
 Aplicações individuais: 
 𝑀 = 15.000 𝑥 1 + 0,1 𝑥 5 + 25.000 𝑥 (1 + 0,1 𝑥 9) = 70.000,00 
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JUROS SIMPLES 
 Exercícios 1 - Descontos 
1. Uma dívida de R$12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu 
vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de 
juros contratada for de 27% a.a.? 
 
2. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 
6 meses, se seu valor nominal for de R$ 20.000,00 e eu quiser 
ganhar 30% ao ano? 
 
3. Um título de valor nominal R$ 5.300,00 foi descontado à taxa 
de 18% a.a. Sabendo-se que o desconto racional foi de R$ 
300,00, quanto tempo antes do vencimento efetuou-se o 
resgate? 
 
4. Uma nota promissória de valor nominal R$ 8.856,00, com 
vencimento em 4 meses, foi comprada por R$ 8.200,00. Qual é 
a taxa de desconto racional exigida pelo comprador? 
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JUROS SIMPLES 
 Exercício 2 - Desconto 
 
1. Uma nota promissória, no valor de R$ 10.000,00 em seu vencimento, 
foi descontado 2 meses antes de seu prazo de resgate. Sabendo-se 
que a taxa de desconto comercial era de 28% a.a., qual foi o 
desconto? Qual foi o valor atual comercial? 
 
2. O desconto comercial de um título foi R$ 750,00, adotando-se uma 
taxa de juros de 30% a.a. Quantos dias faltaria para o vencimento do 
título, se seu valor nominal fosse de R$ 200.000,00? 
 
3. Se o valor descontado comercial for de R$ 14.195,00 e o prazo de 
antecipação for de 270 dias, qual será o valor do título no 
vencimento, considerando-se uma taxa de 22% a.a.? 
 
4. Calcular o desconto comercial de um compromisso no valor nominal 
de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8% a.a. e o 
prazo de antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa 
de juros efetiva está sendo cobrada? 
 
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JUROS SIMPLES 
Prof. Econ. Márcio Gleick 
 
 
 
 
“Tente a sua 
sorte! A vida é 
feita de 
oportunidades. O 
homem que vai 
mais longe é 
quase sempre 
aquele que tem 
coragem de 
arriscar.” 
Dale Carnegie