Deformações pelo método de integração

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RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS II
Mateus Forcelini
Deformações pelo 
método de integração
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Explicar o método de integração.
  Determinar inclinação e deslocamentos de uma viga isostática apli-
cando o método de integração.
  Calcular inclinação e deslocamentos de uma viga estaticamente in-
determinada por meio do método da integração.
Introdução
De forma geral, o dimensionamento de uma estrutura consiste na veri-
ficação de dois critérios: resistência e deslocamentos. No primeiro caso, 
o dimensionamento segue as verificações do chamado “estado limite 
último”, no qual se garante que o elemento estrutural será capaz de 
resistir aos esforços impostos durante a sua vida útil sem colapsar, ou 
seja, a resistência do elemento deve ser superior às cargas impostas em 
todos os casos. No entanto, na segunda etapa, o dimensionamento deve 
contemplar as verificações do “estado limite de serviço”, no qual, mesmo 
garantida a resistência do material, os deslocamentos causados pelas 
solicitações devem ser avaliados, uma vez que esses podem prejudicar a 
vida da estrutura, seja pelo aparecimento de fissuras em materiais frágeis, 
deformações excessivas que podem intervir em outros elementos, ou 
até mesmo por aspectos visuais que interferem no conforto de seus 
ocupantes.
No caso de elementos horizontais, como vigas, é muito importante 
que o seu dimensionamento contemple a verificação de seu desloca-
mento vertical, ou seja, sua deflexão. Como veremos, esses deslocamentos 
estão intimamente ligados com o desenvolvimento das tensões internas 
dentro do corpo, que, no caso de vigas, são expressas pelo momento 
fletor resultante. 
Neste capítulo, você vai aprender um dos métodos mais utilizados 
para o cálculo de deflexões em vigas: o método da integração. Assim, 
você será capaz de determinar as inclinações e os deslocamentos para 
vigas tanto isostáticas quanto estaticamente indeterminadas sobre a 
influência de carregamentos externos.
Método de integração
A ação das cargas externas sobre elementos estruturais horizontais faz com 
que estes se deformem, gerando tanto deslocamentos verticais das partículas 
quanto rotações das fi bras médias em comparação com a sua posição original 
(LEET et al., 2010). Esse fenômeno está representado na Figura 1 em uma 
viga de comprimento L, submetida a um conjunto de esforços verticais q(x) 
que provocam uma defl exão em cada ponto x ε [0,L]. Percebe-se que no seu 
estado inicial (Figura 1a), antes da ação do carregamento, a viga se encontra 
em sua confi guração indeformada, onde todos os pontos se encontram sobre 
o eixo x, no entanto, após a aplicação das cargas externas (Figura 1b), ela se 
deforma, de modo com que cada trecho infi nitesimal agora apresenta uma 
nova coordenada y (x) e uma rotação em comparação à sua confi guração 
inicial com inclinação dy / dx.
Nesse contexto, o método de integração constitui um ferramental para 
a determinação da inclinação e da deflexão de vigas submetidas à ação de 
cargas externas a partir do conhecimento de sua distribuição de momentos ou 
carregamentos externos. Esse método se apoia sobre a teoria da elasticidade 
de corpos deformáveis e o contexto das pequenas deformações, em que a 
distribuição da deflexão é obtida por meio de sucessivos passos de integração 
respeitando as condições de contorno do problema (SEGEL, 1987).
Deformações pelo método de integração2
Figura 1. Viga em sua configuração (a) original e (b) deformada após 
a aplicação da carga q(x).
Em geral, as integrais envolvidas nesse processo são simples e envolvem, 
em sua grande maioria, a integral de polinomiais, porém esta pode variar em 
função da distribuição inicial do carregamento observado. Lembrando que, 
segundo Howard, Bivens e Davis (2014), a integral de um polinômio é dada por:
 (1)
Onde C é uma constante de integração que deve ser determinada a partir 
das condições de contorno do problema.
Veja o exemplo de uma viga biapoiada submetida a um carregamento 
distribuído, apesentado pela Figura 2. Como a carga pode ser descrita por uma 
função constante de x, integrando-se uma vez, teremos uma distribuição linear 
para os esforços cortantes V(x), em que sabemos que no apoio simples o seu 
valor assume o mesmo valor da reação vertical. Após mais uma integração, 
obtemos uma distribuição agora parabólica para os momentos fletores M(x), 
que devem respeitar a condição de momento nulo nos apoios rotulados. Como 
3Deformações pelo método de integração
os momentos eram descritos por uma função quadrática, a rotação da viga 
θ(x) será dada, então, por uma equação cúbica, na qual a rotação no meio da 
viga é nula devido à simetria da viga e nada se pode afirmar sobre a rotação 
nos apoios, uma vez que estes não são engastados. Integrando-se mais uma 
vez, obtemos os deslocamentos da viga y(x), consequentemente dados por uma 
função polinomial de 4º grau, na qual as condições de contorno estabelecem 
que os deslocamentos nos apoios devem ser nulos.
Figura 2. Distribuição de esforços internos, rotação e desloca-
mentos de uma viga isostática com carregamento uniforme.
Deformações pelo método de integração4
Inclinação e deslocamento de uma viga 
isostática
A partir da equação da linha elástica (BEER et al., 2013), temos que para 
uma viga homogênea, de seção transversal prismática constante, submetida a 
pequenas deformações, a curvatura k(x) da viga pode ser descrita pela seguinte 
expressão:
 (2)
Onde:
  M(x) é a distribuição dos momentos fletores;
  E é o módulo de elasticidade do material constituinte;
  I é o momento de inércia da seção transversal;
  θ(x) é o ângulo entre o eixo x e a sua tangente. 
Do cálculo diferencial, temos que a derivada de uma função em relação 
à sua variável independente corresponde à tangente da sua inclinação nesse 
espaço, ou seja:
 (3)
Da hipótese das pequenas deformações, podemos concluir que, para pe-
quenos valores desse ângulo, podemos assumir que θ(x) = tan(θ(x)) e, conse-
quentemente, substituindo (3) em (2):
 (4)
Que fornece uma equação diferencial ordinária de segunda ordem para a 
deflexão vertical y(x) em função da distribuição dos momentos fletores e as 
5Deformações pelo método de integração
características de rigidez da viga. Lembrando, ainda, que segundo Leet et al. 
(2010), os esforços de cisalhamento V(x) podem ser escritos como a taxa de 
variação do momento por:
 (5)
E que a variação dos esforços cisalhantes em relação ao comprimento da 
viga se traduz pelo carregamento imposto (LEET et al., 2010):
 (6)
A equação (4) pode, então, ser reescrita como:
 (7)
Que constitui a chamada equação de Euler-Bernoulli para vigas homo-
gêneas, uma simplificação da teoria da linha elástica que permite calcular a 
deflexão de elementos estruturais horizontais submetidos a esforços transver-
sais em seu comprimento (BEER et al., 2013). Conhecendo-se, então, a função 
que descreve a distribuição horizontal dos carregamentos ou de momentos 
fletores, é possível obter-se a deflexão da viga por meio das equações (7) ou 
(4) por meio de sucessivos processos de integração. 
No caso clássico de vigas carregadas transversalmente, em que as cargas são orientadas 
segundo , essas posições calculadas apresentarão valores negativos e, portanto, 
a deflexão será o módulo desse valor. Como no Brasil adotamos a convenção de 
momentos fletores positivos representados para baixo, caso se conheça a distribuição 
de momentos e se deseje obter y(x), talvez seja necessário inverter o sinal da equação 
(4) para que os carregamentos não produzam deslocamentos no sentido contrário. 
Deformações pelo método de integração6
É importante ressaltar que cada passo de integração irá gerar uma cons-
tante, que deve contemplar as respectivas condições de contorno do problema 
dadas pelos dados do problema (SEGEL, 1987). Para vigas isostáticas, essas 
condições de contorno irão representar os deslocamentose as reações nos 
apoios e/ou condições de simetria da estrutura. 
Viga biapoiada sobre carga constante
Considera-se uma viga biapoiada elástica, de seção transversal constante e 
material homogêneo, com comprimento L, submetida a um carregamento 
distribuído constante q(x) = q, como ilustrado pela Figura 3.
Figura 3. Exemplo de viga biapoiada.
Deseja-se encontrar a distribuição dos deslocamentos verticais em função 
da distância x para o carregamento proposto.
Solução
Da equação de Euler-Bernoulli, temos que:
 (8)
7Deformações pelo método de integração
Integrando uma vez esta equação, temos que:
 (9)
Que corresponde à distribuição de esforços cortantes da viga ao longo de x.
Onde C1 é uma constante de integração.
Dos dados do problema, podemos logo concluir que o esforço cortante 
em x = 0 é dado pelo valor da reação vertical nesse ponto, ou seja, V(x = 0) = 
qL/2. O valor de C1 pode, então, ser calculado como:
 (10)
Consequentemente:
 (11)
Integrando-se mais uma à equação anterior:
 (12)
Que descreve a distribuição de momentos da viga analisada, onde C2 é a 
constante de integração. Como a viga tem apenas apoios rotulados, sabemos 
que o momento nos apoios é nulo, ou seja, M(x = 0) = 0 e, consequentemente, 
C2 = 0. Integrando-se mais uma vez, então, chegamos na distribuição da 
rotação θ(x):
 (13)
Onde C3 é a constante obtida pelo processo de integração.
Ainda que desconheçamos o valor θ(x) nos apoios, sabemos que a viga é 
simétrica e, portanto, a inclinação da curva elástica da viga é zero no meio 
Deformações pelo método de integração8
do vão, ou seja, θ(x = L/2) = 0. Assim, usamos x = L/2 na equação anterior, 
de forma a determinar C3:
 (14)
Logo, podemos reescrever a rotação como sendo:
 (15)
A deflexão da viga pode, então, ser obtida integrando-se mais uma vez 
esta equação:
 (16)
Observando que a deflexão da viga deve ser nula no apoio x = 0, verificamos 
que C4 = 0 e, consequentemente, a expressão final que fornece o deslocamento 
vertical da viga para qualquer ponto x ε [0,L] é dada pela seguinte equação 
polinomial de 4º grau:
 (17)
Como, se avaliamos a equação (15) no ponto médio da viga (x = L/2), 
encontramos a inclinação zero, temos, nesse ponto, a condição de deflexão 
máxima. Assim, substituindo x = L/2 na equação (17), temos 
 (18)
Então, a deflexão máxima, ou o valor máximo absoluto da deflexão, é:
 (19)
9Deformações pelo método de integração
Viga engastada com carga pontual
Considera-se uma viga elástica, de seção transversal constante e material 
homogêneo, com comprimento L, engastada em uma extremidade e submetida 
a um carregamento pontual P em sua extremidade livre, como demonstrado 
na Figura 4.
Figura 4. Exemplo de viga engastada.
Sabendo-se que a viga é composta por um perfil metálico com momento de 
inércia I = 556 cm4 e módulo de elasticidade E = 205 GPa, deseja-se conhecer 
a deflexão máxima à qual esse elemento será submetido para o caso em que 
L = 2 m e P = 5 kN.
Solução
Da análise estática da estrutura, podemos concluir que a distribuição dos 
momentos fletores é linear, variando de –PL no engaste (x = 0) até 0 em sua 
extremidade livre (x = L), ou seja, o momento fletor em cada ponto x ε [0,L] 
pode ser descrito pela seguinte equação:
 M(x) = Px – PL (20)
Da equação de Euller-Bernoulli, sabemos que para vigas elásticas homo-
gêneas (adotando-se a convenção de momentos positivos para baixo):
 (21)
Deformações pelo método de integração10
Consequentemente:
 (22)
Integrando-se a equação acima uma vez, encontramos a distribuição da 
inclinação da viga como:
 (23)
Como em x = 0, o apoio fornece condições de engaste, ou seja, não é permi-
tido que a viga rotacione nesse ponto, sendo assim, concluímos que a rotação 
da viga deve ser nula nesse ponto, ou seja, θ(x = 0) = 0 e, consequentemente, 
a constante de integração assume C1 = 0. Integrando mais uma vez para se 
obter a deflexão da viga:
 (24)
E como no apoio o deslocamento y(x = 0) deve ser nulo, consequentemente, 
a constante C2 deve ser igual a 0. Assim sendo, a deflexão em qualquer ponto 
da viga pode ser escrita por:
 (25)
Transformando-se os dados para o Sistema Internacional de Unidades, 
temos que:
  E = 205 GPa = 2,05 ∙ 1011 Pa
  I = 556 cm4 = 5,56 ∙ 10 –6 m4
Logo, o deslocamento, em sua extremidade livre, pode ser computado 
substituindo-se os valores dentro da expressão encontrada, ou seja:
 (26)
11Deformações pelo método de integração
Inclinação e deslocamento de uma viga 
estaticamente indeterminada
Ao se tratar de estruturas onde o número de reações nos apoios é maior do que 
o número de equações de equilíbrio, concluímos que essa estrutura é estatica-
mente indeterminada (BEER et al., 2013). Veja, por exemplo, o caso da estrutura 
apresentada pela Figura 5a, traçando-se o digrama de corpo livre dessa estrutura 
(Figura 5b), podemos concluir por meio das equações de equilíbrio que:
 (27)
 (28)
 (29)
Onde:
  By é a reação vertical no ponto B;
  Ax, Ay e MA correspondem às reações horizontais, verticais e de momento 
no ponto A, respectivamente.
Podemos verificar que neste caso a estrutura é estaticamente indeterminada 
de grau 1, uma vez que para determinar completamente o seu comportamento 
é necessário conhecer o valor de uma variável hiperestática: By.
Figura 5. (a) Viga estaticamente indeterminada e (b) seu diagrama de 
corpo livre.
Deformações pelo método de integração12
Tomando-se qualquer seção localizada a uma distância x intermediária 
entre os pontos A e B, o equilíbrio de momentos nessa seção pode ser escrito 
como sendo:
 (30)
Onde aplicando-se a equação 4, temos que:
 (31)
Seguindo o procedimento, integra-se a equação diferencial mais uma vez 
para se obter a distribuição de rotação da viga:
 (32)
Onde C1 é a constante de integração a se determinar.
Como sabemos que no engaste (x = 0) a rotação θ das fibras longitudinais 
é nula, substituindo na equação (32), podemos chegar à conclusão de que 
C1 = 0. Logo, para obtermos a distribuição da deflexão y(x), basta realizarmos 
mais um processo de integração em relação à coordenada x:
 (33)
Que, para determinar a constante C2, basta aplicar a condição de que a 
deflexão no engaste é nula, ou seja, y(x = 0) = 0 e, consequentemente, C2 = 0. 
Contudo, os valores das reações ainda dependem da incógnita By, substituindo 
as equações (28) e (29) em (33) temos:
 (34)
Apesar da equação parecer indeterminada, a condição de apoio em x = L 
nos fornece mais uma condição de contorno que permite determinar o valor de 
13Deformações pelo método de integração
By, uma vez que a deflexão deve ser nula no apoio, ou seja, y(x = L) = 0. Substi-
tuindo essa condição na equação (34) e resolvendo para By, demonstra-se que:
 (35)
E, consequentemente, as demais reações assumem os valores:
 (36)
 (37)
Logo, a deflexão em qualquer ponto da viga pode ser descrita completa-
mente pela equação polinomial de 4º grau:
 (38)
E, portanto, por meio do método de integração, somos capazes de deter-
minar tanto a reação hiperestática da viga em análise quanto a sua deflexão e 
curvatura devido à ação das cargas impostas. Percebe-se que o procedimento 
para a determinação da inclinação e dos deslocamentos de uma viga estatica-
mente indeterminada é muito semelhante à de vigas isostáticas, contudo, mais 
condições de contorno devem ser fornecidas, de modo a resolver o sistema 
inicialmente indeterminado. Essas condições de contorno se referem à cine-
mática da viga, como apresentado no Quadro 1.
Fonte: Adaptado de Beer et al. (2013).
Vínculo Condição de contorno
Apoio rotulado (simples/duplo) y = 0
Apoio engastado y = 0; dy / dx = 0
Extremidade livre (sem carga pontual) M = 0; V = 0
Quadro 1. Condições de contorno para cada tipo de apoio
Deformações pelo método de integração14
Caso a viga apresente mais de um trecho característico, ou seja, mais de 
um carregamento ou vínculos forem encontrados no problema, deve-se, então, 
realizar oequilíbrio de momentos para cada um dos trechos característicos, 
respeitando as condições de equilíbrio e a compatibilidade de deslocamentos 
nas interseções entre os trechos característicos. Esse procedimento irá fornecer 
um sistema linear de equações a ser resolvido, que fornecerá tanto os valores 
das reações como as constantes de integração obtidas pelo método (BEER; 
JOHNSTON; MAZUREK, 2019).
Viga estaticamente indeterminada
Considera-se uma de viga elástica, de seção transversal constante e material 
homogêneo, conforme demonstrado na Figura 6.
Figura 6. Exemplo de viga elasticamente indeterminada.
Para estas dimensões e carregamentos, determinar as reações nos apoios e 
a equação dos deslocamentos transversais por meio do método de integração.
Resolução
Das equações de equilíbrio, podemos concluir que:
 (39)
 (40)
15Deformações pelo método de integração
 (41)
E, consequentemente, a viga é considerada estaticamente indeterminada, 
uma vez que as equações de equilíbrio estático não são suficientes para de-
terminar as suas reações. De modo a determinar a resolução desse problema, 
podemos dividir a viga em questão em três trechos característicos com seus 
respectivos diagramas de corpo livre (Figura 7).
Figura 7. Viga dividida em três trechos característicos.
Fazendo o equilíbrio de momentos em cada um dos trechos característicos, 
temos que:
 (42)
Integrando-se duas vezes cada um dos termos acima, temos que a deflexão 
em cada um dos pontos pode ser escrita por:
 (43)
Deformações pelo método de integração16
Que fornece seis constantes oriundas do processo de integração a serem 
determinadas. A partir das condições de contorno, equilíbrio e compatibilidade 
do problema, podemos escrever o seguinte conjunto de equações:
 (44)
Que formam um sistema linear a ser resolvido para as constantes de inte-
gração e as reações nos apoios. Matricialmente:
 (45)
17Deformações pelo método de integração
Resolvendo-se o sistema, pode-se concluir, então, que:
 (46)
Ou seja, as reações são dadas por:
 (47)
E a deflexão da viga (Figura 8):
 (48)
Figura 8. Exemplo de deflexão de uma viga.
Neste capítulo, você aprendeu uma ferramenta utilizada para a determi-
nação do deslocamento de elementos estruturais horizontais que se baseia 
em diversas etapas de integração. Esse método é muito utilizado quando as 
condições de carregamento não são uniformes, permitindo um tratamento 
Deformações pelo método de integração18
analítico do problema analisado. Percebe-se que esse método pode ser usado 
tanto para vigas isostáticas quanto estaticamente indeterminadas, caso em 
que, além do campo de rotações e deslocamentos, é possível determinar as 
reações hiperestáticas do problema.
BEER, F. P. et al. Estática e mecânica dos materiais. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; MAZUREK, D. F. Mecânica vetorial para engenheiros: 
estática. 11. ed. Porto Alegre: AMGH, 2019.
HOWARD, A.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
LEET, K. M. et al. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010.
SEGEL, L. E. Mathematics applied to continuum mechanics. New York: Dover, 1987. 
Leituras recomendadas
CHING, F. D. K.; ONOUYE, B. S.; ZUBERBUHLE, D. Sistemas estruturais ilustrados: padrões, 
sistemas e projeto. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015.
MCCORMACK, J. C. Análise estrutural: usando métodos clássicos e métodos matriciais. 
4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
ONOUYE, B. S. Estática e resistência dos materiais para arquitetura e construção de edifi-
cações. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
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